初一數(shù)學培優(yōu)專題講義

1、初一數(shù)學基礎知識講義第一講 和絕對值有關的問題一、 知識結構框圖：數(shù)二、 絕對值的意義：(1)幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|。(2)代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零。 也可以寫成： 說明：（）|a|0即|a|是一個非負數(shù)；（）|a|概念中蘊含分類討論思想。三、 典型例題例1（數(shù)形結合思想）已知a、b、c在數(shù)軸上位置如圖：則代數(shù)式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ） A-3a B 2ca C2a2b D b解：| a | + | a+b | + | c-

2、a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解絕對值的問題時，往往需要脫去絕對值符號，化成一般的有理數(shù)計算。脫去絕對值的符號時，必須先確定絕對值符號內(nèi)各個數(shù)的正負性，再根據(jù)絕對值的代數(shù)意義脫去絕對值符號。這道例題運用了數(shù)形結合的數(shù)學思想，由a、b、c在數(shù)軸上的對應位置判斷絕對值符號內(nèi)數(shù)的符號，從而去掉絕對值符號，完成化簡。例2已知：，且， 那么的值（ C ）A是正數(shù)B是負數(shù)C是零D不能確定符號解：由題意，x、y、z在數(shù)軸上的位置如圖所示： 所以 分析：數(shù)與代數(shù)這一領域中數(shù)形結合的重要載體是數(shù)軸。這道例題中三個看似復雜的不等關系借助數(shù)軸直觀、輕松的找到了x、y、

3、z三個數(shù)的大小關系，為我們順利化簡鋪平了道路。雖然例題中沒有給出數(shù)軸，但我們應該有數(shù)形結合解決問題的意識。例3（分類討論的思想）已知甲數(shù)的絕對值是乙數(shù)絕對值的3倍，且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點的兩側，兩點之間的距離為8，求這兩個數(shù)；若數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點同側呢？分析：從題目中尋找關鍵的解題信息，“數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點的兩側”意味著甲乙兩數(shù)符號相反，即一正一負。那么究竟誰是正數(shù)誰是負數(shù)，我們應該用分類討論的數(shù)學思想解決這一問題。解：設甲數(shù)為x，乙數(shù)為y由題意得：， （1）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點兩側：若x在原點左側，y在原點右側，即 x<0，y>0，則 4y=

4、8 ，所以y=2 ,x= -6若x在原點右側，y在原點左側，即 x>0，y<0，則 -4y=8 ，所以y=-2,x=6（2）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點同側：若x、y在原點左側，即 x<0，y<0，則 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12若x、y在原點右側，即 x>0，y>0，則 2y=8 ，所以y=4,x=12例4（整體的思想）方程 的解的個數(shù)是（ D ）A1個 B2個 C3個 D無窮多個分析：這道題我們用整體的思想解決。將x-2008看成一個整體，問題即轉化為求方程的解，利用絕對值的代數(shù)意義我們不難得到，負數(shù)和零的絕對值等于它的相反數(shù)，所以零和任意負數(shù)

5、都是方程的解，即本題的答案為D。 例5（非負性）已知|ab2|與|a1|互為相互數(shù)，試求下式的值分析：利用絕對值的非負性，我們可以得到：|ab2|=|a1|=0，解得：a=1,b=2于是 在上述分數(shù)連加求和的過程中，我們采用了裂項的方法，巧妙得出了最終的結果同學們可以再深入思考， 如果題目變成求 值，你有辦法求解嗎？有興趣的同學可以在課下繼續(xù)探究。例6（距離問題）觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應點間的距離 4與，3與5，與，與3. 并回答下列各題：（1）你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個數(shù)的差的絕對值有什么關系嗎？答：_相等 .（2）若數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為x，點B表示的數(shù)為1，則A與B兩點間的距離可以表示

6、為 分析：點B表示的數(shù)為1，所以我們可以在數(shù)軸上找到點B所在的位置。那么點A呢？因為x可以表示任意有理數(shù)，所以點A可以位于數(shù)軸上的任意位置。那么，如何求出A與B兩點間的距離呢？ 結合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應分以下三種情況進行討論。當x<-1時，距離為-x-1, 當-1<x<0時，距離為x+1， 當x>0，距離為x+1綜上，我們得到A與B兩點間的距離可以表示為（3）結合數(shù)軸求得的最小值為 5 ，取得最小值時x的取值范圍為 -3x_2_.分析：即x與2的差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上x與2之間的距離。即x與-3的差的絕對值，它也可以表示數(shù)軸上x與-3之間的距離。如圖，x在數(shù)軸上的位置

