17-18版第4章熱點(diǎn)探究訓(xùn)練2

1、熱點(diǎn)探究訓(xùn)練(二)1. 設(shè)函數(shù) f(x) 3X t aX(a R).D(1)若 f(x)在X 0處取得極值，確定a的值，并求此時(shí)曲線yf(x)在點(diǎn)(1 ,f(1) 處的切線方程；62172116】(2)若f(x)在3,+x)上為減函數(shù)，求a的取值范圍.【導(dǎo)學(xué)號(hào):解(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得f' (x) =x2x6x+ a e 3x + ax ex2(e )23x + 6 a x+ a因?yàn)閒(x)在x 0處取得極值，所以f' (0) 0,即a 0.23x 3x + 6x當(dāng) a 0 時(shí)，f(x) g，f' (x)曠，故 f(1)=e，f' (1)=3e，從而f(x)33

2、在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為y-(x 1)，D D化簡(jiǎn)得3x ey= 0.23x + (6 a X+ a (2)由(1)知 f' (x) 2令 g(x) 一 3x + (6一 a)x+ a，6 a A/a + 36由 g(x) 0 解得 X1 6X2 =6 a+ a + 366當(dāng) XVX1 時(shí)，g(x)<0, 即 卩 f' (x)<0，故 f(x)為減函數(shù);當(dāng) X1<X<x2 時(shí)，g(x)>0，即 f' (x)>0,故 f(x)為增函數(shù);當(dāng) x>x2 時(shí)，g(x)<0，即 卩 f' (x)<0，故 f(x

3、)為減函數(shù).11 分6 a+ a + 36 由f(x)在3, +O)上為減函數(shù)，知X2 6W3,9解得a>號(hào).故a的取值范圍為卜2,+ OO14分2. (2017蘇州模擬)設(shè)函數(shù)f(x) = e2-kj|+ In x (k為常數(shù)，e= 2.718 28是自 然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1) 當(dāng)k<0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求k的取值范圍.解(1)函數(shù)y= f(x)的定義域?yàn)?0,+).2 x小xx e 2xe-k - 7+x 2 £x kxx .x xxe 2e k x 232:xx由 k< 0 可得 e kx>0

4、,所以當(dāng)x (0,2)時(shí)，f' (x)<0，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x (2,+)時(shí), f' (x)>0，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增.所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2，+).6分由(1)知，k< 0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，故f(x)在(0,2)內(nèi)不存在極值點(diǎn)；當(dāng) k>0 時(shí)，設(shè)函數(shù) g(x) = e kx，x 0， +).因?yàn)?g' (x)= e" k= e" eln k，當(dāng)0<k< 1時(shí)，當(dāng) x (0,2)時(shí)，g' (x)= e-4 k>0，y= g(x)

5、單調(diào)遞增,故f(x)在(0,2)內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)k>1時(shí),得 x (0, In k)時(shí)，g' (x)<0,函數(shù) y= g(x)單調(diào)遞減， x (In k,+x)時(shí)，g' (x)>0，函數(shù) y= g(x)單調(diào)遞增.所以函數(shù)y= g(x)的最小值為g(ln k) = k(1 In k).函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn),g(0>0,g(ln kj<0,當(dāng)且僅當(dāng)g(2>0,J 0<ln k<2,2 e 解得evkvq.綜上所述，函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為x23. (2016全國(guó)卷 I )已知

6、函數(shù) f(x)= (x-2)e + a(x 1).討論f(x)的單調(diào)性；(2)若 f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.解(1)f (x) = (x 1)ex + 2a(x 1) = (x 1)(ex + 2a).(i )設(shè) a>0,則當(dāng) x ( k, 1)時(shí),f' (x)v0;當(dāng) x (1 ,+k )時(shí)，f' (x) > 0.所以f(x)在(k, 1)上單調(diào)遞減，在(1,+k)上單調(diào)遞增.(ii )設(shè) av 0,由 f' (x)= 0 得 x= 1 或 x= ln( 2a).ex 若 a= 2，則 f (x) = (x 1)(e e),所以f(x)在(k ,

7、 + k)上單調(diào)遞增.e 若 a> 2，則 ln( 2a)v 1,故當(dāng) x (k, ln( 2a) U (1,+k)時(shí)，f' (x)>0； 當(dāng) x (ln( 2a), 1)時(shí),f' (x)v0.所以 f(x)在(一k, ln( 2a), (1,+k)上單調(diào)遞增，在(ln( 2a),13分e, /14分1分3分1)上單調(diào)遞減.e若 av 2,貝U ln( 2a)> 1,故當(dāng) x (x, i)u (ln( 2a),+x)時(shí)，f' (x)>0；當(dāng) x (1 , ln( 2a)時(shí)，f' (x)v0.所以f(x)在(x, 1),仲(2a), +)上

8、單調(diào)遞增，在(1, ln( 2a)上單調(diào) 遞減7分(2)(i )設(shè)a>0,則由(1)知，f(x)在(x, 1)上單調(diào)遞減，在(1,+x)上單調(diào)aa遞增.又 f(1) = e, f(2) = a, 取 b 滿足 bv 0 且 bv l門2，則 f(b) >2(b 2)+ a(b1)2 = a b2 3b > 0,所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).9分(ii )設(shè)a= 0,則f(x)二(x 2)&，所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).e(iii )設(shè)av 0,若a> 2,則由(1)知，f(x)在(1,+x)上單調(diào)遞增.又當(dāng)x< 1 e時(shí)f(x) v0,故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)；若

9、av 2,則由知，f(x)在(1, ln( 2a) 上單調(diào)遞減，在(ln( 2a),+x)上單調(diào)遞增.又當(dāng)x< 1時(shí)，f(x)v0,故f(x)不存 在兩個(gè)零點(diǎn).綜上，a的取值范圍為(0,+x).14分4. (2017 鹽城模擬)已知函數(shù) f(x)= aln x ax 3(a R).(1) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若函數(shù)y= f(x)的圖象在點(diǎn)(2, f(2)處的切線的傾斜角為45°對(duì)于任意的t 1,2函數(shù)g(x) = x3 + x2f (x)+ m 在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求 m的取值 范圍；求證： 普 X 罟 X 呼 X-XnA 2, n N+).【導(dǎo)學(xué)號(hào)

10、：62172117】 234n na(1 x)解(1)f' (x) = (x>0).當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1,減區(qū)間為1 ,+x)；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為1 ,+x)，減區(qū)間為(0,1； 當(dāng)a= 0時(shí)，f(x)不是單調(diào)函數(shù).(2)由 f' (2) = q = 1 得 a=-2,f (x)二2x 2x1 <0,2<0,3>0,8分+ g )時(shí)tn2, n貝U有 0<ln n<n 1,In n n 1/.0<g(x) = x3+ m + 2 x2 2x,2g' (x)= 3x + (m+ 4)x2.g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，且 g' (0) = 2, g' t<0,g(3>0.g由題意知：對(duì)于任意的t 1,2, g' (t)<0恒成立，所以有：gI gf<m< 9.(3)證明：令 a= 1,此時(shí) f(x)= In x+x 3,所以