二次型標(biāo)準(zhǔn)形規(guī)范形化簡(jiǎn)與定性判別

1、第五講 二次型標(biāo)準(zhǔn)形規(guī)范形化簡(jiǎn)與定性判別1.二次型的矩陣形式和矩陣的合同2.二次型標(biāo)準(zhǔn)形化簡(jiǎn)（對(duì)稱變換法、配方法、正交變換法）3.二次型規(guī)范形化簡(jiǎn)（開方法）4.實(shí)二次型定性判別（慣性指數(shù)法、特征值法、順序主子式法、定義法）1 二次型的矩陣形式和矩陣的合同二次型的概念定義1 含有個(gè)變量的二次齊次函數(shù) 稱為元二次型（其中稱為平方項(xiàng)，稱為混乘項(xiàng)）二次型的矩陣形式若取，則，于是上式可以寫成 其中，稱為二次型的矩陣形式由，故為對(duì)稱矩陣，即稱對(duì)稱矩陣為該二次型的矩陣二次型稱為對(duì)稱矩陣的二次型對(duì)稱矩陣的秩稱為二次型的秩在這種情況下，二次型與對(duì)稱矩陣之間通過就建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故往往用對(duì)稱矩陣的性質(zhì)來討論二

2、次型的性質(zhì)當(dāng)為復(fù)數(shù)時(shí), 稱為復(fù)二次型；當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，稱為實(shí)二次型例1 設(shè)，求的矩陣，并求的秩解 對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣是故，所以二次型的秩為3對(duì)于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆線性變換 即 使二次型化成只含有平方項(xiàng)，不含有混乘項(xiàng)的形式，即這種只含有平方項(xiàng)的二次型，稱為標(biāo)準(zhǔn)二次型，或稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)于實(shí)二次形，再若標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)只在中選取，則將這種二次型稱為規(guī)范二次型，即，（其中為二次型的秩）矩陣的合同下面討論一下合同矩陣對(duì)于二次型而言，經(jīng)可逆線性變換，將其化成若記 則由于，故為對(duì)稱矩陣，故為關(guān)于的二次型關(guān)于與的關(guān)系，我們給出以下矩陣合同的定義定義2 設(shè)，為兩個(gè)階方陣，如果存在可逆矩陣，使得，則

3、稱矩陣合同于矩陣，或稱與為合同矩陣由以上定義可以看出，二次型的矩陣與經(jīng)過可逆線性變換得到的二次型的矩陣是合同矩陣矩陣合同的基本性質(zhì)： 自反性 任意方陣與其自身合同；因?yàn)?對(duì)稱性 若與合同，則與合同；因?yàn)槿襞c合同，則存在可逆陣使得則即即與合同 傳遞性 若與合同，與合同，則合同于；因?yàn)?得 ，故與合同定理1 若為對(duì)稱矩陣，為可逆矩陣，則仍為對(duì)稱矩陣，且（請(qǐng)讀者自己證明）從而二次型經(jīng)可逆變換后，其秩不變，但二次型的矩陣變?yōu)?；在本?jié)最后給出矩陣的等價(jià)、相似、合同三種關(guān)系的邏輯關(guān)系：經(jīng)過若干次行列變換得到，則與等價(jià)，即與等價(jià)存在可逆陣 使成立與相似存在可逆陣使與合同存在可逆陣使通過以上三個(gè)定義可以看出，

4、相似矩陣一定是等價(jià)矩陣，合同矩陣一定是等價(jià)矩陣特別，由上一章實(shí)對(duì)稱矩陣的可正交相似對(duì)角化知道：實(shí)對(duì)稱矩陣與其相似的對(duì)角矩陣既相似又合同. 但等價(jià)矩陣不一定是相似矩陣，也不一定是合同矩陣習(xí)題11.寫出下列二次型的矩陣，并求其秩.（1）；（2）；（3）4.二次型的秩為，則（ ）.A4 ； B3 ； C2 ； D1 .5.設(shè)均為階矩陣，且合同，則（ ）A相似 ；B ；C； D.有相同的特征值.6.下列矩陣（ ）與矩陣合同.A；B；C；D. .2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形化簡(jiǎn)在這一部分中我們將用三種方法證明：任意二次型都可以經(jīng)過可逆線性變換化成只含有平方項(xiàng)的形式： 即化成二次型的標(biāo)準(zhǔn)形其中為對(duì)角矩陣.化二次型為標(biāo)

