多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用

1、第8章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用上冊中我們所討論的函數(shù)都只有一個自變量，這種函數(shù)稱為一元函數(shù)而在實際問題中，還會遇到多于一個自變量的函數(shù)，這就是本章將要討論的多元函數(shù)多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣它的一些基本概念及研究問題的思想方法與一元函數(shù)有許多類似之處，但是由于自變量個數(shù)的增加，它與一元函數(shù)又存在著某些區(qū)別，這些區(qū)別之處在學(xué)習(xí)中要加以注意對于多元函數(shù)，我們將著重討論二元函數(shù)在掌握了二元函數(shù)的有關(guān)理論與研究方法之后，我們可以把它推廣到一般的多元函數(shù)中去§1 多元函數(shù)的極限與連續(xù)一、平面點集與維空間一元函數(shù)的定義域是實數(shù)軸上的點集，而二元函數(shù)的定義域是坐標(biāo)平面上的點集因此，在討論二元函數(shù)之前

2、，有必要先了解有關(guān)平面點集的一些基本概念1平面點集由平面解析幾何知道，當(dāng)在平面上確定了一個直角坐標(biāo)系后，平面上的點與二元有序?qū)崝?shù)組之間就建立了一一對應(yīng)于是，我們常把二元有序?qū)崝?shù)組與平面上的點看作是等同的這種建立了坐標(biāo)系的平面稱為坐標(biāo)平面二元有序?qū)崝?shù)組的全體，即就表示坐標(biāo)平面坐標(biāo)平面上滿足某種條件的點的集合，稱為平面點集，記作滿足條件例如，平面上以原點為中心，為半徑的圓內(nèi)所有點的集合是現(xiàn)在，我們引入平面中鄰域的概念設(shè)是平面上一點，是一正數(shù)與點距離小于的點的全體，稱為點的鄰域，記為或，即 不包含點在內(nèi)的鄰域稱為點的空心鄰域，記為或，即在幾何上，鄰域就是平面上以點為中心，為半徑的圓的內(nèi)部的點的全體下

3、面利用鄰域來描述點和點集之間的關(guān)系任意一點與任意一個點集之間必有以下三種關(guān)系之一：（1）內(nèi)點：若存在點的某個鄰域，使得，則稱點是點集的內(nèi)點（見圖8-1）（2）外點：如果存在點的某個鄰域，使得，則稱點是點集的外點（見圖8-2）（3）邊界點：如果在點的任何鄰域內(nèi)既含有屬于的點，又含有不屬于的點，則稱點是點集的邊界點（見圖8-3）的邊界點的全體稱為的邊界,記作圖8-1圖8-2圖8-3 的內(nèi)點必定屬于；的外點必定不屬于；的邊界點可能屬于，也可能不屬于 點和點集還有另外一種關(guān)系，這就是下面定義的聚點聚點：若點的任何空心鄰域內(nèi)總有中的點，則稱為點集的聚點聚點本身可能屬于也可能不屬于顯然，的內(nèi)點一定是的聚點

4、，的外點一定不是的聚點 例如，點集，滿足的一切點是的內(nèi)點；滿足的一切點是的邊界點，它們都屬于；滿足的點也是的邊界點，但它們不屬于；點集連同它的外圓邊界上的點都是的聚點根據(jù)點集的特征，我們再來定義一些重要的平面點集開集：如果點集的點都是的內(nèi)點，則稱為開集閉集：如果點集的所有聚點都屬于，則稱為閉集例如，集合是開集；集合是閉集；而集合既非開集，也非閉集此外，還約定全平面和空集既是開集又是閉集連通集：若點集中任意兩點都可以用完全含于的有限條直線段所組成的折線相連接，則稱是連通集區(qū)域（開區(qū)域）：連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域閉區(qū)域：開區(qū)域連同它的邊界一起組成的集合，稱為閉區(qū)域例如，是區(qū)域；是閉區(qū)域有界集：對

5、于點集，如果能包含在以原點為中心的某個圓內(nèi)，則稱是有界點集否則稱為無界點集例如是有界閉區(qū)域，而是無界的開區(qū)域2維空間 稱元有序?qū)崝?shù)組的全體為維空間，記為中的每個元素稱為維空間中的一個點，稱為該點的第個坐標(biāo)設(shè)點，為中的兩點，我們規(guī)定，兩點間的距離為顯然，當(dāng)時，上式就是解析幾何中在直線、平面、空間中兩點間的距離公式有了兩點間的距離規(guī)定之后，就可以把平面點集中的鄰域的概念推廣到中去設(shè)，是一正數(shù)，那么中的點集就稱為點的鄰域有了鄰域之后，就可以把平面點集中的內(nèi)點、外點、邊界點、聚點、開集、閉集、區(qū)域等概念推廣到維空間去二、二元函數(shù)的概念1二元函數(shù)的概念 在很多自然現(xiàn)象以及實際問題中，經(jīng)常會遇到一個變量依

