中考數(shù)學動點問題專題講解

1、中考動點專題所謂“動點型問題”是指題設圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關鍵是動中求靜,靈活運用有關數(shù)學知識解決問題.關鍵:動中求靜.數(shù)學思想：分類思想 函數(shù)思想 方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想注重對幾何圖形運動變化能力的考查從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對稱、動點的運動”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學生經(jīng)歷探索的過程，以能力立意，考查學生的自主探究能力，促進培養(yǎng)學生解決問題的能力圖形在動點的運動過程中觀察圖形的變化情況，需要

2、理解圖形在不同位置的情況，才能做好計算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學“動點”探究題的基本思路,這也是動態(tài)幾何數(shù)學問題中最核心的數(shù)學本質(zhì)。二期課改后數(shù)學卷中的數(shù)學壓軸性題正逐步轉(zhuǎn)向數(shù)形結(jié)合、動態(tài)幾何、動手操作、實驗探究等方向發(fā)展這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新，目的是考察學生的分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應用意識、推理能力等從數(shù)學思想的層面上講：（1）運動觀點；（2）方程思想；（3）數(shù)形結(jié)合思想；（4）分類思想；（5）轉(zhuǎn)化思想等研究歷年來各區(qū)的壓軸性試題，就能找到今年中考數(shù)學試題的熱點的形成和命題的動向，它有利于我們教師在教學中研究對策，把握方向只的這樣，才能更好的培養(yǎng)

3、學生解題素養(yǎng)，在素質(zhì)教育的背景下更明確地體現(xiàn)課程標準的導向本文擬就壓軸題的題型背景和區(qū)分度測量點的存在性和區(qū)分度小題處理手法提出自己的觀點專題一：建立動點問題的函數(shù)解析式函數(shù)揭示了運動變化過程中量與量之間的變化規(guī)律,是初中數(shù)學的重要內(nèi)容.動點問題反映的是一種函數(shù)思想,由于某一個點或某圖形的有條件地運動變化,引起未知量與已知量間的一種變化關系,這種變化關系就是動點問題中的函數(shù)關系.那么,我們怎樣建立這種函數(shù)解析式呢?下面結(jié)合中考試題舉例分析.一、應用勾股定理建立函數(shù)解析式例1(2000年·上海)如圖1,在半徑為6,圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上,有一個動點P,PHOA,

4、垂足為H,OPH的重心為G.(1)當點P在弧AB上運動時,線段GO、GP、GH中,有無長度保持不變的線段?如果有,請指出這樣的線段,并求出相應的長度.(2)設PH,GP,求關于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域(即自變量的取值范圍).HMNGPOAB圖1(3)如果PGH是等腰三角形,試求出線段PH的長.解:(1)當點P在弧AB上運動時,OP保持不變,于是線段GO、GP、GH中,有長度保持不變的線段，這條線段是GH=NH=OP=2.(2)在RtPOH中, , .在RtMPH中,.=GP=MP= (0<<6).(3)PGH是等腰三角形有三種可能情況:GP=PH時,解得. 經(jīng)檢驗, 是原方

5、程的根,且符合題意.GP=GH時, ,解得. 經(jīng)檢驗, 是原方程的根,但不符合題意.PH=GH時,.綜上所述,如果PGH是等腰三角形,那么線段PH的長為或2.二、應用比例式建立函數(shù)解析式 例2（2006年·山東）如圖2,在ABC中,AB=AC=1,點D,E在直線BC上運動.設BD=CE=. (1)如果BAC=30°,DAE=105°,試確定與之間的函數(shù)解析式； AEDCB圖2 (2)如果BAC的度數(shù)為,DAE的度數(shù)為,當,滿足怎樣的關系式時,(1)中與之間的函數(shù)解析式還成立?試說明理由.解:(1)在ABC中,AB=AC,BAC=30°, ABC=ACB=

6、75°, ABD=ACE=105°.BAC=30°,DAE=105°, DAB+CAE=75°, 又DAB+ADB=ABC=75°, CAE=ADB, ADBEAC, , , .OFPDEACB3(1)(2)由于DAB+CAE=,又DAB+ADB=ABC=,且函數(shù)關系式成立,=, 整理得.當時,函數(shù)解析式成立.例3(2005年·上海)如圖3(1),在ABC中,ABC=90°,AB=4,BC=3. 點O是邊AC上的一個動點,以點O為圓心作半圓,與邊AB相切于點D,交線段OC于點E.作EPED,交射線AB于點P,交射線

7、CB于點F.PDEACB3(2)OF(1)求證: ADEAEP.(2)設OA=,AP=,求關于的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域. (3)當BF=1時,求線段AP的長.解:(1)連結(jié)OD.根據(jù)題意,得ODAB,ODA=90°,ODA=DEP.又由OD=OE,得ODE=OED.ADE=AEP, ADEAEP.(2)ABC=90°,AB=4,BC=3, AC=5. ABC=ADO=90°, ODBC, ,OD=,AD=. AE=. ADEAEP, , . ().(3)當BF=1時， 若EP交線段CB的延長線于點F,如圖3(1)，則CF=4.ADE=AEP, PDE=PEC

