CFD基礎流體力學

1、第1章 CFD 基 礎計算流體動力學(computational fluid dynamics，CFD)是流體力學的一個分支，它通過計算機模擬獲得某種流體在特定條件下的有關信息，實現(xiàn)了用計算機代替試驗裝置完成“計算試驗”，為工程技術人員提供了實際工況模擬仿真的操作平臺，已廣泛應用于航空航天、熱能動力、土木水利、汽車工程、鐵道、船舶工業(yè)、化學工程、流體機械、環(huán)境工程等 領域。本章介紹CFD一些重要的基礎知識，幫助讀者熟悉CFD的基本理論和基本概念，為計算時設置邊界條件、對計算結果進行分析與整理提供參考。1.1 流體力學的基本概念1.1.1 流體的連續(xù)介質模型流體質點(fluid particle

2、)：幾何尺寸同流動空間相比是極小量，又含有大量分子的微 元體。連續(xù)介質(continuum/continuous medium)：質點連續(xù)地充滿所占空間的流體或固體。連續(xù)介質模型(continuum/continuous medium model)：把流體視為沒有間隙地充滿它所占據的整個空間的一種連續(xù)介質，且其所有的物理量都是空間坐標和時間的連續(xù)函數的一種假設模型：u =u(t,x,y,z)。1.1.2 流體的性質1. 慣性慣性(fluid inertia)指流體不受外力作用時，保持其原有運動狀態(tài)的屬性。慣性與質量有關，質量越大，慣性就越大。單位體積流體的質量稱為密度(density)，以r表

3、示，單位為kg/m3。對于均質流體，設其體積為V，質量為m，則其密度為 (1-1)對于非均質流體，密度隨點而異。若取包含某點在內的體積，其中質量，則該點密度需要用極限方式表示，即 (1-2)2. 壓縮性作用在流體上的壓力變化可引起流體的體積變化或密度變化，這一現(xiàn)象稱為流體的可壓縮性。壓縮性(compressibility)可用體積壓縮率k來量度 (1-3)式中：p為外部壓強。在研究流體流動過程中，若考慮到流體的壓縮性，則稱為可壓縮流動，相應地稱流體為可壓縮流體，例如高速流動的氣體。若不考慮流體的壓縮性，則稱為不可壓縮流動，相應地稱流體為不可壓縮流體，如水、油等。3. 粘性粘性(viscosit

4、y)指在運動的狀態(tài)下，流體所產生的抵抗剪切變形的性質。粘性大小由粘度來量度。流體的粘度是由流動流體的內聚力和分子的動量交換所引起的。粘度有動力粘度和運動粘度之分。動力粘度由牛頓內摩擦定律導出： (1-4)式中：為切應力，Pa；為動力粘度，Pa s；為流體的剪切變形速率。運動粘度與動力粘度的關系為 (1-5)式中：為運動粘度，m2/s。在研究流體流動過程中，考慮流體的粘性時，稱為粘性流動，相應的流體稱為粘性流體；當不考慮流體的粘性時，稱為理想流體的流動，相應的流體稱為理想流體。根據流體是否滿足牛頓內摩擦定律，將流體分為牛頓流體和非牛頓流體。牛頓流體嚴格滿足牛頓內摩擦定律且保持為常數。非

5、牛頓流體的切應力與速度梯度不成正比，一般又分為塑性流體、假塑性流體、脹塑性流體3種。塑性流體，如牙膏等，它們有一個保持不產生剪切變形的初始應力，只有克服了這個初始應力后，其切應力才與速度梯度成正比，即 (1-6)假塑性流體，如泥漿等，其切應力與速度梯度的關系是 (1-7)脹塑性流體，如乳化液等，其切應力與速度梯度的關系是 (1-8)1.1.3 流體力學中的力與壓強1. 質量力與流體微團質量大小有關并且集中在微團質量中心的力稱為質量力(body force)。在重力場中有重力mg；直線運動時，有慣性力ma。質量力是一個矢量，一般用單位質量所具有的質量力來表示，其形式如下： (1-9)式中：，為單

6、位質量力在各軸上的投影。2. 表面力大小與表面面積有關而且分布作用在流體表面上的力稱為表面力(surface force)。表面力按其作用方向可以分為兩種：一是沿表面內法線方向的壓力，稱為正壓力；另一種是沿表面切向的摩擦力，稱為切向力。對于理想流體的流動，流體質點只受到正壓力，沒有切向力；對于粘性流體的流動，流體質點所受到的作用力既有正壓力，也有切向力。作用在靜止流體上的表面力只有沿表面內法線方向的正壓力。單位面積上所受到的表面力稱為這一點處的靜壓強。靜壓強具有兩個特征：靜壓強的方向垂直指向作用面； 流場內一點處靜壓強的大小與方向無關。3. 表面張力在液體表面，界面上液體間的相互作用力稱為張力

