第二章拉伸、壓縮和剪切.

1、第二章Chapter Two拉伸、壓縮與剪切tension. Compression and Shearing第二章拉伸、壓縮與剪切第一節(jié)概述第二節(jié)軸力和軸力圖第三節(jié)軸向拉伸或壓縮時的應力第四節(jié)強度條件及其應用第五節(jié)軸向拉伸或壓縮時的變開三第六節(jié)材料的力學性能第七節(jié)拉伸.壓縮超靜定問題笫八節(jié)應力集中的概念第九節(jié)剪切和擠壓的實用計芥第一節(jié) 概述(General Introduction)-工程實例吊車上的鋼絲二.桿件（Bar）上述實例均可以簡化為如下的力學模型:拉伸壓縮受力特點：作用在桿上的外力或外力合力的作用線與桿的軸線重合。變形特點：沿桿軸線方向伸長或縮短。具有上述受力和變形特點的桿件稱為拉

2、（壓）桿; 拉（壓）桿的變形稱為軸向拉伸（軸向壓縮）。第二節(jié)軸力和軸力圖一、軸力(Normal Force)桿在軸向拉壓時，橫截面上的內力稱為軸力。 軸力用尺表示，方向與軸線重合。軸力為正，桿件受拉;軸力為負，桿件受壓。軸力的符號規(guī)則：mF、與截面的外法線 方向一致為正；反滬1卜m之為負。卜-L壯 > Fn F求解軸力的方法：截面法。二、軸力圖(Diagram of Normal Force)軸力方程(函數(shù))軸力圖：橫坐標*表示橫截面的位置, 縱坐標 乙表示相應截面上的軸力。作軸力圖的步驟(1) 建立適當?shù)淖鴺讼?2) 寫出軸力方程(3) 計算特殊截面的軸力(4) 按比例作圖例1 AB桿

3、受力如圖所示，已知P、= 20 kN P2 = 10 kN試作AB桿軸力 解：（1）求反力由AB桿的平衡方程Fa = pp2 = io kN（2）計算各段的軸力由平衡方程得：=F=10 kNFnbc=Fa-P.=-10 kN（3）按比例畫軸力圖win例2 BC桿件受力如圖所示。已 知桿件的比重為7 ,橫截 面為A,試作其軸力圖。解：利用截面法在坐標為x處截開，取截面 下側為研究對象，受力如圖Q0+2= 0 FN-Q-Ayx = 0 FN =Q+Ayx 即軸力方程為FN(x) = QAyxx = 0 Fn=Qx = / Fn =C + Ay/按比例作軸力圖Fn©Oe4F5F橫截面上釉力

4、的數(shù)值等于該截面一側所有軸向Fn = 2片側外力的代數(shù)和.1.以下關于軸力的說法中哪一個是錯誤的(A I拉壓桿的內力只有軸力； (B )軸力的作用線與桿軸重合; 軸力是沿桿軸作用的外力;(D )軸力與桿的橫截面和材料無關。2.圖示桿沿其軸線作用著三個集中力, 其中mm截面上的軸力為o(A) N=-5F(B) N=-2F(C) N=7FTN=F第三節(jié) 軸向拉伸或壓縮時的應力橫截面上的應力(Stress on Cross Section)矩形截面桿件拉伸變形在桿件表面畫上縱向線在桿件表面畫上橫向線平面假設:橫截面在軸向拉壓 時仍然保持為平面 不變。兩個橫截面之間的縱 向纖維都受到拉力作 用，產生相

5、同的伸長 變形。由平面假設可知，橫截面上只存在正應力。因為材料均勻連續(xù)，并且縱向纖維的伸長 相同，所以橫截面上的正應力均勻分布。CTdA微面積上的微內力形成一平行力系,其合力為軸力正應力的符號: 拉應力為正； 壓應力為負。圣維南原理:力作用于桿端的方式不同，但只會使與桿端距離不大于桿的橫向尺寸的范圍內受到影響。二、斜截面上的應力 (Stress on Inclined Section)o實驗證明：斜截面上既有正應力，又有切應力,且應力為均勻分布。切F-> ZTQCG C化FF=cosa = crcosa/4/cosa A式中4,為斜截面的面積，曠為橫截面上的應力。正應力:11)么=0&#

