5線性方程組習題解答

1、習 題 五A 組 1填空題（1）當方程的個數(shù)等于未知數(shù)的個數(shù)時，有惟一解的充分必要條件是 解 因為是有惟一解的充要條件故由可得（2）線性方程組有解的充分必要條件是 解 對方程組的增廣矩陣施行初等行變換所以方程組有解的充要條件是，即（3）設階方陣的各行元素之和均為零，且，則線性方程組的通解為 解 令顯然滿足方程組，又因為，所以，即方程組的基礎解系中有一個向量，通解為，k為任意常數(shù)（4）設為階方陣，且的代數(shù)余子式（其中，；），則的通解 解 因為，又，所以，并且有所以是方程組的解，又因為，可知方程組的通解為，其中c為任意常數(shù)（5）設，其中，則非齊次線性方程組的解是 解（6）設方程有無窮多個解，則 解

2、2單項選擇題（1）齊次線性方程組解的情況是 (A) 無解； (B) 僅有零解；(C) 必有非零解； (D) 可能有非零解，也可能沒有非零解答 （C） （2） 設元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩，且為此方程組的三個線性無關的解，則此方程組的基礎解系是 (A) ； (B) ；(C) ； (D) 答（A） （3）要使，都是線性方程組的解，只要為 (A) ； (B) ；(C) ； (D) 答（A） （4）已知是的兩個不同的解，是相應的齊次方程組的基礎解系，為任意常數(shù)，則的通解是 (A) ； (B) ；(C) ； (D) 答（B） （5）設階矩陣的伴隨矩陣 若是非齊次線性方程組的互不相等的解，則對應的齊次

3、線性方程組的基礎解系是 (A) 不存在； (B) 僅含一個非零解向量；(C) 含有兩個線性無關的解向量； (D) 含有三個線性無關的解向量答（B） （6）設有齊次線性方程組和，其中，均為矩陣，現(xiàn)有4個命題： 若的解均是的解，則； 若，則的解均是的解； 若與同解，則； 若，則與同解以上命題正確的是 （A） ，； （B），； （C），； （D），答（B） （7）設是矩陣，是矩陣，則線性方程組 （A）當時僅有零解； （B）當時必有非零解；（C）當時僅有零解； （D）當時必有非零解答（D） （8）設是階矩陣，是維列向量 若秩秩，則線性方程組 （A）必有無窮多解； （B）必有惟一解；（C）僅有零解； （

4、D）必有非零解答（D） 3求下列齊次線性方程組的一個基礎解系(1) 解 對系數(shù)矩陣施行初等行變換，有與原方程組同解的方程組為或寫為，其中為任意常數(shù)所以，基礎解系為(2) 解，與原方程組同解的方程組為或寫為其中，可取任意常數(shù)，故所以，基礎解系為 (3) 解，方程組組只有零解 (4) 解，與原方程組同解的方程組為或寫為故所以基礎解系為4求解下列非齊次線性方程組(1) 解 對增廣矩陣施行初等行變換，所以無解(2) 解，所以原方程組有解與原方程組同解的方程組為故(3) 解，原方程組有解與原方程組同解的方程組為所以原方程組的通解為(4) 解，原方程組有解與原方程組同解的方程組為故通解為5問取何值時，非齊

5、次線性方程組(1)有惟一解；(2)無解；(3)有無窮個解？解 系數(shù)行列式當且時，方程組有惟一解當時，對增廣矩陣施行初等行變換，則，故原方程組有解且有無窮多解當時，對增廣矩陣施行初等行變換,所以方程組無解6非齊次線性方程組當取何值時有解？并求出它的全部解解 對增廣矩陣施行初等行變換，得，當且時，方程組無解當時，有，方程組有解，且與原方程組同解的方程組為故原方程組的解為當時，有與原方程組同解的方程組為故方程組的解為7設問為何值時，此方程組有惟一解、無解或有無窮多解？并在有無窮多解時求出其通解解 系數(shù)行列式當且時，方程組有惟一解當時，有，方程組有無窮多解，此時通解為當時，有，故方程組無解8問為何值時

6、，非齊次線性方程組(1) 有惟一解，求出惟一解；(2) 無解；(3) 有無窮多解，并寫出通解解 方程組的增廣矩陣當時，方程組有惟一解此時所以，當時，有，所以，當且時，方程組無解而當且時，有，方程組有解，且與原方程組同解的方程組為或寫為故原方程組的通解為，其中為任意實數(shù)9設四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，已知是它的三個解向量，且，求該方程組的通解解 ，所以，令，則為基礎解系，故方程組的通解為，其中可取任意常數(shù)10 設都是階方陣，且證明證明 設，則有可見每個都是的解向量因，可知的解空間的維數(shù)是，所以向量組的秩小于等于，從而，于是11已知非齊次線性方程組有3個線性無關的解（1）證明方程組的系數(shù)

