向量與坐標(biāo)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、解析幾何復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第一章向量與坐標(biāo)第一節(jié)向量的概念：空間中具有大小和方向的量叫做空間向量。向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模（moduius）。規(guī)定，長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記為0.模為1的向量稱為單位向量。與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量。記為-a方向相等且模相等的向量稱為相等向量。長(zhǎng)度為一個(gè)單位（即模為1）的向量，叫做 單位向量與向量a同向，且長(zhǎng)度為單位1的向量，叫做a方向上的單位向量，記作 a0, a0=a/|a|。1共線向量定理兩個(gè)空間向量a,b向量（b向量不等于0）, a / b的充要條件是存在唯一的 實(shí)數(shù)人使a= Xb2共面向量定理如果兩個(gè)向量a,b不共線，則向

2、量c與向量a,b共面的充要條件是：存在唯一的一對(duì)實(shí) 數(shù) x,y,使 c=ax+by3空間向量分解定理如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y, z，使 p=xa+yb+zc。任意不共面的三個(gè)向量都可作為空間的一個(gè)基底，零向量的表示唯一。1.2向量的加法三角形定則解決向量加減的方法：將各個(gè)向量依次首尾順次相接，結(jié)果為第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向取后一個(gè)向量的終點(diǎn)。平行四邊形定則解決向量加法的方法:將兩個(gè)向量平移至公共起點(diǎn)，以向量的兩條邊作平行四邊形，平行四邊形定則解決向量減法的方法：將兩個(gè)向量平移至公共起點(diǎn)，以向量的兩條邊作平行四邊形，結(jié)果由減向量的終點(diǎn)指向被減

3、向量的終點(diǎn)。（平行四邊形定則只適用于兩個(gè)非零非共線向量的加減。）坐標(biāo)系解向量加減法：在直角坐標(biāo)系里面，定義原點(diǎn)為向量的起點(diǎn)兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向 量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差若向量的表示為（x,y）形式，A（X1,Y1） B（X2,Y2），貝U A+B= （ X1+X2，Y1+Y2），A-B= （ X1-X2，Y1-Y2） 簡(jiǎn)單地講：向量的加減就是向量對(duì)應(yīng)分量的加減。類似于物理的正交分解。向量加法的運(yùn)算律：交換律：a+b = b+a;結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）。減法如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b, b=-a, a+b=0. 0的反向量為0OA-OB = BA.即 共同

4、起點(diǎn)，指向被向量的減法減”a=(x,y) b =(x',y')則 a-b=(x-x',y-y').如圖：c=a-b以b的結(jié)束為起點(diǎn)，a的結(jié)束為終點(diǎn)。交換律：a+(-b)=a-b1.3向量的數(shù)乘實(shí)數(shù)入和向量a的叉乘乘積是一個(gè)向量，記作Aa，且I掃I = 1入1*1 a I。當(dāng)入0時(shí)，Za的方向與a的方向相同；當(dāng)入0時(shí)，Za的方向與a的方向相反；當(dāng)入=0時(shí)，Za=0，方向任意。當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)人都有Aa=0。注：按定義知，如果Za=0，那么 入=0或a=0。實(shí)數(shù)入叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量Aa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮。當(dāng)I XI 1時(shí)，

5、表示向量a的有向線段在原方向(入0或反方向(入0上伸長(zhǎng)為原 來的I XI倍當(dāng)I XI 1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(入0或反方向(入0上縮短為 原來的I XI倍。實(shí)數(shù)p和向量a的點(diǎn)乘乘積是一個(gè)數(shù)。數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律結(jié)合律：(A) b = X a )=(a X。向量對(duì)于數(shù)的分配律(第一分配律)：(X +(B=Xa+ua.數(shù)對(duì)于向量的分配律(第二分配律)：Xa+b)= Xa+ Xb.數(shù)乘向量的消去律：如果實(shí)數(shù) 入工且Za= Xb，那么a=b。如果a和且Za=曲,那么X=卩。需要注意的是：向量的加減乘除運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)加減乘除運(yùn)算法則。1.4向量的線性關(guān)系與向量的分解如果V是一個(gè)線性空

6、間，如果存在不全為零的系數(shù)c1, c2,，cn F,使得clvl + c2v2+ .+ cnvn= 0,那么其中有限多個(gè)向量 v1, v2, ., v n稱為線性相關(guān)的.反之，稱這組向量為線性無關(guān)的。更一般的，如果有無窮多個(gè)向量，我們稱這無窮多個(gè) 向量是線性無關(guān)的，如果其中任意有限多個(gè)都是線性無關(guān)的。分解定理平面向量分解定理：如果 el、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行向量，那么對(duì)于這一平面 內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入1入2使a=入11 +入22我們把不平行向量 el、e2叫做這一平面內(nèi)所有向量的一基底。定比分點(diǎn)公式定比分點(diǎn)公式 （向量P1P向量PP2 ）設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn)，P是直線