5、準(zhǔn)形三種方法分別式：對(duì)稱變換法，拉格朗日配方法，正交變換法對(duì)稱變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形設(shè)有可逆線性變換,它把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形=，其中為對(duì)角矩陣求可逆矩陣，使對(duì)稱矩陣化成對(duì)角矩陣的過程，稱為合同對(duì)角化. 由于為可逆矩陣，故可以寫成若干個(gè)初等矩陣的乘積，即存在初等矩陣，使，于是有將上面兩式合并起來寫成分塊矩陣的形式，就有即由此可以看出，對(duì)由與豎排而寫的型矩陣作相當(dāng)于右乘矩陣的列初等變換，再對(duì)其中所在部分作相當(dāng)于左乘矩陣的行初等變換，則矩陣所在部分變?yōu)閷?duì)角矩陣，而單位矩陣所在部分就相應(yīng)的變?yōu)樗玫目赡婢仃? 對(duì)由與豎排而寫的型矩陣作一次相當(dāng)于右乘初等矩陣的列初等變換和一次相應(yīng)的(相當(dāng)于左乘矩陣的)行初

6、等變換合起來稱為一次對(duì)稱變換. 即對(duì)稱變換有如下三種：及相應(yīng)的；及相應(yīng)的；及相應(yīng)的.對(duì)稱矩陣合同對(duì)角化方法對(duì)進(jìn)行對(duì)稱變換：先作倍列加化所在部分的第一個(gè)對(duì)角元素為非零，再作一次相應(yīng)的行初等變換（這使這個(gè)非零對(duì)角元素變?yōu)?倍，而第一行其余元素只要改成與第一列對(duì)稱就可以了）；再利用這個(gè)非零對(duì)角元素的倍數(shù)作倍列加化所在部分的第一行對(duì)角元素后面的所有元素都為零，每次列初等變換都要作一次相應(yīng)的行初等變換（這只要把所在部分的對(duì)角線下方元素改成與對(duì)角線上方元素對(duì)稱就可以了）；這樣所在部分的第一個(gè)對(duì)角元素就變好了；再對(duì)所在部分的第二個(gè)對(duì)角元素，進(jìn)行上述過程，一直到所在部分的每一個(gè)對(duì)角元素都變好了，就把所在部分化

7、成了對(duì)角矩陣，則所在部分就相應(yīng)的變?yōu)樗玫目赡婢仃嚵? 因此上述對(duì)稱變換過程中的化對(duì)角元素為非零的兩次初等變換可以同時(shí)進(jìn)行，寫成一步. 每次化所在部分的對(duì)角元素后面的所有元素都為零所作的倍列加，和把所在部分的對(duì)角線下方元素改成與對(duì)角線上方元素對(duì)稱所作的相應(yīng)的行初等變換也可以同時(shí)進(jìn)行，寫成一步.例2 設(shè)，利用對(duì)稱變換法求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣.解 由，因此，所用可逆矩陣，對(duì)角矩陣?yán)?求一個(gè)可逆線性變換，將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形解 由于二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣為利用對(duì)稱變換法對(duì)進(jìn)行合同對(duì)角化，即所以，且.令，即 ，將該可逆線性變換代入原二次型可得其標(biāo)準(zhǔn)形通過以上討論可以看出，對(duì)稱變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形就相當(dāng)于

8、利用對(duì)稱變換把二次型所對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣合同對(duì)角化配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形拉格朗日配方法的規(guī)則： 按平方項(xiàng)的順序配方，即若二次型含有的平方項(xiàng)，則先將所有含有項(xiàng)集中在一起,按下列公式 ，其中為系數(shù)，中不含有配成完全平方，再對(duì)其余的變量重復(fù)上述過程直到所有變量配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過可逆線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形 若二次型中不含有平方項(xiàng)，只含有混乘項(xiàng)若，則可以先作一個(gè)可逆變換化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按中方法配方注意：配方法是一種可逆線性變換，其標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)的系數(shù)只與配方的方法有關(guān)，與的特征值無關(guān)由于二次型與對(duì)稱矩陣一一對(duì)應(yīng)，而任一二次型經(jīng)配方法一定可以標(biāo)準(zhǔn)化，即存在可逆線性變換使得為標(biāo)準(zhǔn)形即 為對(duì)