6、賴于多個變量的關(guān)系，下面先看幾個例子例1 正圓錐體的體積和它的高及底面半徑之間有關(guān)系當(dāng)和在集合內(nèi)取定一組數(shù)時，通過關(guān)系式，有唯一確定的值與之對應(yīng)例2 一定量的理想氣體的壓強、體積和絕對溫度之間有關(guān)系，其中為常數(shù)當(dāng)、在集合內(nèi)取定一組數(shù)時，通過關(guān)系式，有唯一確定的值與之對應(yīng)上面兩個例子，雖然來自不同的實際問題，但都說明，在一定的條件下三個變量之間存在著一種依賴關(guān)系，這種關(guān)系給出了一個變量與另外兩個變量之間的對應(yīng)法則，依照這個法則，當(dāng)兩個變量在允許的范圍內(nèi)取定一組數(shù)時，另一個變量有唯一確定的值與之對應(yīng)由這些共性便可得到以下二元函數(shù)的定義定義1 設(shè)是平面上的一個點集，如果對于內(nèi)任意一點，變量按照某一對

7、應(yīng)法則總有唯一確定的值與之對應(yīng)，則稱是變量、的二元函數(shù)（或稱是點的函數(shù)），記作或其中點集稱為函數(shù)的定義域，稱為自變量，也稱為因變量，數(shù)集稱為該函數(shù)的值域是，的函數(shù)也可記為按照定義，在例1和例2中，是和的函數(shù)，是和的函數(shù)，它們的定義域由實際問題來確定當(dāng)二元函數(shù)僅用算式表示而未注明定義域時，約定其定義域為使算式有意義的點的集合例3 求下列函數(shù)的定義域（1）； （2）解 （1）要使有意義，必須有，所以定義域為（見圖8-4），這是一個無界開區(qū)域（2）要使有意義，必須有，所以定義域為（見圖8-5），這是一個有界閉區(qū)域設(shè)二元函數(shù)的定義域為，對任一點，必有唯一的與之對應(yīng)這樣，以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，為豎坐標(biāo)在

8、空間就確定一個點當(dāng)取遍上一切點時，相應(yīng)地得到一個空間點集，這個點集稱為二元函數(shù)的圖形（見圖8-6）通常的圖形是一張曲面，函數(shù)的定義域便是該曲面在面上的投影例如，由空間解析幾何知道，的圖形是一張平面，而函數(shù)的圖形是旋轉(zhuǎn)拋物面2元函數(shù)的概念定義2 設(shè)是中的一個點集，如果對于中任意一點，變量按照某一對應(yīng)法則總有唯一確定的值與之對應(yīng)，則稱是定義在上的元函數(shù)，記作，或點集稱為函數(shù)的定義域，數(shù)集稱為該函數(shù)的值域在定義2中，分別令和，便得到二元函數(shù)和三元函數(shù)的定義，二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)三、二元函數(shù)的極限設(shè)二元函數(shù)定義在平面點集上，為點集的聚點，我們來討論當(dāng)點，即點，時函數(shù)的極限這里是指點以任意

9、的方式趨于，亦即兩點與之間的距離趨于零，也就是與一元函數(shù)的極限概念類似，如果在的過程中，所對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于一個常數(shù)，則稱當(dāng)時，函數(shù)以為極限下面用“”語言來描述這個極限的概念定義3 設(shè)二元函數(shù)的定義域為，是的聚點，是一個常數(shù)如果對于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時，恒有成立，則稱當(dāng)時函數(shù)以為極限，記為或，也記作二元函數(shù)的極限也稱為二重極限例4 設(shè)，證明證 這里函數(shù)的定義域是，點顯然為的聚點由于，可見，對任意給定的，取，則當(dāng)，即時，恒有，成立，根據(jù)二元函數(shù)極限的定義，證得我們必須注意，所謂二重極限存在，是指以任何方式趨于時，函數(shù)都無限接近于同一個常數(shù)因此，當(dāng)以某種特殊方式趨近于，即使函數(shù)

10、無限接近于某一常數(shù)，也不能斷定二重極限存在但當(dāng)以某種特殊方式趨近于時，函數(shù)的極限不存在，或者當(dāng)沿兩個特殊方式趨近于時，函數(shù)分別無限接近于兩個不同的常數(shù)，則可以斷定二重極限不存在例5 討論當(dāng)時是否存在極限解 當(dāng)點沿著直線趨于時，有其值因而異，這與極限定義中當(dāng)以任何方式趨于時，函數(shù)都無限接近于同一個常數(shù)的要求相違背，因此當(dāng)時，的極限不存在 以上關(guān)于二元函數(shù)極限的有關(guān)描述，可相應(yīng)地推廣到一般的元函數(shù)即上去多元函數(shù)極限的性質(zhì)和運算法則與一元函數(shù)相仿，這里不再重復(fù)例6 求解 因為，而，利用有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小，即知 例7 解 利用變量替換令，當(dāng)時，有，因此 例8 求解 利用極坐標(biāo)變換令，當(dāng)時，

