利用開(kāi)環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能.

1、5.6利用開(kāi)環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能在頻域中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析、設(shè)計(jì)時(shí)，通常是以頻域指標(biāo)作為依據(jù)的，但是不 如時(shí)域指標(biāo)來(lái)得直接、準(zhǔn)確。因此，須進(jìn)一步探討頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)之間的關(guān) 系。考慮到對(duì)數(shù)頻率特性在控制工程中應(yīng)用的廣泛性，本節(jié)將以Bode圖為基點(diǎn)，首先討論開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性LC-）的形狀與性能指標(biāo)的關(guān)系，然后根據(jù)頻域指標(biāo) 與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系估算出系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)性能。實(shí)際系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性LC-） 一般都符合如圖5-49所示的特征：左端 （頻率較低的部分）高；右端（頻率較高的部分）低。將L（.）人為地分為三個(gè)頻段：低頻段、中頻段和高頻段。低頻段主要指第一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)以前的頻段；中頻 段是指截止頻率

2、-c附近的頻段；高頻段指頻率遠(yuǎn)大于的頻段。這三個(gè)頻段包圖5-49對(duì)數(shù)頻率特性三頻段的劃分需要指出，開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性三頻段的劃分是相對(duì)的，各頻段之間沒(méi)有嚴(yán)格的界限。一般控制系統(tǒng)的頻段范圍在 0.01100Hz之間。這里所述的“高頻段” 與無(wú)線電學(xué)科里的“超高頻”、“甚高頻”不是一個(gè)概念。5.6.1L（）低頻漸近線與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)系系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中含積分環(huán)節(jié)的數(shù)目（系統(tǒng)型別）確定了開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特 性低頻漸近線的斜率，而低頻漸近線的高度則取決于開(kāi)環(huán)增益的大小。因此， LC-）低頻段漸近線集中反映了系統(tǒng)跟蹤控制信號(hào)的穩(wěn)態(tài)精度信息。根據(jù)LC-） 低頻段可以確定系統(tǒng)型別：和開(kāi)環(huán)增益K,利用第3章中介紹

3、的靜態(tài)誤差系數(shù)法可 以確定系統(tǒng)在給定輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差。開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的中頻段是指截止頻率 c附近的頻段。設(shè)開(kāi)環(huán)部分純粹 由積分環(huán)節(jié)構(gòu)成，圖5-50( a )所示的對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)應(yīng)一個(gè)積分環(huán)節(jié)，斜率為 -20dB/dec，相角(-)-90 ，因而相角裕度# -90 ;圖5-50( b )的對(duì)數(shù)幅 頻特性對(duì)應(yīng)兩個(gè)積分環(huán)節(jié)，斜率為-40dB/dec，相角180，因而相角裕 度=0。圖5-50 L()中頻段對(duì)穩(wěn)定性的影響一般情況下，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的斜率在整個(gè)頻率范圍內(nèi)是變化的，故截止頻率c處的相角裕度 應(yīng)由整個(gè)對(duì)數(shù)幅頻特性中各段的斜率所共同確定。 在 c處，L()曲線的斜率對(duì)相角裕度 的影響最

4、大，遠(yuǎn)離'c的對(duì)數(shù)幅頻特性，其 斜率對(duì) 的影響就很小。為了保證系統(tǒng)有滿(mǎn)意的動(dòng)態(tài)性能，希望L(')曲線以-20dB/dec的斜率穿過(guò)0dB線，并保持較寬的頻段。截止頻率 二和相角裕度 是 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo)，主要由中頻段決定，它與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)之間存在著密切 關(guān)系，因而頻域指標(biāo)是表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的間接指標(biāo)。1 二階系統(tǒng)典型二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可用圖5-51表示。其中開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為(s)二G(s)s(s 2 n)(0 ： ：1)2S22'n - 'n2圖5-51典型二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖(1) 和匚%的關(guān)系：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性為GW j (j 2 J(5-62

5、)開(kāi)環(huán)幅頻和相頻特性分別為2 'nAC ）二灼7®2 +（2居叭）2©-arcta n2n在 = c 處，A（；：；J =1，即2 'n2cA( c) ： 2- 'c( 'n)亦即4-2224-'c 4 c - 'n =0解之，得-4 T 一2?，n(5-63) c(c)二-90 - arctan - 2由此可得系統(tǒng)的相角裕度為(5-64)= 180( c) =90 - arctan 二 arctan2®將式（5-63）代入式（5-64）,得=arcta n 訂4紂 +1 2；2(5-65)根據(jù)式（5-65），可以畫(huà)

6、出 和 的函數(shù)關(guān)系曲線，如圖5-52所示。 另一方面，典型二階系統(tǒng)超調(diào)量(5-66)% =扌丁軌 1一號(hào)"00%反之，越為便于比較，將式（5-66）的函數(shù)關(guān)系也一并繪于圖5-52中。 從圖5-52所示曲線可以看出：越?。葱。?，匚%就越小。通常希望30 -60。圖5-52二階系統(tǒng)匚%、MP、 與的關(guān)系曲線圖5-53二階系統(tǒng)tsc與 的關(guān)系曲線>>圖5-52的繪制程序：ks=0:0.001:1;MMr=;kks=;for i=1:le ngth(ks)r(i)=ata n(2*ks(i)/sqrt(sqrt(4*ks(i)A4+1)-2*ks(i)A2)*180/pi;

7、 de(i)=exp(-pi*ks(i)/sqrt(1-ks(iF2)*100/2+10;if ks(i)<0.707Mr(i)=1/(2*ks(i)*sqrt(1-ks(i)A2);else Mr(i)=1;endif Mr(i)<=7.5MMr=MMr Mr(i)*10-10;kks=kks ks(i);endendab=plot(ks,r,'b-',ks,de,'r-',kks,MMr,'g-');set(ab,'linewidth',1.5);grid;>>圖5-53的繪制程序：ks=0.2:0.0