7、有三種可能：圖1 圖2 圖3圖2符合題意（4） 滿足的的取值范圍為 x<-4或x>-1 分析： 同理表示數(shù)軸上x與-1之間的距離，表示數(shù)軸上x與-4之間的距離。本題即求，當x是什么數(shù)時x與-1之間的距離加上x與-4之間的距離會大于3。借助數(shù)軸，我們可以得到正確答案：x<-4或x>-1。說明：借助數(shù)軸可以使有關絕對值的問題轉化為數(shù)軸上有關距離的問題，反之，有關數(shù)軸上的距離問題也可以轉化為絕對值問題。這種相互轉化在解決某些問題時可以帶來方便。事實上， 表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)A與數(shù)B的點之間的距離。這是一個很有用的結論，我們正是利用這一結論并結合數(shù)軸的知識解決了（3

8、）、（4）這兩道難題。 四、 小結1理解絕對值的代數(shù)意義和幾何意義以及絕對值的非負性2體會數(shù)形結合、分類討論等重要的數(shù)學思想在解題中的應用第二講：代數(shù)式的化簡求值問題一、知識鏈接1 “代數(shù)式”是用運算符號把數(shù)字或表示數(shù)字的字母連結而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等內(nèi)容，是初中階段同學們應該重點掌握的內(nèi)容之一。2用具體的數(shù)值代替代數(shù)式中的字母所得的數(shù)值，叫做這個代數(shù)式的值。注：一般來說，代數(shù)式的值隨著字母的取值的變化而變化3求代數(shù)式的值可以讓我們從中體會簡單的數(shù)學建模的好處，為以后學習方程、函數(shù)等知識打下基礎。 二、典型例題例1若多項式的值與x無關，求的值.分析：多項式的值與x無關，即含x

9、的項系數(shù)均為零因為所以 m=4將m=4代人，利用“整體思想”求代數(shù)式的值例2x=-2時，代數(shù)式的值為8，求當x=2時，代數(shù)式的值。分析： 因為當x=-2時， 得到，所以當x=2時，=例3當代數(shù)式的值為7時,求代數(shù)式的值.分析：觀察兩個代數(shù)式的系數(shù)由 得 ，利用方程同解原理，得 整體代人，代數(shù)式的求值問題是中考中的熱點問題，它的運算技巧、解決問題的方法需要我們靈活掌握，整體代人的方法就是其中之一。例4 已知，求的值.分析：解法一（整體代人）：由 得 所以：解法二（降次）：方程作為刻畫現(xiàn)實世界相等關系的數(shù)學模型，還具有降次的功能。由，得，所以： 解法三（降次、消元）：（消元、減項） 例5（實際應用

10、）A和B兩家公司都準備向社會招聘人才，兩家公司招聘條件基本相同，只有工資待遇有如下差異：A公司，年薪一萬元，每年加工齡工資200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工齡工資50元。從收入的角度考慮，選擇哪家公司有利？分析：分別列出第一年、第二年、第n年的實際收入（元）第一年：A公司 10000； B公司 5000+5050=10050第二年：A公司 10200； B公司 5100+5150=10250第n年：A公司 10000+200(n-1）； B公司：5000+100(n-1)+5000+100(n-1)+50=10050+200(n-1)由上可以看出B公司的年收入永遠比A公司多50元，如不

11、細心考察很可能選錯。例6三個數(shù)a、b、c的積為負數(shù)，和為正數(shù)，且，則 的值是_ 。解：因為abc<0，所以a、b、c中只有一個是負數(shù)，或三個都是負數(shù)又因為a+b+c>0，所以a、b、c中只有一個是負數(shù)。不妨設a<0，b>0，c>0則ab<0，ac<0，bc>0所以x=-1+1+1-1-1+1=0將x=0代入要求的代數(shù)式，得到結果為1。同理，當b<0，c<0時，x=0。另：觀察代數(shù)式 ，交換a、b、c的位置，我們發(fā)現(xiàn)代數(shù)式不改變，這樣的代數(shù)式成為輪換式，我們不用對a、b、c再討論。有興趣的同學可以在課下查閱資料，看看輪換式有哪些重要的性