7、。在液體表面有自動收縮的趨勢，收縮的液面存在相互作用的與該處液面相切的拉力，稱為液體的表面張力(surface tension)。正是這種力的存在，引起彎曲液面內外出現(xiàn)壓強差以及常見的毛細現(xiàn)象等。試驗表明，表面張力大小與液面的截線長度L成正比，即 (1-10)式中：為表面張力系數，它表示液面上單位長度截線上的表面張力，其大小由物質種類決定，其單位為N/m。4. 絕對壓強、相對壓強及真空度標準大氣壓的壓強是101325Pa(760mm汞柱)，通常用patm表示。若壓強大于大氣壓，則以該壓強為計算基準得到的壓強稱為相對壓強(relative pressure)，也稱為表壓強，通常用pr表示。若壓強

8、小于大氣壓，則壓強低于大氣壓的值就稱為真空度(vacuum)，通常用pv表示。如以壓強0Pa為計算的基準，則這個壓強就稱為絕對壓強(absolute pressure)，通常用ps表示。這三者的關系如下： (1-11) (1-12)在流體力學中，壓強都用符號p表示，但一般來說有一個約定：對于液體，壓強用相對壓強；對于氣體，特別是馬赫數大于0.1的流動，應視為可壓縮流，壓強用絕對壓強。壓強的單位較多，一般用Pa，也可用bar，還可以用汞柱、水柱，這些單位換算如下：1Pa=1N/m21bar=105Pa1patm=760mmHg=10.33mH2O=101325Pa5. 靜壓、動壓和總壓對于靜止狀

9、態(tài)下的流體，只有靜壓強。對于流動狀態(tài)的流體，有靜壓強(static pressure)、動壓強(dynamic pressure)、測壓管壓強(manometric tube pressure)和總壓強(total pressure)之分。下面從伯努利(Bernoulli)方程(也有人稱其為伯努里方程)中分析它們的意義。伯努利方程闡述一條流線上流體質點的機械能守恒，對于理想流體的不可壓縮流動其表達式如下： (1-13)式中：稱為壓強水頭，也是壓能項，為靜壓強；稱為速度水頭，也是動能項；稱為位置水頭，也是重力勢能項，這三項之和就是流體質點的總的機械能；H稱為總的水頭高。將式(1-13)兩邊同時乘

10、以，則有 (1-14)式中：稱為靜壓強，簡稱靜壓；稱為動壓強，簡稱動壓；稱為總壓強，簡稱總壓。對于不考慮重力的流動，總壓就是靜壓和動壓之和。1.1.4 流體運動的描述1. 流體運動描述的方法描述流體物理量有兩種方法，一種是拉格朗日描述；一種是歐拉描述。拉格朗日(Lagrange)描述也稱隨體描述，它著眼于流體質點，并將流體質點的物理量認為是隨流體質點及時間變化的，即把流體質點的物理量表示為拉格朗日坐標及時間的函數。設拉格朗日坐標為(a,b,c)，以此坐標表示的流體質點的物理量，如矢徑、速度、壓強等等在任一時刻t的值，便可以寫為a、b、c及t的函數。若以f表示流體質點的某一物理量，其拉格朗日描述

11、的數學表達式為 (1-15)例如，設時刻t流體質點的矢徑即t時刻流體質點的位置以r表示，其拉格朗日描述為 (1-16)同樣，質點的速度的拉格朗日描述是 (1-17)歐拉描述，也稱空間描述，它著眼于空間點，認為流體的物理量隨空間點及時間而變化，即把流體物理量表示為歐拉坐標及時間的函數。設歐拉坐標為(q1,q2,q3)，用歐拉坐標表示的各空間點上的流體物理量如速度、壓強等，在任一時刻t的值，可寫為q1、q2、q3及t的函數。從數學分析知道，當某時刻一個物理量在空間的分布一旦確定，該物理量在此空間形成一個場。因此，歐拉描述實際上描述了一個個物理量的場。若以f表示流體的一個物理量，其歐拉描述的數學表達

12、式是(設空間坐標取用直角坐標) (1-18)如流體速度的歐拉描述是 (1-19)2. 拉格朗日描述與歐拉描述之間的關系拉格朗日描述著眼于流體質點，將物理量視為流體坐標與時間的函數；歐拉描述著眼于空間點，將物理量視為空間坐標與時間的函數。它們可以描述同一物理量，必定互相相關。設表達式表示流體質點(a,b,c)在t時刻的物理量；表達式表示空間點(x,y,z)在時刻t的同一物理量。如果流體質點(a,b,c)在t時刻恰好運動到空間點(x,y,z)上，則應有 (1-20) (1-21)事實上，將式(1-16)代入式(1-21)左端，即有 (1-22)或者反解式(1-16)，得到 (1-23)將式(1-2

13、3)代入式(1-21)的右端，也應有 (1-24)由此，可以通過拉格朗日描述推出歐拉描述，同樣也可以由歐拉描述推出拉格朗日 描述。3. 隨體導數流體質點物理量隨時間的變化率稱為隨體導數(substantial derivative)，或物質導數、質點導數。按拉格朗日描述，物理量f表示為，f的隨體導數就是跟隨質點(a,b,c)的物理量f對時間t的導數。例如，速度是矢徑對時間的偏導數， (1-25)即隨體導數就是偏導數。按歐拉描述，物理量f表示為，但并不表示隨體導數，它只表示物理量在空間點上的時間變化率。而隨體導數必須跟隨t時刻位于空間點上的那個流體質點，其物理量f的時間變化率。由于該流體質點是運