9、角矩陣 至此，我們已經(jīng)分別用對(duì)稱變換法和配方法證明了以下定理：定理2 對(duì)于任一對(duì)稱矩陣，存在可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣，即任一對(duì)稱矩陣都與一個(gè)對(duì)角矩陣合同從而二次型可以經(jīng)過可逆線性變換變成標(biāo)準(zhǔn)形，即為對(duì)角矩陣亦即 ；注：在該定理中，的合同對(duì)角矩陣 的對(duì)角線元素只與對(duì)稱變換法或配方法的過程有關(guān)，不一定是的個(gè)特征值例4 設(shè)，試將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的可逆線性變換解 由 令 ， 即 則的標(biāo)準(zhǔn)形為此時(shí)也為的規(guī)范形所用的可逆線性變換為即 ，在上例中，由于的對(duì)稱矩陣，且將化成標(biāo)準(zhǔn)形所需的可逆線性變換系數(shù)矩陣，則必有即與對(duì)角陣合同由此可見，要把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形，關(guān)鍵在于求出一個(gè)可逆線性變換系數(shù)矩陣，使得

10、為對(duì)角矩陣?yán)? 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形解 方法 由由于原二次型為三元二次型，配方完成后出現(xiàn)了四個(gè)平方項(xiàng)，即平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)大于二次型的元數(shù)，這是錯(cuò)誤的即二次型標(biāo)準(zhǔn)化的過程中，標(biāo)準(zhǔn)形中的平方項(xiàng)數(shù)小于等于二次型的元數(shù)怎樣才能避免以上錯(cuò)誤呢？方法就是按平方項(xiàng)的變量依次逐個(gè)順序完全配方，即遵循拉格朗日配方法的第準(zhǔn)則方法 其中，令， 即 為所用的可逆線性變換同時(shí)可逆線性變換系數(shù)矩陣?yán)? 化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的可逆線性變換矩陣解 由于中不含有平方項(xiàng)可以令，其中 代入，得再配方 令 ，即 ，亦即，其中則二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形所用的可逆線性變換矩陣為即所需可逆線性變換為，的表達(dá)式如上上面介紹了利用拉格朗日配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)

11、形，此方法與二次型的矩陣的特征值及特征向量無關(guān)正交變換法化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形正交變換法，此方法只適用于化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，且與實(shí)二次型的實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值及特征向量密切相關(guān)為了介紹正交變換法，先作一些準(zhǔn)備(P10_P19)（1）向量的內(nèi)積定義3 設(shè)有維實(shí)列向量， ，令，稱為向量與的內(nèi)積（也稱為數(shù)量積）顯然，若與都為維實(shí)行向量，即，則.由以上定義可以看出向量?jī)?nèi)積是兩個(gè)向量的一種運(yùn)算，其結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)內(nèi)積具有以下性質(zhì)：（其中為維實(shí)向量，為實(shí)數(shù)） ； ； ； ，當(dāng)且僅當(dāng)； .（這個(gè)不等式稱為施瓦茨(Schwarz)不等式）證明略（2）向量的長(zhǎng)度定義4令，稱為維實(shí)向量的長(zhǎng)度（或范數(shù)、模、模長(zhǎng)）其中為維實(shí)

12、向量的個(gè)分量向量長(zhǎng)度具有以下性質(zhì)： ，當(dāng)且僅當(dāng)；（非負(fù)性） （）；（齊次性） ；（三角不等式） 對(duì)于維向量有，證明略當(dāng)時(shí)，稱為單位向量對(duì)于中的任一非零向量，有是一個(gè)單位向量，因?yàn)?故稱為非零向量單位化公式，即任一非零實(shí)向量都可以利用化為一個(gè)單位向量（3）向量的夾角定義5當(dāng)時(shí)，令稱為維非零實(shí)向量與的夾角例7設(shè)，求與的夾角解由，得（4）向量的正交性定義6若兩實(shí)向量與的內(nèi)積是零，即，則稱與正交.顯然，若，則與任意實(shí)向量都正交定義7若維實(shí)向量組都是非零向量且兩兩正交，即 ，且（），有，則稱為正交向量組例如，中的，是一個(gè)正交向量組下面討論正交向量組的性質(zhì).定理3若維向量組為一個(gè)正交向量組，則線性無關(guān)，即