12、質(zhì)。172839410511612規(guī)律探索問題：例7如圖，平面內(nèi)有公共端點的六條射線OA，OB，OC，OD，OE，OF，從射線OA開始按逆時針方向依次在射線上寫出數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，（1）“17”在射線 _上，“2008”在射線_上（2）若n為正整數(shù)，則射線OA上數(shù)字的排列規(guī)律可以用含n的代數(shù)式表示為_分析：OA上排列的數(shù)為：1，7，13，19， 觀察得出，這列數(shù)的后一項總比前一項多6， 歸納得到，這列數(shù)可以表示為6n-5因為17=3×6-1，所以17在射線OE上。因為2008=334×6+4=335×6-2，所以2008在射線OD上例8 將正奇數(shù)按下

13、表排成5列: 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列第一行 1 3 5 7第二行 15 13 11 9第三行 17 19 21 23第四行 31 29 27 25 根據(jù)上面規(guī)律，2007應在A125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D. 251行,5列分析：觀察第二、三、四列的數(shù)的排列規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第三列數(shù)規(guī)律容易尋找 第三列數(shù)： 3，11，19，27， 規(guī)律為8n-5 因為2007=250×8+7=251×8-1 所以，2007應該出現(xiàn)在第一列或第五列 又因為第251行的排列規(guī)律是奇數(shù)行，數(shù)是從第二列開始從小到大排列，所以2007應該在第251行第5列例9

14、（2006年嘉興市）定義一種對正整數(shù)n的“F”運算：當n為奇數(shù)時，結果為3n5；當n為偶數(shù)時，結果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算重復進行例如，取n26，則：26134411第一次F第二次F第三次F若n449，則第449次“F運算”的結果是_分析：問題的難點和解題關鍵是真正理解“F”的第二種運算，即當n為偶數(shù)時，結果為（其中k是使 為奇數(shù)的正整數(shù)），要使所得的商為奇數(shù)，這個運算才能結束。 449奇數(shù)，經(jīng)過“F”變?yōu)?352；1352是偶數(shù)，經(jīng)過“F”變?yōu)?69，169是奇數(shù)，經(jīng)過“F”變?yōu)?12，512是偶數(shù)，經(jīng)過“F”變?yōu)?，1是奇數(shù)，經(jīng)過“F”變?yōu)?，8是偶數(shù)，經(jīng)過“F”變?yōu)?，我

15、們發(fā)現(xiàn)之后的規(guī)律了，經(jīng)過多次運算，它的結果將出現(xiàn)1、8的交替循環(huán)。再看運算的次數(shù)是449，奇數(shù)次。因為第四次運算后都是奇數(shù)次運算得到8，偶數(shù)次運算得到1，所以，結果是8。三、小結用字母代數(shù)實現(xiàn)了我們對數(shù)認識的又一次飛躍。希望同學們能體會用字母代替數(shù)后思維的擴展，體會一些簡單的數(shù)學模型。體會由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。第三講：與一元一次方程有關的問題一、知識回顧一元一次方程是我們認識的第一種方程，使我們學會用代數(shù)解法解決一些用算術解法不容易解決的問題。一元一次方程是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，它既是對前面所學知識有理數(shù)部分的鞏固和深化，又為以后的一元二次方程、不等式、函數(shù)等內(nèi)容打下堅實的基礎

16、。典型例題：二、典型例題例1若關于x的一元一次方程=1的解是x=-1，則k的值是（ ）A B1 C- D0分析：本題考查基本概念“方程的解”因為x=-1是關于x的一元一次方程=1的解，所以，解得k=-例2若方程3x-5=4和方程的解相同，則a的值為多少？分析：題中出現(xiàn)了兩個方程，第一個方程中只有一個未知數(shù)x，所以可以解這個方程求得x的值；第二個方程中有a與x兩個未知數(shù)，所以在沒有其他條件的情況下，根本沒有辦法求得a與x的值，因此必須分析清楚題中的條件。因為兩個方程的解相同，所以可以把第一個方程中解得x代入第二個方程，第二個方程也就轉化為一元一次方程了。解：3x-5=4， 3x=9， x=3 因

17、為3x-5=4與方程 的解相同 所以把x=3代人中即 得3-3a+3=0，-3a=-6，a=2例3.（方程與代數(shù)式聯(lián)系） a、b、c、d為實數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新的運算 . （1）則的值為 ；（2）當 時，= . 分析：（1）即a=1，b=2，c=-1，d=2，因為，所以=2-（-2）=4 （2）由 得：10-4（1-x）=18 所以10-4+4x=18，解得x=3例4（方程的思想）如圖，一個瓶身為圓柱體的玻璃瓶內(nèi)裝有高厘米的墨水，將瓶蓋蓋好后倒置，墨水水面高為h厘米，則瓶內(nèi)的墨水的體積約占玻璃瓶容積的（ ）不考慮瓶子的厚度.A B C D分析：左右兩個圖中墨水的體積應該相等，所以這是個等積變換問題

