線性方程組的矩陣求法

1、線性方程組的矩陣求法摘要：關(guān)鍵詞：第一章 引言矩陣及線性方程組理論是高等代數(shù)的重要內(nèi)容 , 用矩陣 方法解線性方程組又是人們學(xué)習(xí)高等代數(shù)必須掌握的基本 技能,本文將給出用矩陣解線性方程組的幾種方法，通過對線性方程 組的系數(shù)矩陣(或增廣矩陣)進(jìn)行初等變換得到其解，并列舉出幾種 用矩陣解線性方程組的簡便方法。第二章 用矩陣消元法解線性方程組第一節(jié) 預(yù)備知識(shí)定義 1：一個(gè)矩陣中不等于零的子式的最大階數(shù)叫作這個(gè)矩陣的秩。定理 1：初等變換把一個(gè)線性方程組變?yōu)橐粋€(gè)與它同解的線性方程 組。定義2：定義若階梯形矩陣滿足下面兩個(gè)條件：(1) B的任一非零行向量的第一個(gè)非零分量(稱為的一個(gè)主元)為 1；(2)

2、B中每一主元是其所在列的唯一非零元。則稱矩陣為行最簡形矩陣。第二節(jié)1對一個(gè)線性方程組施行一個(gè)初等變換， 相當(dāng)于對它的增廣矩陣施行一個(gè)對應(yīng)的行初等變換，而化簡線性方程組相當(dāng)于用行初 等變換化簡它的增廣矩陣，因此，我們將要通過花間矩陣來討論 化簡線性方程組的問題。這樣做不但討論起來比較方便，而且能 給我們一種方法，就一個(gè)線性方程組的增廣矩陣來解這個(gè)線性方 程組，而不必每次都把未知量寫出來。下面以一般的線性方程組為例，給出其解法：aiiXi - ai2X2- dnXn f,a2ixi * a22X2 + + a2nh =b2,(1)am1X1am2X2amnXn = bm.根據(jù)方程組可知其系數(shù)矩陣為

3、:(2)fanai2aina21a22a2nl am1a m2amn丿3#其增廣矩陣為:(3)'ana12a1nb1a21a22a2nb2iam1am2amnbm#根據(jù)（2）及矩陣的初等變換我們可以得到和它同解的線性方程 組，并很容易得到其解。定理2:設(shè)A是一個(gè)m行n列矩陣a11A=am1am2ain通過行初等變換和第一種列初等變換能把A化為以下形式1 000c“0 100c2,y" 0 0 01 *進(jìn)而化為（5）0 0 01cr,r0 Gnc2nCrn0°這里r_0,r_m, r_n , “表示矩陣的元素，但不同位置上的“表示 的元素未必相等。即任何矩陣都可以通過

4、初等變換化為階梯形，并進(jìn)而化為行最 簡形現(xiàn)在考察方程組（1）的增廣矩陣（3），由定理2我們可以對（1） 的系數(shù)矩陣（2）施行一次初等變換，把它化為矩陣（5），對增廣 矩陣（3）施行同樣的初等變換，那么（3）可以化為以下形式："1 0 0 0 G,宀Gn d1、0 1 0 0 Q,宀C2n d2（6）00 0 1 G,宀 dr0 0e 0dm與（6）相當(dāng)?shù)木€性方程組是:Xi1 G,r 1X-GnXin 二 di,X2- C2,r 1Xir 1 .C2nXin =d2,（7）Xir+Cr,rHiXr+CrnXn =dr,° = dr i,° = dm ,這里ii, i

5、2，in是1, 2,，n的一個(gè)排列，由于方程組（7） 可以由方程組（1）通過方程組的初等變換以及交換未知量的位置 而得到，所以由定理1，方程組（7）與方程組（1）同解。因此， 要求方程組（1），只需解方程組（7），但方程組（7）是否有解以 及有怎樣的解很容易看出：情形（1）, r<m,而d“,dm不全為零，這時(shí)方程組（7）無解, 因?yàn)樗暮髆-r個(gè)方程中至少有一個(gè)無解。因此方程組（1）也無 解。情形（1）, r=m或r<m而d,dm全為零，這時(shí)方程組（7）Xi1 G,r 必GnXn 二 d1,Xi2 c2,r 1Xir 1C2nXin = d2，與方程組（8） 同解。Xir 

6、9; Cr,r -1Xir' - CmX dr當(dāng)r=n時(shí)，方程組（8）有唯一解，就是Xit = dt ,t=1,2,n.這也是 方程組（1）的唯一解當(dāng)r<n時(shí)方程組（8）可以改寫為Xk = a-q“x心-SXn，Xi2 二 d2 - CzrMiri - -c2nxin ,(9)Xir= dr -cr,r.1% 勺ir-CrnXin于是,給予未知量X，X以任意一組數(shù)值kj ,k ,就得到r 1nr 1nXh二 di - q,r ikir -qnkin ,Xir二dr -弘點(diǎn)廠從-Crnkin（8）的一個(gè)解：Xir 1 二 kir 1 ,Xin = kn.這也是（1）的一個(gè)解。由于K

