雙曲線二級(jí)結(jié)論大全

1、雙曲線1. 2.標(biāo)準(zhǔn)方程 3.4點(diǎn)P處的切線PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.5PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以實(shí)軸為直徑的圓，除去實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn).6以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.7以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓外切.8設(shè)P為雙曲線上一點(diǎn)，則PF1F2的內(nèi)切圓必切于與P在同側(cè)的頂點(diǎn).9雙曲線（a0,b0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是.10若在雙曲線（a0,b0）上，則過(guò)的雙曲線的切線方程是.11若在雙曲線（a0,b0）外 ，則過(guò)Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則

2、切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是.12AB是雙曲線（a0,b0）的不平行于對(duì)稱(chēng)軸且過(guò)原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，則.13若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.14若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.15若PQ是雙曲線（ba 0）上對(duì)中心張直角的弦，則.16若雙曲線（ba 0）上中心張直角的弦L所在直線方程為,則(1) ;(2) .17給定雙曲線：（ab0）, ：,則(i)對(duì)上任意給定的點(diǎn),它的任一直角弦必須經(jīng)過(guò)上一定點(diǎn)M.(ii)對(duì)上任一點(diǎn)在上存在唯一的點(diǎn),使得的任一直角弦都經(jīng)過(guò)點(diǎn).18設(shè)為雙曲線（a0,b0）上一點(diǎn)，P1P2為曲線C的動(dòng)弦,且弦PP1, P

3、P2斜率存在，記為k1, k 2, 則直線P1P2通過(guò)定點(diǎn)的充要條件是.19過(guò)雙曲線（a0,bo）上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）.20雙曲線（a0,bo）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) 2，點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為， .21若P為雙曲線（a0,b0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn), , ，則（或）.22雙曲線（a0,bo）的焦半徑公式： , 當(dāng)在右支上時(shí)，,.當(dāng)在左支上時(shí)，,.23若雙曲線（a0,b0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L(zhǎng)，則當(dāng)1e時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線

4、距離d1與PF2的比例中項(xiàng).24P為雙曲線（a0,b0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線左支內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且在左支時(shí)，等號(hào)成立.25雙曲線（a0,b0）上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線：對(duì)稱(chēng)的充要條件是.26過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.27過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.28P是雙曲線（a0，b0）上一點(diǎn)，則點(diǎn)P對(duì)雙曲線兩焦點(diǎn)張直角的充要條件是.29設(shè)A,B為雙曲線（a0,b0，）上兩點(diǎn)，其直線AB與雙曲線相交于,則.30在雙曲線中，定長(zhǎng)為2m（）的弦中點(diǎn)

5、軌跡方程為31設(shè)S為雙曲線（a0,b0）的通徑，定長(zhǎng)線段L的兩端點(diǎn)A,B在雙曲線右支上移動(dòng)，記|AB|=，是AB中點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，有,);當(dāng)時(shí)，有.32雙曲線（a0,b0）與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.33雙曲線（a0,b0）與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.34設(shè)雙曲線（a0,b0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在PF1F2中，記, ,，則有.35經(jīng)過(guò)雙曲線（a0,b0）的實(shí)軸的兩端點(diǎn)A1和A2的切線，與雙曲線上任一點(diǎn)的切線相交于P1和P2，則.36已知雙曲線（ba0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小

6、值是.37MN是經(jīng)過(guò)雙曲線（a0,b0）過(guò)焦點(diǎn)的任一弦(交于兩支)，若AB是經(jīng)過(guò)雙曲線中心O且平行于MN的弦，則.38MN是經(jīng)過(guò)雙曲線（ab0）焦點(diǎn)的任一弦(交于同支)，若過(guò)雙曲線中心O的半弦，則.39設(shè)雙曲線（a0,b0）,M(m,o)為實(shí)軸所在直線上除中心，頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過(guò)M引一條直線與雙曲線相交于P、Q兩點(diǎn)，則直線A1P、A2Q(A1 ,A2為兩頂點(diǎn))的交點(diǎn)N在直線：上.40設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MFNF.41過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2為雙