14、動的，即x、y、z是變的，若以a、b、c表示該流體質點的拉格朗日坐標，則x、y、z將依式(1-16)變化，從而f =F(x,y,z,t)的變化依連鎖法則處理。因此，物理量f =F(x,y,z,t)的隨體導數是 (1-26)式中：表示隨體導數。從中可以看出，對于質點物理量的隨體導數，歐拉描述與拉格朗日描述大不相同。前者是兩者之和，而后者是直接的偏導數。4. 定常流動與非定常流動根據流體流動過程以及流動過程中的流體的物理參數是否與時間相關，可將流動分為定常流動(steady flow)與非定常流動(unsteady flow)。定常流動：流體流動過程中各物理量均與時間無關，這種

15、流動稱為定常流動。非定常流動：流體流動過程中某個或某些物理量與時間有關，則這種流動稱為非定常流動。5. 流線與跡線常用流線和跡線來描述流體的流動。跡線(track)：隨著時間的變化，空間某一點處的流體質點在流動過程中所留下的痕跡稱為跡線。在t =0時刻，位于空間坐標(a,b,c)處的流體質點，其跡線方程為 (1-27)式中：u、v、w分別為流體質點速度的三個分量；x、y、z為在t時刻此流體質點的空間 位置。流線(streamline)：在同一個時刻，由不同的無數多個流體質點組成的一條曲線，曲線上每一點處的切線與該質點處流體質點的運動方向平行。流場在某一時刻t的流線方程為 (1-28)

16、對于定常流動，流線的形狀不隨時間變化，而且流體質點的跡線與流線重合。在實際流場中除駐點或奇點外，流線不能相交，不能突然轉折。6. 流量與凈通量流量(flux)：單位時間內流過某一控制面的流體體積稱為該控制面的流量Q，其單位為m3/s。若單位時間內流過的流體是以質量計算，則稱為質量流量Qm；不加說明時“流量”一詞概指體積流量。在曲面控制面上有 (1-29)凈通量(net flux)：在流場中取整個封閉曲面作為控制面A，封閉曲面內的空間稱為控制體。流體經一部分控制面流入控制體，同時也有流體經另一部分控制面從控制體中流出，此時流出的流體減去流入的流體，所得出的流量稱為流過全部封閉控制面A的凈流量(或

17、凈通量)，通過式(1-30)計算： (1-30)對于不可壓縮流體來說，流過任意封閉控制面的凈通量等于0。7. 有旋流動與有勢流動由速度分解定理，流體質點的運動可以分解為：(1)隨同其他質點的平動；(2)自身的旋轉運動；(3)自身的變形運動(拉伸變形和剪切變形)。在流動過程中，若流體質點自身做無旋運動(irrotational flow)，則稱流動是無旋的，也就是有勢的，否則就稱流動是有旋流動(rotational flow)。流體質點的旋度是一個矢量，通常用表示，其大小為 (1-31)若=0，則稱流動為無旋流動，否則就是有旋流動。與流體的流線或跡線形狀無關；粘性流動一般為有旋流動；對于無旋流動

18、，伯努利方程適用于流場中任意兩點之間；無旋流動也稱為有勢流動(potential flow)，即存在一個勢函數，滿足： (1-32)即    (1-33)8. 層流與湍流流體的流動分為層流流動(laminar flow)和湍流流動(turbulent flow)。從試驗的角度來看，層流流動就是流體層與層之間相互沒有任何干擾，層與層之間既沒有質量的傳遞也沒有動量的傳遞；而湍流流動中層與層之間相互有干擾，而且干擾的力度還會隨著流動而加大，層與層之間既有質量的傳遞又有動量的傳遞。判斷流動是層流還是湍流，是看其雷諾數是否超過臨界雷諾數。雷諾數的定義如下： (1-34)式中：V為截面

19、的平均速度；L為特征長度；為流體的運動粘度。對于圓形管內流動，特征長度L取圓管的直徑d。一般認為臨界雷諾數為2320，即 (1-35)當Re<2320時，管中是層流；當Re>2320時，管中是湍流。對于異型管道內的流動，特征長度取水力直徑dH，則雷諾數的表達式為 (1-36)異型管道水力直徑的定義如下： (1-37)式中：A為過流斷面的面積；S為過流斷面上流體與固體接觸的周長。臨界雷諾數根據形狀的不同而有所差別。根據試驗幾種異型管道的臨界雷諾數如 表1-1所示。表1-1 幾種異型管道的臨界雷諾數管道截面形狀正方形正三角形偏心縫隙207019301000對于平板的外部繞流，特征長度取

20、沿流動方向的長度，其臨界雷諾數為5×1053×106。1.2 CFD基本模型流體流動所遵循的物理定律，是建立流體運動基本方程組的依據。這些定律主要包括質量守恒、動量守恒、動量矩守恒、能量守恒、熱力學第二定律，加上狀態(tài)方程、本構方程。在實際計算時，還要考慮不同的流態(tài)，如層流與湍流。1.2.1 基本控制方程1. 系統(tǒng)與控制體在流體力學中，系統(tǒng)是指某一確定流體質點集合的總體。系統(tǒng)以外的環(huán)境稱為外界。分隔系統(tǒng)與外界的界面，稱為系統(tǒng)的邊界。系統(tǒng)通常是研究的對象，外界則用來區(qū)別于系統(tǒng)。系統(tǒng)將隨系統(tǒng)內質點一起運動，系統(tǒng)內的質點始終包含在系統(tǒng)內，系統(tǒng)邊界的形狀和所圍空間的大小可隨運動而變化