11、有，因此四、二元函數(shù)的連續(xù)有了二元函數(shù)極限的概念，仿照一元函數(shù)連續(xù)性的定義，不難得出二元函數(shù)連續(xù)性的定義定義4 設(shè)二元函數(shù)的定義域為，是的聚點，且，如果 （1）則稱二元函數(shù)在點連續(xù) 若記，則稱為函數(shù)在點的全增量和一元函數(shù)一樣，可用增量的形式來描述連續(xù)性，即當(dāng)時，在點連續(xù) 若函數(shù)在上每一點都連續(xù)，則稱在上連續(xù)，或稱是上的連續(xù)函數(shù)若在點不連續(xù)，則稱是函數(shù)的間斷點當(dāng)函數(shù)在點沒有定義；或雖有定義，但當(dāng)時函數(shù)的極限不存在；或極限雖存在，但極限值不等于該點處的函數(shù)值，則都是函數(shù)的間斷點例如，考察函數(shù)例5中已說明，不存在，所以點是函數(shù)的間斷點再如函數(shù)在曲線上每一點處都沒有定義，所以曲線上每一點都是該函數(shù)的間

12、斷點根據(jù)極限的運算法則和多元函數(shù)連續(xù)性的定義，不難證明多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不等于零）也都是連續(xù)函數(shù)多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)與一元初等函數(shù)類似，多元初等函數(shù)是指可用一個式子表示的多元函數(shù)，這個式子是由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合運算得到的例如，都是多元初等函數(shù)根據(jù)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性以及連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，再利用基本初等函數(shù)的連續(xù)性，我們進一步可以得出如下結(jié)論：多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域由多元初等函數(shù)的連續(xù)性，如果需求極限，而正是初等函數(shù)定義區(qū)域內(nèi)的一點，則 例9

13、求解 函數(shù)是多元初等函數(shù)，它的定義域是一個區(qū)域，而點，所以 例10 求 解 以上運算的最后一步用到了二元函數(shù)在點的連續(xù)性類似于閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，在有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)具有以下幾個重要性質(zhì)：性質(zhì)1（最大值、最小值定理） 在有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)，在該區(qū)域上有最大值與最小值；性質(zhì)2（有界性定理） 在有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)，在該區(qū)域上有界；性質(zhì)3（介值定理） 在有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)，必能取得介于最大值與最小值之間的任何值習(xí)題 8-11判斷下列平面點集中哪些是開集、閉集、區(qū)域、閉區(qū)域、有界集、無界集，并指出它們的邊界和聚點（1）；（2）；（3）2求下列函數(shù)的定義域，并作出

14、定義域的草圖：（1）； （2）；（3）； （4）3求下列各極限：（1）； （2）；（3）； （4）4證明下列極限不存在：（1）； （2）5求下列函數(shù)的間斷點：（1）； （2）§2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分一、偏導(dǎo)數(shù)1偏導(dǎo)數(shù)定義及其計算在一元函數(shù)中，我們通過函數(shù)的增量與自變量增量之比的極限引出了導(dǎo)數(shù)的概念，這個比值的極限刻畫了函數(shù)對于自變量的變化率對于多元函數(shù)同樣需要討論它的變化率，由于多元函數(shù)的自變量多于一個，使得變化率問題變得較為復(fù)雜在這一節(jié)里，我們首先考慮多元函數(shù)關(guān)于其中一個自變量的變化率，即討論只有一個自變量變化，而其余自變量固定不變（視為常量）時函數(shù)的變化率定義1 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)

15、有定義，當(dāng)固定在，而在處有增量時（點（）仍在該鄰域中），相應(yīng)地函數(shù)有增量如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)，記作，或偏導(dǎo)數(shù)記號，也常記作，即 （1）類似地，函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)定義為 ， （2）記作，或由偏導(dǎo)數(shù)的定義可知，二元函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)，實際上就是把固定在時，一元函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)；就是一元函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點處對的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是，的函數(shù)，稱它為函數(shù)對自變量的偏導(dǎo)函數(shù)，記作，或 類似地，可以定義函數(shù)對自變量的偏導(dǎo)函數(shù)，記作，或偏導(dǎo)函數(shù)也簡稱為偏導(dǎo)數(shù)顯然函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)就是偏導(dǎo)函數(shù)在點處的函數(shù)值；就是偏導(dǎo)函數(shù)在點處的函數(shù)值至于實際求的偏導(dǎo)數(shù)

