二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題

1、二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題自主學(xué)習(xí)Q甚砒自溜1 .已知點A(1,-1),B(5,-3),C(4,-5),則表示ABC勺邊界及其內(nèi)部的約束條件是x2y10答案2xy1304x3y10xy0,2 .(2008天津理，2)設(shè)變量x,y滿足約束條件xy1,則目標函數(shù)z=5x+y的最大值為x2y1,答案53 .若點(1,3)和(-4,-2)在直線2x+y+m=0的兩側(cè)，則m的取值范圍是.4. （ 2008 北京理）x若實數(shù)x, y滿足xx答案-5<m<10y10,y0,貝Uz=3x+2，的最小值是0,答案15. （ 2008 福建理）若實數(shù)x、y滿足八yx 00 ,則義的取值范圍是

2、x答案(1,+8),典例剖析xy50例1畫出不等式組xy0表示的平面區(qū)域，并回答下列問題：x3指出x,y的取值范圍；(2)平面區(qū)域內(nèi)有多少個整點解(1)不等式x-y+5>0表示直線x-y+5=0上及右下方的點的集合.x+y)0表示直線x+y=0上及右上方的點的集合，x03表示直線x=3上及左方的點的集合.xy50所以，不等式組xy0x3表示的平面區(qū)域如圖所示.結(jié)合圖中可行域得x5,3,ye-3,8(2)由圖形及不等式組知x y x 52 x 3,且 x z2當x=3時,-3wy08,有12個整點；當x=2時,-2wy07,有10個整點；當x=1時,-1WyW6,有8個整點；當x=0時，0

3、Wy05,有6個整點;當x=-1時,1Wy04,有4個整點；當x=-2時,20yw3,有2個整點；;平面區(qū)域內(nèi)的整點共有2+4+6+8+10+12=42（個）.x1,例2（2008湖南理，3）已知變量x、y滿足條件xy0,則x+y的最大值是.x2y90,答案6例3（14分）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，計劃每天每種產(chǎn)品的生產(chǎn)量不少于15噸，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1噸，需煤9噸，電力4千瓦時，勞力3個；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1噸，需煤4噸，電力5千瓦時，勞力10個；甲產(chǎn)品每噸的利潤為7萬元，乙產(chǎn)品每噸的利潤為12萬元；但每天用煤不超過300噸，電力不超過200千瓦時，勞力只有300個.問每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸，

4、才能使利潤總額達到最大解設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x噸、y噸，利潤總額為z萬元，1分9x4y3004x5y200則線性約束條件為3x10y300,4分x15y15目標函數(shù)為z=7x+12y,8分作出可行域如圖，10分作出一組平行直線7x+12y=t,當直線經(jīng)過直線4x+5y=200和直線3x+10y=300的交點A（20,24）時,利潤最大.12分即生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為20噸、24噸時，利潤總額最大，Zmax=7X20+12X24=428（萬元）.答每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品20噸、乙產(chǎn)品24噸，才能使利潤總額達到最大.14分知能遷移x0,1. （2008浙江理，17）若a>0,b>0

5、,且當y0,時，恒有ax+by<1,則以a,b為坐標的點P（a,b）所形成的平面區(qū)域的面積等于.答案1xy0,2. （2008全國I理，13）若x,y滿足約束條件xy30,則z=2x-y的最大值為0x3,答案93. 某家具公司制作木質(zhì)的書桌和椅子兩種家具，需要木工和漆工兩道工序，已知木工平均四個小時做一把椅子，八個小時做一張書桌，iK公司每星期木工最多有8000個工作時；漆工平均兩小時漆一把椅子，一個小時漆一張書桌，該公司每星期漆工最多有1300個工作時.又已知制作一把椅子和一張書桌的利潤分別是15元和20元，根據(jù)以上條件，怎樣安排生產(chǎn)能獲得最大利潤解依題意設(shè)每星期生產(chǎn)那么利潤p=15x

6、+20y.其中x, y滿足限制條件x把椅子，y張書桌4x 8y 8 0002x y 1 300.x 0,x Ny 0, y N即點（x,y）的允許區(qū)域為圖中陰影部分，它們的邊界分別為 x=0（即 OA 和 y=0（即 O。.4x+8y=8 000（即 AB） , 2x+y=1 300（即 BC）,164M）對于某一個確定的p=p。滿足p0=15x+20y,且點（x,y）屬于陰影部分的解x,y就是一個能獲得出元利潤的生產(chǎn)方案.對于不同的p,p=15x+20y表示一組斜率為-3的平行線，且p越大，相應(yīng)的直線位置越高；p越小，相應(yīng)4的直線位置越低.按題意，要求p的最大值，需把直線p=15x+20y盡