18、，我們可以用方程的思想解決問題解：設墨水瓶的底面積為S，則左圖中墨水的體積可以表示為Sa 設墨水瓶的容積為V，則右圖中墨水的體積可以表示為V-Sb 于是，Sa= V-Sb，V= S(a+b) 由題意，瓶內(nèi)的墨水的體積約占玻璃瓶容積的比為例5 小杰到食堂買飯，看到A、B兩窗口前面排隊的人一樣多，就站在A窗口隊伍的里面，過了2分鐘，他發(fā)現(xiàn)A窗口每分鐘有4人買了飯離開隊伍，B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊伍，且B窗口隊伍后面每分鐘增加5人。此時，若小李迅速從A窗口隊伍轉移到B窗口后面重新排隊，將比繼續(xù)在A窗口排隊提前30秒買到飯，求開始時，有多少人排隊。 分析：“B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊伍，且B

19、窗口隊伍后面每分鐘增加5人”相當于B窗口前的隊伍每分鐘減少1人，題中的等量關系為：小李在A窗口排隊所需時間=轉移到B窗口排隊所需時間+ 解：設開始時，每隊有x人在排隊， 2分鐘后，B窗口排隊的人數(shù)為：x-6×2+5×2=x-2 根據(jù)題意，可列方程： 去分母得 3x=24+2(x-2)+6 去括號得3x=24+2x-4+6移項得3x-2x=26解得x=26所以，開始時，有26人排隊。 課外知識拓展：一、含字母系數(shù)方程的解法： 思考：是什么方程？在一元一次方程的標準形式、最簡形式中都要求a0，所以不是一元一次方程我們把它稱為含字母系數(shù)的方程。例6解方程解：（分類討論）當a0時，

20、 當a=0，b=0時，即 0x=0，方程有任意解當a=0，b0時，即 0x=b，方程無解即方程的解有三種情況。例7問當a、b滿足什么條件時，方程2x+5-a=1-bx：（1）有唯一解；（2）有無數(shù)解；（3）無解。分析：先解關于x的方程，把x用a、b表示，最后再根據(jù)系數(shù)情況進行討論。解： 將原方程移項得2x+bx=1+a-5，合并同類項得：(2+b)x=a-4 當2+b0，即b-2時，方程有唯一解，當2+b=0且a-4=0時，即b=-2且a=4時，方程有無數(shù)個解，當2+b=0且a-40時，即b=-2且a4時，方程無解，例 8 解方程分析：根據(jù)題意，ab0，所以方程兩邊可以同乘ab 去分母，得b(

21、x-1)-a(1-x)=a+b 去括號，得bx-b-a+ax=a+b 移項，并項得 (a+b)x=2a+2b 當a+b0時，=2 當a+b=0時，方程有任意解說明：本題中沒有出現(xiàn)方程中的系數(shù)a=0，b0的情況，所以解的情況只有兩種。 二、含絕對值的方程解法例9 解下列方程 解法1：（分類討論）當5x-2>0時，即x>， 5x-2=3， 5x=5， x=1 因為x=1符合大前提x>，所以此時方程的解是x=1當5x-2=0時，即x=， 得到矛盾等式0=3，所以此時方程無解當5x-2<0時，即x<， 5x-2= -3，x= 因為x=符合大前提x<，所以此時方程的解

22、是x=綜上，方程的解為x=1 或x=注：求出x的值后應注意檢驗x是否符合條件解法2：（整體思想） 聯(lián)想：時，a=±3 類比：，則5x-2=3或5x-2=-3解兩個一元一次方程，方程的解為x=1 或x=例10 解方程 解：去分母 2| x-1|-5=3移項 2| x-1|=8 | x-1|=4所以x-1=4或x-1=-4解得x=5或x=-3例11 解方程 分析：此題適合用解法2 當x-1>0時，即x>1，x-1=-2x+1，3x=2，x=因為x=不符合大前提x>1，所以此時方程無解當x-1=0時，即x=1，0=-2+1，0 =-1，此時方程無解 當x-1<0時，