16、，并不需要用新的方法，因為偏導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)就是把一個自變量固定，而將二元函數(shù)看成是另一個自變量的一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算時，只要把看作常數(shù)，而對求導(dǎo)數(shù)；類似地，計算時，只要把看作常數(shù)，而對求導(dǎo)數(shù)二元以上的函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)可類似定義例如三元函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)可定義為其中是函數(shù)的定義域的內(nèi)點求二元以上函數(shù)對某個自變量的偏導(dǎo)數(shù)也只需把其余自變量都看作常數(shù)而對該自變量求導(dǎo)即可例1 求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)解 對求偏導(dǎo)數(shù)時，把看作常數(shù)，則；對求偏導(dǎo)數(shù)時，把看作常數(shù)，則 例2 設(shè)，求， 解 方法一：先求出偏導(dǎo)函數(shù)和，再求偏導(dǎo)函數(shù)在點的函數(shù)值，所以 ， 方法二：將轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，計算一元函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，所以 將轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，計算一

17、元函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，所以 例3 已知函數(shù)，求證 證 求時，把和看作常數(shù)，則，由于所給函數(shù)關(guān)于自變量對稱 若函數(shù)表達式中任意兩個自變量對調(diào)后，仍表示原來的函數(shù)，則稱函數(shù)關(guān)于這兩個自變量對稱，所以，從而有 例4 已知理想氣體的狀態(tài)方程是（是常數(shù)），求證 證 ，故 從例4不難說明偏導(dǎo)數(shù)的記號，是一個整體記號，不能像一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)那樣看成分子與分母之商，否則將導(dǎo)致的錯誤結(jié)論2偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 在空間直角坐標(biāo)系中，二元函數(shù)的圖像是一個空間曲面根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，就是把固定在，一元函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)而在幾何上，一元函數(shù)表示曲面與平面的交線，則由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，就是曲線在點處的切線對軸的斜率，即與軸正向所

18、成傾角的正切（見圖8-7）同理，就是曲面與平面的交線在點處的切線對軸的斜率（見圖8-8）圖8-8圖8-7 3偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系我們知道，若一元函數(shù)在點處可導(dǎo)，則必在點處連續(xù)但對于二元函數(shù)來講，即使在點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，也不能保證函數(shù)在點處連續(xù)這是因為偏導(dǎo)數(shù)，存在只能保證一元函數(shù)和分別在和處連續(xù)，但不能保證以任何方式趨于時，函數(shù)都趨于 例5 求二元函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)，并討論它在點處的連續(xù)性 解 點是函數(shù)的分界點，類似于一元函數(shù)，分段函數(shù)分界點處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義去求，又由于函數(shù)關(guān)于自變量，是對稱的，故我們在第一節(jié)已經(jīng)知道在點處不連續(xù) 當(dāng)然，在點處連續(xù)也不能保證在點的偏導(dǎo)數(shù)存在 例6 討論函數(shù)在

19、點處的偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性 解 因為是多元初等函數(shù)，它的定義域是一個區(qū)域，而，因此在點處連續(xù)但不存在由函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性知，也不存在4高階偏導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)，一般來講，在內(nèi)，仍然是，的函數(shù)，如果，關(guān)于，的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱，的偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)按照對兩個自變量求導(dǎo)次序不同，二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)有如下四種情形：對的二階偏導(dǎo)數(shù)：，先對后對的二階偏導(dǎo)數(shù)：，先對后對的二階偏導(dǎo)數(shù)：，對的二階偏導(dǎo)數(shù)： 二階偏導(dǎo)數(shù)記號，也常記作， ， ， 如果二階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，就稱它們是函數(shù)的三階偏導(dǎo)數(shù)，例如，等類似地，我們可以定義四階，五階，階偏導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)如果高階偏

20、導(dǎo)數(shù)中既有對也有對的偏導(dǎo)數(shù)，則此高階偏導(dǎo)數(shù)稱為混合偏導(dǎo)數(shù)，例如， 例7 求函數(shù)的所有二階偏導(dǎo)數(shù) 解 由于，因此有 ， 在此例中，兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等，即，但這個結(jié)論并非對任何函數(shù)成立，只有在滿足一定條件時，二階混合偏導(dǎo)數(shù)才與求偏導(dǎo)的次序無關(guān)對此，我們不加證明地給出下面的定理 定理1 如果函數(shù)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等 換句話說，兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件下與求偏導(dǎo)的次序無關(guān)對于二元以上的函數(shù)，我們也可以類似地定義高階偏導(dǎo)數(shù)而且高階混合偏導(dǎo)數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件下也與求偏導(dǎo)的次序無關(guān) 例8 驗證函數(shù)滿足拉普拉斯（Laplace）方程 證

21、因為，所以利用函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，在的結(jié)果中，將與互換，便得到，因此 二、全微分1全微分的定義我們知道一元函數(shù)在點可微是指：如果當(dāng)自變量在處有增量時，函數(shù)增量可表示為，其中與無關(guān)，是當(dāng)時較高階的無窮小量，則稱在點可微，并稱為在點處的微分，記為對于二元函數(shù)，我們也用類似的方法來定義可微性及全微分定義2 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，點為該鄰域內(nèi)任意一點，若函數(shù)在點處的全增量可表示為 ， （3）其中，僅與點有關(guān)，而與，無關(guān)，是當(dāng)時較高階的無窮小量，即，則稱函數(shù)在點處是可微的，并稱為函數(shù)在點處的全微分，記作，即 （4）2可微性條件 定理2（可微的必要條件） 若在點處可微，則 （1）在點處連續(xù)；（2

