高中物理教研論文小量近似方法應用兩則

1、小量近似方法應用兩則小量近似處理在高中物理學習中經(jīng)常遇到，掌握一些重要的方法，在解決問題時是非常有用的。這里以兩則應用為例，介紹常用的小量近似方法對一個小角量來說，有，；在研究一個普通量時，可以忽略小量。一、歐拉公式十八世紀著名數(shù)學家歐拉，曾經(jīng)確定了摩擦力跟繩索繞在樁子上的圈數(shù)之間的關系：，其中F1代表我們所用的力，F(xiàn)2代表我們所要對抗的力，e代表數(shù)2.718（自然對數(shù)的底），代表繩和樁子之間的摩擦系數(shù)，代表繞轉角，也就是繩索繞成的弧的長度跟弧的半徑的比。若取，則。所以，就是一個小孩子，只要能把繩索在一個不動的轆轤上繞三四圈，然后抓住繩頭，他的力量就能平衡一個極大的重物。下面就歐拉公式作一證明

2、：取一小段弧為研究對象，受力分析如圖所示，和為小弧兩端所受張力，為柱體對繩的壓力，為靜摩擦力。根據(jù)平衡方程，得： （1） （2）臨界情況 （3）很小，有，所以 即 或 兩邊求和或 故 即兩張力之比按包角呈指數(shù)變化。儒勒·凡爾納在馬蒂斯·桑多爾夫這部小說里，敘述競技大力士馬蒂夫用手拉住一條正在下水的船“特拉波科羅”號這件事，使讀者印象最深：突然出現(xiàn)了一個人，他抓住了掛在“特拉波科羅”號前部的纜索，用力地拉，幾乎把身子彎得接近了地面。不到一分鐘，他已經(jīng)把纜索繞在釘在地里的鐵樁上。他冒著被摔死的危險，用超人的氣力，用手拉住纜索大約有十秒鐘。最后，纜索斷了?？墒沁@十秒鐘時間已經(jīng)很足

3、夠：“特拉波科羅”號進水以后，只輕微地擦了一下快艇，就向前駛了開去。理解了歐拉公式，我們明白：原來在這里幫助他們的，并不是馬蒂夫異常的臂力，而是繩和樁子之間的摩擦力。二、重力場中光子頻率變化已知：光子有質量，但無靜止質量，在重力場中也有重力勢能。若從地面上某處將一束頻率為的光射向其正上方相距為d的空間站，d遠小于地球半徑，令空間站接收到的光的頻率為，則差 =_ ，已知地球表面附近的重力加速度為g。（第29屆全國中學生物理競賽預賽試卷第二大題第8小題）參考答案：解析：d遠小于地球半徑，由能量守恒得而 則 這與題給參考答案似乎有點矛盾：！其實只要注意到 ，就不難理解以上兩個結論是相同的，即。事實上

4、，能量守恒式子中的m也是在變化的，同樣也有。本題可以從引力勢能角度考慮，思路會更加清晰：由能量守恒得利用，有 變形得從而注意到則 ，其中 所以 非慣性系與慣性力在勻加速上升的升降機里，人站在測力計上，觀察可知測力計的示數(shù)大于人所受到的重力G。測力計顯示的為人對測力計的壓力F'，根據(jù)牛頓第三定律可知測力計對人的彈力。若以升降機為參考系，則人處于平衡狀態(tài)。而由作出人的受力示意圖可知，人受到重力G與測力計對人的支持力F作用，但二力的合力并不為零，可見在相對于地面做勻加速運動的升降機里，牛頓運動定律不再成立。牛頓運動定律不成立的參考系，稱為非慣性系。牛頓運動定律成立的參考系，稱為慣性系。我們一

5、般都以慣性系作為參考系來研究物體的運動情況，有時也需要研究非慣性系中物體的運動，這時為了使牛頓第二定律仍然成立，便需要引入“慣性力”的概念。在圖1中，以升降機作為參考系，質量為m的物體靜止在測力計上，我們可以認為物體除了受到重力G與測力計對物體支持力F外，還受到一個豎直向下的力F慣，在這三個力共同作用下，物體保持平衡。這個F慣就叫做慣性力。vaGF慣F圖1慣性力與通常意義下的“真實”的力不同，它是形式上引入的“假想”的力，沒有施力物體。在以加速度相對于某一慣性系做加速運動的非慣性系中，所有的物體除受到“真實”的力作用，還受到慣性力F慣作用，大小為，方向與非慣性系的加速度方向相反，即F慣 其中，

6、負號表示慣性力的方向與非慣性系的加速度方向相反，m為物體的質量。例1 如圖2所示，一質量為M、傾角為的光滑斜面，放置在光滑水平面上，另有一質量為m的小物體沿斜面下滑，斜面底邊長為L，當物體從斜面頂端由靜止開始下滑到底端時，求m、M的加速度；斜面具有多大的速度。mgFNa1F（慣性力）mMMg圖4圖3圖2F1FNa2分析與解如圖3所示，對于m 如圖4所示，對于M 聯(lián)立式解得 m對地的加速度 m對地的加速度 對于m 對于M 聯(lián)立得 例2 長分別為L1和L2的不可伸長的輕繩懸掛質量都是m的m1和m2，如圖5所示，原先它們處于靜止狀態(tài)。突然，連接兩繩的中間小球受到水平向右的沖擊，短時間內獲得水平向右的