7、上不同于 P1、P2的任意一點(diǎn)。則存在一個(gè)任意 實(shí)數(shù) 入且入不等于-1，使 向量P1P向量PP2 ,入叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比。若 P1 （x1,y1） , P2（x2,y2） , P（x,y），則有OP=（OP1 +XOP2 ）/（1+ ；（定比分點(diǎn)向量公式）x=（x1+ 入 x2）/（1+ 入）,y=（y1+入y2）/（1+。入）（定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式）我們把上面的式子叫做有向線段 P1P2的定比分點(diǎn)公式三向量共面的充要條件是他們線性相關(guān)空間任何四個(gè)向量總是線性相關(guān)空間四個(gè)以上向量總是線性相關(guān)1.5標(biāo)架與坐標(biāo)三個(gè)坐標(biāo)面把 空間分成八個(gè)部分，每個(gè)部分叫做一個(gè)卦限。含有x軸正半軸、y軸正

8、半軸、z軸正半軸的卦限稱為第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按逆時(shí)針方向確定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分別稱為第五、六、七、八卦限?？臻g向量的八個(gè)卦限的符號(hào)InmIVVvnx+-+-+y+-+-z+-空間的一個(gè)定點(diǎn)0,連同三個(gè)不共面的有序向量el , e2 , e3的全體，叫做空間中的一個(gè)標(biāo)架，記做0 ； el，e2，e3。如果el，e2，e3都是單位向量，那么 0 ； el，e2，e3 就叫做笛卡兒標(biāo)架。兩兩互相垂直的標(biāo)架叫做笛卡兒直角標(biāo)架。在一般情況下，0 ； el，e2，e3叫做仿射標(biāo)架。標(biāo)架一般是完全決定空間坐標(biāo)系來用的，所以空間坐標(biāo)系也可以用標(biāo)架0 ； el，

9、e2，e3來表示，這時(shí)候點(diǎn) 0就可以叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，而向量el，e2， e3都叫做坐標(biāo)向量。當(dāng)空間取定標(biāo)架0； el，e2，e3后，空間全體向量的集合或者全體點(diǎn)的集合與全體有 序三數(shù)組x，y，z的集合具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系就叫做空間向量或點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)系。此時(shí)，向量或點(diǎn)關(guān)于標(biāo)架0 ； el，e2，e3的坐標(biāo)，也稱為該向量或點(diǎn)關(guān)于由這標(biāo)架所確定的坐標(biāo)系的坐標(biāo)。標(biāo)架是空間坐標(biāo)系的向量化。笛卡爾坐標(biāo)系(Cartesian)-系統(tǒng)用 X、丫和Z表示坐標(biāo)值。柱坐標(biāo)系(Cylindrical)-系統(tǒng)用半徑、theta (q)和Z表示坐標(biāo)值。球坐標(biāo)系(Spherical)-系統(tǒng)用半徑、theta

10、 (q)和phi (f)表示坐標(biāo)值。1.6向量在軸上的射影設(shè)向量AB的始點(diǎn)A和終點(diǎn)B在軸I上的射影分別為 A和B'那么向量A '叫做向量AB在軸I上的射影向量，記做射影向量lAB射影 lAB =|AB |COS 0,0 = Z( l, AB )1.7兩向量的數(shù)量積定義：已知兩個(gè)非零向量a,b。作OA=a,OB=b，則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作a,b并規(guī)定Ow a,b > <n定義：兩個(gè)向量的 數(shù)量積（內(nèi)積、點(diǎn)積）是一個(gè)數(shù)量（沒有方向），記作 a 。若a、b 不共線，則 a b=|a| |b| cosa， b（依定義有：cosa,b> =a b /

11、|a| |b|）;若 a、b 共 線，貝 U a b = ±I a I I b I。向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a b =x -x'+y y'。向量的數(shù)量積的運(yùn)算律a b = b a （交換律）（入a） - b=入但關(guān)于數(shù)乘法的 結(jié)合律）（a+b） c=a c+b c （分配律）向量的數(shù)量積的性質(zhì)a a=|a|的平方。a丄 b = > a b =0。|a b | <a| |b|o（該公式證明如下：|a b|=| a| |b | - |cos 因?yàn)?0< |cos a |，所以 |a b| <a| |b|）向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)1 .向量