22、）在點處的偏導(dǎo)數(shù)存在，且，證（1） 設(shè)在點處可微，根據(jù)可微的定義有，當(dāng)時，有，于是，從而有所以在點處連續(xù)（2）因為在點處可微，則有，上式對任意的，都成立，特別地，當(dāng)時，則有，等式兩邊同除以，再令，得，即在點處對的偏導(dǎo)數(shù)存在，且同理可證在點處對的偏導(dǎo)數(shù)也存在，且證畢根據(jù)此定理，在點處的全微分可以寫成與一元函數(shù)的情形一樣，由于自變量的增量等于自變量的微分，即，所以在點處的全微分又可以寫成 （5）如果函數(shù)在區(qū)域上每一點都可微，則稱函數(shù)在區(qū)域上可微，且在上全微分為 （6）在一元函數(shù)中，函數(shù)在某點可導(dǎo)與可微是等價的，但對于多元函數(shù)來說，情形就不同了，函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，不一定能保證函數(shù)可微當(dāng)偏導(dǎo)數(shù)存在時雖

23、然在形式上能寫出，但它與的差不一定是當(dāng)時較高階的無窮小量，只有當(dāng)時，即時，才能說函數(shù)在該點可微例如本節(jié)例5中所討論的函數(shù)在點處有，所以如果考慮點按照的方式趨向于點，這時有，即不存在，則由可微性定義有在點處不可微當(dāng)然由本節(jié)例5可知，函數(shù)在點處不連續(xù)，由定理2知不連續(xù)則不可微，因此在點處的不可微此例題說明偏導(dǎo)數(shù)存在只是可微的必要條件而不是充分條件但是如果將可偏導(dǎo)的條件加強為偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則函數(shù)就可微了定理3（可微的充分條件） 若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點的某鄰域內(nèi)存在，且與在點處連續(xù)，則函數(shù)在點處可微證 函數(shù)的全增量可以表示為在第一個方括號中，變量保持不變，因此可以把方括號中的表達式看作是關(guān)于的一元函數(shù)的增量

24、；在第二個方括號中，變量保持不變，因此可以把方括號中的表達式看作是關(guān)于的一元函數(shù)的增量對它們分別應(yīng)用一元函數(shù)的拉格朗日中值定理得，（，） 由于與在點處連續(xù)，因此有，即 ，其中當(dāng)，時，從而而 ，所以 ，又由于，由于，所以有，所以，即當(dāng)時，有于是證明了在點處可微證畢 注意偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是函數(shù)可微的充分條件，不是必要條件例9 證明在點處可微，但在點處偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù) 證 ，由于函數(shù)關(guān)于自變量是對稱的，則于是所以函數(shù)在點處可微當(dāng)時，由有，當(dāng)點沿軸趨于時，由于，不存在，所以不存在，即在點處不連續(xù)，同理在點處也不連續(xù)根據(jù)前面的討論，函數(shù)連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在，可微的關(guān)系可用下圖表示： 偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) 可微連續(xù)

25、以上關(guān)于全微分的定義及可微的必要條件和充分條件可以完全類似地推廣到三元及三元以上的函數(shù)例如，若三元函數(shù)的三個偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，則它的全微分存在，并有 例10 求函數(shù)在點處的全微分解 ， ，由于，在點處連續(xù)，所以函數(shù)在點處可微，且有 例11 求函數(shù)的全微分解 ，由于，連續(xù)，所以函數(shù)可微，且有 例12 求函數(shù)在點處，當(dāng)，時的全微分和全增量解 ， ，由于，在點處連續(xù)，所以函數(shù)在點處可微，且， 此例中與的差僅為0.00243全微分在近似計算中的應(yīng)用設(shè)函數(shù)在點處可微，則它在點處的全增量為其中是當(dāng)時較高階的無窮小量因此，當(dāng)，都很小時，有近似公式 ，上式有時也寫成 （7）利用上面的近似公式（7）可以計算函

26、數(shù)的近似值例13 計算的近似值解 把看作是函數(shù)在，時的函數(shù)值取，由于 ，應(yīng)用近似公式（7）有 例14 金屬圓錐體受熱變形，底面半徑由增加到，高由減少到，求圓錐體體積變化的近似值解 設(shè)圓錐體的底面半徑、高和體積依次為、和，則圓錐體體積為記、和的增量依次為、和應(yīng)用近似公式（7）有將，代入上式，得圓錐體體積變化的近似值即圓錐體的體積約減少了習(xí)題 8-21求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）2設(shè)，求3求曲線在點處的切線與軸正向所成的傾角4求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）；（3）； （4）5驗證： （1）滿足方程；（2）滿