7、矩陣的秩；（2）求的值及方程組的通解解 （1） 設是方程組的3個線性無關的解，其中則有，即是對應齊次線性方程組的解，且線性無關（否則，易推出線性相關，矛盾）所以，即又矩陣中有一個2階子式，所以因此（2） 因為又，則 對原方程組的增廣矩陣施行初等行變換，故原方程組與下面的方程組同解選為自由變量，則故所求通解為，為任意常數(shù)12已知三階矩陣的第一行是，不全為零，矩陣（為常數(shù)），且，求線性方程組的通解解 由于，故，又由不全為零，可知當時，于是；當時，于是或 對于，由可得和由于線性無關，故為的一個基礎解系，于是的通解為，其中為任意常數(shù) 對于，分別就和進行討論如果，則的基礎解系由一個向量構成 又因為，所以

8、的通解為，其中為任意常數(shù)如果，則的基礎解系由兩個向量構成 又因為的第行是，且不全為零，所以等價于 不妨設，是的兩個線性無關的解，故的通解為 ，其中為任意常數(shù)13確定常數(shù),使向量組可由向量組，線性表示，但向量組不能由向量組線性表示解 對矩陣作初等行變換，有= ，當時，顯然不能由線性表示，因此；當時，顯然均不能由線性表示，因此而當且時，秩，此時向量組可由向量組線性表示又，由題設向量組不能由向量組線性表示，必有或，即或綜上所述，滿足題設條件的只能是14已知齊次線性方程組（） （）同解，求的值解 方程組（）的未知量個數(shù)大于方程個數(shù)，故方程組（）有無窮多解因為方程組（）與（）同解，所以方程組（）的系數(shù)矩

9、陣的秩小于3對方程組（）的系數(shù)矩陣施以初等行變換，從而此時，方程組（）的系數(shù)矩陣可化為，故是方程組（）的一個基礎解系將代入方程組（）可得 或 當時，對方程組（）的系數(shù)矩陣施以初等行變換，有，顯然此時方程組（）與（）同解當時，對方程組（）的系數(shù)矩陣施以初等行變換，有，顯然此時方程組（）與（）的解不相同綜上所述，當時，方程組（）與（）同解15設有齊次線性方程組試問取何值時，該方程組有非零解，并求出其通解解 對方程組的系數(shù)矩陣作初等行變換，有當時，故方程組有非零解，其同解方程組為由此得基礎解系為 于是方程組的通解為 其中為任意常數(shù)當時，對矩陣作初等行變換，有可知時，故方程組也有非零解，其同解方程組為

10、由此得基礎解系為，于是方程組的通解為，其中為任意常數(shù)16設, , , , 試討論當為何值時, (1) 不能由線性表示；(2) 可由惟一地線性表示, 并求出表示式；(3) 可由線性表示, 但表示式不惟一, 并求出表示式 解 設有數(shù)使得記對矩陣施以初等行變換, 有（1） 當時, 有可知故方程組無解, 不能由線性表示（2） 當, 且時, 有, 方程組有惟一解：, , 此時可由惟一地線性表示, 其表示式為（3） 當時, 對矩陣施以初等行變換, 有，方程組有無窮多解，其全部解為, , ， 其中為任意常數(shù)可由線性表示, 但表示式不惟一，其表示式為17設線性方程組已知是該方程組的一個解，試求（1） 方程組的

11、全部解，并用對應的齊次線性方程組的基礎解系表示全部解；（2） 該方程組滿足的全部解解 將代入方程組，得對方程組的增廣矩陣施以初等行變換, 得，（1）當時，有，故方程組有無窮多解，且為其一個特解，對應的齊次線性方程組的基礎解系為 ，故方程組的全部解為 (為任意常數(shù))當時，有，故方程組有無窮多解，且為其一個特解，對應的齊次線性方程組的基礎解系為 ，故方程組的全部解為(為任意常數(shù))（2） 當時，由于，即，解得，故方程組的解為 當時，由于，即，解得，故方程組的全部解為其中為任意常數(shù)18已知平面上三條不同直線的方程分別為試證這三條直線交于一點的充分必要條件為解 必要性設三條直線交于一點，則線性方程組有惟

12、一解，故系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2，于是由于 =,但根據(jù)題設，故充分性由，則從必要性的證明可知，故秩由于=，故秩于是，秩秩因此方程組有惟一解，即三直線交于一點*19求方程組的最小二乘解解 方程組的系數(shù)矩陣和常數(shù)項矩陣為，記，則方程組的正規(guī)方程為，解之得，因此，方程組的最小二乘解為*20當外加電壓(單位:)分別為5，8，10，12時，測得電源中對應的電流(單位:)分別為4，6，8，9，試根據(jù)公式確定電源內阻與電源的端電勢解 根據(jù)公式，把測得的數(shù)據(jù)代入方程，得該方程組的系數(shù)矩陣和常數(shù)項矩陣為，記，則方程組的正規(guī)方程為，解之得，即。B 組 1 設是階方陣，是階單位矩陣，證明（1）若，則；（2）若，