13、正交向量組一定是線性無關(guān)向量組證 設(shè)有使得.用左乘上式兩端，得，由于為正交向量組，故，即有，即得同理可證于是線性無關(guān)注： 中任一正交向量組的向量個(gè)數(shù)不超過； 若向量組兩兩正交且都為單位向量，則稱這樣的正交向量組為規(guī)范正交向量組例8已知中的兩個(gè)向量：，正交，試求一個(gè)非零向量使為正交向量組解由題意可知：，即.記，則，即可取齊次線性方程組的一個(gè)非零解作為由，得基礎(chǔ)解系，取即可定義8設(shè)是一個(gè)向量空間， 若是向量空間的的一個(gè)基，且兩兩正交，則稱為向量空間的一個(gè)正交基 若是向量空間的一個(gè)基，同時(shí)滿足兩兩正交，且都是單位向量，則稱為的一個(gè)規(guī)范正交基（或標(biāo)準(zhǔn)正交基）例如，為的一個(gè)規(guī)范正交基推廣，維單位向量組，

14、為的一個(gè)規(guī)范正交基若為的一個(gè)規(guī)范正交基，那么中的任一向量能由惟一線性表示，即存在惟一的，使得.則為向量在規(guī)范正交基下的坐標(biāo)，且，因此，在求向量空間的基時(shí)，往往求一個(gè)規(guī)范正交基（5）求規(guī)范正交基的方法設(shè)是向量空間的一個(gè)基，要求的一個(gè)規(guī)范正交基，相當(dāng)于求一組兩兩正交的單位向量，使它與等價(jià)我們將這樣的一個(gè)問題稱為線性無關(guān)向量組的規(guī)范正交化規(guī)范正交化可由以下正交化和單位化兩個(gè)步驟完成. 正交化：令， ，易驗(yàn)證兩兩正交，且與等價(jià)上述過程稱為施密特正交化過程，它可以將任一線性無關(guān)的向量組化成與之等價(jià)的正交向量組 單位化：令，則為的一個(gè)規(guī)范正交基由以上步驟可以看出，施密特正交化過程可以將中的任一線性無關(guān)的向

15、量組化為與之等價(jià)的正交組；再利用單位化公式，令，得到與等價(jià)的規(guī)范正交向量組我們將以上二步稱為正交規(guī)范化過程在這一過程中，必須先正交化，再單位（規(guī)范）化注：空間中任意個(gè)線性無關(guān)的向量都可以作為的一個(gè)基，且這個(gè)基一定可以通過正交規(guī)范化化成與之等價(jià)的的一個(gè)規(guī)范正交基（6）正交矩陣和正交變換.定義9若階實(shí)方陣滿足，則稱為正交矩陣，簡(jiǎn)稱為正交陣?yán)纾捎?，故為正交矩陣正交矩陣有以下重要性質(zhì)： 為正交矩陣 為階實(shí)方矩陣且為階實(shí)方矩陣且； 若為正交矩陣，則、也是正交矩陣； 兩個(gè)正交矩陣的乘積仍為正交矩陣； 若為正交矩陣，則或定理4為正交矩陣的充分必要條件是的列向量組（行向量組）是規(guī)范正交向量組證將按列分塊，