27、足方程； （3）滿足方程；（4）滿足方程，其中6設(shè)，求，7考察函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)是否存在8求下列函數(shù)的全微分：（1）； （2）；（3）； （4）9求下列函數(shù)在指定點的全微分：（1），在點處； （2），在點處10求函數(shù)，當(dāng)，時的全增量和全微分11證明函數(shù)在點處連續(xù)，且偏導(dǎo)數(shù)存在，但在點處不可微12求下列各式的近似值：（1）； （2）13金屬圓柱體受熱變形，半徑由增加到，高由增長到，求圓柱體體積變化的近似值§3 多元函數(shù)微分法一、復(fù)合函數(shù)微分法 1復(fù)合函數(shù)微分法在一元函數(shù)中，我們介紹了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：如果函數(shù)在點處可導(dǎo)而在對應(yīng)點處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點處可導(dǎo)，且有現(xiàn)在將這一微分法則推廣

28、到多元復(fù)合函數(shù)的情形，并按照多元復(fù)合函數(shù)的不同的復(fù)合情形，分三種情況討論 （1）復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形定理1 設(shè)函數(shù)，在點處可導(dǎo)，函數(shù)在對應(yīng)點處可微，則復(fù)合函數(shù)在點處可導(dǎo)，并且有 （1） 證 給以增量，相應(yīng)地有增量和，從而函數(shù)有增量因為函數(shù)在點可微，故有，其中，是當(dāng)時較高階的無窮小量上式兩端同時除以，得，因為函數(shù)，在點處可導(dǎo)，故它們必在點處連續(xù)，從而當(dāng)時有，注意到因為當(dāng)時有，故有，從而，再由，在點處可導(dǎo)，故當(dāng)時有，從而有界，所以，于是有即證畢為了便于掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，我們常用函數(shù)結(jié)構(gòu)圖來表示變量之間的復(fù)合關(guān)系例如定理1的函數(shù)結(jié)構(gòu)圖是 v 從函數(shù)結(jié)構(gòu)圖中可以看到：一方面，從引

29、出兩個箭頭指向中間變量、，表示是、的函數(shù)，同理和都是的函數(shù)；另一方面，由出發(fā)通過中間變量到達的鏈有兩條，這表示對的導(dǎo)數(shù)是兩項之和，而每條鏈由兩個箭頭組成，表示每項由兩個導(dǎo)數(shù)相乘而得，例如 表示， 表示，因此注意這里和都是的一元函數(shù)，對的導(dǎo)數(shù)用記號，表示，是，的二元函數(shù)，其對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)是偏導(dǎo)數(shù)，用記號，表示，函數(shù)經(jīng)過復(fù)合之后，最終是的一元函數(shù)，故對的導(dǎo)數(shù)用記號表示，稱為全導(dǎo)數(shù)，公式（1）稱為全導(dǎo)數(shù)公式 公式（1）可以推廣到復(fù)合函數(shù)的中間變量多于兩個的情形例如，由，復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，在與定理1類似的條件下有全導(dǎo)數(shù)公式 （2） 例1 設(shè)，求解 由全導(dǎo)數(shù)公式（1），有 例2 設(shè)，求解 函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖為

30、于是 （2）復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形定理2 若，在點處都存在偏導(dǎo)數(shù)，在對應(yīng)點處可微，則復(fù)合函數(shù)在點處存在偏導(dǎo)數(shù)，且有 ， （3） （4）定理2的函數(shù)結(jié)構(gòu)圖為 我們可以借助函數(shù)結(jié)構(gòu)圖，直接寫出公式（3）和（4），例如到的鏈有兩條，即為兩項之和， 表示， 表示，因此 公式（3）和（4）可以推廣到中間變量或自變量多于兩個的情形例如，設(shè)，在點處都具有偏導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)在對應(yīng)點可微，則復(fù)合函數(shù)在點處具有偏導(dǎo)數(shù)，且， 例3 設(shè)，求，解 令，則，所以 ， 例4 設(shè)函數(shù)，其中可微，證明證 令，則，其函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖為 于是例5 設(shè)函數(shù)，其中可微，證明證 綜合應(yīng)用四則運算與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得， （3）復(fù)合

31、函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)又有多元函數(shù)的情形定理3 設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，在點處存在偏導(dǎo)數(shù)，而在對應(yīng)點處可微，則復(fù)合函數(shù)在點處存在偏導(dǎo)數(shù)，且有 ， （5） （6）定理3的函數(shù)結(jié)構(gòu)圖為 情形3中有一個特殊情形，復(fù)合函數(shù)的某些中間變量又是復(fù)合函數(shù)的自變量 定理4 設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而具有偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點處存在偏導(dǎo)數(shù)，且有 ， （7） （8）定理4的函數(shù)結(jié)構(gòu)圖為 為了避免混淆，公式（7），（8）右端的換成了，要注意和是不同的，是把中的及看成不變而對求偏導(dǎo)數(shù)，是把復(fù)合函數(shù)中的看成不變而對求偏導(dǎo)數(shù)例6 設(shè)，而，求，解 ， 2多元復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)在第二節(jié)已經(jīng)給出高階偏導(dǎo)數(shù)的定義，這里通過一個具體例子

