人教八年級(jí)上數(shù)學(xué)培優(yōu)講義教師

1、第十一章 全等三角形及其應(yīng)用【知識(shí)精讀】1. 全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形；兩個(gè)全等三角形中，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)?；ハ嘀睾系倪吔袑?duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫對(duì)應(yīng)角。2. 全等三角形的表示方法：若ABC和ABC是全等的三角形，記作 “ABCABC其中，“”讀作“全等于”。記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。3. 全等三角形的的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；4. 尋找對(duì)應(yīng)元素的方法（1）根據(jù)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)找如果兩個(gè)三角形全等，那么，以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是對(duì)應(yīng)角；以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的邊是對(duì)應(yīng)邊。通常情況下，兩個(gè)三角形全等時(shí)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母都寫

2、在對(duì)應(yīng)的位置上，因此，由全等三角形的記法便可寫出對(duì)應(yīng)的元素。（2）根據(jù)已知的對(duì)應(yīng)元素尋找全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；（3）通過(guò)觀察，想象圖形的運(yùn)動(dòng)變化狀況，確定對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過(guò)對(duì)兩個(gè)全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析，可以看出其中一個(gè)是由另一個(gè)經(jīng)過(guò)下列各種運(yùn)動(dòng)而形成的。翻折 如圖（1），DBOCDEOD，DBOC可以看成是由DEOD沿直線AO翻折180°得到的；旋轉(zhuǎn) 如圖（2），DCODDBOA，DCOD可以看成是由DBOA繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到的；平移 如圖（3），DDEFDACB，DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移動(dòng)而得到

3、的。5. 判定三角形全等的方法：（1）邊角邊公理、角邊角公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊公理（2） 推論：角角邊定理6. 注意問(wèn)題：（1）在判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，至少有一邊對(duì)應(yīng)相等；（2）不能證明兩個(gè)三角形全等的是，a: 三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，即AAA；b :有兩邊和其中一角對(duì)應(yīng)相等，即SSA。全等三角形是研究?jī)蓚€(gè)封閉圖形之間的基本工具，同時(shí)也是移動(dòng)圖形位置的工具。在平面幾何知識(shí)應(yīng)用中，若證明線段相等或角相等，或需要移動(dòng)圖形或移動(dòng)圖形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知識(shí)。【分類解析】全等三角形知識(shí)的應(yīng)用（1） 證明線段（或角）相等【例1】如圖，已知AD=AE,AB=AC.求證：BF=FC分析：由已知

4、條件可證出ACDABE，而BF和FC分別位于DBF和EFC中，因此先證明ACDABE，再證明DBFECF，既可以得到BF=FC.證明：在ACD和ABE中， ACDABE (SAS) B=C（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）又 AD=AE,AB=AC. ABAD=ACAE 即 BD=CE在DBF和ECF中 DBFECF （AAS） BF=FC （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）（2）證明線段平行【例2】已知：如圖，DEAC，BFAC，垂足分別為E、F，DE=BF，AF=CE.求證：ABCD分析：要證ABCD，需證CA，而要證CA，又需證ABFCDE.由已知BFAC，DEAC，知DECBFA=90°，且已知

5、DE=BF，AF=CE.顯然證明ABFCDE條件已具備，故可先證兩個(gè)三角形全等，再證CA,進(jìn)一步證明ABCD.證明： DEAC，BFAC （已知） DECBFA=90° （垂直的定義）在ABF與CDE中， ABFCDE（SAS） CA (全等三角形對(duì)應(yīng)角相等) ABCD （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）（3）證明線段的倍半關(guān)系，可利用加倍法或折半法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等【例3】如圖，在 ABC中，AB=AC，延長(zhǎng)AB到D，使BD=AB，取AB的中點(diǎn)E，連接CD和CE. 求證：CD=2CE分析：()折半法：取CD中點(diǎn)F，連接BF，再證CEBCFB.這里注意利用BF是ACD中位線這個(gè)條件

6、。證明：取CD中點(diǎn)F，連接BF BF=AC,且BFAC （三角形中位線定理） ACB2 (兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等)又 AB=AC ACB3 （等邊對(duì)等角） 32在CEB與CFB中， CEBCFB (SAS) CE=CF=CD （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）即CD=2CE （）加倍法證明：延長(zhǎng)CE到F，使EF=CE，連BF.在AEC與BEF中，AECBEF (SAS) AC=BF, 43 (全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等) BFAC (內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行) ACB+CBF=180o,ABC+CBD=180o,又AB=AC ACB=ABCCBF=CBD （等角的補(bǔ)角相等）在CFB與CDB中， CFBCDB