8、. FBP=DEP=90°, FPB=DPE,F=PDE, F=FEC, CF=CE. 5-=4,得.可求得,即AP=2.若EP交線段CB于點F,如圖3(2), 則CF=2.類似,可得CF=CE.5-=2,得.可求得,即AP=6.綜上所述, 當BF=1時,線段AP的長為2或6.三、應用求圖形面積的方法建立函數(shù)關系式ABCO圖8H例4（2004年·上海）如圖,在ABC中,BAC=90°,AB=AC=,A的半徑為1.若點O在BC邊上運動(與點B、C不重合),設BO=,AOC的面積為.(1)求關于的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域.(2)以點O為圓心,BO長為半徑作圓O,

9、求當O與A相切時,AOC的面積.解:(1)過點A作AHBC,垂足為H.BAC=90°,AB=AC=, BC=4,AH=BC=2. OC=4-., ().(2)當O與A外切時,在RtAOH中,OA=,OH=, . 解得.此時,AOC的面積=.當O與A內(nèi)切時,在RtAOH中,OA=,OH=, . 解得.此時,AOC的面積=.綜上所述,當O與A相切時,AOC的面積為或.專題二：動態(tài)幾何型壓軸題動態(tài)幾何特點-問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關系；分析過程中，特別要關注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。）動點問題一直是中考熱點，近幾年考查探究

10、運動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。下面就此問題的常見題型作簡單介紹，解題方法、關鍵給以點撥。一、以動態(tài)幾何為主線的壓軸題 （一）點動問題1（09年徐匯區(qū)）如圖，中，點在邊上，且，以點為頂點作，分別交邊于點，交射線于點（1）當時，求的長； （2）當以點為圓心長為半徑的和以點為圓心長為半徑的相切時，求的長； （3）當以邊為直徑的與線段相切時，求的長 本題改編自新教材九上相似形24.5(4)例六,典型的一線三角(三等角)問題,試題在原題的基礎上改編出第一小題,當E點在AB邊上運動時，滲透入圓與圓的位置關系(相切問題)的存在性的

11、研究形成了第二小題,加入直線與圓的位置關系(相切問題)的存在性的研究形成了第三小題區(qū)分度測量點在直線與圓的位置關系和圓與圓的位置關系,從而利用方程思想來求解區(qū)分度性小題處理手法1直線與圓的相切的存在性的處理方法：利用d=r建立方程2圓與圓的位置關系的存在性(相切問題)的處理方法：利用d=R±r()建立方程3解題的關鍵是用含的代數(shù)式表示出相關的線段. 略解解：（1） 證明 ，代入數(shù)據(jù)得，AF=2（2）設BE=,則利用（1）的方法， 相切時分外切和內(nèi)切兩種情況考慮： 外切，；內(nèi)切，當和相切時，的長為或（3）當以邊為直徑的與線段相切時，類題 一個動點：09楊浦25題（四月、五月）、09靜安

12、25題、 兩個動點：09閘北25題、09松江25題、09盧灣25題、09青浦25題（二）線動問題在矩形ABCD中，AB3，點O在對角線AC上，直線l過點O，且與AC垂直交AD于點E.(1)若直線l過點B，把ABE沿直線l翻折，點A與矩形ABCD的對稱中心A重合，求BC的長；ABCDEOlA(2)若直線l與AB相交于點F，且AOAC，設AD的長為，五邊形BCDEF的面積為S.求S關于的函數(shù)關系式，并指出的取值范圍；探索：是否存在這樣的，以A為圓心，以長為半徑的圓與直線l相切，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由題型背景和區(qū)分度測量點ABCDEOlF本題以矩形為背景,結(jié)合軸對稱、相似、三角等相

13、關知識編制得到第一小題考核了學生軸對稱、矩形、勾股定理三小塊知識內(nèi)容；當直線沿AB邊向上平移時，探求面積函數(shù)解析式為區(qū)分測量點一、加入直線與圓的位置關系(相切問題)的存在性的研究形成了區(qū)分度測量點二區(qū)分度性小題處理手法1找面積關系的函數(shù)解析式，規(guī)則圖形套用公式或用割補法，不規(guī)則圖形用割補法2直線與圓的相切的存在性的處理方法：利用d=r建立方程3解題的關鍵是用含的代數(shù)式表示出相關的線段. 略解(1)A是矩形ABCD的對稱中心ABAAACABAB，AB3AC6 (2)， ()若圓A與直線l相切，則，(舍去)，不存在這樣的，使圓A與直線l相切類題09虹口25題（三）面動問題 如圖，在中，、分別是邊、