32、來說明求復(fù)合函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)的方法例7 設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求， 解 令，則，于是，再求二階偏導(dǎo)數(shù)時注意到及仍是，的函數(shù)，而，是，的函數(shù)，且函數(shù)結(jié)構(gòu)圖為 應(yīng)用多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得這里因為具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，故有，因此可以合并為方便起見，有時用自然數(shù)1，2的順序分別表示函數(shù)中的兩個中間變量，這樣，和分別用，和來表示，則有， 3全微分形式不變性我們知道，一元函數(shù)的微分具有一階微分形式的不變性，即不論是自變量還是中間變量，對都有多元函數(shù)的一階全微分也具有同樣的性質(zhì)設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，如果，是自變量，則全微分為如果，是中間變量，且它們具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)的全微分為將多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

33、公式（3）和（4）代入上式，則有 （9）注意到，具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有 ， （10）將（10）代入（9）式，得由此可見，無論是自變量，的函數(shù)還是中間變量，的函數(shù)，其全微分的形式是一樣的，這個性質(zhì)稱為一階全微分形式的不變性，類似地可以證明三元及三元以上的函數(shù)的全微分也具有這一性質(zhì)關(guān)于全微分的運算性質(zhì)，應(yīng)用全微分形式的不變性容易證明，它與一元函數(shù)微分法則相同，即；利用全微分形式的不變性，可得求復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的另一途徑例8 設(shè)，利用全微分形式的不變性，求，解 由全微分形式的不變性，有，又因為，所以從而，二、隱函數(shù)微分法 1一個方程所確定的隱函數(shù)的微分法在上冊第二章導(dǎo)數(shù)與微分中已經(jīng)提出了隱函數(shù)的概念，并

34、且指出在不經(jīng)過顯式化的情況下，直接由方程求出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法這里，有些問題尚待解決：在什么條件下，方程可以確定一個隱函數(shù)；在什么條件下，方程所確定的隱函數(shù)是連續(xù)且可導(dǎo)的，下面的定理給出了回答定理5（隱函數(shù)存在定理1） 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，則方程在點的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并有 （11）定理5的證明略，這里僅對公式（11）作如下推導(dǎo)把函數(shù)代入方程中，得恒等式，其左端是的一個復(fù)合函數(shù)，它的全導(dǎo)數(shù)應(yīng)恒等于右端零的導(dǎo)數(shù)，即，由于連續(xù)且，所以存在點的某鄰域，在該鄰域內(nèi)，于是有例9 說明由方程在點的某鄰域內(nèi)能確定一個單值的隱函

35、數(shù)，并求出的一階導(dǎo)數(shù)解 函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，即滿足隱函數(shù)存在定理1的條件，所以方程在點的某鄰域內(nèi)能確定一個單值的隱函數(shù)，由公式（11）得與定理5一樣，我們同樣可以由三元函數(shù)的性質(zhì)來判斷由方程所確定的二元函數(shù)的存在性及求偏導(dǎo)數(shù)的公式，這就是下面的定理定理6（隱函數(shù)存在定理2） 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且，則方程在點的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并有 ， （12）下面僅對公式（12）作如下推導(dǎo)把函數(shù)代入方程中，得恒等式，該式兩端分別對和求偏導(dǎo)數(shù)得，由于連續(xù)，且，所以存在點的某鄰域，在此鄰域內(nèi)，于是得，類似地，定理6可推廣到由

36、元方程確定元隱函數(shù)的存在性與求偏導(dǎo)數(shù)的公式 （）例10 設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求，解法1（公式法） 設(shè)，則，則由公式（12）得，解法2（直接法） 在方程兩邊分別對，求偏導(dǎo)數(shù)，將看成是，的函數(shù)，得，于是，解法3（全微分法） 利用全微分形式不變性，在方程兩邊求全微分得，即 ，于是 ， 例11 設(shè)，求解 在方程兩邊分別對求偏導(dǎo)數(shù)，并注意是，的函數(shù)，得 ， （13）于是 ， 再對（13）式兩邊對求偏導(dǎo)數(shù)，并注意是，的函數(shù)，得于是 將的表達式代入上式得 2方程組所確定的隱函數(shù)的微分法 下面我們將隱函數(shù)存在定理作另一方面的推廣，不僅增加方程中變量的個數(shù)，而且增加方程的個數(shù)定理7（隱函數(shù)存在定理3） 設(shè)函

37、數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)對各個變量具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，又且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比行列式）在點不等于零，則方程組在點的某鄰域內(nèi)能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，且它們滿足條件 （14） 此處僅對公式（14）作如下推導(dǎo)將，代入方程組 得應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，將恒等式兩端分別對求偏導(dǎo)數(shù)，得即這是關(guān)于，的線性方程組，由定理7的條件可知在點的某鄰域內(nèi)系數(shù)行列式，從而可得到唯一的一組解，同理，可求得， 例12 求由方程組確定的函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)， 解 此題可直接利用公式（14）求解，但也可依照推導(dǎo)公式（14）的方法求解下面我們用后一種方法將所給方程兩邊對求導(dǎo)，得即當(dāng)系數(shù)行列式時，可解得，習(xí)題