6、176; 時.<TnMIX = <72) a=45“時，rinax=<r/2Ta =幾 sin a cos a sin a = crsin la例題1：階梯桿OD ,左端固定，受力如圖,OC段的橫截面面積是CD段橫截面面積A的2倍。求桿內最大軸力，最大正應力，最大切應力與所 在位置。解：1、計算左端支座反力耳 + 3F - 4F - 2F = 0Fr = 3F（j）2、分段計算軸力&嚴耳=3F（拉）厲2+軒-&=0Fn2=-F （壓）盡=2F （拉）3、作軸力圖仏圖Fg=3F （在OB段）43F"114、分段求"喰 如二竺1 2A 2AF

7、2F6 = = A A（在CD段）2FA5、求rmax1-CT2maxmax（在CD段與桿軸成45。的斜面上）圖示階梯桿AD受三個集中力F作用，設AB. BC、CD段的橫截面面積分別為A、2人、3A9則三段桿的橫載面上軸力不等，應力相等；(h )軸力相等.應力不等;(C )軸力和應力都相等；(d )軸力和應力都不等。第四節(jié)強度條件及其應用(Strength Condition and its Application)一、強度條件構件失效時的應力稱為極限應力0,實驗測得。 正常工作時桿件內的應力稱為工作應力七A構件工作時應力的最高限度稱為許用應力a=冬 /I 其中為/2安全因數(shù)，且刃 1強度條件

8、：b=¥ s b 芻豔評引入安全因數(shù)的原因1、作用在構件上的外力常常估計不準確；2構件的外形及所受外力較復雜，計算時需進 行簡化，因此工作應力均有一定程度的近似性;3、材料均勻連續(xù).各向同性假設與實際構件的出 入，且小試樣還不能真實地反映所用材料的性質 等。一般機械制造中，在靜載荷情況下：塑性材料： 脆性材料：n = 1.2-2.5h = 2-3.5/7 = 3 9三類強度計算問題1、強度校核F2、截面設計a、 NmaxTT確定許可載荷例題1：圖示結構，鋼桿1：圓形截面，直徑d=16 mm,許用應力刃=150耐/力；桿厶 方形截面，邊長a=100 mm,b、=4.5MPa，（ 1）當

9、作用在B點的載荷F=2噸時，校核強.' 度；（2）求在B點處所能承受的許用栽荷.解 一般步驟:2、F=2噸時，校核強度1桿：2桿：63F -x2x103x9.8' > 一 = 76.SMPa V cr,F-x2x103x9.8土 = 4= 2.5MPa < cr,4CT因此結構安全3、F未知，求許可載荷F各桿的許可內力為nux < cr| = d? - 150x 10" =30.1534&2H62 =/45xl(r "53兩桿分別達到許可內力時所對應的載荷1桿： g =-仏g =1x30.15 = 40.232桿:max4嚴 2喚=

10、5X45 = 36V確定結構的許可載荷為LF= 3"NB分析討論：因為結構中各桿并不同時達到危險狀態(tài)，所以其許可載荷是由最先達到許可應力的那根桿的強度決定。第五節(jié)軸向拉伸或壓縮時的變形（Deformation of Tensile and Compressive Bar）一.縱向變形縱向的絕對變形A/=/,-I縱向的相對變形（線應變）二、胡克定律 當應力不超過材料的比例極限時，應力與應變成正比。a = EsE：表示材料彈性性質的一個常數(shù)，稱為彈性模量。例如一般鋼材：E=200GPao/=空=旦EA EA以：稱為桿件的抗拉（或抗壓）剛度V-IB2 C3 D4K3F*1 2E (OB段.

11、BC段.j. _ CD段長度均為“7238胡克定律的適用條件：(1) 材料在線彈性范圍內工作，即b <o-/( (o-r 稱為比例極限)；(2) 在計算桿件的伸長4時，/長度內其Fn、E、A 均應為常數(shù)，否則應分段計算或進行積分。例如q 1 11cDA4E3Fl 2F (OB段、BC段.才L*tCI)段長府均知)1丿J應分段計算總變形Z = N嚴N/嘰=弘心丄+心丄冊BCCD£X2EAy3FI(-Fl) 2FI3 Fl=* + + =E(2A) E(2A) EAEA考慮自重的混凝土的變形EA三、橫向變形泊松比橫向的絕對變形橫向的相對變形（橫向應變） ,A/?£ =b實