21、。系統(tǒng)與外界無質量交換，但可以有力的相互作用，及能量(熱和功)交換?？刂企w是指在流體所在的空間中，以假想或真實流體邊界包圍，固定不動形狀任意的空間體積。包圍這個空間體積的邊界面，稱為控制面。控制體的形狀與大小不變，并相對于某坐標系固定不動?？刂企w內的流體質點組成并非不變的。控制體既可通過控制面與外界有質量和能量交換，也可與控制體外的環(huán)境有力的相互作用。2. 質量守恒方程(連續(xù)性方程)在流場中，流體通過控制面A1流入控制體，同時也會通過另一部分控制面A2流出控制體，在這期間控制體內部的流體質量也會發(fā)生變化。按照質量守恒定律，流入的質量與流出的質量之差，應該等于控制體內部流體質量的增量，由此可導出

22、流體流動連續(xù)性方程的積分形式為 (1-38)式中：V表示控制體，A表示控制面。等式左邊第一項表示控制體V內部質量的增量；第二項表示通過控制表面流入控制體的凈通量。根據數學中的奧-高公式，在直角坐標系下可將其化為微分形式： (1-39)對于不可壓縮均質流體，密度為常數，則有 (1-40)對于圓柱坐標系，其形式為 (1-41)對于不可壓縮均質流體，密度為常數，則有 (1-42)3. 動量守恒方程(運動方程)動量守恒是流體運動時應遵循的另一個普遍定律，描述為：在一給定的流體系統(tǒng)，其動量的時間變化率等于作用于其上的外力總和，其數學表達式即為動量守恒方程，也稱為運動方程，或N-S方程，其微分形式表達如下

23、： (1-43)式中：、分別是單位質量流體上的質量力在三個方向上的分量；是流體內應力張量的分量。動量守恒方程在實際應用中有許多表達形式，其中比較常見的有如下幾種。(1)可壓縮粘性流體的動量守恒方程 (1-44)(2)常粘性流體的動量守恒方程 (1-45)(3)常密度常粘性流體的動量守恒方程 (1-46)(4)無粘性流體的動量守恒方程(歐拉方程) (1-47)(5)靜力學方程 (1-48)(6)相對運動方程在非慣性參考系中的相對運動方程是研究像大氣、海洋及旋轉系統(tǒng)中流體運動的所必須考慮的。由理論力學得知，絕對速度為相對速度及牽連速度之和，即 (1-49)其中，為運動系中的平動速度，是其轉動角速度

24、，為質點矢徑。而絕對加速度為相對加速度、牽連加速度及科氏加速度之和，即 (1-50)其中，。將絕對加速度代入運動方程，即得到流體的相對運動方程 (1-51)4. 能量守恒方程將熱力學第一定律應用于流體運動，把式(1-51)各項用有關的流體物理量表示出來，即是能量方程。如式(1-52)所示。 (1-52)式中：；是有效熱傳導系數，其中是湍流熱傳導系數，根據所使用的湍流模型來定義；是組分j的擴散流量；包括了化學反應熱以及其他用戶定義的體積熱源項；方程右邊的前3項分別描述了熱傳導、組分擴散和粘性耗散帶來的能量輸運。1.2.2 湍流模型 湍流是自然界廣泛存在的流動現(xiàn)象。大氣、海洋環(huán)境的流動，飛行器和船

25、艦的繞流，葉輪機械、化學反應器、核反應器中的流體運動都是湍流。湍流流動的核心特征是其在物理上近乎于無窮多的尺度和數學上強烈的非線性，這使得人們無論是通過理論分析、實驗研究還是計算機模擬來徹底認識湍流都非常困難?；仡櫽嬎懔黧w力學的發(fā)展，特別是活躍的20世紀80年代，不僅提出和發(fā)展了一大批高精度、高分辨率的計算格式，從主控方程看相當成功地解決了歐拉方程的數值模擬，可以說歐拉方程數值模擬方法的精度已接近于它有效使用范圍的極限；同時還發(fā)展了一大批有效的網格生成技術及相應的軟件，具體實現(xiàn)了工程計算所需要的復雜外形的計算網格；且隨著計算機的發(fā)展，無論從計算時間還是從計算費用考慮，歐拉方程都已能適用于各種實

26、踐所需。在此基礎上，20世紀80年代還進行了求解可壓縮雷諾平均方程及其三維定態(tài)粘流流動的模擬。20世紀90年代又開始一個非定常粘流流場模擬的新局面，這里所說的粘流流場具有高雷諾數、非定常、不穩(wěn)定、劇烈分離流動的特點，顯然需要繼續(xù)探求更高精度的計算方法和更實用可靠的網格生成技術。但更為重要的關鍵性的決策將是，研究湍流機理，建立相應的模式，并進行適當的模擬仍是解決湍流問題的重要途徑。1. 湍流模型分類湍流流動模型很多，但大致可以歸納為以下3類。第一類是湍流輸運系數模型，即將速度脈動的二階關聯(lián)量表示成平均速度梯度與湍流粘性系數的乘積，用笛卡兒張量表示為 (1-53)模型的任務就是給出計算湍流粘性系數