8、1:1;for i=1:le ngth(ks)r(i)=ata n(2*ks(i)/sqrt(sqrt(4*ks(i)A4+1)-2*ks(i)A2); tswc(i)=7/ta n(r(i);endab=plot(r*180/pi,tswc,'b-');set(ab,'li newidth',3);grid;(2)> - -c與ts的關(guān)系：由時(shí)域分析法可知，典型二階系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間(取=0.05時(shí))為(0.3 ：: 0.8)(5-67)將式（5-67）與式（5-63）相乘，得(5-68)再由式（5-65）和式（5-68）可得tS 'c7tan(5-6

9、9)將式（5-69）的函數(shù)關(guān)系繪成曲線，如圖5-53所示。可見(jiàn)，調(diào)節(jié)時(shí)間ts與相 角裕度 和截止頻率c都有關(guān)。當(dāng) 確定時(shí)，ts與化成反比。換言之，如果兩個(gè) 典型二階系統(tǒng)的相角裕度相同，那么它們的超調(diào)量也相同（見(jiàn)圖5-52），這樣,c較大的系統(tǒng)，其調(diào)節(jié)時(shí)間ts必然較短（見(jiàn)圖5-53）。例5-13二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖5-54所示。試分析系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo)與時(shí)域 指標(biāo)的關(guān)系。解系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)二KiK2：TiS(Tas 1)Ks(Tas 1)式中，K =KiK2Ti，轉(zhuǎn)折頻率為2 -1 Ta。若取22T圖5-55系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性則開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖5-55所示。系統(tǒng)的相角裕度為= 180

10、；（匕）=180 （ -90 - arctan cTa）= 180+ -90"-arcta n 丄 Ta =63.4I2Ta 丿根據(jù)所求得的 值，查圖5-52可得上=0.707，二 = 4.3%。由圖5-53查得 t/'c =3.5。再由式（5-70），得= 7Ta圖5-56高階系統(tǒng)二%、ts與的關(guān)系曲線若增加開(kāi)環(huán)增益，則圖5-55的L（.）向上平移，c右移。當(dāng)移至更靠近2 時(shí)，相角裕度變得較小，超調(diào)量自然變大。例如，若選 .c 2 1Ta時(shí)，則相 角裕度 45，從上述曲線查得 0.42，二 = 23%。若K值進(jìn)一步加大，則c將落在斜率為-40dB/dec的高頻漸近線段上，相

11、角裕度將變得更小，超調(diào)量 就更大。2.高階系統(tǒng)對(duì)于一般三階或三階以上的高階系統(tǒng)，要準(zhǔn)確推導(dǎo)出開(kāi)環(huán)頻域特征量（ 和 c）與時(shí)域指標(biāo)（-%和ts ）之間的關(guān)系是很困難的，即使導(dǎo)出這樣的關(guān)系式， 使用起來(lái)也不方便，實(shí)用意義不大。在控制工程分析與設(shè)計(jì)中，通常采用下述兩 個(gè)近似公式由頻域指標(biāo)估算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)：；= 0.16 0.4（丄一 1）100%（35 上 <90 ）（5-71）（35 一 一 90 ）（ 5-72）圖5-56所示的兩條曲線是根據(jù)式（5-71）和式（5-72）繪成的，以供查用。 圖中曲線表明，隨著值的增加，高階系 統(tǒng)的超調(diào)量二%和調(diào)節(jié)時(shí)間ts （ c 一定時(shí)） 都會(huì)降低。

12、圖5-56的繪制程序：r=30:0.01:90; tts=; dde=; rr1=; rr2=;for i=1:le ngth（r）temp=1/si n（r（i）*pi/180）-1;de（i）=0.16+0.4*temp;ts(i)=pi*(2+1.5*temp+2.5*tempA2)*0.5/9-6*0.5/9+0.1;if ts(i)<=0.5rr1=rr1 r(i);tts=tts ts(i);endif de(i)<=0.5rr2=rr2 r(i);dde=dde de(i);endendaa=plot(rr2,dde,'b-',rr1,tts,'

13、;r-'); set(aa,'linewidth',1.5);axis(30 90 0.1 0.55);grid;563LC )高頻段對(duì)系統(tǒng)性能的影響LC，)的高頻段特性是由小時(shí)間常數(shù)的環(huán)節(jié)構(gòu)成的，其轉(zhuǎn)折頻率均遠(yuǎn)離截止頻率撫，所以對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)影響不大。但是，從系統(tǒng)抗干擾的角度出發(fā)，研 究高頻段的特性是具有實(shí)際意義的，現(xiàn)說(shuō)明如下。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)頻率特性 G(j )和閉環(huán)頻率特性(j )的關(guān)系為-：J( j )G(j J1 G(j )在高頻段,般有20lgG(j ) ： ：0，即G(j J ： ：1。故由上式可得G(j)|1 G(j):G(j)即在高頻段，閉環(huán)幅頻特性近似等于開(kāi)環(huán)幅頻特性。因此，LC-)特性高頻段的幅值，直接反映出系統(tǒng)對(duì)輸入端高頻信號(hào)的抑制能力，高頻段的分貝值越低，說(shuō)明系統(tǒng)對(duì)高頻信號(hào)的衰減作用越大，即系統(tǒng)的抗咼頻干擾能力越強(qiáng)。綜上所述，我們所希望的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性應(yīng)具有下述性質(zhì)：(1) 如果要求具有一階或二階無(wú)差度(即系統(tǒng)在階躍或斜坡作用下無(wú)穩(wěn)態(tài)