13、則證明(1) 因為，所以另一方面，兩式綜合即得結論(2) 因為，所以另一方面，兩式綜合即得結論2 設是階方陣，是的伴隨矩陣，證明證明若，則由知，即若，則，于是有因此，但，至少有一個階子式非零，中至少有一元素非零，于是，故若，則的所有階子式均為零，從而，故3設階方陣的秩，證明存在常數(shù)k，使得證明 已知，所以，即的基礎解系有一個線性無關的解向量又因為，故矩陣的列向量組的秩不大于1，則有其中k1，k2，kn，為任意常數(shù)假設，則 其中4已知線性方程組的一個基礎解系為，寫出方程組的通解，并說明理由解 設，又令，因為是的基礎解系，所以，線性無關，且有，即又設，則有，得 ，即令，因為，所以線性無關，且都是的

14、解又因為，可知是的基礎解系5齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為設是中劃去第i列所得到的階子式證明(1)是方程組的一個解；(2)若，則方程組的所有解是的倍數(shù)證明（1）設階方陣，則，按第一行展開，有即，所以，是方程組的解（2）當，則有，故方程組的通解為其中k為任意常數(shù)6 設是非齊次線性方程組的一個解，是對應的齊次方程組的一個基礎解系證明(1) 線性無關；(2) 線性無關證明（1）設有一組數(shù)，使,則有反證法，假設，則有由于是的解，所以也是的解，矛盾，故成立于是有又由于線性無關，所以又得，從而可知線性無關（2）令，得由(1)知，線性無關，容易求得，即線性無關7設非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，是它的個線性無

15、關的解，證明它的任一解可表示為其中證明 令，則是的個解下證它們線性無關設，則有由線性無關知，所以，線性無關，是的一個基礎解系于是，的任一解可表示為令，則，且8已知齊次線性方程組其中 試討論和滿足何種關系時，（1）方程組僅有零解；（2）方程組有非零解 在有非零解時，求此方程組的一個基礎解系解 方程組的系數(shù)行列式=（1）當且時，秩，方程組僅有零解（2）當 時，原方程組的同解方程組為 由可知，不全為零 不妨設，得原方程組的一個基礎解系為，當時，有，原方程組的系數(shù)矩陣可化為（將第1行的-1倍加到其余各行，再從第2行到第行同乘以倍），（將第行倍到第2行的倍加到第1行，再將第1行移到最后一行）由此得原方程

16、組的同解方程組為，原方程組的一個基礎解系為9設有向量組（）：，；（）：， 試問：當為何值時，向量組（）與（）等價？當為何值時，向量組（）與（）不等價？解 作初等行變換，有=（1）當時，有行列式，秩，故線性方程組均有惟一解 所以，可由向量組（）線性表示同樣，行列式，秩，故可由向量組（）線性表示 因此向量組（）與（）等價（2）當時，有由于秩秩，線性方程組無解，故向量不能由線性表示 因此，向量組（）與（）不等價10已知4階方陣均為4維列向量，其中線性無關，如果，求線性方程組的通解解 令，則由得，將代入整理得由線性無關，得解得，其中為任意常數(shù)11設齊次線性方程組其中試討論為何值時，方程組僅有零解、有無

17、窮多組解？在有無窮多組解時，求出全部解，并用基礎解系表示全部解解 系數(shù)行列式（1）當且時，方程組僅有零解（2）當時，對系數(shù)矩陣作行初等變換，有原方程組的同解方程組為其基礎解系為方程組的全部解是（為任意常數(shù)）（3）當時，對系數(shù)矩陣作行初等變換，有原方程組的同解方程組為其基礎解系為方程組的全部解是（為任意常數(shù)）12設四元齊次線性方程組(I)為又已知另一四元齊次線性方程組()的一個基礎解系為（1） 求方程組（I）的一個基礎解系；（2） 當為何值時，方程組（I）與（II）有非零公共解？在有非零公共解時，求出全部非零公共解解（1）對方程組（I）的系數(shù)矩陣作行初等變換，有得方程組（I）的同解方程組由此可得方程組（I）的一個基礎解系為（2）由條件，方程組（II）的全部解為（，為任意常數(shù)） 將此式代入方程組（I）得 要使方程組（I）與（II）有非零公共解，只需有非零解，所以，當時，方程組（I）與（II）有非零公共解當時，方程組有非零解，且，為不全為零的任意常數(shù)此時，由可得方程組（I）與（II）的全部非零公共解為（，為不全為零的任意常數(shù)）13已知為線性方程組的一個基礎解系，若，討論實數(shù)滿足什么關系時，