線性代數(shù) 第三章向量組(40學(xué)時(shí))

1、 第三章第三章 向量組向量組3.13.1向量組及其線性表示向量組及其線性表示一一. .向量向量12,naaa 12(,).Tma aa 2 2、向量的線性運(yùn)算、向量的線性運(yùn)算（1 1）加減法；）加減法； （2 2）數(shù)乘）數(shù)乘 （參考矩陣的加減法和矩陣的數(shù)乘）（參考矩陣的加減法和矩陣的數(shù)乘） 123123234,345456 是是3 3個(gè)四維的列向量組個(gè)四維的列向量組. . 1234(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(4,5,6)TTTT 是是4個(gè)三維的行向量組。個(gè)三維的行向量組。 4 4向量組和矩陣的關(guān)系向量組和矩陣的關(guān)系123123234,345456 123, 1232343

2、45456 1234TTTT 對于列向量組對于列向量組對于行向量組對于行向量組1234(1,2,3)(2,3,4)(3,4,5)(4,5,6)TTTT 123234345456 二、向量組的線性表示二、向量組的線性表示（以列向量為對象）（以列向量為對象）=+=+121212101011110101 例例1 1：，；有有：，所所以以 可可由由，表表示示。=12111221221212102011001210101,1000.kkkkkkkk 例例2 2：，；解解：設(shè)設(shè)顯顯然然，不不存存在在 ，使使上上式式成成立立，故故 不不能能由由，表表示示三三. . 向量組的等價(jià)向量組的等價(jià)=+-=0+121

3、231123121232123101200111100 例例如如：，； ，有有；故故向向量量組組，可可由由，表表示示；=+=2+=0+1121121231231212123. 又又；故故向向量量組組 ，可可由由，表表示示；從從而而向向量量組組，與與 ，等等價(jià)價(jià)【注注】向量組能向量組表示的矩陣表示向量組能向量組表示的矩陣表示BA3110100101 ,0010rr 例例行行等等價(jià)價(jià)但但列列不不等等價(jià)價(jià)3.23.2向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性一、定義一、定義123(1,0,0) ,(0,1,0) ,(0,0,1) .TTTeee 1231,2,3,2,4,6,3,0,5;TTT 1231,

4、2,3,2,3,4,3,5,7;TTT 相關(guān)相關(guān)相關(guān)相關(guān)相關(guān)相關(guān)無關(guān)無關(guān)1230010 123200 123110 112233123123(,)0,0,0=0TTkkkk k kkkk僅僅有有1 答答案案：齊次線性方程組的向量表示齊次線性方程組的向量表示nnmmmnnaaaxaaaxaaax11121121222212000 1212,0nnxxx nnxxx11220 定理：列向量組線性相關(guān)定理：列向量組線性相關(guān)等價(jià)于等價(jià)于齊次方程組有非零解齊次方程組有非零解. . 列向量組線性無關(guān)列向量組線性無關(guān)等價(jià)于等價(jià)于齊次方程組僅有零解齊次方程組僅有零解. .12121122,0,0nnnnx x

5、xxxx 相相關(guān)關(guān)，即即不不全全為為等等價(jià)價(jià)于于方方程程組組有有非非零零解解. .二二. .線性相關(guān)的判定定理線性相關(guān)的判定定理齊次方程組 Ax=0 有非零解定理 向量組 線性相關(guān)m,21矩陣的秩mrm),(21有多余向量有多余向量三三. .其他結(jié)論其他結(jié)論1231122331000 ,1 ,00001xxx 僅僅有有零零解解123112233100010,0001xxxabc 僅僅有有零零解解 121211221122121212,00,.rnnnnnnnnnABxxxxxxxxx 消消元元；兩兩個(gè)個(gè)齊齊次次方方程程組組同同解解，故故兩兩邊邊 相相等等，故故與與相相關(guān)關(guān)性性相相同同12112