7、量地往上平移，又考慮到x,y的允許范圍，當直線通過B點時，處在這組平行線的最高位置，此時p取最大值.由4x8y8000，得b（200,900）,2xy1300當x=200,y=900時,p取最大值，即pmax=15X200+20X900=21000,即生產(chǎn)200把椅子、900張書桌可獲得最大利潤21000元.活頁作業(yè)、填空題1 .(2008全國口理，5)設(shè)變量x,y滿足約束條件yx,x2y2,則z=x-3y的最小值為.x2,答案-8xy0,2 .若不等式組2xy2,表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是y0,xya,4答案0<a01或a)433.已知平面區(qū)域D由以A(1,3)、B(

8、5,2)、C(3,1)為頂點的三角形內(nèi)部和邊界組成.若在區(qū)域D上有無窮多個點(x,y)可使目標函數(shù)z=x+my取得最小值，則m=.答案1x2y1904 .(2008山東理)設(shè)二元一次不等式組xy80，所表示的平面區(qū)域為M使函數(shù)y=ax2xy140(a>0,a，1)的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是答案2,9x4y305 .如果實數(shù)x,y滿足3x5y250,目標函數(shù)z=kx+y的最大值為12,x1答案26 .(2007江蘇)在平面直角坐標系xOy中，已知平面區(qū)域A=(x,y)|x+y01,且x)0,y>0,則平面區(qū)域B=(x+y,x-y)|(x,y)GA的面積為答案1x0,7 .(200

9、8安徽理，15)若A為不等式組y0,表示的平面區(qū)域，則當a從-2連續(xù)變化yx2,到1時，動直線x+y=a掃過A中的那部分區(qū)域的面積為.答案-48 .設(shè)集合A=(x,y)|y引x-2,x>0,B=(x,y)|y<-x+b,AnB，.(1) b的取值范圍是;(2)若(x,y)GAnB,且x+2y的最大值為9,貝Ub的值是，一9答案(1)2,+s)(2)92二、解答題2xy209 .已知實數(shù)x、y滿足x2y40,試求z=1的最大值和最小值.x13xy30解由于z=-1=-。),x1x(1)所以z的幾何意義是點(x,y)與點M(-1,-1)連線的斜率，因此上的最值就是點x1(x,y)與點M

10、(-1,-1)連線的斜率的最值，結(jié)合圖可知：直線MB的斜率最大，直線MC的斜率最小，即Zma>=kMB=3,此時x=0,y=2;Zmin=kM=,止匕時x=1,y=0.2x 2y 3 010.已知變量x, y滿足的約束條件為x 3y 3 0 .若目標函數(shù)z=ax+y(其中a>0)僅在點y 1 0(3, 0)處取得最大值，求 a的取值范圍.解 依據(jù)約束條件，畫出可行域.;直線x+2y-3=0的斜率 匕=-1 ,目標函數(shù)2z=ax+y( a>0)對應(yīng)直線的斜率 kz=-a,若符合題意，則須 冗>kz,即-1>-a,得a> 1.2211.兩種大小不同的鋼板可按下表

11、截成A B, C三種規(guī)格成品格類咄鋼板類1A、A規(guī)格第種例版11第二種洞板1某建筑工地需A, B, C三種規(guī)格的成品分別為 15, 18, 27塊，問怎樣截這兩種鋼板，可得所需三種規(guī)格成品，且所用鋼板張數(shù)最小.解 設(shè)需要第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，鋼板總數(shù)為z張，z=x+y2x y 15x2y18約束條件為： x3y27x0,xZy0,yZ作出可行域如圖所示：令z=0,作出基準直線l:y=-x,平行移動直線l發(fā)現(xiàn)在可行域內(nèi)，經(jīng)過直線x+3y=27和直線2x+y=15的交z取最小，由于18 39都不是整數(shù)，而最優(yōu)解(x, y)5 , 5中，x, y必須都是整數(shù)，可行域內(nèi)點A竺_39不5 5是

12、最優(yōu)解;通過在可行域內(nèi)畫網(wǎng)格發(fā)現(xiàn)， 經(jīng)過可行域內(nèi)的整點且與A竺 X 點距離最近的直線是 x+y=12，經(jīng)過的整5 5大值，當x e (1,2)時，f (x)取得極小值(1,2)內(nèi)，由二次函數(shù) f' (x)=x2+ax+2bb 0a 2b 1 0,a b 2 0£ Jf 3+1 3點是B(3,9)和C(4,8),它們都是最優(yōu)解.答要截得所需三種規(guī)格的鋼板，且使所截兩種鋼板的張數(shù)最少的方法有兩種:第一種截法是截第一種鋼板3張，第二種鋼板9張;第二種截法是截第一種鋼板4張，第二種鋼板8張;兩種方法都最少要截兩種鋼板共12張.12.在R上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)=1x'+1aW+Zbx+c,當xG(0,1)時取得極大值，當xG(1,2)時取得極小值，求點32(a,b)對應(yīng)的區(qū)域的面積以及b2的取值范圍.a1解函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=x2+ax+2b,當xG(0,1)時，f(x)取得極則方程x2+ax+2b=0有兩個根，一個根在區(qū)間(0,1)內(nèi)，另一個根在區(qū)間f(0)0的圖象與方程x2+ax+2b