14、上的兩個動點（不與、重合），且保持，以為邊，在點的異側(cè)作正方形.（1）試求的面積；（2）當邊與重合時，求正方形的邊長；（3）設，與正方形重疊部分的面積為，試求關于的函數(shù)關系式，并寫出定義域；（4）當是等腰三角形時，請直接寫出的長 題型背景和區(qū)分度測量點本題改編自新教材九上相似形24.5(4)例七,典型的共角相似三角形問題,試題為了形成坡度，在原題的基礎上改編出求等腰三角形面積的第一小題,當D點在AB邊上運動時，正方形整體動起來，GF邊落在BC邊上時，恰好和教材中的例題對應，可以說是相似三角形對應的小高比大高=對應的小邊比大邊，探尋正方形和三角形的重疊部分的面積與線段AD的關系的函數(shù)解析式形成了

15、第三小題，仍然屬于面積類習題來設置區(qū)分測量點一，用等腰三角形的存在性來設置區(qū)分測量點二 區(qū)分度性小題處理手法1找到三角形與正方形的重疊部分是解決本題的關鍵，如上圖3-1、3-2重疊部分分別為正方形和矩形包括兩種情況2正確的抓住等腰三角形的腰與底的分類，如上圖3-3、3-4、3-5用方程思想解決3解題的關鍵是用含的代數(shù)式表示出相關的線段. 略解解：（1）.（2）令此時正方形的邊長為，則，解得.（3）當時， ，當時， . （4）.類題 改編自09奉賢3月考25題，將條件（2）“當點M、N分別在邊BA、CA上時”,去掉，同時加到第（3）題中.ABFDEMNC已知：在ABC中，AB=AC，B=30&#

16、186;，BC=6，點D在邊BC上，點E在線段DC上，DE=3，DEF是等邊三角形，邊DF、EF與邊BA、CA分別相交于點M、N （1）求證：BDMCEN； （2）設BD=，ABC與DEF重疊部分的面積為，求關于的函數(shù)解析式，并寫出定義域（3）當點M、N分別在邊BA、CA上時,是否存在點D，使以M為圓心, BM為半徑的圓與直線EF相切, 如果存在，請求出x的值；如不存在，請說明理由例1：已知O的弦AB的長等于O的半徑，點C在O上變化（不與A、B）重合，求ACB的大小 .分析：點C的變化是否影響ACB的大小的變化呢?我們不妨將點C改變一下,如何變化呢？可能在優(yōu)弧AB上，也可能在劣弧AB上變化，顯

17、然這兩者的結(jié)果不一樣。那么，當點C在優(yōu)弧AB上變化時，ACB所對的弧是劣弧AB，它的大小為劣弧AB的一半，因此很自然地想到它的圓心角，連結(jié)AO、BO，則由于AB=OA=OB，即三角形ABC為等邊三角形，則AOB=600，則由同弧所對的圓心角與圓周角的關系得出：ACB=AOB=300，當點C在劣弧AB上變化時，ACB所對的弧是優(yōu)弧AB，它的大小為優(yōu)弧AB的一半，由AOB=600得，優(yōu)弧AB的度數(shù)為3600-600=3000，則由同弧所對的圓心角與圓周角的關系得出：ACB=1500，因此，本題的答案有兩個，分別為300或1500.反思：本題通過點C在圓上運動的不確定性而引起結(jié)果的不唯一性。從而需要

18、分類討論。這樣由點C的運動變化性而引起的分類討論在解題中經(jīng)常出現(xiàn)。變式1：已知ABC是半徑為2的圓內(nèi)接三角形，若，求C的大小.本題與例1的區(qū)別只是AB與圓的半徑的關系發(fā)生了一些變化,其解題方法與上面一致,在三角形AOB中,則,即,從而當點C在優(yōu)弧AB上變化時，C所對的弧是劣弧AB，它的大小為劣弧AB的一半，即,當點C在劣弧AB上變化時，C所對的弧是優(yōu)弧AB，它的大小為優(yōu)弧AB的一半，由AOB=1200得，優(yōu)弧AB的度數(shù)為3600-1200=2400，則由同弧所對的圓心角與圓周角的關系得出：C=1200，因此或C=1200.變式2: 如圖,半經(jīng)為1的半圓O上有兩個動點A、B，若AB=1，判斷AO

19、B的大小是否會隨點A、B的變化而變化，若變化，求出變化范圍，若不變化，求出它的值。四邊形ABCD的面積的最大值。解：（1）由于AB=OA=OB，所以三角形AOB為等邊三角形，則AOB=600，即AOB的大小不會隨點A、B的變化而變化。（2）四邊形ABCD的面積由三個三角形組成，其中三角形AOB的面積為，而三角形AOD與三角形BOC的面積之和為，又由梯形的中位線定理得三角形AOD與三角形BOC的面積之和，要四邊形ABCD的面積最大，只需EH最大，顯然EHOE=，當ABCD時，EH=OE，因此四邊形ABCD的面積最大值為+=.對于本題同學們還可以繼續(xù)思考:四邊形ABCD的周長的變化范圍.變式3:

20、如圖,有一塊半圓形的木板,現(xiàn)要把它截成三角形板塊.三角形的兩個頂點分別為A、B，另一個頂點C在半圓上，問怎樣截取才能使截出的三角形的面積最大？要求說明理由（廣州市2000年考題） 分析：要使三角形ABC的面積最大，而三角形ABC的底邊AB為圓的直徑為常量，只需AB邊上的高最大即可。過點C作CDAB于點D，連結(jié)CO，由于CDCO，當O與D重合，CD=CO，因此，當CO與AB垂直時，即C為半圓弧的中點時，其三角形ABC的面積最大。本題也可以先猜想，點C為半圓弧的中點時，三角形ABC的面積最大，故只需另選一個位置C1（不與C重合），證明三角形ABC的面積大于三角形ABC1的面積即可。如圖顯然三角形

21、ABC1的面積=AB×C1D，而C1D< C1O=CO,則三角形 ABC1的面積=AB×C1D<AB×C1O=三角形 ABC的面積,因此,對于除點C外的任意點C1,都有三角形 ABC1的面積小于三角形三角形 ABC的面積,故點C為半圓中點時,三角形ABC面積最大.本題還可研究三角形ABC的周長何時最大的問題。提示：利用周長與面積之間的關系。要三角形ABC的周長最大，AB為常數(shù)，只需AC+BC最大，而（AC+BC）2=AC2+CB2+2AC×BC=AB2+4×ABC的面積，因此ABC的面積最大時，AC+BC最大，從而ABC的周長最大。

22、從以上一道題及其三個變式的研究我們不難發(fā)現(xiàn),解決動態(tài)幾何問題的常見方法有:一、 特殊探路，一般推證例2：（2004年廣州市中考題第11題）如圖，O1和O2內(nèi)切于A，O1的半徑為3，O2的半徑為2，點P為O1上的任一點（與點A不重合），直線PA交O2于點C，PB切O2于點B，則的值為（A） （B） （C） （D）分析：本題是一道選擇題，給出四個答案有且只有一個是正確的，因此可以取一個特殊位置進行研究，當點P滿足PBAB時，可以通過計算得出PB=BC×AP=BP×AB，因此 BC=， 在三角形BPC中，PC=，所以，=選（B）當然，本題還可以根據(jù)三角形相似得，即可計算出結(jié)論。作

23、為一道選擇題，到此已經(jīng)完成，但如果是一道解答題，我們得出的結(jié)論只是一個特殊情況，還要進一步證明對一般情況也成立。例3：如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4，OABC于O,點E和點F分別在邊AB、AC上滑動并保持AE=CF,但點F不與A、C重合，點E不與B、A重合。判斷OEF的形狀，并加以證明。判斷四邊形AEOF的面積是否隨點E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值. AEF的面積是否隨著點E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值。分析：本題結(jié)論很難發(fā)現(xiàn)，先從特殊情況入手。最特殊情況為E、F分別為AB、AC中點，顯然有EOF為等腰直角三角形。還可發(fā)

24、現(xiàn)當點E與A無限接近時，點F與點C無限接近，此時EOF無限接近AOC，而AOC為等腰直角三角形，幾種特殊情況都可以得出EOF為等腰直角三角形。一般情況下成立嗎？OE與OF相等嗎？EOF為直角嗎？能否證明。如果它們成立，便可以推出三角形OFC與三角形OEA全等，一般情況下這兩個三角形全等嗎？不難從題目的條件可得：OA=OC，OCF=OAE，而AE=CF，則OEAOFC，則OE=OF，且FOC=EOA，所以EOF=EOA+AOF=FOC+FOA=900，則EOF為直角，故EOF為等腰直角三角形。二、 動手實踐，操作確認例4（2003年廣州市中考試題）在O中，C為弧AB的中點，D為弧AC上任一點（與

25、A、C不重合），則（A）AC+CB=AD+DB (B) AC+CB<AD+DB (C) AC+CB>AD+DB (D) AC+CB與AD+DB的大小關系不確定分析:本題可以通過動手操作一下,度量AC、CB、AD、DB的長度，可以嘗試換幾個位置量一量，得出結(jié)論（C）例5：如圖，過兩同心圓的小圓上任一點C分別作小圓的直徑CA和非直徑的弦CD，延長CA和CD與大圓分別交于點B、E，則下列結(jié)論中正確的是（ * ） （A） （B） （C）（D）的大小不確定分析：本題可以通過度量的方法進行，選（B）本題也可以可以證明得出結(jié)論，連結(jié)DO、EO，則在三角形OED中，由于兩邊之差小于第三邊，則OEO

26、D<DE,即OBOA<DE,因此,即三、 建立聯(lián)系，計算說明例6：如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M在邊DC上，且DM=1，N為對角線AC上任意一點，則DN+MN的最小值為 .分析：能否將DN和NM進行轉(zhuǎn)化，與建立三角形兩邊之和大于第三邊等問題，很自然地想到軸對稱問題，由于ABCD為正方形，因此連結(jié)BN，顯然有ND=NB，則問題就轉(zhuǎn)化為BN+NM的最小值問題了，一般情況下：BN+NMBM,只有在B、N、M三點共線時，BN+NM=BM，因此DN+MN的最小值為BM=本題通過建立平面上三個點中構成的三角形中的兩邊之和大于第三邊及共線時的兩邊之和等于第三邊的特殊情況求最小值，最后通過勾