6、212=,00,.nnnnAxxx 齊齊次次方方程程組組僅僅有有零零解解故故線線性性無無關(guān)關(guān)【例例3】討論向量組的線性相關(guān)性。討論向量組的線性相關(guān)性。1231322 ,2 ,0354 相關(guān)相關(guān)無關(guān)無關(guān)【例例5】已知向量已知向量123, 線性無關(guān)，線性無關(guān)，112223313,證明：向量證明：向量線性無關(guān)。線性無關(guān)。123123101(,)(,) 110011 因因10111020,011證：證：123, 故故線性無關(guān)。線性無關(guān)。能能不能不能相關(guān)相關(guān)相關(guān)相關(guān)無關(guān)無關(guān)3.33.3向量組的秩與極大線性無關(guān)組向量組的秩與極大線性無關(guān)組定義定義1:1:簡稱簡稱最大無關(guān)組最大無關(guān)組, r 稱為向量組稱為向

7、量組 A的秩，記作的秩，記作rA （ii）A的任意向量都可由的任意向量都可由A0線性表示線性表示.012:,rA 線性無關(guān)線性無關(guān),（i）那么稱部分組那么稱部分組 為向量組為向量組 A的一個(gè)的一個(gè)最大線性無關(guān)組最大線性無關(guān)組，0A設(shè)設(shè) A為一個(gè)向量組，為一個(gè)向量組，A的部分組的部分組 滿足：滿足：012:,rA 向量組向量組 12:,mA 12(,)mr 的秩也記作的秩也記作一、定義和性質(zhì)一、定義和性質(zhì)【注注】（1 1）一個(gè)線性無關(guān)向量組的最大無關(guān)組就是其本身。）一個(gè)線性無關(guān)向量組的最大無關(guān)組就是其本身。（3）向量組）向量組 A能由能由A0線性表示。線性表示。（2 2）向量組的）向量組的最大無

8、關(guān)組最大無關(guān)組一般一般不是唯一的不是唯一的。（4 4）任意一個(gè)最大線性無關(guān)組都與向量組本身等價(jià)。）任意一個(gè)最大線性無關(guān)組都與向量組本身等價(jià)。例如：在向量組例如：在向量組 中，中， 1231010 ,1 ,1000 12, 首先首先線性無關(guān)，又線性無關(guān)，又123, 線性相關(guān)，線性相關(guān)，所以所以12, 是一個(gè)極大無關(guān)組。是一個(gè)極大無關(guān)組。還可以驗(yàn)證還可以驗(yàn)證23, 也是一個(gè)極大無關(guān)組。也是一個(gè)極大無關(guān)組。例如：矩陣?yán)纾壕仃嘇的列向量組是的列向量組是123411310214,00050000 可以驗(yàn)證可以驗(yàn)證124, 是一個(gè)最大無關(guān)組是一個(gè)最大無關(guān)組,所以矩陣所以矩陣A的列秩是的列秩是3?！径ɡ矶?/p>

9、理】矩陣的秩矩陣的秩 = 矩陣的行向量組的秩矩陣的行向量組的秩, = 矩陣的列向量組的秩矩陣的列向量組的秩. 123123312312124102011011000000,22 及方程組同解性，1232 1232 【例例2 2】求矩陣求矩陣000011012025025118003341036072A 的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，并把其余的的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，并把其余的向量用這個(gè)最大無關(guān)組線性表示。向量用這個(gè)最大無關(guān)組線性表示。012025001132000055000000000000 解解: :123456(,)A 235, 是一個(gè)最大無關(guān)組是一個(gè)最大無關(guān)組.010201001101000011000000000000 10 42326235 10104011030001300000 3.5 3.5 標(biāo)準(zhǔn)正交向量組標(biāo)準(zhǔn)正交向量組（2 2） 內(nèi)積的性質(zhì)內(nèi)積的性質(zhì)(1) , , ;x yy x (2) , , ;x yx y (3) , , , ;xy