7、 (SAS) CF=CD即CD=2CE說(shuō)明：關(guān)于折半法有時(shí)不在原線段上截取一半，而利用三角形中位線得到原線段一半的線段。例如上面折道理題也可這樣處理，取AC中點(diǎn)F，連BF(如圖)（B為AD中點(diǎn)是利用這個(gè)辦法的重要前提），然后證CE=BF.(4)證明線段相互垂直【例4】已知：如圖，A、D、B三點(diǎn)在同一條直線上，ADC、BDO為等腰三角形，AO、BC的大小關(guān)系和位置關(guān)系分別如何？證明你的結(jié)論。分析：本題沒(méi)有直接給出待證的結(jié)論，而是讓同學(xué)們先根據(jù)已知條件推斷出結(jié)論，然后再證明所得出的結(jié)論正確。通過(guò)觀察，可以猜測(cè)：AO=BC，AOBC.證明：延長(zhǎng)AO交BC于E,在ADO和CDB中 ADOCDB (SA

8、S) AO=BC, OAD=BCD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等） AODCOE （對(duì)頂角相等） COE+OCE=90o AOBC5、中考點(diǎn)撥：【例1】如圖，在ABC中，ABAC，E是AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)D，連結(jié)ED，并延長(zhǎng)ED到點(diǎn)F，使DFDE，連結(jié)FC求證：FA分析：證明兩個(gè)角相等，常證明這兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等，在已知圖形中A、F不在全等的兩個(gè)三角形中，但由已知可證得EFAC，因此把A通過(guò)同位角轉(zhuǎn)到BDE中的BED，只要證EBDFCD即可證明：ABAC，ACBB，EBED，ACBEDBEDACBEDABEEABDCD又DEDF，BDECDFBDECDF

9、，BEDFFA說(shuō)明：證明角（或線段）相等可以從證明角（或線段）所在的三角形全等入手，在尋求全等條件時(shí)，要注意結(jié)合圖形，挖掘圖中存在的對(duì)項(xiàng)角、公共角、公共邊、平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角等相等的關(guān)系?！纠?】如圖，已知 ABC為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D，延長(zhǎng)BA到E，并且使AE=BD，連接CE、DE.求證：EC=ED 分析：把已知條件標(biāo)注在圖上，需構(gòu)造和AEC全等的三角形，因此過(guò)D點(diǎn)作DFAC交BE于F點(diǎn)，證明AECFED即可。證明：過(guò)D點(diǎn)作DFAC交BE于F點(diǎn) ABC為等邊三角形 BFD為等邊三角形 BF=BD=FD AE=BD AE=BF=FD AEAF=BFAF 即 EF=AB EF=AC在 A

10、CE和DFE中， AECFED（SAS） EC=ED（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）題型展示：【例1】如圖，ABC中，C2B，12。求證：ABACCD分析：在AB上截取AEAC，構(gòu)造全等三角形，AEDACD，得DEDC，只需證DEBE問(wèn)題便可以解決證明：在AB上截取AEAC，連結(jié)DE AEAC，12，ADAD， AEDACD， DEDC，AEDC AEDBEDB，C2B， 2BBEDB即 BEDB EBED，即EDDC， ABACDC剖析：證明一條線段等于另外兩條線段之和的常用方法有兩種，一種是截長(zhǎng)法（即在長(zhǎng)線段上截取一段等于兩條短線段的一條，再證余下的部分等于另一條短線段）；如作AEAC是利用了角平

11、分線是角的對(duì)稱軸的特性，構(gòu)造全等三角形，另一種方法是補(bǔ)短法（即延長(zhǎng)一條短線段等于長(zhǎng)線段，再證明延長(zhǎng)的部分與另一條短線段相等），其目的是把證明線段的和差轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問(wèn)題，實(shí)際上仍是構(gòu)造全等三角形，這種轉(zhuǎn)化圖形的能力是中考命題的重點(diǎn)考查的內(nèi)容【實(shí)戰(zhàn)模擬】1. 下列判斷正確的是（ ）（A）有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（B）有兩邊對(duì)應(yīng)相等，且有一角為30°的兩個(gè)等腰三角形全等（C）有一角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（D）有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等2. 已知：如圖，CDAB于點(diǎn)D，BEAC于點(diǎn)E，BE、CD交于點(diǎn)O，且AO平分BAC求證：OBOC3.

12、如圖，已知C為線段AB上的一點(diǎn)，DACM和DCBN都是等邊三角形，AN和CM相交于F點(diǎn)，BM和CN交于E點(diǎn)。求證：DCEF是等邊三角形。4.如圖，在ABC中，AD為BC邊上的中線。求證：AD<(AB+AC) 5. 如圖，在等腰RtABC中，C90°，D是斜邊上AB上任一點(diǎn)，AECD于E，BFCD交CD的延長(zhǎng)線于F，CHAB于H點(diǎn)，交AE于G求證：BDCG【試題答案】1. D2.證明： AO平分ODB，CDAB于點(diǎn)D，BEAC于點(diǎn)E，BE、CE交于點(diǎn)O， ODOE，ODBOEC90°, BODCOE。 BODCOE（ASA）OBOC3. 分析 由ÐACM=&#