23、即x<1，1-x=-2x+1，x=0因為x=0符合大前提x<1，所以此時方程的解為x=0綜上，方程的解為x=0三、小結1、體會方程思想在實際中的應用2、體會轉化的方法，提升數(shù)學能力第四講：圖形的初步認識一、相關知識鏈接：1認識立體圖形和平面圖形我們常見的立體圖形有長方體、正方體、球、圓柱、圓錐，此外，棱柱，棱錐也是常見的幾何體。我們常見的平面圖形有正方形、長方形、三角形、圓2 立體圖形和平面圖形關系立體圖形問題常常轉化為平面圖形來研究，常常會采用下面的作法（1）畫出立體圖形的三視圖立體圖形的的三視圖是指正視圖（從正面看）、左視圖（從左面看）、俯視圖（從上面看）得到的三個平面圖形。（

24、2）立體圖形的平面展開圖常見立體圖形的平面展開圖圓柱、圓錐、三棱柱、三棱錐、正方體（共十一種）二、典型問題：（一）正方體的側面展開圖（共十一種）分類記憶：第一類，中間四連方，兩側各一個，共六種。第二類，中間三連方，兩側各有一、二個，共三種。第三類，中間二連方，兩側各有二個，只有一種。 第四類，兩排各三個，只有一種?；疽螅?. 在右面的圖形中是正方體的展開圖的有（ C ）（A）3種 （B）4種 （C）5種 （D）6種2下圖中, 是正方體的展開圖是( B ) A B C D3如圖四個圖形都是由6個大小相同的正方形組成，其中是正方體展開圖的是（ D  ）A 

25、0;      B        C        D123645較高要求：4下圖可以沿線折疊成一個帶數(shù)字的正方體，每三個帶數(shù)字的面交于正方體的一個頂點，則相交于一個頂點的三個面上的數(shù)字之和最小是( A ) A 7 B 8 C 9 D 10 5一個正方體的展開圖如右圖所示，每一個面上都寫有一個自然數(shù)并且相對兩個面所寫的兩個數(shù)之和相等，那么a+b-2c= （ B ）A40 B.38 C.36 D. 34分析：

26、 由題意 8+a=b+4=c+25 所以 b=4+a c=a-17 所以 a+b-2c=a+(4+a)-2(a-17)=4+34=386將如圖所示的正方體沿某些棱展開后，能得到的圖形是（ C ） A B C D7下圖是某一立方體的側面展開圖，則該立方體是（ D ）ABCD 還原正方體，正確識別正方體的相對面。（二）常見立體圖形的平面展開圖8下列圖形是四棱錐的展開圖的是 （ C ） （A） （B） （C） （D）9下面是四個立體圖形的展開圖，則相應的立體圖形依次是( A )A正方體、圓柱、三棱柱、圓錐B.正方體、圓錐、三棱柱、圓柱C正方體、圓柱、三棱錐、圓錐D.正方體、圓柱、四棱柱、圓錐10下列

27、幾何體中是棱錐的是（ B ） A. B. C. D. 11如圖是一個長方體的表面展開圖，每個面上都標注了字母，請根據(jù)要求回答問題：（1）如果A面在長方體的底部，那么哪一個面會在上面？（2）若F面在前面，B面在左面，則哪一個面會在上面？（字母朝外）（3）若C面在右面，D面在后面，則哪一個面會在上面？（字母朝外）答案：（1）F ；（2）C，A（三）立體圖形的三視圖12如圖，從正面看可看到的是( C )13對右面物體的視圖描繪錯誤的是 （ C ）14如圖的幾何體，左視圖是（ B）15如圖，是由幾個相同的小正方體搭成的幾何體的三種視圖，則搭成這個俯視圖左視圖主視圖幾何體的小正方體的個數(shù)是 ( )A3

28、B4 C5 D6 （四）新穎題型16. 正方體每一面不同的顏色對應著不同的數(shù)字，將四個這樣的正方體如圖拼成一個水平放置的長方體，那么長方體的下底面數(shù)字和為 .分析：正面黃，右面紅，上面藍，后面紫，下面白，左面綠 所以，從右到左，底面依次為：白、綠、黃、紫 數(shù)字和為：4+6+2+5=1717觀察下列由棱長為 1的小正方體擺成的圖形，尋找規(guī)律，如圖所示共有1個小立方體，其中1個看得見，0個看不見；如圖所示：共有8個小立方體，其中7個看得見，1個看不見；如圖所示：共有27個小立方體，其中19個看得見，8個看不見（1）寫出第個圖中看不見的小立方體有 125 個；（2）猜想并寫出第(n)個圖形中看不見的