27、的方法。根據建立模型所需要的微分方程的數目，可以分為零方程模型(代數方程模型)、單方程模型和雙方程模型。第二類是拋棄了湍流輸運系數的概念，直接建立湍流應力和其他二階關聯(lián)量的輸運 方程。第三類是大渦模擬。前兩類是以湍流的統(tǒng)計結構為基礎，對所有渦旋進行統(tǒng)計平均。大渦模擬把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流，通過求解三維經過修正的Navier-Stokes方程(納維-斯托克斯方程，簡稱N-S方程)，得到大渦旋的運動特性，而對小渦旋運動還采用上述的模型。實際求解中，選用什么模型要根據具體問題的特點來決定。選擇的一般原則是精度要高，應用簡單，節(jié)省計算時間，同時也具有通用性。Fluent 提供的湍流模型包括：

28、單方程(Spalart-Allmaras)模型、雙方程模型(標準模型、重整化群模型、可實現(xiàn)模型)及雷諾應力模型和大渦模擬，如圖1-1所示。圖1-1 湍流模型詳解2. 平均量輸運方程雷諾平均就是把Navier-Stokes方程中的瞬時變量分解成平均量和脈動量兩部分。對于速度，有 (1-54)式中：和分別是平均速度和脈動速度()。類似地，對于壓力等其他標量，也有 (1-55)式中：表示標量，如壓力、能量、組分濃度等。把上面的表達式代入瞬時的連續(xù)與動量方程，并取平均(去掉平均速度上的橫線)，可以把連續(xù)與動量方程寫成如下的笛卡兒坐標系下的張量形式： (1-56) (1-57)上面兩個方程稱為雷諾平均的

29、Navier-Stokes(RANS)方程。它們和瞬時Navier-Stokes方程有相同的形式，只是速度或其他求解變量變成了時間平均量。額外多出來的項是雷諾應力，表示湍流的影響。對于密度變化的流動過程，如燃燒問題，需要采用法夫雷(Favre)平均才可以求解。法夫雷平均就是除了壓力和密度本身以外，所有變量都用密度加權平均。變量的密度加權平均定義如下： (1-58)式中：符號表示密度加權平均，對應于密度加權平均值的脈動值用表示，有。顯然，這種脈動值的簡單平均值不為零，但它的密度加權平均值等于零，即。為了求解方程(1-57)，必須模擬雷諾應力項以使方程封閉。通常的方法是應用Boussinesq假設

30、，認為雷諾應力與平均速度梯度成正比，表達式如下： (1-59)Boussinesq假設被用于單方程模型和雙方程模型。這種近似方法好處是與求解湍流粘性系數有關的計算時間比較少。例如，在Spalart-Allmaras單方程模型中只多求解一個表示湍流粘性的輸運方程；在雙方程模型中只需多求解湍動能k和耗散率兩個方程，湍流粘性系數用湍動能k和耗散率的函數來描述。Boussinesq假設的不足之處是假設是個各向同性標量，對于一些復雜流動，該條件并不是嚴格成立，所以具有其應用局限性。另外的近似方法是求解雷諾應力各分量的輸運方程。這也需要額外再求解一個標量方程，通常是耗散率方程。這就意味著對于二維湍流流動問

31、題，需要多求解4個輸運方程，而三維湍流問題需要多求解7個方程，需要較多的計算時間，要求更高的計算機內存。在很多情況下基于Boussinesq假設的模型很好用，而且計算量并不是很大。但是，如果湍流場各向異性很明顯，如強旋流動以及應力取得的二次流等流動中，求解RSM模型可以得到更好的結果。3. 常用湍流模型簡介1)單方程(Spalart-Allmaras)模型單方程模型求解變量是，表征出了近壁(粘性影響)區(qū)域以外的湍流運動粘性系數。的輸運方程為 (1-60)式中：是湍流粘性產生項；是由于壁面阻擋與粘性阻尼引起的湍流粘性的減少；和是常數；是分子運動粘性系數。湍流粘性系數，其中，是粘性阻尼函數，定義為

32、，。而湍流粘性產生項模擬為，其中，和是常數，是計算點到壁面的距離；，。在Fluent軟件中，考慮到平均應變率對湍流產生也起到很大作用，其中，=2.0，平均應變率。在渦量超過應變率的計算區(qū)域計算出來的渦旋粘性系數變小。這適合渦流靠近渦旋中心的區(qū)域，那里只有“單純”的旋轉，湍流受到抑止。包含應變張量的影響更能體現(xiàn)旋轉對湍流的影響。忽略了平均應變，估計的渦旋粘性系數產生項偏高。湍流粘性系數減少項為，其中，、是常數，在計算r時用到的受平均應變率的影響。上面的模型常數在Fluent軟件中默認值為，。2)標準模型標準模型需要求解湍動能及其耗散率方程。湍動能輸運方程是通過精確的方程推導得到的，但耗散率方程是