13、208;BCN=60°，知ÐECF=60°，欲證DCEF是等邊三角形，只要證明DCEF是等腰三角形。先證DCANDMCB，得Ð1=Ð2.再證DCFNDCEB，即可推得DCEF是等邊三角形的結(jié)論。證明：在DCAN和DMCB，AC=MC，CN=CB，ÐCAN=ÐMCB=120°，DACNDMCB中， ÐFCB和DCEB中，ÐFCN=ÐECB=60°，Ð1=Ð2，CN=CB，DCFNDCEB，CF=CE，又ÐECF=60°， DCEF是等邊三

14、角形.4. 分析： 關(guān)于線段不等的問(wèn)題，一般利用在同一個(gè)三角形中三邊關(guān)系來(lái)討論，由于AB、AC、AD不在同一個(gè)三角形，應(yīng)設(shè)法將這三條線段轉(zhuǎn)化在同一個(gè)三角形中，也就是將線段相等地轉(zhuǎn)化，而轉(zhuǎn)化的通常方法利用三角形全等來(lái)完成，注意AD是BC邊上的中線，延長(zhǎng)AD至E，使DEAD，即可得到ACDEBD證明：延長(zhǎng)AD到E，使DEAD，連結(jié)BE在DACD與DEBD中 DACDDEBD（SAS） ACEB（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在DABE中，ABEBAE（三角形兩邊之和大于第三邊） ABAC2AD（等量代換） 說(shuō)明：一般在有中點(diǎn)的條件時(shí)，考慮延長(zhǎng)中線來(lái)構(gòu)造全等三角形。5.分析：由于BD與CG分別在兩個(gè)三角形中

15、，欲證BD與CG相等，設(shè)法證CGEBDF。由于全等條件不充分，可先證AECCFB證明：在RtAEC與RtCFB中，ACCB，AECD于E，BFC交CD的延長(zhǎng)線于FAECCFB90°又ACB90° CAE90°ACEBCF RtAECRtCFBCEBF在RtBFD與RtCEG中，F(xiàn)GEC90°，CEBF，由FBD90°FDB90°CDHECG， RtBFDRtCEG BDCG第十二章 軸對(duì)稱1.如果一個(gè)圖形沿著某一條直線對(duì)折，對(duì)折的兩部分能完全重合，那么就稱這樣的圖形為軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做這個(gè)圖形的對(duì)稱軸。這時(shí)，我們就說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于

16、這條直線（或軸）對(duì)稱。2.把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折過(guò)去，如果它能夠和另一個(gè)圖形完全重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線就是對(duì)稱軸。兩個(gè)圖形中經(jīng)過(guò)翻折之后互相重合的點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也叫做對(duì)稱點(diǎn)。注意：1、 一個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸不一定只有一條；2、 兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的概念，前提不一樣，前者是兩個(gè)圖形，后者是一個(gè)圖形。3、 成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形不僅大小、形狀一樣而且與位置有關(guān)。題型一:軸對(duì)稱圖形的判斷【例1】如圖，我國(guó)主要銀行的商標(biāo)設(shè)計(jì)基本上都融入了中國(guó)古代錢幣的圖案，下圖中我國(guó)四大銀行的商標(biāo)圖案中軸對(duì)稱圖形的是(     

17、60;  )                                         A          &#

18、160; B            C            D分析：圖形沿一條直線折疊-相互重合-軸對(duì)稱圖形-判斷舉一反三：1、下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是(        )A角          

19、60; B等邊三角形            C線段        D不等邊三角形2、下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（） A. 兩條相交直線 B. 線段C.有公共端點(diǎn)的兩條相等線段 D.有公共端點(diǎn)的兩條不相等線段3、下列英文字母屬于軸對(duì)稱圖形的是（ ）A、N B、S C、L D、E4、下列說(shuō)法中，正確的是(        )A兩個(gè)全等三角形組成一個(gè)軸

20、對(duì)稱圖形B直角三角形一定是軸對(duì)稱圖形C軸對(duì)稱圖形是由兩個(gè)圖形組成的D等邊三角形是有三條對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形題型二：找軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸【例2】等腰三角形的對(duì)稱軸_條.舉一反三：1、下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是（）（1）軸對(duì)稱圖形只有一條對(duì)稱軸，（2）軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是一條線段，（3）兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這兩個(gè)圖形是全等圖形，（4）全等的兩個(gè)圖形一定成軸對(duì)稱，（5）軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形，而軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形而言。（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)2、軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸的條數(shù)（）（A）只有一條（B）2條（C）3條（D）至少一條3、正五角星的對(duì)稱軸的條數(shù)是(   &#

21、160;    )A1條         B2條          C5條         D10條4、下列圖形中有4條對(duì)稱軸的是(        )A平行四邊形        &