7、曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MFNF.42設(shè)雙曲線方程,則斜率為k(k0)的平行弦的中點(diǎn)必在直線：的共軛直線上,而且.43設(shè)A、B、C、D為雙曲線（a0,bo）上四點(diǎn),AB、CD所在直線的傾斜角分別為，直線AB與CD相交于P,且P不在雙曲線上,則.44已知雙曲線（a0,b0）,點(diǎn)P為其上一點(diǎn)F1, F 2為雙曲線的焦點(diǎn)，的內(nèi)（外）角平分線為，作F1、F2分別垂直于R、S，當(dāng)P跑遍整個(gè)雙曲線時(shí)，R、S形成的軌跡方程是().45設(shè)ABC三頂點(diǎn)分別在雙曲線上，且AB為的直徑，為AB的共軛直徑所在的直線，分別交直線AC、BC于E和F，又D為上一點(diǎn)，則CD與雙曲線

8、相切的充要條件是D為EF的中點(diǎn).46過(guò)雙曲線（a0,b0）的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.47設(shè)A（x1 ,y1）是雙曲線（a0,b0）上任一點(diǎn)，過(guò)A作一條斜率為的直線L，又設(shè)d是原點(diǎn)到直線 L的距離, 分別是A到雙曲線兩焦點(diǎn)的距離，則.48已知雙曲線（a0,b0）和（ ），一條直線順次與它們相交于A、B、C、D四點(diǎn)，則AB=|CD.49已知雙曲線（a0,b0）,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn), 則或.50設(shè)P點(diǎn)是雙曲線（a0,b0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2) .51設(shè)過(guò)雙曲線的實(shí)軸

9、上一點(diǎn)B（m,o）作直線與雙曲線相交于P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線實(shí)軸的左頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于過(guò)B點(diǎn)的直線MN：于M，N兩點(diǎn),則.52L是經(jīng)過(guò)雙曲線（a0,b0）焦點(diǎn)F且與實(shí)軸垂直的直線，A、B是雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，e是離心率,點(diǎn)，若，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.53L是經(jīng)過(guò)雙曲線（a0,b0）的實(shí)軸頂點(diǎn)A且與x軸垂直的直線，E、F是雙曲線的準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn),點(diǎn)，e是離心率，H是L與X軸的交點(diǎn)c是半焦距，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.54L是雙曲線（a0,b0）焦點(diǎn)F1且與x軸垂直的直線，E、F是雙曲線準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)，H是L與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)，,離心率為e，半焦距為c，則為銳角且或（

10、當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.55已知雙曲線（a0,b0），直線L通過(guò)其右焦點(diǎn)F2,且與雙曲線右支交于A、B兩點(diǎn)，將A、B與雙曲線左焦點(diǎn)F1連結(jié)起來(lái)，則（當(dāng)且僅當(dāng)ABx軸時(shí)取等號(hào)）.56設(shè)A、B是雙曲線（a0,b0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，, ,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .57設(shè)A、B是雙曲線（a0,b0）實(shí)軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)（含焦點(diǎn)的區(qū)域）、外部的兩點(diǎn)，且、的橫坐標(biāo)，（1）若過(guò)A點(diǎn)引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，則；（2）若過(guò)B引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，則.58設(shè)A、B是雙曲線（a0,b0）實(shí)軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)（含焦點(diǎn)的區(qū)

