第19講_等腰三角形

1、一、選擇題一、選擇題( (每小題每小題6 6分，共分，共3030分分) )1.(20101.(2010東陽(yáng)中考東陽(yáng)中考) )已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為4040，則，則這個(gè)等腰三角形的頂角為這個(gè)等腰三角形的頂角為( )( )(A)40(A)40 (B)100 (B)100(C)40(C)40或或100100 (D)70 (D)70或或5050【解析解析】選選C.40C.40若是底角，則頂角為若是底角，則頂角為180180-40-402=1002=100, ,4040為頂角亦滿足題意為頂角亦滿足題意. .2.2.如圖，等邊如圖，等邊ABCABC的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為3 3，P

2、P為為BCBC上一點(diǎn)，且上一點(diǎn)，且BP=1BP=1，D D為為ACAC上一點(diǎn)，若上一點(diǎn)，若APD=60APD=60，則，則CDCD的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為( )( )【解析解析】選選B.B=60B.B=60, ,BAP+APB=120BAP+APB=120. .APD=60APD=60,CPD+APB=120,CPD+APB=120, ,BAP=DPC,BAP=DPC,ABPABPPCD,PCD, AB=3,BP=1,PC=2,CD= .AB=3,BP=1,PC=2,CD= .233.(20103.(2010寧波中考寧波中考) )如圖，在如圖，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，A=36A=36，

3、BDBD、CECE分別是分別是ABCABC、BCDBCD的角平分線，則圖中的等腰三角的角平分線，則圖中的等腰三角形有形有( )( )(A)5(A)5個(gè)個(gè) (B)4(B)4個(gè)個(gè)(C)3(C)3個(gè)個(gè) (D)2(D)2個(gè)個(gè)【解析解析】選選A.A.因?yàn)橐驗(yàn)锳B=ACAB=AC，A=36A=36，所以，所以ABC=ACB=72ABC=ACB=72. .由由BDBD、CECE分別是分別是ABCABC、BCDBCD的角平分線，可得的角平分線，可得ABD=CBD=ACE=BCE=36ABD=CBD=ACE=BCE=36, ,所以所以ABCABC、BCDBCD、ABDABD、BCEBCE、DCEDCE都為等腰三

4、角形都為等腰三角形. .4.(20104.(2010臨沂中考臨沂中考) )如圖，如圖，ABCABC和和DCEDCE都是邊長(zhǎng)為都是邊長(zhǎng)為4 4的等邊的等邊三角形，點(diǎn)三角形，點(diǎn)B B、C C、E E在同一條直線上，連接在同一條直線上，連接BDBD，則，則BDBD的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為( )( )【解析解析】選選D.D.過點(diǎn)過點(diǎn)D D作作DFCEDFCE于點(diǎn)于點(diǎn)F F，在，在RtRtBDFBDF中，中，DF= ,BF=6,DF= ,BF=6,所以所以BD= .BD= .2 34 35.5.如圖所示，已知等邊三角形如圖所示，已知等邊三角形ABCABC的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為1 1，按圖中所示的，按圖中所示的規(guī)律，用規(guī)律

5、，用2 0082 008個(gè)這樣的三角形鑲嵌而成的四邊形的周長(zhǎng)是個(gè)這樣的三角形鑲嵌而成的四邊形的周長(zhǎng)是( )( )(A)2 008 (B)2 009 (C)2 010 (D)2 011(A)2 008 (B)2 009 (C)2 010 (D)2 011【解析解析】選選C.C.第一個(gè)四邊形由兩個(gè)三角形組成，周長(zhǎng)為第一個(gè)四邊形由兩個(gè)三角形組成，周長(zhǎng)為4 4；第；第二個(gè)四邊形由三個(gè)三角形組成，周長(zhǎng)為二個(gè)四邊形由三個(gè)三角形組成，周長(zhǎng)為5 5；第三個(gè)四邊形由四；第三個(gè)四邊形由四個(gè)三角形組成，周長(zhǎng)為個(gè)三角形組成，周長(zhǎng)為6 6；第第n n個(gè)四邊形的周長(zhǎng)為個(gè)四邊形的周長(zhǎng)為n+3n+3，所以，所以由由2 008

6、2 008個(gè)三角形組成的四邊形的周長(zhǎng)為個(gè)三角形組成的四邊形的周長(zhǎng)為2 010.2 010.二、填空題二、填空題( (每小題每小題6 6分，共分，共2424分分) )6.6.如圖如圖, ,在在ABCABC中中,AD,AD平分平分BAC,AB=AC-BD,BAC,AB=AC-BD,則則BCBC的值是的值是_._.【解析解析】延長(zhǎng)延長(zhǎng)ABAB至至E,E,使使AE=AC,AE=AC,連結(jié)連結(jié)DE,DE,ADAD平分平分BAC,BAD=CAD.BAC,BAD=CAD.AD=AD,AD=AD,AEDAEDACD,E=C.ACD,E=C.AB=AC-BD,AB=AE-BD=AB+BE-BD.AB=AC-BD