22、#160;   B矩形         C正方形            D菱形常見(jiàn)圖形及其對(duì)稱軸：名稱是否是軸對(duì)稱圖形對(duì)稱軸有幾條對(duì)稱軸的位置線段是條垂直平分線或線段所在的直線角是條角平分線所在的直線長(zhǎng)方形是條對(duì)邊中線所在的直線正方形是條對(duì)邊中線所在的直線和對(duì)角線所在的直線圓是無(wú)數(shù)條直徑所在的直線平行四邊形不是條小結(jié)：軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形區(qū)別指兩個(gè)圖形而言；指兩個(gè)圖形的一種形狀與位置關(guān)系。對(duì)

23、一個(gè)圖形而言；指一個(gè)圖形的特殊形狀。聯(lián)系都有一條直線，都要沿這條直線折疊重合；把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形看成一個(gè)整體，就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形；反過(guò)來(lái)，把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩部分，這兩部分關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱。1、線段垂直平分線的概念：（）垂直于一條線段，并平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線；（）線段的垂直平分線可以看做和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。2、線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)距離相等。3、線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：到段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。注意:（）“線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)距離相等”的作用是：證明兩

24、條線段相等；（2“到段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上?！钡淖饔檬牵号卸ㄒ稽c(diǎn)在線段的垂直平分線上；（3）“如果到兩點(diǎn)到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么，這兩點(diǎn)所在直線是該線段的垂直平分線?！钡淖饔檬牵捍怪逼椒志€的判定。題型一:線段垂直平分線的性質(zhì)【例3】 如圖1，在ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，BCE的周長(zhǎng)等于50，求BC的長(zhǎng). 圖-1點(diǎn)評(píng)：此題是ABC中一邊AB的垂直平分線AC相交;那么當(dāng)AB的垂直平分線與BC相交時(shí)，(如圖2),對(duì)應(yīng)的是ACE的周長(zhǎng)，它的周長(zhǎng)也等于AC+BC.圖形變化，但結(jié)論不變. 圖-2舉一反三：1、如圖1,在ABC

25、中, AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,若BEC=70°，則A=？點(diǎn)評(píng)：此題變式求角的計(jì)算方法，應(yīng)用了兩個(gè)定理.按照同樣的方法,圖2中也能得出相應(yīng)的結(jié)論：AEC=2B.【例4】圖-3如圖3，在ABC中，AB=AC, BC=12,BAC =120°,AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E, AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N.(1) 求AEN的周長(zhǎng).(2) 求EAN的度數(shù).(3) 判斷AEN的形狀.舉一反三：1.如圖4，在ABC中，AB=AC, BC=12,BAC =130°,AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E, AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N.(1) 求AEN的周長(zhǎng).(

26、2) 求EAN的度數(shù).(3) 判斷AEN的形狀. 圖-42.如圖，己知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E兩點(diǎn)，若AB=12cm，BC=10cm,A=49º，求BCE的周長(zhǎng)和EBC的度數(shù).【例5】如圖，D是線段AB、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，若ABC50°求ADC舉一反三：1.如圖，ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，A=30°，ACB=80°，求CBE2.如圖，ABC內(nèi)有一點(diǎn)D，且D為直線AB、AC垂直平分線的交點(diǎn)，若DAB=20°，DAC=30°，則BDC的大小是（ ）A100° B80° C70&

27、#176; D50°題型二:線段垂直平分線的判定【例6】如圖所示，RtABC中，D是AB上一點(diǎn)，BD=BC，過(guò)D作AB的垂線交AC于點(diǎn)E，CD交BE于點(diǎn)F。求證：BE垂直平分CD。(用定義法和判定定理法兩種方法)【經(jīng)典例題回顧】現(xiàn)在你有什么更加簡(jiǎn)潔的證明過(guò)程嗎？【例7】 如圖，在ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，AD平分BAC，且DEAB于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F，連接EF交AD于點(diǎn)G，求證：AD垂直平分EF。舉一反三：如圖所示，AB>AC，的平分線與BC的垂直平分線相交于D，自D作于E，求證：BF=CG。1、軸對(duì)稱的性質(zhì)：（）關(guān)于某條直線對(duì)稱的圖形是全等形；（）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直

28、線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線；（）兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上；（）如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一直線垂直平分，那么，這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。2、軸對(duì)稱作（畫）圖：（）畫圖形的對(duì)稱軸（）如果一個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱點(diǎn)之間的線段的垂直平分線就是該圖形的對(duì)稱軸。（）畫某點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)的方法（）畫已知圖形關(guān)于某直線的對(duì)稱圖形注意：（）全等的圖形不一定是軸對(duì)稱的，軸對(duì)稱的圖形一定是全等的。（）性質(zhì)（）的作用是判定兩個(gè)圖形是否關(guān)于某直線對(duì)稱，它是作對(duì)對(duì)稱圖形的主要依據(jù)?！纠?】如圖，ABC和ABC關(guān)于直線對(duì)稱，下列結(jié)論中：AB

29、CABC；BACBAC；l垂直平分CC；直線BC和BC的交點(diǎn)不一定在l上，正確的有(   )A4個(gè)         B3個(gè)          C2個(gè)         D1個(gè)舉一反三：1、如圖，ABC與A/B/C/關(guān)于直線l對(duì)稱，則B的度數(shù)為（ ）FEDCBAA50° B30° C100° D90°2