11、域），外部的兩點(diǎn)，（1）若過(guò)A點(diǎn)引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，（若B P交雙曲線這一支于兩點(diǎn)，則P、Q不關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)），且，則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)、滿(mǎn)足；（2）若過(guò)B點(diǎn)引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，且,則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足.59設(shè)是雙曲線的實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，是與垂直的弦，則直線與的交點(diǎn)P的軌跡是雙曲線.60過(guò)雙曲線（a0,b0）的右焦點(diǎn)作互相垂直的兩條弦AB、CD,則；61到雙曲線（a0,b0）兩焦點(diǎn)的距離之比等于（c為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是姊妹圓.62到雙曲線（a0,b0）的實(shí)軸兩端點(diǎn)的距離之比等于（c為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是姊妹圓.63到雙曲線（a0,b0）的兩準(zhǔn)線和x軸的

12、交點(diǎn)的距離之比為（c為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是姊妹圓（e為離心率）.64已知P是雙曲線（a0,b0）上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是它實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn),且,，則Q點(diǎn)的軌跡方程是.65雙曲線的一條直徑(過(guò)中心的弦)的長(zhǎng)，為通過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)且與此直徑平行的弦長(zhǎng)和實(shí)軸之長(zhǎng)的比例中項(xiàng).66設(shè)雙曲線（a0,b0）實(shí)軸的端點(diǎn)為,是雙曲線上的點(diǎn)過(guò)P作斜率為的直線，過(guò)分別作垂直于實(shí)軸的直線交于,則（1）.（2）四邊形面積趨近于.67已知雙曲線（a0,b0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF 的中點(diǎn).68OA、OB是雙曲線（a0,b0,且）的兩條互相垂直的弦，

13、O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（1）直線AB必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).(2) 以O(shè) A、O B為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程是（除原點(diǎn)）。69是雙曲線（a0,b0）上一個(gè)定點(diǎn)，P A、P B是互相垂直的弦，則（1）直線AB必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).（2）以P A、P B為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程是(除P點(diǎn)).70如果一個(gè)雙曲線虛半軸長(zhǎng)為b，焦點(diǎn)F1、F2到直線的距離分別為d1、d2，那么（1），且F1、F 2在異側(cè)直線L和雙曲線相切,或是雙曲線的漸近線.（2），且F1、F2在L異側(cè)直線和雙曲線相離，（3），或F1、F2在L同側(cè)直線L和雙曲線相交.71AB是雙曲線（a0,b0）的實(shí)軸，是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)的切線與

14、過(guò)A、B的切線交于、兩點(diǎn)，則梯形ABDC的對(duì)角線的交點(diǎn)M的軌跡方程是.72設(shè)點(diǎn)為雙曲線（a0,b0）的內(nèi)部(（含焦點(diǎn)的區(qū)域）)一定點(diǎn)，AB是雙曲線過(guò)定點(diǎn)的任一弦.(1)如,則當(dāng)弦AB垂直于雙曲線實(shí)軸所在直線時(shí).(2)如,則當(dāng)弦AB平行（或重合）于雙曲線實(shí)軸所在直線時(shí), .73雙曲線焦三角形中,以焦半徑為直徑的圓必與以雙曲線實(shí)軸為直徑的圓相外切.74雙曲線焦三角形的內(nèi)切圓必切長(zhǎng)軸于非焦頂點(diǎn)同側(cè)的實(shí)軸端點(diǎn).75雙曲線兩焦點(diǎn)到雙曲線焦三角形內(nèi)切圓的切線長(zhǎng)為定值a+c與c-a.76雙曲線焦三角形的非焦頂點(diǎn)到其旁切圓的切線長(zhǎng)為定值c-a.77雙曲線焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之

15、比為常數(shù)e(離心率). 注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱(chēng)為內(nèi)、外點(diǎn).78雙曲線焦三角形中,其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.79雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng).80雙曲線焦三角形中,雙曲線中心到內(nèi)點(diǎn)的距離、內(nèi)點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離、半焦距及外點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離成比例.81雙曲線焦三角形中,半焦距、外點(diǎn)與雙曲線中心連線段、內(nèi)點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段、外點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段成比例.82雙曲線焦三角形中,過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的內(nèi)角平分線引垂線,則雙曲線中心與垂足連線必與另一焦半徑所在直線平行.83雙曲線焦三角形中,過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)內(nèi)