33、通過物理推理，數學上模擬相似原形方程得到的。該模型假設流動為完全湍流，分子粘性的影響可以忽略。因此，標準模型只適合完全湍流的流動過程模擬。標準模型的湍動能k和耗散率方程為如下形式： (1-61) (1-62)式中：表示由于平均速度梯度引起的湍動能產生，表示由于浮力影響引起的湍動能產生；表示可壓縮湍流脈動膨脹對總的耗散率的影響。湍流粘性系數。在Fluent中，作為默認值常數，=1.44， =1.92， = 0.09，湍動能k 與耗散率的湍流普朗特數分別為=1.0，=1.3。3)重整化群模型重整化群模型是對瞬時的Navier-Stokes方程用重整化群的數學方法推導出來的模型。模型中的常數與標準模

34、型不同，而且方程中也出現(xiàn)了新的函數或者項。其湍動能與耗散率方程與標準模型有相似的形式： (1-63) (1-64)式中：表示由于平均速度梯度引起的湍動能產生，表示由于浮力影響引起的湍動能產生；表示可壓縮湍流脈動膨脹對總的耗散率的影響，這些參數與標準模型中相同。和分別是湍動能k 和耗散率的有效湍流普朗特數的倒數。湍流粘性系數計算公式為，其中，。對于前面方程的積分，可以精確到有效雷諾數(渦旋尺度)對湍流輸運的影響，這有助于處理低雷諾數和近壁流動問題的模擬。對于高雷諾數，上面方程可以給出：，。這個結果非常有意思，和標準模型的半經驗推導給出的常數非常近似。在Fluent中，如果是默認設置，用重整化群模

35、型時是針對的高雷諾數流動問題。如果對低雷諾數問題進行數值模擬，必須進行相應的設置。4)可實現(xiàn)模型可實現(xiàn)模型的湍動能及其耗散率輸運方程為 (1-65) (1-66)式中：，。在上述方程中，表示由于平均速度梯度引起的湍動能產生，表示由于浮力影響引起的湍動能產生；表示可壓縮湍流脈動膨脹對總的耗散率的影響；和是常數；和分別是湍動能及其耗散率的湍流普朗特數。在Fluent中，作為默認值常數，=1.44，=1.9，=1.0，=1.2。該模型的湍流粘性系數與標準模型相同。不同的是，粘性系數中的不是常數，而是通過公式計算得到，其中， ，表示在角速度旋轉參考系下的平均旋轉張量率。模型常數，式中，。從這些式子中發(fā)

36、現(xiàn)，是平均應變率與旋度的函數。在平衡邊界層慣性底層，可以得到，與標準模型中采用的常數一樣。該模型適合的流動類型比較廣泛，包括有旋均勻剪切流、自由流(射流和混合層)、腔道流動和邊界層流動。對以上流動過程模擬結果都比標準模型的結果好，特別是可實現(xiàn)模型對圓口射流和平板射流模擬中，能給出較好的射流擴張角。雙方程模型中，無論是標準模型、重整化群模型還是可實現(xiàn)模型，三個模型有類似的形式，即都有k和的輸運方程，它們的區(qū)別在于：計算湍流粘性的方法不同；控制湍流擴散的湍流普朗特數不同；方程中的產生項和Gk關系不同。但都包含了相同的表示由于平均速度梯度引起的湍動能產生，表示由于浮力影響引起的湍動能產生；表示可壓縮

37、湍流脈動膨脹對總的耗散率的影響。湍動能產生項 (1-67) (1-68)式中：是能量的湍流普特朗數，對于可實現(xiàn)模型，默認設置值為0.85；對于重整化群模型，。熱膨脹系數，對于理想氣體，浮力引起的湍動能產生項變?yōu)?(1-69)5)雷諾應力模型雷諾應力模型(RSM)是求解雷諾應力張量的各個分量的輸運方程。具體形式為 (1-70)式中：左邊的第二項是對流項，右邊第一項是湍流擴散項，第二項是分子擴散項，第三項是應力產生項，第四項是浮力產生項，第五項是壓力應變項，第六項是耗散項，第七項系統(tǒng)旋轉產生項。在式(1-69)中，、不需要模擬，而、需要模擬以封閉方程。下面簡單對幾個需要模擬項進行模擬?？梢杂肈el

38、ay和Harlow的梯度擴散模型來模擬，但這個模型會導致數值不穩(wěn)定，在Fluent中是采用標量湍流擴散模型： (1-71)式中：湍流粘性系數用來計算，根據Lien和Leschziner，這和標準模型中選取1.0有所不同。壓力應變項可以分解為三項，即 (1-72)式中：、和分別是慢速項、快速項和壁面反射項，具體表述可以參見文獻2。浮力引起的產生項模擬為 (1-73)耗散張量模擬為 (1-74)式中：，是馬赫數；標量耗散率用標準模型中采用的耗散率輸運方程求解。6)大渦模擬湍流中包含了不同時間與長度尺度的渦旋。最大長度尺度通常為平均流動的特征長度尺度。最小尺度為Komogrov尺度。LES的基本假設