30、、如圖六邊形ABCDEF是軸對(duì)稱圖形，CF所在的直線是它的對(duì)稱軸，若AFC+BCF=150°，則AFE+BCD的大小是（）150° 300° 210° 330°【例9】如圖，點(diǎn)P在AOB內(nèi)，點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P關(guān)于AO的對(duì)稱點(diǎn)、BO的對(duì)稱點(diǎn)，若PEF的周長(zhǎng)為15，求MN的長(zhǎng)等腰三角形專題講解【知識(shí)精讀】（）等腰三角形的性質(zhì) 1. 有關(guān)定理及其推論 定理：等腰三角形有兩邊相等； 定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）。 推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說(shuō)，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互

31、相重合。 推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°。等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形； 2. 定理及其推論的作用 等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關(guān)系，由兩邊相等推出兩角相等，是今后證明兩角相等常用的依據(jù)之一。等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的平分線“三線合一”的性質(zhì)是今后證明兩條線段相等，兩個(gè)角相等以及兩條直線互相垂直的重要依據(jù)。（二）等腰三角形的判定 1. 有關(guān)的定理及其推論 定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”。） 推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。 推論2：有

32、一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。 推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。 2. 定理及其推論的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角與邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系，它是證明線段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)，是本節(jié)的重點(diǎn)。 3. 等腰三角形中常用的輔助線等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解決有關(guān)等腰三角形問(wèn)題的輔助線，由于這條線可以把頂角和底邊折半，所以常通過(guò)它來(lái)證明線段或角的倍分問(wèn)題，在等腰三角形中，雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，添加輔助線時(shí)，有時(shí)

33、作哪條線都可以，有時(shí)需要作頂角的平分線，有時(shí)則需要作高或中線，這要視具體情況來(lái)定。【分類解析】【例1】如圖，已知在等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CECD，DMBC，垂足為M。求證：M是BE的中點(diǎn)。 分析：欲證M是BE的中點(diǎn)，已知DMBC，所以想到連結(jié)BD，證BDED。因?yàn)锳BC是等邊三角形，DBEABC，而由CECD，又可證EACB，所以1E，從而問(wèn)題得證。 證明：因?yàn)槿切蜛BC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn) 所以1ABC 又因?yàn)镃ECD，所以CDEE 所以ACB2E 即1E 所以BDBE，又DMBC，垂足為M 所以M是BE的中點(diǎn) （等腰三角形三線合一定理）【例2

34、】如圖，已知：中，D是BC上一點(diǎn)，且，求的度數(shù)。 分析：題中所要求的在中，但僅靠是無(wú)法求出來(lái)的。因此需要考慮和在題目中的作用。此時(shí)圖形中三個(gè)等腰三角形，構(gòu)成了內(nèi)外角的關(guān)系。因此可利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)外角關(guān)系定理來(lái)求。 解：因?yàn)?，所?因?yàn)椋裕?因?yàn)?，所以（等邊?duì)等角） 而 所以 所以 又因?yàn)?即 所以 即求得 說(shuō)明1. 等腰三角形的性質(zhì)是溝通本題中角之間關(guān)系的重要橋梁。把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系是此等腰三角形性質(zhì)的本質(zhì)所在。本條性質(zhì)在解題中發(fā)揮著重要的作用，這一點(diǎn)在后邊的解題中將進(jìn)一步體現(xiàn)。 2. 注意“等邊對(duì)等角”是對(duì)同一個(gè)三角形而言的。 3. 此題是利用方程思想解幾何計(jì)算題，

35、而邊證邊算又是解決這類題目的常用方法。 【例3】已知：如圖，中，于D。求證：。 分析：欲證角之間的倍半關(guān)系，結(jié)合題意，觀察圖形，是等腰三角形的頂角，于是想到構(gòu)造它的一半，再證與的關(guān)系。 證明：過(guò)點(diǎn)A作于E， 所以（等腰三角形的三線合一性質(zhì)） 因?yàn)?又，所以 所以（直角三角形兩銳角互余） 所以（同角的余角相等） 即 說(shuō)明： 1. 作等腰三角形底邊高線的目的是利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，構(gòu)造角的倍半關(guān)系。因此添加底邊的高是一條常用的輔助線； 2. 對(duì)線段之間的倍半關(guān)系，常采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”或“倍長(zhǎng)中線”等輔助線的添加方法，對(duì)角間的倍半關(guān)系也同理，或構(gòu)造“半”，或構(gòu)造“倍”。因此，本題還可以有其它的