16、角平分線引垂線,則雙曲線中心與垂足的距離為雙曲線實(shí)半軸的長(zhǎng).84雙曲線焦三角形中,過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的內(nèi)角平分線引垂線,垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓和雙曲線實(shí)軸為直徑的圓的切點(diǎn).85雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)角平分線與焦半徑、實(shí)軸所在直線的夾角的余弦的比為定值e.86雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的法線即為該頂角的外角平分線.87雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的切線即為該頂角的內(nèi)角平分線.88雙曲線焦三角形中,過(guò)非焦頂點(diǎn)的切線與雙曲線實(shí)軸兩端點(diǎn)處的切線相交,則以?xún)山稽c(diǎn)為直徑的圓必過(guò)兩焦點(diǎn).89.已知雙曲線上有一點(diǎn)，過(guò)分別引其漸近線的平行線，分別交軸于，交軸于， 為原點(diǎn)，則： （1）； （2）

17、.90. 過(guò)平面上的點(diǎn)作直線及的平行線，分別交軸于，交軸于.（1）若，則的軌跡方程是.(2)若，則的軌跡方程是.91. 點(diǎn)為雙曲線在第一象限的弧上任意一點(diǎn)，過(guò)引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記 與的面積為，則：.92. 點(diǎn)為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記 與的面積為，已知，則的軌跡方程是或雙曲線性質(zhì)92條證明1.雙曲線第一定義。 2.由定義即可得雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程。 3.雙曲線第二定義。4.設(shè)在第一象限，切線PT（即）的斜率為k，所在直線斜率為，所在直線斜率為，與PT的夾角為，與PT的夾角為。由兩直線夾角公式得： 同理可證其它情況。故切線PT平分點(diǎn)P處的內(nèi)角。

18、5.不妨設(shè)P在第一象限。作F2關(guān)于切線PT的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，由4可知M在PF1上，則，垂足H為F2M的中點(diǎn)，則OH=，同理可證其它情況。射影H的軌跡是以實(shí)軸為直徑的圓除去兩端點(diǎn)。6. 設(shè)P，Q兩點(diǎn)到與焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離分別為，以PQ中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，以PQ為直徑的圓的半徑為r，則，故以PQ為直徑的圓與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交。7. 如圖，兩圓圓心距為，故兩圓外切。7圖 8圖8. 如圖，由切線長(zhǎng)定理：，而，與重合，故內(nèi)切圓與x軸切于右頂點(diǎn)，同理可證P在其他位置情況。9. 設(shè)，則則 P點(diǎn)的軌跡方程為10. 在雙曲線上，對(duì)求導(dǎo)得：切線方程為即11.設(shè)，由10得：，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，且同時(shí)滿(mǎn)足方程，所以12.作差得：

19、13.由12可得：14. .由12可得：15. 設(shè)，則16. 將直線AB代入雙曲線方程中得：，設(shè)則， 17.設(shè)雙曲線內(nèi)直角弦AB的方程為：即。當(dāng)斜率k存在時(shí)，代入雙曲線C1方程中得：設(shè)得，則即直線AB過(guò)定點(diǎn)，此點(diǎn)在C2上。當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線AB也過(guò)C2上的定點(diǎn)。由上可知C1和C2上點(diǎn)由此建立起一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即證。18.必要性：設(shè)P1P2：。k存在時(shí)，代入雙曲線方程中得：設(shè)得，k不存在時(shí)，P1P2：x=mx0則，必要性得證。充分性：設(shè)P1P2過(guò)定點(diǎn)，則P1P2：。代入雙曲線方程得：設(shè)得，則驗(yàn)證k不存在的情況，也得到此結(jié)論。故過(guò)定點(diǎn)，充分性得證。19. 設(shè)AB：即20. 由余弦定理：2