27、股定理計算得出結(jié)論。例7：如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4，OABC于O,點E和點F分別在邊AB、AC上滑動并保持AE=CF,但點F不與A、C重合，點E不與B、A重合。判斷四邊形AEOF的面積是否隨點E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值. AEF的面積是否隨著點E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值。（即例3的第2、第3問）分析：(2)本題的方法很多，其一，可以建立四邊形AEOF與AE長的函數(shù)關系式，如設AE=x，則AF=，而三角形AOB的面積與三角形AOE的面積之比=，而三角形AOB的面積=，則三角形AOE的面積=，同理三角形AOF的

28、面積=，因此四邊形AEOF的面積=；即AEOF的面積不會隨點E、F的變化而變化，是一個定值，且為2. 當然，本題也可以這樣思考，由于三角形AOE與三角形COF全等，則四邊形AEOF的面積與三角形AOC的面積相等，而AOC的面積為2，因此AEOF的面積不會隨點E、F的變化而變化，是一個定值，且為2. 本題通過建立函數(shù)關系或有關圖形之間的關系,然后通過簡單的計算得出結(jié)論的方法應用比較廣泛. 第(3)問,也可以通過建立函數(shù)關系求得, AEF的面積=,又的變化范圍為,由二次函數(shù)知識得AEF的面積的范圍為:AEF的面積.本題也可以根據(jù)三角形AEF與三角形OEF的面積關系確定AEF的面積范圍:不難證明AE

29、F的面積OEF的面積，它們公用邊EF，取EF的中點H，顯然由于OEF為等腰直角三角形，則OHEF，作AGEF，顯然AGAH=AG（=），所以AEF的面積OEF的面積，而它們的和為2，因此AEF的面積.本題包容的內(nèi)涵十分豐富，還可以提出很多問題研究：比如，比較線段EF與AO長度大小等（可以通過A、E、O、F四點在以EF為直徑的圓上得出很多結(jié)論）例8：如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2厘米/秒的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1厘米/秒的速度移動。如果、同時出發(fā)，用t秒表示移動的時間（0 t 6），那么：（1）當t為何值時，三角形QAP為

30、等腰三角形？（2）求四邊形QAPC的面積，提出一個與計算結(jié)果有關的結(jié)論；（3）當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似？分析：（1）當三角形QAP為等腰三角形時，由于A為直角，只能是AQ=AP，建立等量關系，即時，三角形QAP為等腰三角形；（2）四邊形QAPC的面積=ABCD的面積三角形QDC的面積三角形PBC的面積=36，即當P、Q運動時，四邊形QAPC的面積不變。（3）顯然有兩種情況：PAQABC，QAPABC，由相似關系得或，解之得或建立關系求解，包含的內(nèi)容多，可以是函數(shù)關系，可以是方程組或不等式等，通過解方程、或函數(shù)的最大值最小值，自變量的取值范圍等方面來解決問題；也可以

31、是通過一些幾何上的關系，描述圖形的特征，如全等、相似、共圓等方面的知識求解。作為訓練同學們可以綜合上述方法求解：練習1：2003年廣州市中考壓軸題（全卷得分最低的一道）已知ABC為直角三角形，AC=5，BC=12，ACB為直角，P是AB邊上的動點（與點A、B不重合），Q是BC邊上動點（與點B、C不重合）（1） 如圖，當PQAC，且Q為BC的中點，求線段CP的長。當PQ與AC不平行時，CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說明理由。第1問很易得出P為AB中點，則CP=第2問：如果CPQ為直角三角形，由于PQ與AC不平行，則Q不可能為直角又點P不與A重合，則P

32、CQ也不可能為直角，只能是CPQ為直角，即以CQ為直徑的圓與AB有交點，設CQ=2x，CQ的中點D到AB的距離DM不大于CD，即，所以，由，即，而，故，亦即時，CPQ可能為直角三角形。當然還有其它方法。同學們可以繼續(xù)研究。練習2：（廣東省2003年中考試題最后一題）在RtABC中，ABAC，BAC90°，O為BC的中點，（1）寫出點O到ABC的三個頂點 A、B、C距離的大小關系。（2）如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，移動中保持ANBM，請判斷OMN的形狀，并證明你的結(jié)論。該題與例3類似，同學們可以仿本大類習題的共性：1代數(shù)、幾何的高度綜合（數(shù)形結(jié)合）；著力于數(shù)學本質(zhì)及核心內(nèi)容