7、#,K可以任選，用這一方法可以 得到（1）的無窮多解。另一方面，由于（8）的任一解都必須滿 足（9）,所以（8）的全部解，亦即（1）的全部解都可以用以上 方法得到。例1:解線性方程組X1+2x2 + 3x3 + x4 = 5,2x + 4x2- x4 = -3,_ 2x2 十 3x3 十 2x4 = 8,X1+2x2 9x3 5x4 = -21.解：方程組的增廣矩陣是12315、240-1-3-1-2328訂2- 9-5-21進(jìn)行初等行變換可得到矩陣最簡形12013-20011312石0000020000對應(yīng)的線性方程組是C13x<2x2x42=2113X3 + X4=:2 6把移到右邊

8、作為自由未知量，得原方程組的一般解Xi-3-2x2 12 2X4,713X31X4.2第三章用初等變換解線性方程組定義2:設(shè)B為m n行最簡形矩陣，按以下方法作s n矩陣C: 對任一 i : 1乞i乞s,若有B的某一主元位于第i列，則將其所在行稱 為C的第i行，否則以n維單位向量e = （0，0, -1,0，0）作為C的第 i行，稱C為B的s n單位填充矩陣（其中1乞s ）.顯然，單位填充矩陣的主對角線上的元素只能是“1”或“ -1” ,若主對角線上某一元素為“ -1”,則該元素所在列之列向量稱為C的“ L列向量”。定義3:設(shè)B為行最簡形矩陣，若B的單位填充矩陣C的任一“ J一 列向量”均為以

9、B為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組：buN +2X2 + +bnXn =0,b2必曲2b2nXn =0,bmlX| bm2X2= 0.的解向量，則陳C與B是匹配的（也說B與C是匹配的）。引理1:設(shè)B為行最簡形矩陣，若將B的第i列與第j列交換位置所 得矩陣仍為行最簡形矩陣，貝心（I）將的單位填充矩陣的第行與第行交換位置， 第列與第列交 換位置所得矩陣為單位填充矩陣，其中（H）若C與B是匹配的，則c與B'也是匹配。證明：結(jié)論（I）顯然成立，下證（H），因?yàn)镃與B是匹配的，故C只能是n n矩陣，從而c也是n n矩陣，設(shè)以B為系數(shù)矩陣的方程組為（1）,以B為系數(shù)矩陣的方程組為（1）,以B為系數(shù)矩陣的

10、方程組為：b11X1b12X2 ' b1nXn 二 0,1 1 1b21X1b22X2b2nXn =0,（?）1 1 1b m1X1b m2X2b mnXn 一 °則由B與B'的關(guān)系可知對方程組（1）進(jìn)行變量代換Xj 二 yj ，就得到方程組（2）,于是方程組（1）的任一解向量交換i、j兩個(gè)分量的位置后就是方程組（2）的一個(gè)解向量，又從C與C'的關(guān)系可 知，C的任一“ J一列向量”均可由C的某一“ J一列向量”交換i、j 兩個(gè)分量的位置后得到，從而由C與B匹配知C'與B'也是匹配的。引理2：任一 m n行最簡形矩陣與其n n單位填充矩陣C是匹配

11、10 0b1,r +b1,rd201 0b2,r 卑b2,H2 "Lbmb2nbrn0證明：1設(shè)B =00 1br,r -10420000000 000則以為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組為Xgr 1Xr 1 -九 Xr 2 DnXn =0,X2"r 1b?Mr 2bz.Xn =0,Xr0,1 b,r 2人 2gn X. = 0而B的單位填充矩陣為:0八0b1,r +Q心01.八0b2,r 卅b2,H2 00-1br,r +br,H2 000-10<00000C 二bmb2n(5)n；n其所有J一列向量為r 1 二(b1,r 1 ,br,r 1, 一1,0,0)r 2 -

12、(b1,r 2 ,br, r 2, 0, -1，0)n=(b”b,n, 0, 0廠 -1)顯然它們都是方程組 的解，即B與C是匹配的.2, 一般形式的行最簡形矩陣B顯然總可以通過一系列的第二類初等列變換(變換兩列的位置)化為(3)的形式，從而B的單位填充矩陣C通過相應(yīng)的初等行、列變換就變成矩陣(5),由于這種變換是可遞的據(jù)引理2及引理1 (H) 知B與C是匹配的定理3:設(shè)齊次線性方程組aiiXiQ2X2 亠亠 amXn 二 0,a2iXia22X2a2nXn =0,(6)am1 X1am2X2的系數(shù)矩陣A經(jīng)一系列初等行變換化為行最簡形矩陣 B,則B的n n單位填充矩陣C的所有“ J一列向量”構(gòu)