7、,AB=AE-BD=AB+BE-BD.BE=BD,E=BDE,ABC=E+BE=BD,E=BDE,ABC=E+BDE=2E=2C.BDE=2E=2C.即即ABCC=21.ABCC=21.答案：答案：21217.7.在直角坐標(biāo)系中，在直角坐標(biāo)系中，O O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(1A(1，1)1)，在，在x x軸上確定一軸上確定一點(diǎn)點(diǎn)P P，使，使AOPAOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P P共有共有_個(gè)個(gè). .【解析解析】如圖，以如圖，以O(shè) O為圓心，為圓心，OAOA為半徑作圓為半徑作圓交交x x軸于軸于E E、B B，E E、B B可以為可以為P P；以；以A

8、A為圓心，為圓心，AOAO為半徑作圓交為半徑作圓交x x軸于軸于C,C,則則C C可以為可以為P P；作；作OAOA的中垂線交的中垂線交x x軸于軸于D.D.則則D D可以為可以為P.P.所以符合條件的點(diǎn)所以符合條件的點(diǎn)P P共共4 4個(gè)個(gè). .答案：答案：4 48.8.如圖如圖, ,在等邊在等邊ABCABC中中,D,E,D,E分別是分別是AB,ACAB,AC上的點(diǎn)上的點(diǎn), ,且且AD=CE,AD=CE,則則BCD+CBE=_BCD+CBE=_度度. .【解析解析】ABCABC為等邊三角形，為等邊三角形，AB=AC=BCAB=AC=BC，A=ABC=ACB=60A=ABC=ACB=60. .又

9、又AD=CE,AD=CE,ACDACDCBE,CBE,ACD=CBE,ACD=CBE,BCD+CBE=BCD+ACD=BCA=60BCD+CBE=BCD+ACD=BCA=60. .答案：答案：60609.(20109.(2010廣安中考廣安中考) )小敏將一張直角邊為小敏將一張直角邊為1 1的等腰直角三角形的等腰直角三角形紙片紙片( (如圖如圖1)1)，沿它的對(duì)稱軸折疊，沿它的對(duì)稱軸折疊1 1次后得到一個(gè)等腰直角三次后得到一個(gè)等腰直角三角形角形( (如圖如圖2)2)，再將圖，再將圖2 2的等腰直角三角形沿它的對(duì)稱軸折疊的等腰直角三角形沿它的對(duì)稱軸折疊后得到一個(gè)等腰直角三角形后得到一個(gè)等腰直角三

10、角形( (如圖如圖3)3)，則圖，則圖3 3中的等腰直角三中的等腰直角三角形的一條腰長(zhǎng)為角形的一條腰長(zhǎng)為_；同上操作，若小敏連續(xù)將圖；同上操作，若小敏連續(xù)將圖1 1的等的等腰直角三角形折疊腰直角三角形折疊n n次后所得到的等腰直角三角形次后所得到的等腰直角三角形( (如圖如圖n+1)n+1)的一條腰長(zhǎng)為的一條腰長(zhǎng)為_._.【解析解析】第第1 1次折疊，即圖次折疊，即圖2 2的一條腰長(zhǎng)是的一條腰長(zhǎng)是 ，第，第2 2次折疊，次折疊，即圖即圖3 3的一條腰長(zhǎng)是的一條腰長(zhǎng)是( )( )2 2，第，第3 3次折疊，即圖次折疊，即圖4 4的一條腰長(zhǎng)是的一條腰長(zhǎng)是( )( )3 3，以此類推，第，以此類推，

11、第n n次折疊后的等腰直角三角形的一條腰次折疊后的等腰直角三角形的一條腰長(zhǎng)是長(zhǎng)是( )( )n n. .答案：答案： 22222222三、解答題三、解答題( (共共4646分分) )10.(1010.(10分分)(2010)(2010聊城中考聊城中考) )如圖，在如圖，在等邊等邊ABCABC中，點(diǎn)中，點(diǎn)D D是是BCBC邊的中點(diǎn)，以邊的中點(diǎn)，以ADAD為邊作等邊為邊作等邊ADE.ADE.(1)(1)求求CAECAE的度數(shù)；的度數(shù)；(2)(2)取取ABAB邊的中點(diǎn)邊的中點(diǎn)F F，連結(jié)，連結(jié)CFCF、CECE，試證明四邊形，試證明四邊形AFCEAFCE是矩形是矩形. .【解析解析】(1)(1)在等