36、證法，如構(gòu)造出的等角等。4、中考題型： 1.如圖，ABC中，ABAC，A36°，BD、CE分別為ABC與ACB的角平分線，且相交于點(diǎn)F，則圖中的等腰三角形有（ ） A. 6個(gè) B. 7個(gè) C. 8個(gè) D. 9個(gè) 分析：由已知條件根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的度數(shù)可求得等腰三角形有8個(gè)，故選擇C。 2.）已知：如圖，在ABC中，ABAC，D是BC的中點(diǎn)，DEAB，DFAC，E、F分別是垂足。求證：AEAF。 證明：因?yàn)椋?又因?yàn)?所以 又D是BC的中點(diǎn)，所以 所以 所以，所以 說(shuō)明：證法二：連結(jié)AD，通過(guò) 證明即可5、題形展示：【例1】如圖，中，BD平分。求證：。 分析一：從

37、要證明的結(jié)論出發(fā)，在BC上截取，只需證明，考慮到，想到在BC上截取，連結(jié)DE，易得，則有，只需證明，這就要從條件出發(fā)，通過(guò)角度計(jì)算可以得出。 證明一：在BC上截取，連結(jié)DE、DF 在和中， 又 而 即分析二：如圖，可以考慮延長(zhǎng)BD到E，使DEAD，這樣BDAD=BD+DE=BE，只需證明BEBC，由于，只需證明易證，故作的角平分線，則有，進(jìn)而證明，從而可證出。 證明二：延長(zhǎng)BD到E，使DEAD，連結(jié)CE，作DF平分交BC于F。 由證明一知： 則有 DF平分 ，在和中 ，而 在和中， 在中， 說(shuō)明：“一題多證”在幾何證明中經(jīng)常遇到，它是培養(yǎng)思維能力提高解題水平的有效途徑，讀者在以后的幾何學(xué)習(xí)中要

38、善于從不同角度去思考、去體會(huì)，進(jìn)一步提高自身的解題能力?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】 1. 選擇題：等腰三角形底邊長(zhǎng)為5cm，一腰上的中線把其周長(zhǎng)分為兩部分的差為3cm，則腰長(zhǎng)為（ ） A. 2cmB. 8cmC. 2cm或8cmD. 以上都不對(duì) 2. 如圖，是等邊三角形，則的度數(shù)是_。3. 求證：等腰三角形兩腰中線的交點(diǎn)在底邊的垂直平分線上. 4. 中，AB的中垂線交AB于D，交CA延長(zhǎng)線于E，求證：。【試題答案】 1. B 2. 分析：結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，計(jì)算圖形中角的度數(shù)是等邊三角形性質(zhì)的重要應(yīng)用。 解：因?yàn)槭堑冗吶切?所以 因?yàn)?，所?所以 在中，因?yàn)?所以，所以 所以 3. 分析：首先將文字語(yǔ)言

39、翻譯成數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言。已知：如圖，在中，D、E分別為AC、AB邊中點(diǎn)，BD、CE交于O點(diǎn)。求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線上。 分析：欲證本題結(jié)論，實(shí)際上就是證明。而OB、OC在中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為證含有的兩個(gè)三角形全等。證明：因?yàn)樵谥?，所以（等邊?duì)等角）又因?yàn)镈、E分別為AC、AB的中點(diǎn)，所以（中線定義）在和 中，所以所以（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）。所以（等角對(duì)等邊）。即點(diǎn)O在BC的垂直平分線上。說(shuō)明：（1）正確地理解題意，并正確地翻譯成幾何符號(hào)語(yǔ)言是非常重要的一步。特別是把“在底邊的垂直平分線上”正確地理解成“OBOC”是關(guān)鍵的一點(diǎn)。（2）實(shí)際上，本題

40、也可改成開放題：“ABC中，ABAC，D、E分別為AC、AB上的中點(diǎn)，BD、CE交于O。連結(jié)AO后，試判斷AO與BC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論”其解決方法是和此題解法差不多的。4. 分析：此題沒(méi)有給出圖形，那么依題意，應(yīng)先畫出圖形。題目中是求線段的倍半關(guān)系，觀察圖形，考慮取BC的中點(diǎn)。證明：過(guò)點(diǎn)A作BC邊的垂線AF，垂足為F。31在中，所以 所以（等腰三角形三線合一性質(zhì)）。所以（鄰補(bǔ)角定義）。所以又因?yàn)镋D垂直平分AB，所以（直角三角形兩銳角互余）。（線段垂直平分線定義）。又因?yàn)椋ㄖ苯侨切沃?角所對(duì)的邊等于斜邊的一半）。所以在和中，所以所以即。說(shuō)明：（1）根據(jù)題意，先準(zhǔn)確地畫出圖形，是解幾何題的

41、一項(xiàng)基本功；（2）直角三角形中角的特殊關(guān)系，溝通了邊之間的數(shù)量關(guān)系，為順利證明打通了思路。第十三章 實(shí)數(shù)【知識(shí)要點(diǎn)】一、實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。1、實(shí)數(shù)有以下兩種分類方法： （1）按定義分類 （2）按大小分類2、實(shí)數(shù)中的倒數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值概念和有理數(shù)一樣，例如的相反數(shù)為，倒數(shù)為，的絕對(duì)值為。3、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系： 實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都可以用一個(gè)實(shí)數(shù)表示。4、實(shí)數(shù)的運(yùn)算： （1）關(guān)于有理數(shù)的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍適用。 （2）涉及無(wú)理數(shù)的計(jì)算，可根據(jù)問(wèn)題的要求取其近似值，轉(zhuǎn)化為有理數(shù)進(jìn)行計(jì)算。二