33、的考查;四大數(shù)學思想：數(shù)學結(jié)合、分類討論、方程、函數(shù)2以形為載體，研究數(shù)量關系；通過設、表、列獲得函數(shù)關系式；研究特殊情況下的函數(shù)值專題三：雙動點問題點動、線動、形動構成的問題稱之為動態(tài)幾何問題. 它主要以幾何圖形為載體，運動變化為主線，集多個知識點為一體，集多種解題思想于一題. 這類題綜合性強，能力要求高，它能全面的考查學生的實踐操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力. 其中以靈活多變而著稱的雙動點問題更成為今年中考試題的熱點，現(xiàn)采擷幾例加以分類淺析，供讀者欣賞.1 以雙動點為載體，探求函數(shù)圖象問題 例1 (2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，C=90°，高CD=6

34、cm(如圖1). 動點P，Q同時從點B出發(fā)，點P沿BA，AD，DC運動到點C停止，點Q沿BC運動到點C停止，兩點運動時的速度都是1cm/s. 而當點P到達點A時，點Q正好到達點C. 設P，Q同時從點B出發(fā)，經(jīng)過的時間為t(s)時，BPQ的面積為y(cm)2(如圖2). 分別以t，y為橫、縱坐標建立直角坐標系，已知點P在AD邊上從A到D運動時，y與t的函數(shù)圖象是圖3中的線段MN. (1)分別求出梯形中BA，AD的長度； (2)寫出圖3中M，N兩點的坐標； (3)分別寫出點P在BA邊上和DC邊上運動時，y與t的函數(shù)關系式(注明自變量的取值范圍)，并在圖3中補全整個運動中y關于x的函數(shù)關系的大致圖象

35、. 評析 本題將點的運動過程中形成的函數(shù)解析式與其相應的函數(shù)圖象有機的結(jié)合在一起，二者相輔相成，給人以清新、淡雅之感. 本題彰顯數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)建模與參數(shù)思想在解題過程中的靈活運用. 解決本題的關鍵是從函數(shù)圖象中確定線段AB、梯形的高與t的函數(shù)關系式，建立起y與t的函數(shù)關系式，進而根據(jù)函數(shù)關系式補充函數(shù)圖象. 2 以雙動點為載體，探求結(jié)論開放性問題 例2 (2007年泰州市)如圖5，RtABC中，B=90°，CAB=30°.它的頂點A的坐標為(10，0)，頂點B的坐標為(5，53)，AB=10，點P從點A出發(fā)，沿ABC的方向勻速運動，同時點Q從點D(0，2)出發(fā)，沿

36、y軸正方向以相同速度運動，當點P到達點C時，兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒. (1)求BAO的度數(shù). (2)當點P在AB上運動時，OPQ的面積S(平方單位)與時間t(秒)之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分，(如圖6)，求點P的運動速度. (3)求(2)中面積S與時間t之間的函數(shù)關系式及面積S取最大值時點P的坐標. (4)如果點P，Q保持(2)中的速度不變，那么點P沿AB邊運動時，OPQ的大小隨著時間t的增大而增大；沿著BC邊運動時，OPQ的大小隨著時間t的增大而減小，當點P沿這兩邊運動時，使OPQ=90°的點P有幾個?請說明理由. 解 (1)BAO=60°. (2)點P的

37、運動速度為2個單位/秒. 評析 本題是以雙點運動構建的集函數(shù)、開放、最值問題于一體的綜合題. 試題有難度、有梯度也有區(qū)分度，是一道具有很好的選拔功能的好題. 解決本題的關鍵是從圖象中獲取P的速度為2，然后建立S與t的函數(shù)關系式，利用函數(shù)的性質(zhì)解得問題(3).本題的難點是題(4)，考生要從題目的信息中確定建立以B為直角頂點的三角形，以B為臨界點進行分類討論，進而確定點的個數(shù)問題. 3 以雙動點為載體，探求存在性問題 例3 (2007年揚州市)如圖8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).動點M，N同時從B點出發(fā)，分別沿BA，BC運動，速度是1厘米/秒.過M作直線垂直于AB，

38、分別交AN，CD于P，Q.當點N到達終點C時，點M也隨之停止運動.設運動時間為t秒. (1)若a=4厘米，t=1秒，則PM=厘米； (2)若a=5厘米，求時間t，使PNBPAD，并求出它們的相似比； (3)若在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍； (4)是否存在這樣的矩形：在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等?若存在，求a的值；若不存在，請說明理由. 評析 本題是以雙動點為載體，矩形為背景創(chuàng)設的存在性問題.試題由淺入深、層層遞進，將幾何與代數(shù)知識完美的綜合為一題，側(cè)重對相似和梯形面積等知識點的考查，本題的難點主

39、要是題(3)，解決此題的關鍵是運用相似三角形的性質(zhì)用t的代數(shù)式表示PM，進而利用梯形面積相等列等式求出t與a的函數(shù)關系式，再利用t的范圍確定的a取值范圍. 第(4)小題是題(3)結(jié)論的拓展應用，在解決此問題的過程中，要有全局觀念以及對問題的整體把握. 4 以雙動點為載體，探求函數(shù)最值問題 例4 (2007年吉林省)如圖9，在邊長為82cm的正方形ABCD中，E、F是對角線AC上的兩個動點，它們分別從點A、C同時出發(fā)，沿對角線以1cm/s的相同速度運動，過E作EH垂直AC交RtACD的直角邊于H；過F作FG垂直AC交RtACD的直角邊于G，連結(jié)HG、EB.設HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積為