12、驗證明：或p稱為泊松比，如一般鋼材，嚴025-0. 33.、剛度條件AZ < AZ （許用變形）根據剛度條件，可以進行剛度校核、截面設計2、沿桿件方向繪出變形 注意：變形必須與內力一致拉力T伸長；壓力T縮短3、以垂線代替圓弧,交點即為節(jié)點新位置。4、根據幾何關系求出 水平位移（bb、）和 垂直位移（b”b）。 “ = BB、= A/(=FzJ、Av = B"B二麗 + T=BD + BFf .A/, + A/,cosa/、sma +'tgaA/, Z、Lsina tga例題2：已知AB大梁為剛體，拉桿直徑d=2cm, E=200GPa,a=160MPa.求：許可載荷F,

13、 (2) B點位移。解：（1）由CD桿的許可內力好J=許町載荷門由強度條件：FJ=cr-A= -0.022xl60xl06 4=50.24S由平衡條件：工M.,=0FAB = F、 ADsinaAB（2）B點位移尸=血K使叱=50.24xlx0.75/j0.75' + l =?（燦丫代1匕EA=10 %DDf = DRsin a=1.67 x 10 /A? SADD'XABB'DU ADAB麗Q 如（鴛） = 4.g。例題3：示為一懸掛的等截面混凝土直桿，求在自重作用下桿的內力、應力與變形。已知桿長I、A、 比重Y ( N !my)' E解：(1)內力由平衡條件

14、：noFv(x)-Lv = O:.FNx) = yAx-yAl化+以（3）變形取微段（/） =F'x）dxEA截面nrm處的位移為:桿的總伸長，即相當于自由端處的位移:尤2E五.軸向拉伸或壓縮的應變能彈性體在外力作用下，因彈性變形而儲存于彈性體內的 能量稱為彈性應變能，簡稱為應變能，以匕表示。略去其他能量損失, 由功能原理和胡克定律, 載荷與變形呈線性關系, 則得Vv=W（外力功）=丄 FAL2_ F2L_ 2EA應變能密度單位體積內的應變能，以叫表示。對于等直桿來講，各截面上的軸力相等，則 各處的變形是均勻的，故各處的單位體積儲存的 應變能也相等，由此可得單位體積的應變能VG2rAL

15、1 F AL1= =/TT*VAL2 A L2由虎克定律1=1 (kl 或 25d1=1 (kl 或 25d第六節(jié)材料的力學性能(Mechanical Property of Materials) 材料的力學性能就是材料在外力作用下，所 表現(xiàn)出來的變瞬7破切等方面的特性。對試樣的形狀、加工精度、加載速度和實驗 環(huán)境等，國家都有統(tǒng)一標準，試驗必須按照國家標準進行。實驗條件: 常溫.靜載1=1 (kl 或 25d液壓萬能試驗機試驗機的上下夾頭可以更換試驗原理:交形傳也器下夾頭明顯的四個階段1、彈性階段ob6 一比例極限6一彈性極限a = Es= = tan ar、低炭鋼拉伸時的力學性能低炭鋼含炭量

16、在025%以下的碳素鋼。半=£-Hff-ohF-aZ上1!/ nL(T - £備戊“ F T|低炭鋼拉伸時的應力應變圖2、屈服階段be （失去抵 抗變形的能力）6 一屈服極限3、強化階段ce （恢復抵抗 變形的能力）務一強度極限4、局部變形階段efX 1 (X)%兩個塑性指標:斷后伸長率斷面收縮率人一 AxlOO%5%為塑性材料為脆性材料低碳鋼的（2030% y/60%為塑性材料二、卸載定律及冷作硬化1、彈性范圍內卸載、再加載2、過彈性范圍卸載、再加載材料在卸載過程中應 力和應變是線形關系， 這就是卸載定律。材料的比例極限增高， 延伸率降低，稱之為冷作 硬化或加工硬化。三、

17、其它材料拉伸時的力學性質對于沒有明 顯屈服階段的塑 性材料，用名義 屈服極限。0 2來屈服極限.強度極限（yf）A3鋼：235 MPa372-392 MPa35鋼：31452945鋼:35359816Mn：343510對于脆性材料（鑄鐵），拉伸時的應力應變曲線為微彎的曲線，沒有屈服和縮徑現(xiàn)象，試件突然拉斷。斷后伸長率約為05%。為典型的脆性材料。<7吐一拉伸強度極限（約為140MPa） o它是 衡量脆性材料（鑄鐵）拉伸的唯一強度指標。四.低炭鋼壓縮時的力學性能0 比例極限P0 彈性極限0,屈服極限E彈性模量拉伸與壓縮在屈服 階段以前完全相同。五、鑄鐵壓縮時的力學性能脆性材料的抗拉與抗壓