12、的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：（a b） c左（b c）;例如：（a b）2衽2 b2（2. 向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 a b=a c（a和），推不出b = c（3. |a b|與|a| |b|不等價(jià)4. 由|a|=|b|，不能推出a=b，也不能推出a=-b，但反過來則成立。1.8兩向量的向量積定義：兩個(gè)向量a和b的向量積圖I聞黃的幾何表示向量的幾何表示(外積、叉積)是一個(gè)向量，記作 a © (這里“X并不是乘號(hào)，只是一種表示方法，與“不同，也可記做 入”。若a、b不共線，則a >b的模是：I a xb I =|a| |b | sin a, b > ; a xb的方向

13、是：垂直于 a和b，且a、b和a Xb按這個(gè)次序構(gòu)成 右手系。若a、b垂直，則I a Xd I =|a|*|b| (此處與數(shù)量積不同，請(qǐng)注意)，若 a X)=0，則a、b平行。向量積即兩個(gè) 不共線非零向量所在平面的一組法向量。運(yùn)算法則：運(yùn)用三階行列式設(shè)a,b,c分別為沿x,y,z軸的單位向量A=(x1,y1,z1)B=(x2,y2,z2 )貝9 A*B=a b cx1 y1 z1x2 y2 z2向量的向量積性質(zhì)：I a Xb I是以a和b為邊的平行四邊形面積。a Xa=0。a 平行 b = > aXd=0向量的向量積運(yùn)算律a Xb = b Xa(掃)Xb=(a X) =aX ( Ab)a

14、 X (b+c ) =a >b+aXc.(a+b ) xc=aXc+bX c.上兩個(gè)分配律分別稱為左分配律和右分配律。在演算中應(yīng)注意不能交換“X 號(hào)兩側(cè)向量的次序。如: aX (2b ) =bX(2a)和 cX(a+b)=a Xc+bXc 都是錯(cuò)誤的！注：向量沒有 除法，向量AB/向量CD”是沒有意義的。1.9三向量的混合積定義：給定空間三向量 a、b、c，向量a、b的向量積a >b，再和向量c作數(shù)量積(aXb) c,QiK向量的混合積所得的數(shù)叫做三向量 a、b、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc )，即(abc )=( a,b,c)=( a >b) c混合積具有下列性

15、質(zhì)：1 三個(gè)不共面向量 a、b、c的混合積的絕對(duì)值等于以 a、b、c為棱的平行六面體的體 積V，并且當(dāng)a、b、c構(gòu)成右手系時(shí)混合積是 正數(shù)；當(dāng)a、b、c構(gòu)成左手系時(shí)，混合積是 負(fù)數(shù)，即(abc )= eV (當(dāng) a、b、c構(gòu)成右手系時(shí)e =1當(dāng)a、b、c構(gòu)成左手系時(shí)& =)2 .上性質(zhì)的推論：三向量 a、b、c共面的充要條件 是(abc )=03. (abc )=( bca )=( cab )=-( bac )=-( cba )=-( acb )例題正方形ABCD,EFGA,CHIK 首尾相連，L是EH中點(diǎn)，求證LB丄GK ?設(shè) AE=a (向量),AG=a', AD=c, A

16、B=c', CH=b,CK=b' 有 aa'=bb'=cc'=0, a2=a'2, b2=b'2 ,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac', bc=b'c'. b'c=-bc'( * ) EH=-a+c+c'+bLB=EH/2-b-c= ( -a-c+c'-b ) /2, GK=-a'+c'+c+b' 從(* ):( -a-c+c'-b ) ( -a'+c'+c+b

17、') =0. A LB丄GK1.10三向量的雙重向量積由于二重向量叉乘的計(jì)算較為復(fù)雜，于是直接給出了下列化簡(jiǎn)公式以及證明過程：G咼、"仙-七mi：比-jyi)”逼 “詞円-比尸|勿 居片*匕町州j - "jVi"上r-HF. *- yjjj -引雖htJ:嚴(yán)協(xié)J I. *> JF J.JrjLfrnl 叭屯 * Tm l | 寸j,人才句軻汗 打2: *2叮I応:屮品* !" -J C I -5.-.1s 二Rb叫-叭心葉二重向量叉乘化簡(jiǎn)公式及證明向量積和數(shù)量積的關(guān)系式給定空間內(nèi)四個(gè)向量 a、b、c、d，則這四個(gè)向量之間滿足如下關(guān)系：(a xb)*(cxd) = (fl- a &>(百 Q證明：由混合積的性質(zhì)可知(ax b)»(cx d) = a (bx(cxd)(即把c xd看成一個(gè)新的向量 e,利用性質(zhì)(a >b) e=a (b xe)再根據(jù)二重向量積的性質(zhì)可知d (b x(