16、設(shè).為正交矩陣等價(jià)于，即等價(jià)于，即即故為規(guī)范正交向量組（行向量的情況利用可以類似證明）定義9設(shè)為正交矩陣，稱線性變換為正交變換設(shè)為正交變換，則有這說明正交變換不改變向量的長(zhǎng)度，這是正交變換的優(yōu)良特性所在例9設(shè)，驗(yàn)證不是正交矩陣解 的行向量組的第一個(gè)向量為，其長(zhǎng)度為，故不是單位向量因此，的行向量組不是單位正交組，故不是正交矩陣.例10設(shè)為維單位列向量，令，證明：為對(duì)稱的正交矩陣證由于，故為對(duì)稱矩陣由為維單位列向量，得，即. 又 ，故為正交矩陣綜上知，為對(duì)稱的正交矩陣（7）實(shí)對(duì)稱矩陣的特征性質(zhì)在上一節(jié)我們討論了一般的階方陣的相似對(duì)角化問題，并得出了一些有效的結(jié)論本節(jié)我們僅對(duì)為實(shí)對(duì)稱矩陣的情況進(jìn)行討

17、論，實(shí)對(duì)稱陣具有許多一般矩陣所設(shè)有的特殊性質(zhì)定理5實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都為實(shí)數(shù)證明設(shè)復(fù)數(shù)為對(duì)稱矩陣特征值，復(fù)向量為對(duì)應(yīng)的特征向量，即：，以表示的共軛復(fù)數(shù)，表示的共軛復(fù)向量，則于是有，及以上兩式相減，得由假設(shè)，所以有，故，即，這說明為實(shí)數(shù)對(duì)于實(shí)對(duì)稱陣，由于其特征值（）全為實(shí)數(shù)，故線性方程組：是實(shí)系數(shù)齊次線性方程組，由其系數(shù)行列式知它必有實(shí)得基礎(chǔ)解系，所以的特征向量可以取實(shí)向量定理6設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣的兩個(gè)特征值，是對(duì)應(yīng)于的特征向量，若，則與正交證明由題意可知，因?yàn)閷?duì)稱陣，故，于是，移項(xiàng)有 ，由，故，即與正交定理6說明實(shí)對(duì)稱矩陣不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量不但是線性無關(guān)的，同時(shí)也是正交的定理7設(shè)為階實(shí)對(duì)稱

18、陣，是的特征方程的重特征根，則矩陣的秩，從而對(duì)應(yīng)于特征值恰有個(gè)線性無關(guān)的特征向量定理6說明實(shí)對(duì)稱陣一定可以相似對(duì)角化以上準(zhǔn)備知識(shí)本身也是很重要的. 實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似對(duì)角化定理8設(shè)為階實(shí)對(duì)稱陣，則必存在正交陣，使，即其中是以的個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角陣證設(shè)的互不相等的特征值為，它們的重?cái)?shù)分別為重，（）由定理5和定理6知，對(duì)應(yīng)于特征值（）的線性無關(guān)的特征向量共有個(gè)（），把它們正交化，再單位化即得對(duì)應(yīng)于的個(gè)單位正交特征向量，由于，故總體而言有個(gè)特征向量，再由定理6知，這個(gè)單位特征向量?jī)蓛烧?，以它們按列排列夠成的為正交矩陣，則 求正交陣使實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似對(duì)角化的步驟求出的全部互異特征值；對(duì)每個(gè)特

19、征值（），有求出一個(gè)基礎(chǔ)解系；將每組基礎(chǔ)解系（特征向量）正交化，再單位化；以這些單位正交向量作為列向量構(gòu)成正交陣，則（其中中的列向量的排列順序與矩陣的對(duì)角線上的特征值的排列順序相對(duì)應(yīng)）我們將以上過程稱為實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化過程例11設(shè)實(shí)對(duì)稱陣，求正交陣，使為對(duì)角矩陣解由矩陣的特征方程為解得的特征值為，對(duì)，由得的基礎(chǔ)解系；當(dāng)對(duì)，由得的基礎(chǔ)解系；當(dāng)對(duì)，由得的基礎(chǔ)解系由互異，知正交，將它們單位化，令，則為正交陣，且注：的列向量的次序要與的對(duì)角元素的次序相一致： 若令，則對(duì)角陣；若令，則對(duì)角陣?yán)?2設(shè)，求一個(gè)正交陣，使為對(duì)角矩陣解由矩陣的特征方程解得的特征值，（二重根）對(duì)，由得的基礎(chǔ)解系，將單位