29、小立方體的個數(shù)為_ (n-1)3 _個.分析： 1 1=1 0=032 8=23 1=133 27=33 8=23 4 64=43 27=33 n n3 (n-1) 3第五講：線段和角一、知識結構圖 二、典型問題：（一）數(shù)線段數(shù)角數(shù)三角形問題1、直線上有n個點，可以得到多少條線段？ 分析： 點 線段2 1 3 3 =1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4 6 15=1+2+3+4+5 n 1+2+3+ +(n-1)=問題2如圖，在AOB內(nèi)部從O點引出兩條射線OC、OD，則圖中小于平角的角共有（ D ）個 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6拓展：1、 在AOB內(nèi)部從O點

30、引出n條射線圖中小于平角的角共有多少個？ 射線 角 1 3 =1+2 2 6=1+2+3 3 10=1+2+3+4 n 1+2+3+ +(n+1)=類比：從O點引出n條射線圖中小于平角的角共有多少個？ 射線 角2 1 3 3 =1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4 n 1+2+3+ +(n-1)=類比聯(lián)想：如圖，可以得到多少三角形？（二）與線段中點有關的問題 線段的中點定義：文字語言：若一個點把線段分成相等的兩部分，那么這個點叫做線段的中點圖形語言：幾何語言： M是線段AB的中點 ，典型例題：1由下列條件一定能得到“P是線段AB的中點”的是（ D ）（A）AP=AB （B）AB

31、2PB （C）APPB （D）APPB=AB 2若點B在直線AC上，下列表達式：；AB=BC；AC=2AB；AB+BC=AC其中能表示B是線段AC的中點的有（ A   ）A1個          B2個          C3個        D4個3.如果點C在線段AB上,下列表達式AC=AB;AB=2BC;AC=BC;AC+

32、BC=AB中, 能表示C是AB中點的有( C ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個4已知線段MN，P是MN的中點，Q是PN的中點，R是MQ的中點，那么MR= _ MN分析：據(jù)題意畫出圖形設QN=x，則PQ=x，MP=2x，MQ=3x，所以，MR=x ，則 5如圖所示，B、C是線段AD上任意兩點，M是AB的中點，N是CD中點，若MN=a，BC=b，則線段AD的長是（ ） A 2（a-b） B 2a-b C a+b D a-b分析：不妨設CN=ND=x，AM=MB=y 因為MN=MB+BC+CN 所以a=x+y+b因為AD=AM+MN+ND所以AD=y+a+x=a-b+a=2a-b（三）與角

33、有關的問題1 已知：一條射線OA，若從點O再引兩條射線OB、OC，使AOB=600，BOC=200，則AOC=_80°或40°_度（分類討論）2 A、O、B共線，OM、ON分別為 AOC 、 BOC的平分線，猜想 MON的度數(shù)，試證明你的結論猜想：_90°_證明：因為OM、ON分別為 AOC 、 BOC的平分線 所以MOC=AOC ，CON=COB因為MON=MOC+CON所以MON=AOC +COB=AOB=90°3如圖，已知直線和相交于點，是直角，平分，求的度數(shù)分析：因為是直角， 所以EOF=56° 因為平分 所以AOF=56°

34、因為AOF=AOC+COF所以AOC=22°因為直線和相交于點 所以=AOC=22°4如圖，BO、CO分別平分ABC和ACB，（1）若A = 60°，求O；（2）若A =100°，O是多少？若A =120°，O又是多少？（3）由（1）、（2）你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？當A的度數(shù)發(fā)生變化后，你的結論仍成立嗎？ （提示：三角形的內(nèi)角和等于180°）答案：（1）120°；（2）140° 、150°（3）O=90°+A5如圖，O是直線AB上一點,OC、OD、OE是三條射線,則圖中互補的角共有（ B ）對 (A

35、) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 56互為余角的兩個角   （ B ）（A）只和位置有關 （B）只和數(shù)量有關 （C）和位置、數(shù)量都有關 （D）和位置、數(shù)量都無關7已知1、2互為補角，且12，則2的余角是（ C ）A.（12） B.1 C.（12） D.2分析：因為12=180°，所以（12）=90°90°-2= （12）-2= （12） 第六講：相交線與平行線 一、知識框架二、典型例題1.下列說法正確的有( B ) 對頂角相等;相等的角是對頂角;若兩個角不相等,則這兩個角一定不是對頂角;若兩個角不是對頂角,則這兩個角不相等. A