39、是：動量、能量、質量及其他標量主要由大渦輸運；流動的幾何和邊界條件決定了大渦的特性，而流動特性主要在大渦中體現(xiàn)；小尺度渦旋受幾何和邊界條件影響較小，并且各向同性，大渦模擬(LES)過程中，直接求解大渦，小尺度渦旋模擬，從而使得網格要求比DNS低。LES的控制方程是對Navier-Stokes方程在波數空間或者物理空間進行過濾得到的。過濾的過程是去掉比過濾寬度或者給定物理寬度小的渦旋，從而得到大渦旋的控制方程： (1-75) (1-76)式中：為亞網格應力，。很明顯，上述方程與雷諾平均方程很相似，只不過大渦模擬中的變量是過濾過的量，而非時間平均量，并且湍流應力也不同。1.2.3 初始條件和邊界條

40、件計算流體動力學(CFD)分析中，初始條件和邊界條件的正確設置是關鍵的一步?，F(xiàn)有的CFD軟件都提供了現(xiàn)成的各種類型的邊界條件，這里對有關的初始條件和邊界條件作一般討論。1. 初始條件顧名思義，初始條件就是計算初始給定的參數，即時給出各未知量的函數分布，如 (1-77)很明顯，當流體運動定常時，無初始條件問題。2. 邊界條件所謂邊界條件就是流體力學方程組在求解域的邊界上，流體物理量應滿足的條件。例如，流體被固壁所限，流體將不應有穿過固壁的速度分量；在水面這個邊界上，大氣壓強認為是常數(一般在距離不大的范圍內可如此)；在流體與外界無熱傳導的邊界上，流體與邊界之間無溫差，如此等。由于各種具體問題不同

41、，邊界條件提法千差萬別，一般要保持恰當：保持在物理上是正確的；要在數學上不多不少，剛好能用來確定積分微分方程中的積分常數，而不是矛盾的或有隨意性。通常流體邊界分為流固交界面和流流(液液、液氣)交界面，下面分別討論。1)流固分界面邊界條件飛機、船舶在空氣及水中運動時的流固分界面，水在岸邊及底部的流固分界面，均屬這一類。一般而言，流體在固體邊界上的速度依流體有無粘性而定。對于粘性流體，流體將粘附于固體表面(無滑移)，即 (1-78)式中：是流體速度；是固壁面相應點的速度。式(1-78)表明，在流固邊界面上，流體在一點的速度等于固體在該點的速度。對于無粘性流體，流體可沿界面滑移，即有速度的切向分量，

42、但不能離開界面，也就是流體的法向速度分量等于固體的法向速度分量，即 (1-79)另外，也可視所給條件，給出無溫差條件： (1-80)式中：是流體溫度，是固壁面相應點的溫度。2)液液分界面邊界條件密度不同的兩種液體的分界面就屬于這一類。一般而言，對分界面兩側的液體情況經常給出的條件是 (1-81)對應力及傳導熱情況給出的條件是 (1-82) (1-83)3)液氣分界面邊界條件液氣分界面最典型的是水與大氣的分界面，即自由面。由于自由面本身是運動和變形的，而且其形狀常常也是一個需要求解的未知函數，因此就有一個自由面的運動學條件問題。設自由面方程為 (1-84)并假定在自由面上的流體質點始終保持在自由

43、面上，則流體質點在自由面上一點的法向速度，應該等于自由面本身在這一點的法向速度。經過一系列推導(參見文獻2)，得到自由液面運動學條件： (1-85)如果要考慮液氣邊界上的表面張力，則在界面兩側，兩種介質的壓強差與表面張力有如下關系： (1-86)這就是自由面上的動力學條件。當不考慮表面張力時，有 (1-87)式中：為大氣壓強。4)無限遠的條件流體力學中的很多問題，流體域是無限遠的。例如，飛機在空中飛行時，流體是無界的。如果將坐標系取在運動物體上，這時無限遠處的邊界條件為當時， (1-88)其中下標表示無窮遠處的值。1.3 CFD模型的離散有限體積法1.3.1 CFD模型的數值求解方法概述從上面

44、的分析看到，CFD模型(控制方程)是一系列偏微分方程組，要得到解析解比較困難，目前，均采用數值方法得到其滿足實際需要的近似解。數值方法求解CFD模型的基本思想是：把原來在空間與時間坐標中連續(xù)的物理量的場(如速度場、溫度場、濃度場等)，用一系列有限個離散點(稱為節(jié)點，node)上的值的集合來代替，通過一定的原則建立起這些離散點上變量值之間關系的代數方程(稱為離散方程，discretization equation)，求解所建立起來的代數方程以獲得所求解變量的近似解。在過去的幾十年內已經發(fā)展了多種數值解法，其間的主要區(qū)別在于區(qū)域的離散方式、方程的離散方式及代數方程求解的方法這三個環(huán)節(jié)上。在CFD求

45、解計算中用得較多的數值方法有：有限差分法(finite difference method，F(xiàn)DM)、有限體積法(finite volume method，F(xiàn)VM)、有限元法(finite element method，F(xiàn)EM)及有限分析法(finite analytic method，F(xiàn)AM)。下面簡要介紹，后面將著重介紹有限體積法。1. 有限差分法有限差分法是歷史上采用最早的數值方法，對簡單幾何形狀中的流動與換熱問題也是一種最容易實施的數值方法。其基本點是：將求解區(qū)域用與坐標軸平行的一系列網格線的交點所組成的點的集合來代替，在每個節(jié)點上，將控制方程中每一個導數用相應的差分表達式來代替，從而