20、化，得，對(duì)（二重根），由得的基礎(chǔ)解系，將正交化，令，再將單位化得，令，最后令，即為所求的矩陣使為對(duì)角矩陣由于任一實(shí)對(duì)稱矩陣都可以正交相似對(duì)角化，即存在正交矩陣使得為由的特征值為對(duì)角元素的對(duì)稱矩陣從而任一實(shí)對(duì)稱矩陣都可以合同對(duì)角化定理9 任一實(shí)二次型，總存在正交變換，使 為標(biāo)準(zhǔn)形：其中恰好為實(shí)二次型的實(shí)對(duì)稱矩陣的個(gè)特征值通過以上討論可得利用正交變換法化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的基本步驟： 將實(shí)二次型寫成矩陣形式，求出實(shí)對(duì)稱矩陣； 求出的所有特征值； 求出的不同特征值對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量； 將特征向量正交化，再單位化得：，記 ； 作正交變換，則 例13 將二次型利用正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形解 二次型對(duì)應(yīng)的實(shí)

21、對(duì)稱矩陣 求的特征值得； 求的特征向量對(duì)，由得的基礎(chǔ)解系為 ，對(duì)，由得的基礎(chǔ)解系為 ， 正交化單位化 由與正交，故只需將正交化令；，.再單位化.令，令，即為所求的正交變換矩陣，所求的正交變換為且在正交變換下原二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形習(xí)題31. 求二次型 的標(biāo)準(zhǔn)形.并求得到標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形分別所用的可逆線性變換.【建議用三種不同的方法求其標(biāo)準(zhǔn)形以及所用的可逆線性變換】2. 將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,并求所用的可逆線性變換矩陣.（1）（2）（3）3.求一個(gè)正交變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.4.二次曲面可經(jīng)正交變換化為橢圓柱面方程，求的值與正交陣P.3二次型的規(guī)范形化簡(jiǎn)在以上的討論過程中我們可以看出：任意二次型都可

22、以標(biāo)準(zhǔn)化.雖然標(biāo)準(zhǔn)形的形式并不唯一，但是對(duì)于實(shí)二次型，在標(biāo)準(zhǔn)形中，正，負(fù)平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)及項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是唯一確定的，即正平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)等于對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣的正特征值的個(gè)數(shù)，負(fù)平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)等于的負(fù)特征值的個(gè)數(shù)，項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)等于的特征值為的個(gè)數(shù)（其中重根按重?cái)?shù)計(jì)算）在此基礎(chǔ)上，如有必要我們可以重新安排變量的次序，使平方項(xiàng)的順序分別為正平方項(xiàng)，負(fù)平方項(xiàng)和項(xiàng)則秩為的二次型的標(biāo)準(zhǔn)形可以化成其中，為的秩進(jìn)而化成，若再作可逆線性變換（這個(gè)變換通常稱為開方變換）：則，即二次型最終可化成以上形式的標(biāo)準(zhǔn)形（此種標(biāo)準(zhǔn)形是一種特殊的規(guī)范形）因此我們有以下定理定理10 任何實(shí)二次型都可以通過可逆線性變換化成規(guī)范形且規(guī)范形是由二次型本身

23、唯一確定（即系數(shù)的項(xiàng)數(shù)及項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是唯一確定的），與所作的可逆線性變換無關(guān)通常將實(shí)二次型的規(guī)范形的正項(xiàng)個(gè)數(shù)稱為的正慣性指數(shù)，負(fù)項(xiàng)個(gè)數(shù)稱為負(fù)慣性指數(shù)，稱為的符號(hào)差，正好為的秩，也為對(duì)應(yīng)的矩陣的秩同時(shí)也可以看出：二次型的正慣性指數(shù)等于對(duì)應(yīng)的矩陣的正特征值的個(gè)數(shù)，負(fù)慣性指數(shù)為的負(fù)特征值的個(gè)數(shù)（其中重根按重?cái)?shù)計(jì)算）例14 化實(shí)二次型為規(guī)范形，并求其正、負(fù)慣性指數(shù)解 由 令 ，則為規(guī)范形，且正慣性指數(shù)，負(fù)慣性指數(shù) 習(xí)題33. 求二次型 的規(guī)范形.并求得到標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形分別所用的可逆線性變換.【建議用三種不同的方法求其標(biāo)準(zhǔn)形以及所用的可逆線性變換】4. 將下列二次型化為規(guī)范形,并求所用的可逆線性變換矩陣.（