40、S1，AE、EB、BA圍成的圖形面積為S2(這里規(guī)定：線段的面積為0).E到達C，F(xiàn)到達A停止.若E的運動時間為x(s)，解答下列問題： (1)當0<X(2)若y是S1與S2的和，求y與x之間的函數(shù)關系式； (圖10為備用圖) 求y的最大值. 解 (1)以E、F、G、H為頂點的四邊形是矩形，因為正方形ABCD的邊長為82，所以AC=16，過B作BOAC于O，則OB=89，因為AE=x，所以S2=4x，因為HE=AE=x，EF=16-2x，所以S1=x(16-2x)， 當S1=S2時， 4x=x(16-2x)，解得x1=0(舍去)，x2=6，所以當x=6時， S1=S2. (2)當0x&l

41、t;8時，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x， 當8x16時，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16-x)=2x-16， 所以S1=(16-x)(2x-16)， 所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256. 當0x<8時，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以當x=5時，y的最大值為50. 當8x16時，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82， 所以當x=13時，y的最大值為82. 綜上可得，y的最大值為82. 評析 本題是以雙動點為載體，正方形為背景創(chuàng)設的函數(shù)最值問題.要求學生認真讀題、領會題意、畫出不同情況下

42、的圖形，根據(jù)圖形建立時間變量與其它相關變量的關系式，進而構建面積的函數(shù)表達式. 本題在知識點上側(cè)重對二次函數(shù)最值問題的考查，要求學生有扎實的基礎知識、靈活的解題方法、良好的思維品質(zhì)；在解題思想上著重對數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、數(shù)學建模等思想的靈活運用. 專題四：函數(shù)中因動點產(chǎn)生的相似三角形問題 例題 如圖1，已知拋物線的頂點為A（2，1），且經(jīng)過原點O，與x軸的另一個交點為B。求拋物線的解析式；（用頂點式求得拋物線的解析式為）若點C在拋物線的對稱軸上，點D在拋物線上，且以O、C、D、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求D點的坐標；連接OA、AB，如圖2，在x軸下方的拋物線上是否存在點P，使得

43、OBP與OAB相似？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由。例1題圖圖1圖2分析:1.當給出四邊形的兩個頂點時應以兩個頂點的連線為四邊形的邊和對角線來考慮問題以O、C、D、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形要分類討論:按OB為邊和對角線兩種情況 2. 函數(shù)中因動點產(chǎn)生的相似三角形問題一般有三個解題途徑 求相似三角形的第三個頂點時，先要分析已知三角形的邊和角的特點，進而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對應邊分類討論。 或利用已知三角形中對應角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對稱、旋轉(zhuǎn)等知識來推導邊的大小。 若兩個三角形的各邊均未給出，則應先設所求

44、點的坐標進而用函數(shù)解析式來表示各邊的長度，之后利用相似來列方程求解。 練習1、已知拋物線經(jīng)過及原點（1）求拋物線的解析式（由一般式得拋物線的解析式為）（2）過點作平行于軸的直線交軸于點，在拋物線對稱軸右側(cè)且位于直線下方的拋物線上，任取一點，過點作直線平行于軸交軸于點，交直線于點，直線與直線及兩坐標軸圍成矩形是否存在點，使得與相似？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由（3）如果符合（2）中的點在軸的上方，連結(jié)，矩形內(nèi)的四個三角形之間存在怎樣的關系？為什么？練習2、如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點A在x軸上，點C在y軸上，將邊BC折疊，使點B落在邊OA的點D處。已知

45、折疊，且。（1）判斷與是否相似？請說明理由；（2）求直線CE與x軸交點P的坐標；（3）是否存在過點D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應的直線；如果不存在，請說明理由。Oxy練習2圖CBED練習3、在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點（點在點的左邊），與軸交于點，其頂點的橫坐標為1，且過點和（1）求此二次函數(shù)的表達式；（由一般式得拋物線的解析式為）（2）若直線與線段交于點（不與點重合），則是否存在這樣的直線，使得以為頂點的三角形與相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達式及點的坐標；若不存在，

46、請說明理由；CBA練習4圖PyyCxBA練習3圖（3）若點是位于該二次函數(shù)對稱軸右邊圖象上不與頂點重合的任意一點，試比較銳角與的大?。ú槐刈C明），并寫出此時點的橫坐標的取值范圍O練習4 (2008廣東湛江市) 如圖所示，已知拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C（1）求A、B、C三點的坐標（2）過點A作APCB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MG軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似若存在，請求出M點的坐標；否則，請說明理由練習5、已知：如圖，在平面直角坐標系中，是直角三角形，點的坐標分別為，ACOBxy（1）求過點的直線的函