38、8-3 1設(shè)，而，求全導(dǎo)數(shù) 2設(shè)，而，求全導(dǎo)數(shù) 3設(shè)，而，求， 4設(shè)，而，求， 5求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）；（3）； （4） 6求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）；（3）； （4） 7設(shè)，其中為可導(dǎo)函數(shù)，驗證： 8設(shè)，其中，具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，驗證：9利用全微分形式的不變性求函數(shù)的全微分，并求，10設(shè)，求11設(shè)，求，12設(shè)，求，13設(shè)，求，14設(shè)函數(shù)由方程所確定，其中都是可微函數(shù)，驗證15設(shè)函數(shù)由方程所確定，其中具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，驗證16設(shè)，求17設(shè)，求，18設(shè)，求19求由下列方程組所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)：（1） 求，；（2

39、） 求，§4 方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)函數(shù)在點的偏導(dǎo)數(shù)，分別表示函數(shù)在點沿著軸方向與軸方向的變化率，它們只描述了函數(shù)沿著坐標(biāo)軸方向的變化情況，現(xiàn)在要考慮函數(shù)在點沿任一方向的變化率，即方向?qū)?shù)圖8-9 定義1 設(shè)在點的某鄰域內(nèi)有定義從點引射線，的方向角為，（即從，正向到射線的轉(zhuǎn)角分別為， ），在射線上取一點（圖8-9），若極限存在，其中為兩點和之間的距離，則稱此極限值為函數(shù)在點處沿著方向的方向?qū)?shù)，記作，即 由定義可知，當(dāng)函數(shù)在點的偏導(dǎo)數(shù)，存在時，則函數(shù)在點處沿著軸正向，軸正向的方向?qū)?shù)都存在，且其值依次為，函數(shù)在點處沿著軸負向，軸負向的方向?qū)?shù)也都存在，且其值依次為， 沿任一方向的

40、方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系由下述定理給出定理1 設(shè)函數(shù)在點可微，則函數(shù)在點處沿任一方向的方向?qū)?shù)都存在，且 ， （15）其中，為的方向余弦證 因為函數(shù)在點可微，所以函數(shù)在點處的增量可表示為由圖8-9可知，在上，所以有于是有極限這就證明了函數(shù)函數(shù)在點沿方向的方向?qū)?shù)存在，且其值為證畢需注意在公式（15）中，當(dāng)，時，當(dāng)，時，可見當(dāng)可微時，偏導(dǎo)數(shù)是方向?qū)?shù)的特例類似地，可以定義三元函數(shù)的方向?qū)?shù)，而且可微的三元函數(shù)在點處沿任一方向的方向?qū)?shù)也存在，且有，其中，為的方向余弦 例1 求函數(shù)在點處沿著從點到點的方向的方向?qū)?shù)解 這里方向即向量的方向，因此的方向余弦為，又因為，于是，所以 例2 設(shè)，求在點處沿方

41、向的方向?qū)?shù)解 的方向余弦為，又因為，所以 二、梯度定義2 設(shè)函數(shù)在點處存在對所有自變量的偏導(dǎo)數(shù)，則稱向量為函數(shù)在點處的梯度，記作，即若在點處可微，為方向上的單位向量，則方向?qū)?shù)公式（15）又可寫成 （16）其中是梯度與的夾角由公式（16）可以看出，方向?qū)?shù)就是梯度在方向上的投影，且方向?qū)?shù)還具有下述性質(zhì)：（1）當(dāng)與同方向時，方向?qū)?shù)有最大值；（2）當(dāng)與反方向時，方向?qū)?shù)有最小值； （3）當(dāng)與垂直時，方向?qū)?shù)為零 因此，函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向是函數(shù)在該點的方向?qū)?shù)取得最大值的方向，它的模等于方向?qū)?shù)的最大值類似地，可以定義三元函數(shù)在點處的梯度為同樣當(dāng)在點處可微，為方向上的單位向量時，則有 例3 求函數(shù)在點處的梯度及沿方向的方向?qū)?shù) 解 因為，于是，所以又因為的單位向量為，所以習(xí)題 8-41求函數(shù)在點處沿著從點到點的方向的方向?qū)?shù)2求函數(shù)在點處沿方向（其方向角分別為，）的方向?qū)?shù)3求函數(shù)在點處沿著從點到點的方向?qū)?shù)4求函數(shù)在拋物線上點處，沿著這條拋物線在該點處偏向軸正向的切線方向的方向?qū)?shù)5求函數(shù)在點處沿與軸正方向成角的射線方向的方向?qū)?shù)，并問角取何值時，方向?qū)?shù)?。?/p>