24、1）（2）（3）3.設(shè)二次型 .若二次型 的規(guī)范形為 ，求的值.4實(shí)二次型定性判別 實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形顯然不是唯一的，只是標(biāo)準(zhǔn)形中所含正負(fù)平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是確定的，即正，負(fù)慣性指數(shù)是確定的故對(duì)于任意實(shí)二次型，若不考慮前后順序則其規(guī)范形是唯一，故我們有以下定理定理11 設(shè)二次型，它的秩為若有兩個(gè)可逆變換及使 ，及 ，則中正數(shù)的個(gè)數(shù)與中正數(shù)的個(gè)數(shù)是相等的從而其中負(fù)數(shù)個(gè)數(shù)也是相同的這個(gè)定理稱為慣性定理（證明略）由以上慣性定理很容易推出以下結(jié)論：推論1 設(shè)的秩為，則其規(guī)范形一定可以表示為 實(shí)二次型的定性是根據(jù)其函數(shù)值的符號(hào)來定義的.定義10 設(shè)有二次型，為實(shí)對(duì)稱矩陣， 如果對(duì)任何都有成立，則稱為正定二次型，

25、矩陣稱為正定矩陣記作及 如果對(duì)于任何都有成立，則稱為負(fù)定二次型，矩陣稱為負(fù)定矩陣記作及例15 設(shè)，判斷的正定性解 由 得，對(duì)于任意有故，即為正定二次型 實(shí)二次型的定性判別，除了根據(jù)定義直接判別（定義法）外，還有如下幾個(gè)定理.定理12（慣性指數(shù)判別法） 元二次型為正定二次型的充分必要條件是：它的標(biāo)準(zhǔn)形的個(gè)系數(shù)全為正，即它的正慣性指數(shù)，亦即它的規(guī)范形的個(gè)系數(shù)全為證 設(shè)有可逆線性變換使二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形 充分性 設(shè)，任給，則故 即正定必要性 （利用反證法） 假設(shè)有則令（單位坐標(biāo)向量），則，再由，這與為正定二次型矛盾由以上定理和二次型定性的定義立即可得以下推論.推論2 二次型正定的充分必要條件為為負(fù)定二

26、次型推論3 元二次型為負(fù)定二次型的充分必要條件是它的標(biāo)準(zhǔn)形的個(gè)系數(shù)全為負(fù)數(shù)，即它的負(fù)慣性指數(shù)，亦即它的規(guī)范形中的個(gè)系數(shù)全為推論4（特征值判別法） 對(duì)稱矩陣為正定的充分必要條件是：的特征值全為正數(shù) 對(duì)稱矩陣為負(fù)定的充分必要條件是：的特征值全為負(fù)數(shù)定理13 （順序主子式判別法） 對(duì)稱矩陣為正定的充分必要條件是：各階順序主子式都為正，即 ， 對(duì)稱矩陣為負(fù)定的充分必要條件是：的奇數(shù)階順序主子式都為負(fù)，偶數(shù)階順序主子式都為正，即 這個(gè)定理稱為赫爾維茨定理例6.10 判斷二次型的正定性解 由的二次型矩陣，一階主子式，二階主子式，三階主子式根據(jù)赫爾維茨定理可知為負(fù)定矩陣故為負(fù)定二次型注：若給出二次型，判斷其正定性，一般是利用赫爾維茨定理來判斷對(duì)應(yīng)的二次型矩陣的正定性，進(jìn)而判斷的正定性，這是一種方便有效的方法，請(qǐng)同學(xué)們牢記例6.11 當(dāng)何值時(shí)，二次型為正定二次型解 由于的二次型矩陣，故由赫爾維茨定理可知，若正負(fù)，則，即即故當(dāng)時(shí)，為正定二次型最后再給出幾個(gè)結(jié)論： 設(shè)為正定矩陣，則也是正定矩陣； 設(shè),為正定矩陣，則也是正定矩陣； 實(shí)對(duì)稱矩陣為正定矩陣的充分必要條件是與單位矩陣合同且合同變換矩陣為實(shí)可逆矩陣