47、數(shù)表達式；點，（2）在軸上找一點，連接，使得與相似（不包括全等），并求點的坐標；（3）在（2）的條件下，如分別是和上的動點，連接，設，問是否存在這樣的使得與相似，如存在，請求出的值；如不存在，請說明理由參考答案例題、解:由題意可設拋物線的解析式為拋物線過原點，.圖1拋物線的解析式為,即 如圖1,當OB為邊即四邊形OCDB是平行四邊形時,CDOB,由得,B(4,0),OB4.D點的橫坐標為6 將x6代入,得y3,D(6,3); 圖2根據(jù)拋物線的對稱性可知,在對稱軸的左側(cè)拋物線上存在點D,使得四邊形ODCB是平行四邊形,此時D點的坐標為(2,3), 當OB為對角線即四邊形OCBD是平行四邊形時,D

48、點即為A點,此時D點的坐標為(2,1)如圖2，由拋物線的對稱性可知:AOAB,AOBABO.若BOP與AOB相似,必須有POBBOABPO 設OP交拋物線的對稱軸于A點,顯然A(2,1)直線OP的解析式為 由,得.P(6,3)過P作PEx軸,在RtBEP中,BE2,PE3,PB4.PBOB,BOPBPO,PBO與BAO不相似, 同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點.所以在該拋物線上不存在點P,使得BOP與AOB相似. 練習1、解：（1）由已知可得： 解之得，因而得，拋物線的解析式為：（2）存在設點的坐標為，則，要使，則有，即解之得，當時，即為點，所以得要使，則有，即Oxy圖1

49、CBED312A解之得，當時，即為點，當時，所以得故存在兩個點使得與相似點的坐標為（3）在中，因為所以當點的坐標為時，所以因此，都是直角三角形又在中，因為所以即有所以，圖2OxyCBEDPMGlNAF又因為，所以練習2解：（1）與相似。理由如下：由折疊知，又，。（2），設AE=3t，則AD=4t。由勾股定理得DE=5t。由（1），得，。在中，解得t=1。OC=8，AE=3，點C的坐標為（0，8），點E的坐標為（10，3），設直線CE的解析式為y=kx+b，解得，則點P的坐標為（16，0）。（3）滿足條件的直線l有2條：y=2x+12，y=2x12。如圖2：準確畫出兩條直線。練習3解：（1）二次

50、函數(shù)圖象頂點的橫坐標為1，且過點和，由解得此二次函數(shù)的表達式為（2）假設存在直線與線段交于點（不與點重合），使得以為頂點的三角形與相似yxBEAOCD在中，令，則由，解得令，得設過點的直線交于點，過點作軸于點點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為要使或，已有，則只需，或成立若是，則有而在中，由勾股定理，得解得（負值舍去）點的坐標為將點的坐標代入中，求得滿足條件的直線的函數(shù)表達式為或求出直線的函數(shù)表達式為，則與直線平行的直線的函數(shù)表達式為此時易知，再求出直線的函數(shù)表達式為聯(lián)立求得點的坐標為若是，則有而在中，由勾股定理，得解得（負值舍去）點的坐標為將點的坐標代入中，求得滿足條件的直線的函數(shù)表達式為存在

51、直線或與線段交于點（不與點重合），使得以為頂點的三角形與相似，且點的坐標分別為或（3）設過點的直線與該二次函數(shù)的圖象交于點將點的坐標代入中，求得此直線的函數(shù)表達式為設點的坐標為，并代入，得xBEAOCP·解得（不合題意，舍去）點的坐標為此時，銳角又二次函數(shù)的對稱軸為，點關于對稱軸對稱的點的坐標為當時，銳角；圖1CPByA當時，銳角；當時，銳角練習四解：（1）令，得 解得令，得 A B C （2）OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=APCB， PAB=過點P作PE軸于E，則APE為等腰直角三角形令OE=，則PE= P點P在拋物線上 解得，（不合題意，舍去）PE=四邊形ACBP的

52、面積=ABOC+ABPE=(3) 假設存在PAB=BAC = PAACGM圖2CByPAMG軸于點G， MGA=PAC =在RtAOC中，OA=OC= AC=在RtPAE中，AE=PE= AP= 設M點的橫坐標為，則M 點M在軸左側(cè)時，則() 當AMG PCA時，有=GM圖3CByPAAG=，MG=即 解得（舍去） （舍去）() 當MAG PCA時有=即 解得：（舍去） M 點M在軸右側(cè)時，則 () 當AMG PCA時有=AG=，MG= 解得（舍去） M () 當MAGPCA時有= 即 解得：（舍去） M存在點M，使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似M點的坐標為，練習5、解：（1）點，點坐標為設過點的直線的函數(shù)表達式為，圖1由 得，直線的函數(shù)表達式為（2）如圖1，過點作，交軸于點，在和中， ，點為所求又，（3）這樣的存在