42、、二次根式：一般地，式子叫做二次根式，其中叫做被開方數(shù)。1、二次根式的性質(zhì)： （1）；（2）； 2、最簡(jiǎn)二次根式： （1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式。即被開方數(shù)不含有分母。 （2）被開方數(shù)中不含有能開盡方的因數(shù)或因式。即被開方數(shù)中每個(gè)因數(shù)或因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2。3、同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫同類二次根式。4、二次根式的運(yùn)算：（1）二次根式的運(yùn)算法則： ； ； ； ；（2）分母有理化（3）二次根式的混合運(yùn)算三、非負(fù)性及應(yīng)用：1、非負(fù)數(shù)包括正數(shù)和零2、常見(jiàn)的非負(fù)數(shù)有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，實(shí)數(shù)的偶次方，非負(fù)實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根等，用符號(hào)表示如

43、下： 若a是實(shí)數(shù)，則； 若a是實(shí)數(shù)，則（n為正整數(shù)），當(dāng)n=1時(shí)，a20； （n為正整數(shù)）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則，此時(shí)；3、非負(fù)數(shù)有如下性質(zhì)： 有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和是非負(fù)數(shù)；有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和是零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)是零。【典例解析】1、無(wú)理數(shù)的識(shí)別與估算方法例1 、（1）在實(shí)數(shù)3.14，中，哪些是有理數(shù)，哪些是無(wú)理數(shù)？（2）估算的值（ ）A在5和6之間 B.在6和7之間 C.在7和8之間 D.在8和9之間2、實(shí)數(shù)的大小比較方法例2、（1）比較大?。?_（填“”“”或“” ） （2）已知，則、的大小關(guān)系為_（3）比較大?。寒?dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，_.（填“”或“” ）3、實(shí)數(shù)有數(shù)軸的關(guān)系例3、如右圖：數(shù)軸上點(diǎn)A表示的

44、數(shù)為x，則x213的立方根是（ ）A.13 B.13 C.2 D.24、實(shí)數(shù)的運(yùn)算例4、（1）；（2）；（3）； （4）。5、實(shí)數(shù)性質(zhì)的使用例5、（1）化簡(jiǎn)： ； （2）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，則2a_0；ab_0；ba_0；2aab_。 例6、（1）已知，求的值。（2）已知的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則=_【課堂檢測(cè)】1、在中，屬于有理數(shù)的是 _屬于無(wú)理數(shù)的是 _2、（1） ； 。 （2） 。 （3）若= 。 （4）計(jì)算 。3、比較大小（1） （2） 。 4、下列語(yǔ)句中不正確的是（ ） A無(wú)理數(shù)是帶根號(hào)的數(shù)，其根號(hào)下的數(shù)字開方開不盡； B8的立方根是±2； C絕對(duì)

45、值等于的實(shí)數(shù)是 D每一個(gè)實(shí)數(shù)都有數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)。 5、與相乘，結(jié)果為1的數(shù)是（ ） ABCD6、下列計(jì)算正確的是（ ） A B C.D7、數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)在表示的點(diǎn)的左邊，則式子的值是（ ） A正數(shù)B-1C小于-1D大于-18、化簡(jiǎn)，甲、乙兩同學(xué)的解法如下：甲：； 乙：，對(duì)于他們的解法，正確的是（ ） A甲、乙的解法都正確B甲正確、乙不正確C甲、乙的解都錯(cuò)誤 D.正確、甲不正確 9、計(jì)算或化簡(jiǎn)：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）已知，求（6）已知的值。10、已知y=+18,求代數(shù)式的值。11、細(xì)心觀察右圖和認(rèn)真分析下列各式，然后解答問(wèn)題：， ；， ；， ；（1）請(qǐng)用含的（為

46、正整數(shù)）的等式表示上述變化的規(guī)律；（2）推算出 ， ； ， ；（3）求出的值。第十四章 一次函數(shù)變化的世界 一次函數(shù)函數(shù) 圖像性質(zhì) 一元一次方程一元一次不等式 二元方程組一 函數(shù)在某變化過(guò)程中，存在 個(gè)變量x、y，y隨x的變化而發(fā)生變化，對(duì)于x在其取值范圍內(nèi)，每一個(gè)確定的值，y都有 的值與之對(duì)應(yīng)，我們稱y是x的函數(shù)。練習(xí)：函數(shù)y中自變量的取值范圍是，y=中x的取值范圍是 二 一次函數(shù)和正比例函數(shù)1概念： 若兩個(gè)變量x，y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b（k，b為常數(shù)，k0）的形式，則稱y是x的 （x為自變量），特別地，當(dāng)b=0時(shí)，稱y是x的 .（1）一次函數(shù)的自變量的取值范圍是一切實(shí)數(shù)，但在實(shí)