20、1.由正弦定理得 P在右支時(shí)，同理當(dāng)P在左支時(shí)，22. 由第二定義得：M在右支時(shí)，M在左支時(shí)，。23. 易知P在左支上，24.易知當(dāng)P在左支時(shí)有最小值，此時(shí)：。當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且在左支時(shí)，等號(hào)成立.。25.易知當(dāng)k=0時(shí)，只有x軸符合要求，但此時(shí)不存在。故。當(dāng)時(shí)，設(shè)A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+m對(duì)稱(chēng)，直線AB的方程為，易知即。聯(lián)立AB與雙曲線方程得： 得即 AB中點(diǎn)在y=kx+m上，得 代入得，解得 當(dāng)m=0時(shí)由得p=0，。當(dāng)m0時(shí)解得或，代入得或；當(dāng)mk），則當(dāng)時(shí)，APB最大，其正弦值為。52.k=a,m=c sin,當(dāng)且僅當(dāng)PF=b時(shí)取等號(hào)。 53. k=,m= a sin,當(dāng)且僅當(dāng)PA=

21、時(shí)取等號(hào)。54. k=,m= c sin,當(dāng)且僅當(dāng)PF1=時(shí)取等號(hào)。55. 設(shè)AF2x=，則當(dāng)且僅當(dāng)=90時(shí)等號(hào)成立。56. （1）設(shè)，代入雙曲線方程得： AP=0AP=（2）設(shè)則（3）由（2）：57. 由58可證。58.（1）易知PQ的斜率為0和斜率不存在時(shí)，對(duì)任意x軸上的點(diǎn)A都成立。設(shè)，A（m，0）代入雙曲線方程得：，則若，則（2）作P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，由（1）即證。59.同9。60.設(shè)，代入雙曲線方程得：，同理對(duì)傾斜角。當(dāng)a=b時(shí)，此時(shí)或。當(dāng)時(shí)，設(shè)，則關(guān)于在上增至正無(wú)窮，在上單調(diào)減，在和之間先減后增，此時(shí)兩者異號(hào)。當(dāng)和時(shí)，當(dāng)為0或1時(shí)，有最小值。當(dāng)介于和之間時(shí)：等號(hào)成立時(shí)即。而故當(dāng)時(shí)，的

22、最小值為。61,62,63為同一類(lèi)問(wèn)題，現(xiàn)給出公式：若點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之比，則P點(diǎn)的軌跡為一個(gè)圓，圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為。下三個(gè)題的比值均為，代入上述公式得：圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為。61.m=c，圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為。軌跡方程是姊妹圓。62.m=a，圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為。軌跡方程是姊妹圓。63.m=，圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為。軌跡方程是姊妹圓。64. 設(shè)，由得消去參數(shù)得Q點(diǎn)的軌跡方程：65.同37。66.（1）同35。（2）由基本不等式（漸近線時(shí)取等號(hào)），則梯形面積趨近于一個(gè)最小值。67.設(shè)AC交x軸于M，AD于D。由雙曲線第二定義：AC過(guò)EF的中點(diǎn)。68.（1）由17可知當(dāng)雙曲線方程為時(shí)，AB過(guò)定點(diǎn)。當(dāng)雙曲線方程變?yōu)闀r(shí)，雙曲線向右平移了個(gè)單位，定點(diǎn)也應(yīng)向右平移了個(gè)單位，故此時(shí)AB過(guò)定點(diǎn)即（2）由69（2）P為原點(diǎn)，即m=n=0時(shí)Q的軌跡方程是（除原點(diǎn)）。69.（1）由17可知當(dāng)雙曲線方程為時(shí)，AB過(guò)定點(diǎn)。當(dāng)雙曲線方程變?yōu)闀r(shí)，雙曲線向右平移了個(gè)單位，定點(diǎn)也應(yīng)向右平移了個(gè)