18、性質不完全相同壓縮時的強度極限遠大于拉伸時的強度極限強度指標(失效應力)O塑性材料6 = 6塑性材料和脆性材料的比較(1) 區(qū)別兩種材料的標準5<5%為脆性材舉 5>5%為塑性材彈(2) 極限應力不同，塑性材料以屈服極限為極 限應力，脆性材料以強度極限為極限應力。(3) 抗拉壓特性不同(4) 抗沖擊特性不同，塑性材料比脆性材料較好。(5) 對應力集中的敏感度不同，脆性材料比塑性材 料敏感。以上均為常態(tài)下的比較第七節(jié)拉伸.壓縮超靜定問題(The statically indeterminate problems oftensile and compressive bars)W02人

19、coscr用切線代替圓弧法可求節(jié)點A的位移交形(he deformation)A/j = A/2 =Pl2ElAl cos* 2 acos a一、超靜定問題的概念年衡方(the equilibrium equation)工 X =0 Fn , sin a - FVi sin cr = 0D = 0 2心cosa +仏3-P = 0FniAxF = F< +F、耳混凝土受力Fs鋼筋受力未知力數(shù)目多于平衡方程的數(shù)目，利用靜力平衡方 程不能確定所有未知力的問題，稱為超靜定問題.未知力數(shù)目與平衡方程的數(shù)目之差，稱為超靜定次 數(shù)二、超靜定問題的解法關鍵：列若干個補充方程，使平衡方程的數(shù)目+補充方程

20、的數(shù)目二未知力數(shù)目 建立補充方程的根據，各桿變形后應互相協(xié)調, 即滿足變形協(xié)調關系。以上題三桿桁架超靜定結構為例DB；年樁方 ( the equilibrium equation )工X =0 A2sina-FVIsina = ()D = 0 2FV|cosa + Fvl-P = 0麥於方flL(the deformation e(|uation) A/Cosa = A/|(2)Hb 理方fl(the physics equation)A/產如上 A/, = Fn1(3)CdER cosa代(3)入愛形方程(2)得：M加(4)E|A cosa二 cosa =醍JL*解Pcos2 a2cosxc

21、t + -比較靜定和超靜定結構的求解過程:X = 0 A*V2sina AV| sina = 0i 工2FVlcosa-P = 0支形方程襯眾£*解 物理方程J2 cos aPeosr a已知：彳剛梁.桿1粗桿2的幻相等。求：桿1科桿2的軸力。解：1平衡方程工憶=0, a尺i+2a“22變形方程- = 2AI,cos a3物理方程A =_ P4 cos3 a +16Pcos2 a4 cos'a + 1忑AEAcosa已知如圖,AB為剛性桿,求拉、壓桿DE、CF的內力.只寫出變形協(xié)調關系CC = -7a2+/2CC而DD'=九三、裝配應力(Prestrain stres

22、s)靜定結構中不會出現(xiàn)裝配應力；裝&應力-在超靜定結構中，由于制造、裝配不準確, 在結構裝配好后不受外力作用即已存在應力。下圖，3號桿的尺寸誤差為5,求各桿的裝配內力。（3）物理方程解：（1）平衡方程工 X = £ sin a 一 F“ sin ct = 0 = FV|cosa + Fv>cosa-FV3 =0 *3 -（2）變形方程（5 - A£）cosa = AL）（£2）cosa 二也EdERFgS al =(4)聯(lián)立求解_ F _E/iCos'q_ ；V2 77 1 + 2cos3 A/E3A3F”產*2E/| cos' al

23、 + 2cos3cr E/ / E3A3溫度應力(Thermal stress)溫度應力在超靜定結構中，由于溫度變化引起的變形受到約桑的限制，因此在桿內將產生內力和應力，稱為溫度應力。/A1 B1物理方程A/z = aATI A/2變形方程A/ = Alr厘= aXTl EA3平衡方程"0 Fa 二 FbFZMEA "ZE碳鋼 cr = 12.5 x 1 OC"', E = 2O()GPa crT = 2.5AT MPa例題：圖示結構，桿1、桿2面積為A,桿3而積為2A,材料相 同（即卜：相同），在P力作用時，此時梁巳與3桿接融，即間隙 d已消除.桿1,桿2溫升AT,桿3不變.試求桿1,桿2的內力.解：1平