47、際問(wèn)題中要根據(jù)函數(shù)的 來(lái)確定.（2）一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意義相同，即自變量x的次數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)k必須是不為零的常數(shù)，b可為任意常數(shù).練習(xí)：已知函數(shù)；（1）若是一次函數(shù)，應(yīng)滿足什么條件？（2）若是正比例函數(shù)，應(yīng)滿足什么條件？2、一次函數(shù)的圖象由于一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k0）的圖象是一條直線，所以一次函數(shù)y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b此直線與y軸的交點(diǎn)（ ），與x軸的交點(diǎn)（ ）.畫正比例函數(shù)y=kx的圖象時(shí)，只要描出點(diǎn)（0， ），（1， ）即可.3、一次函數(shù)性質(zhì)（1）性質(zhì)函數(shù)kb位置Y隨x的變化

48、草圖（2）點(diǎn)P（x0，y0）與直線y=kx+b的圖象的關(guān)系A(chǔ).如果點(diǎn)P（x0，y0）在直線y=kx+b的圖象上，那么x0,y0的值必滿足解析式y(tǒng)=kx+b；B.如果x0，y0是滿足函數(shù)解析式的一對(duì)對(duì)應(yīng)值，那么以x0，y0為坐標(biāo)的點(diǎn)必在函數(shù)的圖象上（3）確定正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達(dá)式的條件A.由于正比例函數(shù)y=kx（k0）中只有一個(gè)待定系數(shù)k，故只需一個(gè)條件（如一對(duì)x，y的值或一個(gè)點(diǎn)）就可求得k的值B.由于一次函數(shù)y=kx+b（k0）中有兩個(gè)待定系數(shù)k，b，需要兩個(gè)獨(dú)立的條件確定兩個(gè)關(guān)于k，b的方程，求得k，b的值，這兩個(gè)條件通常是兩個(gè)點(diǎn)或兩對(duì)x，y的值4.一次函數(shù)與方程（不等式）(1). 一元

49、一次方程、一元一次不等式及一次函數(shù)的關(guān)系 一次函數(shù)及其圖像與一元一次方程及一元一次不等式有著密切的關(guān)系，解決此類問(wèn)題關(guān)鍵是找到函數(shù)y=kx+b（k0，k，b為常數(shù)）與x軸的交點(diǎn)（ ），直線y=kx+b在x軸的上方，也就是函數(shù)的值大于零，x的值是不等式 （k0）的解；在x軸的下方也就是函數(shù)的值小于零，x的值是不等式 （k0）的解；在x軸上也就是函數(shù)值等于零，x的值是方程 的解。(2) 一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系 兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)的二元一次方程組的解，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)的值 ；圖像在上方的函數(shù)的值較 。熱身訓(xùn)練1下列各式y(tǒng)是x一次函數(shù)的為（ ）A B y=x2+2x+5 C y=2x D E

50、y=a+3F 2如圖的四個(gè)圖象中，不表示某一函數(shù)圖象的是（ ）3函數(shù)y=x的圖象是一條過(guò)原點(diǎn)及（2，_ ）的直線，這條直線經(jīng)過(guò)第_象限，當(dāng)x增大時(shí)，y隨之_ 4. 函數(shù)y=2x4，與x軸的交點(diǎn)是 ，當(dāng)x_，y<0；.當(dāng)x_，y>0。5函數(shù)y=-3x+5上取x1=1，x2=2，比較大?。簓1_y2；函數(shù)y=(m2+1)x+2 （m為常數(shù)）有x1=1，x2=2，比較大小y1_y2； 6某一次函數(shù)圖像過(guò)一、三、四象限，則：k_0，b_07如右圖，判斷那些點(diǎn)屬于該直線A.（1，3）B.（-1，1）C.（2，-2）D.（，-1）基本訓(xùn)練一、 填空題 1 小華用500元去購(gòu)買單價(jià)為3元的一種商

51、品，剩余的錢y（元）與購(gòu)買這種商品的件數(shù)x（件）之間的函數(shù)關(guān)系是_， x的取值范圍是_ 2 函數(shù)y=2x4的圖象經(jīng)過(guò)_象限，它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為_3 一次函數(shù)y=kxb的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，5），交y軸的點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3，則k=_，b=_ 4若點(diǎn)（m，m3）在函數(shù)y= x2的圖象上，則m=_ 5、直線y=3-9x與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_ 6、若直線y=kxb平行直線y=3x4，且過(guò)點(diǎn)（1，-2），則k= ；b= . 二、選擇題1一次函數(shù)y=x-1的圖像不經(jīng)過(guò)(   )A.第一象限     B.第二象限     C.第三象限     D.第四象限2.已知正比例函數(shù)y=kx(k0)的圖像過(guò)第二、四象限,則(    )A.y隨x的增大而減小