36、.1個 B.2個 C.3個 D.4個2.如圖所示,下列說法不正確的是( D )毛A.點B到AC的垂線段是線段AB; B.點C到AB的垂線段是線段ACC.線段AD是點D到BC的垂線段; D.線段BD是點B到AD的垂線段3.下列說法正確的有( C )在平面內(nèi),過直線上一點有且只有一條直線垂直于已知直線; 在平面內(nèi),過直線外一點有且只有一條直線垂直于已知直線; 在平面內(nèi),過一點可以任意畫一條直線垂直于已知直線;在平面內(nèi),有且只有一條直線垂直于已知直線. A.1個 B.2個 C.3個 D.4個4一學員駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是（ A ） A. 第一次向左拐

37、30°第二次向右拐30° B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130° C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130° D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130°5如圖，若ACBC于C，CDAB于D，則下列結論必定成立的是（ C ）A. CD>AD B.AC<BC C. BC>BD D. CD<BD分析：考察垂線段的性質(zhì)、基本圖形“雙垂直”圖形6如圖,已知ABCD,直線EF分別交AB,CD于E,F,EG平分BEF,若1=72°,則2=_54°_.7如圖,ABEFCD,EG

38、BD,則圖中與1相等的角(1除外)共有( C )A.6個 B.5個 C.4個 D.3個8如圖，直線l1、l2、l3交于O點，圖中出現(xiàn)了幾對對頂角，若n條直線相交呢？答案：3對，n(n+1)9. 如圖，在的正方形網(wǎng)格中，的大小關系是_123答案：1=2>310. 如圖所示,L1,L2,L3交于點O,1=2,3:1=8:1,求4的度數(shù).( 方程思想)答案：36°11 如圖所示,已知ABCD,分別探索下列四個圖形中P與A,C的關系,請你從所得的四個關系中任選一個加以說明. (1) (2) (3) (4)（1）分析：過點P作PE/AB APE+A+C=360°（2）P=A+C

39、（3）P=C-A,（4）P=A-C12如圖，若AB/EF，C= 90°，求x+y-z 度數(shù)。分析：如圖，添加輔助線證出：x+y-z=90°13已知：如圖， 求證：分析：法一法二：由AB/CD證明PAB=APC， 所以EAP=APF 所以AE/FP 所以第七講：平面直角坐標系一、知識要點：1、特殊位置的點的特征（1）各個象限的點的橫、縱坐標符號（2）坐標軸上的點的坐標： 軸上的點的坐標為,即縱坐標為0;軸上的點的坐標為，即橫坐標為0;2、具有特殊位置的點的坐標特征設、兩點關于軸對稱，且;、兩點關于軸對稱，且;、兩點關于原點軸對稱，且。3、距離（1）點A到軸的距離：點A到軸的距

40、離為|；點A到軸的距離為|；（2）同一坐標軸上兩點之間的距離：A、B，則；A、B，則；二、典型例題1、已知點M的坐標為（x，y），如果xy<0 , 則點M的位置( ) (A)第二、第三象限 (B)第三、第四象限 (C)第二、第四象限 (D)第一、第四象限2點P（m，1）在第二象限內(nèi)，則點Q（-m，0）在（ ） Ax軸正半軸上 Bx軸負半軸上 Cy軸正半軸上 Dy軸負半軸上3已知點A（a，b）在第四象限，那么點B（b，a）在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4點P（1，-2）關于y軸的對稱點的坐標是（ ） A（-1，-2） B（1，2） C（-1，2） D（-2，1）5

41、如果點M（1-x，1-y） 在第二象限，那么點N（1-x，y-1）在第 象限，點Q（x-1，1-y）在第 象限。6如圖是中國象棋的一盤殘局，如果用(4，o)表示帥的位置，用(3，9)表示將的位置，那么炮的位置應表示為A(8，7) B(7，8) C(8，9)D(8，8)7在平面直角坐標系中，平行四邊形ABCD的頂點A、B、D的坐標分別為（0，0），（5，0），（2，3）則頂點C的坐標為（ ）A（3，7） B（5，3） C（7，3） D（8，2）8已知點P（x, ），則點P一定 （ ） A在第一象限 B在第一或第四象限 C在x軸上方 D不在x軸下方9已知長方形ABCD中，AB=5，BC=8，并且A