46、在每個節(jié)點上形成一個代數方程，每個方程中包括了本節(jié)點及其附近一些節(jié)點上的未知值，求解這些代數方程就獲得了所需的數值解。由于各階導數的差分表達式可以從Taylor(泰勒)展開式來導出，這種方法又稱建立離散方程的Taylor展開法。有限差分法軟件一般研究者自己編寫，很少看到商品的有限差分法軟件。2. 有限體積法在有限體積法中將所計算的區(qū)域劃分成一系列控制體積，每個控制體積都有一個節(jié)點作代表，通過將守恒型的控制方程對控制體積作積分來導出離散方程。在導出過程中，需要對界面上的被求函數本身及其一階導數的構成作出假定，這種構成的方式就是有限體積法中的離散格式。用有限體積法導出的離散方程可以保證具有守恒特性

47、，而且離散方程系數的物理意義明確，是目前流動與傳熱問題的數值計算中應用最廣泛的一種方法。Phoenics是最早投入市場的有限體積法軟件，F(xiàn)luent、STAR-CD和CFX都是常用的有限體積法軟件，它們在流動、傳熱傳質、燃燒和輻射等方面應用廣泛。3. 有限元法在有限元法中把計算區(qū)域劃分成一系列單元體(在二維情況下，單元體多為三角形或四邊形)，在每個單元體上取數個點作為節(jié)點，然后通過對控制方程做積分來獲得離散方程。它與有限體積法區(qū)別主要在于如下兩點。(1)要選定一個形狀函數(最簡單的是線性函數)，并通過單元體中節(jié)點上的被求變量之值來表示該形狀函數，在積分之前將該形狀函數代入到控制方程中去。這一形

48、狀函數在建立離散方程及求解后結果的處理上都要應用。(2)控制方程在積分之前要乘上一個權函數，要求在整個計算區(qū)域上控制方程余量(即代入形狀函數后使控制方程等號兩端不相等的差值)的加權平均值等于零，從而得出一組關于節(jié)點上的被求變量的代數方程組。 有限元法的最大優(yōu)點是對不規(guī)則區(qū)域的適應性好。但計算的工作量一般較有限體積法大，而且在求解流動與換熱問題時，對流項的離散處理方法及不可壓流體原始變量法求解方面沒有有限體積法成熟。Ansys、Sysweld和北京飛箭公司的FEPG(finite element programs generator)等有限元軟件比較流行。4. 有限分析法有限分析法是由美籍華裔科

49、學家陳景仁教授在1981年提出的。在這種方法中，也像有限差分法那樣，用一系列網格線將區(qū)域離散，所不同的是每個節(jié)點與相鄰的4個網格(二維)問題組成計算單元，即一個計算單元由一個中心節(jié)點與8個鄰點組成。在計算單元中把控制方程中的非線性項(如Navier-Stokes方程中的對流項)局部線性化(即認為流速已知)，并對該單元上未知函數的變化型線作出假設，把所選定型線表達式中的系數和常數項用單元邊界節(jié)點上未知的變量值來表示，這樣該單元內的被求問題就轉化為第一類邊界條件下的一個定解問題，可以找出其分析解；然后利用這一分析解，得出該單元中點及邊界上8個鄰點上未知值間的代數方程，此即為單元中點的離散方程。有限

50、分析法中的系數不像有限體積法中那樣有明確的物理意義，對不規(guī)則區(qū)域的適應性也較差。1.3.2 有限體積法從上面的簡介看到，有限體積法是一種分塊近似的計算方法，其中比較重要步驟是計算區(qū)域的離散和控制方程的離散。1. 計算區(qū)域的離散化所謂區(qū)域的離散化(domain discretization)實質上就是用一組有限個離散的點來代替原來的連續(xù)空間。一般的實施過程是：把所計算的區(qū)域劃分成許多個互不重疊的子區(qū)域(sub-domain)，確定每個子區(qū)域中的節(jié)點位置及該節(jié)點所代表的控制體積。區(qū)域離散后，得到以下四種幾何要素。l 節(jié)點(node)：需要求解的未知物理量的幾何位置。l 控制體積(control volume)：應用控制方程或守恒定律的最小幾何單位。l 界面(face)：它定義了與各節(jié)點相對應的控制體積的界面位置。l 網格線(grid line)：連接相鄰兩節(jié)點面形成的曲線簇。一般把節(jié)點看成是控制體積的代表。在離散過程中，將一個控制體積上的物理量定義并存儲在該節(jié)點處。圖1-2給出了一維問題的有限體積法計算網格，圖1-3給出了二維問題的有限體積法計算網格。 圖1-2 一維的有限體積法網格 圖1-3 二維的有限體積法網格計算區(qū)域離散的網格有兩類：結構化網格和非結構化網格。節(jié)點排列有序，即當給出了一個節(jié)點的編號后，立即可以得出其相鄰節(jié)點的編號，所有內部節(jié)