12、邊在等邊ABCABC中，中，點(diǎn)點(diǎn)D D是是BCBC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，DAC=30DAC=30，又又ADEADE是等邊三角形，是等邊三角形，DAE=60DAE=60，CAE=DAE-DAC=30CAE=DAE-DAC=30. .(2)(2)由由(1)(1)知，知，EAF=90EAF=90，由，由F F為為ABAB的中點(diǎn)知的中點(diǎn)知CFA=90CFA=90, ,CFEACFEA，在等邊，在等邊ABCABC中，中，CF=ADCF=AD，在等邊在等邊ADEADE中，中，AD=EA,AD=EA,CF=EACF=EA，四邊形四邊形AFCEAFCE是平行四邊形，是平行四邊形，又又CFA=90CFA=90，所以四

13、邊形，所以四邊形AFCEAFCE是矩形是矩形. . 11.(1211.(12分分) )如圖，在如圖，在ABCABC中，中，BCACBCAC，點(diǎn)，點(diǎn)D D在在BCBC上，且上，且DCDCAC,ACBAC,ACB的平分線的平分線CFCF交交ADAD于于F F，點(diǎn)，點(diǎn)E E是是ABAB的中點(diǎn)，連結(jié)的中點(diǎn)，連結(jié)EF.EF.(1)(1)求證：求證：EFBC;EFBC;(2)(2)若四邊形若四邊形BDFEBDFE的面積為的面積為6 6，求，求ABDABD的面積的面積. .【解析解析】(1)CF(1)CF平分平分ACB,ACB,1=2.1=2.又又DC=AC,DC=AC,CFCF是是ACDACD的中線，的中

14、線，點(diǎn)點(diǎn)F F是是ADAD的中點(diǎn)的中點(diǎn). .點(diǎn)點(diǎn)E E是是ABAB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，EFBD,EFBD,即即EFBC.EFBC. (2)(2)由由(1)(1)知，知，EFBDEFBD，AEFAEFABD, ABD, 12.(1212.(12分分)(2010)(2010烏魯木齊中考烏魯木齊中考) )如圖，在平行四邊形如圖，在平行四邊形ABCDABCD中，中，BEBE平分平分ABCABC交交ADAD于點(diǎn)于點(diǎn)E E，DFDF平分平分ADCADC交交BCBC于點(diǎn)于點(diǎn)F.F.(1)(1)求證：求證：ABEABECDF;CDF;(2)(2)若若BDEFBDEF，則判斷四邊形，則判斷四邊形EBFDEBFD是什

15、么特殊四邊形，請(qǐng)證明是什么特殊四邊形，請(qǐng)證明你的結(jié)論你的結(jié)論. .【解析解析】(1)(1)四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形，是平行四邊形，A=CA=C，AB=CDAB=CD，ABC=ADC.ABC=ADC.BEBE平分平分ABCABC，DFDF平分平分ADCADC，ABE=CDF,ABE=CDF,ABEABECDF(ASA).CDF(ASA).(2)(2)由由ABEABECDF,CDF,得得AE=CF,AE=CF,在平行四邊形在平行四邊形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，AD=BC,AD=BC,DEBF,DE=BF,DEBF,DE=BF,四邊形四邊形EBFDEBFD是平行四邊形

16、是平行四邊形. .若若BDEFBDEF，則四邊形，則四邊形EBFDEBFD是菱形是菱形. . 1313(12(12分分) )如圖，等邊三角形如圖，等邊三角形ABCABC邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為4 4，E E是邊是邊BCBC上動(dòng)點(diǎn)，上動(dòng)點(diǎn)，EHACEHAC于于H H，過，過E E作作EFACEFAC，交線段，交線段ABAB于點(diǎn)于點(diǎn)F F，在線段，在線段ACAC上取點(diǎn)上取點(diǎn)P P，使，使PE=EB.PE=EB.設(shè)設(shè)EC=x(0EC=x(0 x2).x2).(1)(1)請(qǐng)直接寫出圖中與線段請(qǐng)直接寫出圖中與線段EFEF相等的兩條相等的兩條線段線段( (不再另外添加輔助線不再另外添加輔助線) )；(2)Q(2)Q是

17、線段是線段ACAC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形EFPQEFPQ是是平行四邊形時(shí)平行四邊形時(shí), ,求求 EFPQEFPQ的面積的面積( (用含用含x x的代數(shù)式表示的代數(shù)式表示) )；(3)(3)當(dāng)當(dāng)(2)(2)中的中的 EFPQEFPQ面積最大時(shí)，以面積最大時(shí)，以E E為圓心，為圓心，r r為半徑作圓，為半徑作圓，根據(jù)根據(jù)E E與此時(shí)與此時(shí) EFPQEFPQ四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，求相應(yīng)的四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，求相應(yīng)的r r的取的取值范圍值范圍. .【解析解析】( ()BE)BE、PEPE、BFBF三條線段中任選兩條三條線段中任選兩條( () )在在RtRtCHECHE中，中，CHECHE9090，6060，H H x.x.PQ=EF=BE=4-x,PQ=EF=BE=4-x,32當(dāng)當(dāng)x x時(shí)，時(shí)， 有最大值有最大值此時(shí)此時(shí)E E、F F、P P分別為分別為ABCABC三邊三邊BCBC、ABAB、A