7、初速度v0，求這一瞬間連接m2的繩的拉力為多少？v0OL1m1m2L2m2gFT2圖6圖5分析與解 小球m1受到?jīng)_擊獲得初速度v0，由于受到上端固定在O點的繩L1的牽制，而繞O點做圓周運動，此刻的加速度豎直向上，大小為。下面的小球m2此刻相對于地面的速度為零，但以m1為參照，m2的速度為v0，方向向左，且繞m1做圓周運動，這時m2受到三個力的作用：豎直向下的重力mg，繩子的拉力T2，慣性力，方向豎直向下，如圖6所示。由牛頓第二定律和向心力公式可得即 故 通過這樣兩道例題我們可以發(fā)現(xiàn)，引入慣性力以后，可以使一些動力學問題的求解變得簡單，從而給解題帶來很大的方便，因此在學習過程中，我們應該很好地掌

8、握這種方法。練習 如圖7所示，一光滑細桿繞豎直軸以勻角速度轉動，細桿與豎直軸夾角保持不變。一個相對細桿靜止的小環(huán)自離地面h高處沿細桿下滑，求小球滑到細桿下端時的速度。（參考答案：）圖奇妙的“擺線”世界首先看一道經(jīng)典的帶電質點在復合場中運動的題目：如圖1所示，一帶正電的塑料小球從小孔S處無初速地進入一個區(qū)域足夠大的勻強磁場中，磁場的磁感應強度為B，方向垂直于紙面向里。已知小球的質量為m、帶電量為q，試問這個小球距邊界AC的距離多大時，可能沿水平方向做勻速直線運動？此時速度多大？A S C×××××××××&

9、#215;××××××××B×××××××××××××××××× 圖1原解當小球水平向右做勻速直線運動時，受力平衡由動能定理解以上兩式得 分析由以下分析可以看出，這個解法是錯誤的。小球剛進入磁場時初速度為零，在重力與洛倫茲力的共同作用下做曲線運動；當小球運動方向水平時，豎直方向速度為零，小球在這一運動過程中的其他任一位置豎直分速度均不為零

10、；所以小球在豎直方向上的分運動經(jīng)歷了由加速再到減速的過程，小球運動方向水平時仍有向上的加速度，之后運動軌跡向上偏轉。因此，小球不可能做水平方向的勻速直線運動。正解小球剛進入磁場時，引入兩個等值、反向的水平初速度v加在小球上。其中，與向右的速度v相對應的洛倫茲力恰好與小球的重力平衡，即 與向左的速度v相對應的洛倫茲力，使小球在紙面內做勻速圓周運動。這樣，小球的運動就看作是由紙面內逆時針方向的勻速圓周運動與水平向右的勻速直線運動復合而成。設小球做勻速圓周運動的半徑為R，由牛頓運動定律和向心力公式得 由兩式得當小球運動方向水平向右時速度最大，此時兩分運動速度方向相同小球距邊界AC的距離最大 討論那么

11、小球實際運動的軌跡到底是怎樣的呢？從以上求解過程容易聯(lián)想到生活中的物理模型-無滑動的純滾動車輪輪緣上一個質點的運動軌跡情況，下面來分析這個問題：如圖2，建立平面直角坐標系xoyxyO' 圖2設M為車輪圓心，R為半徑，車輪以速度v勻速直線行駛?？紤]車輪邊緣上的某一點P，其初始位置在坐標原點，為運動過程中轉過的角度，設t時刻位置坐標為（x,y）。由圖分析其幾何關系可知這是一個關于的參數(shù)方程。P點運動軌跡為圖2中那條關于對稱的曲線，這條曲線在數(shù)學中稱為擺線，又稱滾線、旋輪線。其中，最高點。再回到文中的問題，對比可以看出，小球在磁場與重力場復合場中的運動軌跡應為擺線，如圖所示。事實上，兩運動均

12、看作同一平面的勻速圓周運動與勻速直線運動的合成。Oxy圖3以小球初位置為坐標原點，豎直向下為y軸正方向，水平向右為x軸正方向，建立直角坐標系xoy。參照圖2中P點的參數(shù)方程，容易得到小球運動的參數(shù)方程當時，小球下落距離有最大值小球經(jīng)時間（由勻速圓周運動分運動可知）完成一次周期性運動，即運動軌跡完成圖3所示第一拱，以后重復做周期性運動。一道普通的物理題背后，竟隱藏著奇妙的“擺線”世界。公式應用范圍的兩則證明平面線圈在勻強磁場中繞垂直于磁場方向的軸作勻速轉動時，線圈中會產生按正弦規(guī)律變化的交變電動勢，其最大值，其中B為勻強磁場的磁感應強度，S為線圈所圍面積，為線圈轉動的角速度。此式是在矩形線圈繞其

13、對稱軸轉動情況下得到的，對于轉動軸不在對稱軸上及線圈為其它任意形狀的情況也是成立的。下面就這兩種情況分別加以證明：1 轉軸不在對稱軸上的情況如圖1所示，矩形線圈繞轉軸OO以角速度在磁感應強度為B的勻強磁場中作勻速轉動，在圖示位置產生的感應電動勢最大，因為在ab與cd中產生的感應電動勢在同一閉合電路中方向是相反的，所以。同理也可以證明圖2、3兩種情況。圖3圖2圖1圖42 線圈形狀不是矩形的情況下面以圓形線圈為例，用微元法證明。如圖4所示，半徑為R的圓形線圈繞轉軸OO以角速度在磁感應強度為B的勻磁場中作勻速轉動，在圖示位置產生的感應電動勢最大。將圓周等分成N等份(N，每一段小圓弧都可以看成直線段)，其中第i等份線段在圖示與轉軸成角位置，長度為，轉動的線速度，該線段與磁場方向成角，在如圖4所示位置所產生的感應電動勢大小為， 。其中，。如圖5所示，為圖中小矩形條的面積，則就是區(qū)間上余弦函數(shù)曲線與橫軸所圍面積S，顯然，所以。圖5由于，任意形狀的線圈總可看成是由許多小段的弧線組合而成的，所以證明了圓形線圈的情況，也就可以進一步推廣到線圈為