42、Bx軸，若點A的坐標為（2，4），則點C的坐標為_(3,-4)(-7,-4)(3,12)(-7,12)_。10三角形ABC三個頂點的坐標分別是A（-4，-1），B（1，1），C（-1，4），將三角形ABC向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，則平移后三個頂點的坐標是（ C ） A（2，2），（3，4），（1，7） B（-2，2），（4，3），（1，7） C（-2，2），（3，4），（1，7） D（2，-2），（3，3），（1，7）11“若點P、Q的坐標是（x1，y1）、（x2，y2），則線段PQ中點的坐標為（，）”已知點A、B、C的坐標分別為（-5，0）、（3，0）、（1，4），利用上

43、述結論求線段AC、BC的中點D、E的坐標，并判斷DE與AB的位置關系解：由“中點公式”得D（-2，2），E（2，2），DEAB12如圖，在平面直角坐標系中，點坐標為，將繞原點逆時針旋轉得到，則點的坐標是（ ）分析：13如圖，三角形AOB中，A、B兩點的坐標分別為（-4，-6），（-6，-3），求三角形AOB的面積解：做輔助線如圖SAOB=S梯形BCDO-（SABC+SOAD）=×（3+6）×6-（×2×3+×4×6）=27-（3+12）=1214如圖，四邊形ABCD各個頂點的坐標分別為 （2，8），（11，6），（14，0），（0，0

44、）。（1）確定這個四邊形的面積，你是怎么做的?（2）如果把原來ABCD各個頂點縱坐標保持不變，橫坐標增加2，所得的四邊形面積又是多少？分析：（1）80 （2）面積不變15如圖，已知A1(1,0)、 A2（1，1）、A3（-1，1）、A4（-1，-1）、A5（2，-1），則點A2007的坐標為_.答案：(-502,502)第八講：與三角形有關的線段一、相關知識點1三角形的邊三角形三邊定理：三角形兩邊之和大于第三邊即：ABC中，a+b>c,b+c>a,c+a>b（兩點之間線段最短）由上式可變形得到： a>cb，b>ac，c>ba即有：三角形的兩邊之差小于第三邊2

45、 高由三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。3 中線：連接三角形的頂點和它對邊的中點的線段，稱為三角形的中線4 角平分線三角形一個內(nèi)角的角平分線與這個角對邊的交點和這個角的頂點之間線段稱為三角形的角平分線二、典型例題（一）三邊關系1已知三角形三邊分別為2,a-1,4,那么a的取值范圍是( ) A.1<a<5 B.2<a<6 C.3<a<7 D.4<a<62小穎要制作一個三角形木架，現(xiàn)有兩根長度為8m和5m的木棒。如果要求第三根木棒的長度是整數(shù)小穎有幾種選法？可以是多少？分析：設第三根木棒的長度為x， 則3

46、<x<13 所以x=4,5,6,7,8,9,10,11,123：已知：ABC中，AD是BC邊上的中線 求證：AD+BD>（AB+AC）分析：因為 BD+AD>AB、CD+AD>AC 所以 BD+AD+ CD+AD >AB+AC 因為AD是BC邊上的中線，BD=CD 所以AD+BD>（AB+AC）（二）三角形的高、中線與角平分線問題：（1）觀察圖形，指出圖中出現(xiàn)了哪些高線？ （2）圖中存在哪些相等角？注意基本圖形：雙垂直圖形4如圖，在直角三角形ABC中，ACAB，AD是斜邊上的高，DEAC，DFAB，垂足分別為E、F，則圖中與C（C除外）相等的角的個數(shù)是

47、（ ） A5 B4 C3 D2 分析：5如圖，ABC中，A = 40°，B = 72°，CE平分ACB，CDAB于D， DFCE，求CDF的度數(shù)。分析：CED=40°+34°=74°所以CDF=74°6一塊三角形優(yōu)良品種試驗田，現(xiàn)引進四種不同的種子進行對比試驗，需要將這塊地分成面積相等的四塊，請你設計出四種劃分方案供選擇，畫圖說明。分析：7ABC中，ABC、ACB的平分線相交于點O。（1）若ABC = 40°，ACB = 50°，則BOC = 。（2）若ABC +ACB =116°，則BOC = 。（3）若A = 76°，則BOC = 。（4）若BOC = 120°，則A = 。（5）你能找出A與BOC 之間的數(shù)量關系嗎？8已知: BE, CE分別為 ABC 的外角 MBC, NCB的角平分線,求: E與A的關系 分析：E=90°-A9已知: BF為ABC的角平分線, CF為外角ACG的角平分線, 求: F與A的關系分析：F=A思考題：如圖：ABC與ACG的平分線交于F1；F1BC與F1CG的平分線交于F2；如此下去, F