13、成方程組(6)的一個(gè)基礎(chǔ)解系。證明：設(shè)以B為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組為(1),則(1)與(6)同解, 據(jù)引理2知C的所有“J一列向量”都是方程組(1)的解,且是n-r個(gè)線性 無關(guān)的解向量，(這里r=秩(B)=秩(A),從而構(gòu)成方程組(1)的一個(gè)基 礎(chǔ)解系，也是方程組(6)的一個(gè)基礎(chǔ)解系.定理3:設(shè)非齊次線性方程組a11X1 ' a2X2' a1nXb1,a21 Xl a22X2a2nXn = P ,am1 Xlam2 X2amnX _ bn.有解，其增廣矩陣A經(jīng)一系列初等行變換化為行最簡形矩陣B,則B的n (n+1)單位填充矩陣C的所有“尸列向量”構(gòu)成方程組的導(dǎo)出組 的一個(gè)基礎(chǔ)

14、解系，而C的最后一個(gè)列向量為方程組(7)的一個(gè)特解。證明：由定理3,前一結(jié)論顯然，下證C的最后一個(gè)列向量為方程 組(7)的一個(gè)特解。作齊次線性方程組(8)a11x1 - a12x2 a1nxn - bXn 勺=0 a21x1 a22x2 a2nxn b2xn 彳=0am1X1am2X2amnXn - “X. .1 = 0則方程組(8)的系數(shù)矩陣即為方程組(7)的增廣矩陣A,于是B的(n+1)(n+1)單位填充矩陣為'c'l0, o；0, -1 丿由定理3知C的最后一個(gè)列向量是方程組(8)的一個(gè)解，從而易知C的最后一個(gè)列向量即為方程組(7)的一個(gè)特解.例2:求線性方程組% - x

15、2 3x3 - X4 - x5 - -3(9)3x1 2x2 4x3 - 5% - x5 - -42x-i4x3 2x4 3x5 - -4%2x3 x4 -3為-2的一般解。解:方程組(9)的增廣矩陣為1-13-1-1-33245-1-42042-3-4J021-1-2A =用初等行變換將變?yōu)樾凶詈喰尉仃嚒?00201002-100001002-10-210012#寫出B的5 6單位填充矩陣:1310B= 000200-2 ?1-10210-1000001-10000-1°于是，方程組的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為(2,-1,-1,0,0)2 =(020, -1-1)而方程的一個(gè)特解為3=(

16、- 2, 1,0, 0,0)從而方程組(9)的一般解為r k, 1 k23其中k1, k2為任意常數(shù).第四章 線性方程組通解的一種簡便求法1 齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的一種簡便求法 設(shè)有齊次線性方程組61X12X2 aXn =0,a2必a22X2a2nXn =0,(1)9m1X| - am2X2 - ' ' amnXn = 0.矩陣形式為XA =0,其中X =(為必焉),ai1a12a21 a22a2nA=am1am2amn j14#求方程組XA0的一個(gè)基礎(chǔ)解系的方法如下：ATE 行初等變換n m nr：n#(n -r) m其中r = r ( A) , r ( Dr m ) =

17、r，即Dr m為一個(gè)行滿秩矩陣，En為n階單位矩陣，P為n階可逆矩陣。則矩陣P的后(n - r)行即為方程組(1)的一個(gè)基礎(chǔ)解系。下面證明此結(jié)論。#證明:對于n x m矩陣at,必存在n階和m階可逆矩陣P ,Q使PatQ =Er_0，所以PAT= EQ咲,因?yàn)镻為可逆矩陣，15#P的行向量組線性無關(guān)，所以P的后(n - r)行行向量線性無關(guān)，而矩陣P一fD)的后(n - r)行為(0 , EQ P，因?yàn)?0 , EQ Pat =(0 ,粘)/=0,所以X = (0 , EnJ P為方程組XAT=0 個(gè)解，即P的后(n - r)行為方Y(jié)d)1程組(1)的一個(gè)基礎(chǔ)解系。因?yàn)镻AT tn=PAT巾=

18、咲 :P |也0(n就是對矩陣AT P施行初等行變換，將其轉(zhuǎn)變?yōu)槁?P1,則Pl0(n_L)xm J的后(n - r)行即為方程組(1)的一個(gè)基礎(chǔ)解系例3求齊次線性方程組x1X2 x3 4x4 - 3X5 = 0% - x2 3x3 _2x4 _x5 = 02x-! x2 3x3 5% - 5疋=03% x2 5x3 6焉-7x5 =0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。解112310000、1_11101000卞 E5 =1335001004-256000103-1-5700001丿112310000、0-2-1_ 2_11000T0212_101000-6-3_ 6_4001021230001丿112-3100000_2-J1-_29-110000000-10100000000010000021001因?yàn)閞 ( A) = 2 ,所以P的后3 行，即 i= ( - 2 ,1 ,1 ,0,0), 3 ,0 ,1 ,0) , 3 = (2 ,1 ,0 ,0 ,1)為方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。2非齊次線性方程組通解的一種簡便求法設(shè)有非齊次線性方程組 耳必P2X2二J,821X1822X2a2nXn 二鳥,am1X1am2X2amnXn =bm其矩陣方程為xat=