投資組合管理第二次作業(yè)計(jì)算有效邊界及CML

1、第二次作業(yè) 龔曉飛目錄：一、 數(shù)據(jù)說明二、 計(jì)算有效邊界三、 計(jì)算最小方差點(diǎn)四、 計(jì)算市場組合五、 計(jì)算資本市場線六、 計(jì)算結(jié)果一、數(shù)據(jù)說明這里選取了中國股票市場的四支股票，計(jì)算出了其從2004-2012年的年平均收益率及協(xié)方差矩陣。結(jié)果如下：編號協(xié)方差矩陣預(yù)期收益10.10240.03280.0655-0.00670.08 20.03280.0676-0.00580.01840.12 30.0655-0.00580.20250.08230.06 4-0.00670.01840.08230.12960.18 假定無風(fēng)險(xiǎn)利率是0.04。二、計(jì)算有效邊界假定w 為資產(chǎn)組合的權(quán)重向量， 為協(xié)方差矩陣

2、，ER 是股票預(yù)期收益向量（歷史數(shù)據(jù)的平均值），ERp 為資產(chǎn)組合的收益，p 為資產(chǎn)組合的標(biāo)準(zhǔn)差，e 為各個(gè)分量都為1且與 維數(shù)相同的列向量，rf 為無風(fēng)險(xiǎn)利率。對于無賣空限制的市場：minw 12ww s.t. w'ER=ERp , i=1Nwi =1. (1)對于有賣空限制的市場：minw 12ww s.t. w'ER=ERp , i=1Nwi =1 , w0. (2)對于第一個(gè)優(yōu)化問題，可以使用Lagrange乘子法直接算出解的顯式表達(dá)，有效前沿的表達(dá)式為：p=e'-1ee'-1e*ER'-1ER-e'-1ER2ERp-e'-1ER

3、e'-1e2+1e'-1e .利用上面的表達(dá)式可以直接用matlab或excel畫出有效前沿。另外對第一個(gè)優(yōu)化問題，可以用更加簡單的方法來畫有效前沿。可以證明，給定ERp 后，可以得到與之對應(yīng)的最小方差p(ERp)，只要賦給ERp 兩個(gè)不同的值，同時(shí)得到兩個(gè)相應(yīng)的最小方差組合，這兩個(gè)資產(chǎn)組合的凸組合可以形成整個(gè)有效前沿。也就是說，假定w1 及w2 是兩個(gè)不同的前沿組合，那么，任何其它的前沿組合都可以用aw1+(1-a)w2 來表達(dá)。對于第二個(gè)優(yōu)化問題，無法直接求得顯式解，只能使用matlab或excel的二次規(guī)劃函數(shù)（quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub

4、,x0)）來求解出不同的ERp 所對應(yīng)的最小方差，然后用這兩組數(shù)據(jù)來畫出有效前沿。三、計(jì)算最小方差點(diǎn)以下所用記號的含義與前面相同，計(jì)算最小方差點(diǎn)仍然要分下面兩種情況。對于無賣空限制的市場：minw 12ww s.t. i=1Nwi =1 . (1)對于有賣空限制的市場：minw 12ww s.t. i=1Nwi =1 , w0 . (2)對于第一個(gè)優(yōu)化問題，與前面一樣可以使用Lagrange乘子法直接算出解的顯式表達(dá)，最小方差點(diǎn)的收益與標(biāo)準(zhǔn)差的表達(dá)式為：ERp=e'-1ERe'-1ep=1e'-1e上面結(jié)果也可以直接從下面表達(dá)式得到：p=e'-1ee'-

5、1e*ER'-1ER-e'-1ER2ERp-e'-1ERe'-1e2+1e'-1e .當(dāng)然上述最小方差點(diǎn)也可以用matlab或excel的二次規(guī)劃程序來直接求解，在matlab中所用的函數(shù)為quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)。四、計(jì)算市場組合以下所用記號的含義與前面相同，分下面兩種情況計(jì)算市場組合。市場組合的涵義是所有可行的資產(chǎn)組合中夏普率（Sharpe Ratio）最大的資產(chǎn)組合。夏普率的定義為 w'ER-rfw'w 。于是求市場組合可以歸結(jié)為解決以下兩個(gè)優(yōu)化問題。于無賣空限制的市場：maxw w

6、9;ER-rfw'w s.t. i=1Nwi =1 . (1)對于有賣空限制的市場：maxw w'ER-rfw'w s.t. i=1Nwi =1 , w0 . (2)上述優(yōu)化問題都可以用matlab或excel的非線性規(guī)劃函數(shù)（fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon) ）來直接求解。對于無賣空限制的情況，市場組合還有另一種特殊的求法。市場組合本身在資本市場線上，因此它也是考慮無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)達(dá)到最小方差的一種資產(chǎn)組合?？紤]無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)的優(yōu)化問題為：minw 12ww s.t. w'ER+1-w'erf=ERp . 上式中w 是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的權(quán)重向量，1-w'e 是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的權(quán)重。這個(gè)優(yōu)化問題的解可以顯式表達(dá)出來：w=(ERp-rf)-1(ER-rfe)(ER-rfe)'-1(ER-rfe)上面w 各分量的和不是1，需要將其單位化，即：wt=1wew=-1(ER-rfe)(ER-rfe)'-1ewt 就是市場組合，它也稱之為切線組合。五、計(jì)算資本市場線資本市場線就是市場組合點(diǎn)與(0,rf)的連線，它也是過(0,rf)點(diǎn)的有效邊界的切線。上面已經(jīng)求得市場組合，求得這個(gè)組合的標(biāo)準(zhǔn)差以及收益(wt'wt,wt'ER)。