最短路徑問(wèn)題專項(xiàng)練習(xí)

1、最短路徑問(wèn)題專項(xiàng)練習(xí)共13頁(yè)，全面復(fù)習(xí)與聯(lián)系最短路徑問(wèn)題一、具體內(nèi)容包括：螞蟻沿正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐外側(cè)面吃食問(wèn)題；線段(之和)最短問(wèn)題；二、原理：兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短。(構(gòu)建“對(duì)稱模型”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化)1.最短路徑問(wèn)題(1)求直線異側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問(wèn)題，只要連接這兩點(diǎn)，與直線 的交點(diǎn)即為所求.如圖所示，點(diǎn)A, B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在l上找一個(gè)點(diǎn)C,使C/V CB最短，這 時(shí)點(diǎn)C是直線l與AB的交點(diǎn).(2)求直線同側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問(wèn)題，只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于 這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，則與該直線的交點(diǎn)即為所求.如圖所示

2、，點(diǎn)A, B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在l上找一個(gè)點(diǎn)C,使C知CB最短，這 時(shí)先作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B',則點(diǎn)C是直線l與AB的交點(diǎn).為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點(diǎn)C',連接AC , BC ,B' C',證明 AO CB< AC + C B 如下：證明：由作圖可知，點(diǎn) B和B'關(guān)于直線l對(duì)稱，所以直線l是線段BB的垂直平分線.因?yàn)辄c(diǎn)C與C'在直線l上，所以 BC= B' C, BC = B' C .在AB' C'中，ABAC + B' C',所以 AO B'

3、; C< AC + B' C',所以 AO B(k AC + C B.【例1】 在圖中直線l上找到一點(diǎn) M使它到A, B兩點(diǎn)的距離和最小.分析：先確定其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接對(duì)稱點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn)，與直線 l的交點(diǎn)M即為所求的點(diǎn).解：如圖所示：(1)作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'(2)連接AB'交直線l于點(diǎn)M(3)則點(diǎn)M即為所求的點(diǎn).點(diǎn)撥：運(yùn)用軸對(duì)稱變換及性質(zhì)將不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，然后用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決問(wèn)題.2 .運(yùn)用軸對(duì)稱解決距離最短問(wèn)題運(yùn)用軸對(duì)稱及兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)， 將所求線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段的長(zhǎng)， 是解決距

4、 離之和最小問(wèn)題的基本思路，不論題目如何變化，運(yùn)用時(shí)要抓住直線同旁有兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)到直線上某點(diǎn)的距離和最小 這個(gè)核心，所有作法都相同.警誤區(qū)利用軸對(duì)稱解決最值問(wèn)題應(yīng)注意題目要求根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、利用三角形的三邊關(guān)系，通過(guò)比較來(lái)說(shuō)明最值問(wèn)題是常用的一種方法.解決這類最值問(wèn)題時(shí)，要認(rèn)真審題， 不要只注意圖形而忽略題意要求，審題不清導(dǎo)致答非所問(wèn).3 .利用平移確定最短路徑選址選址問(wèn)題的關(guān)鍵是把各條線段轉(zhuǎn)化到一條線段上. 如果兩點(diǎn)在一條直線的同側(cè)時(shí)， 過(guò)兩點(diǎn) 的直線與原直線的交點(diǎn)處構(gòu)成線段的差最大， 如果兩點(diǎn)在一條直線的異側(cè)時(shí)， 過(guò)兩點(diǎn)的直線與 原直線的交點(diǎn)處構(gòu)成的線段的和最小， 都可以用三角形三邊關(guān)系

5、來(lái)推理說(shuō)明， 通常根據(jù)最大值 或最小值的情況取其中一個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)來(lái)解決.解決連接河兩岸的兩個(gè)點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)平移河岸的方法使河的寬度變?yōu)?零，轉(zhuǎn)化為求直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問(wèn)題.在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱、平移等變換把不在一條直線上的兩條線段 轉(zhuǎn)化到一條直線上，從而作出最短路徑的方法來(lái)解決問(wèn)題.【例2】 如圖，小河邊有兩個(gè)村莊 A, B,要在河邊建一自來(lái)水廠向 A村與B村供水.(1)若要使廠部到 A, B村的距離相等，則應(yīng)選擇在哪建廠？(2)若要使廠部到 A, B兩村的水管最短，應(yīng)建在什么地方？分析：(1)到A, B兩點(diǎn)距離相等，可聯(lián)想到“線段垂

6、直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距 離相等”，又要在河邊，所以作 AB的垂直平分線，與 EF的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn).(2)要使廠部到A村、B村的距離之和最短，可聯(lián)想到“兩點(diǎn)之.間線段最短”，作A(或E)點(diǎn)關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與 B點(diǎn)，與EF的交點(diǎn)即為所求.解：(1)如圖1,取線段AB的中點(diǎn)G,過(guò)中點(diǎn)G畫(huà)AB的垂線，交EF于P,則P到A, B的 .1距離相等.也可分別以 A、B為圓心，以大于1AB為半徑回弧，兩弧交于兩點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)作直線，與EF的交點(diǎn)P即為所求.(2)如圖2,畫(huà)出點(diǎn)A關(guān)于河岸EF的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A' B交EF于P,則P到A, B的距 離和最短.【例3】 如圖

7、，從A地到B地經(jīng)過(guò)一條小河(河岸平行)，今欲在河上建一座與兩岸垂直的橋，應(yīng)如何選擇橋的位置才能使從A地到B地的路程最短？思路導(dǎo)引：從 A到B要走的路線是 Z陽(yáng)NR B,如圖所示，而 MN定值，于是要使路程 最短，只要 AMb BN最短即可.此時(shí)兩線段應(yīng)在同一平行方向上，平移MNHU AC從C到B應(yīng)是余下的路程，連接 BC的線段即為最短的，此時(shí)不難說(shuō)明點(diǎn)N即為建橋位置，MN為所建的橋.解：（1）如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AC垂直于河岸，且使 AC等于河寬.（2 ）連接BC與河岸的一邊交于點(diǎn) N（3）過(guò)點(diǎn)N作河岸的垂線交另一條河岸于點(diǎn)M則MN所建的橋的位置.思維拓展創(chuàng)新應(yīng)用4 .生活中的距離最短問(wèn)題由兩點(diǎn)之

8、間線段最短（或三角形兩邊之和大于第三邊 ）可知，求距離之和最小問(wèn)題， 就是運(yùn)從而解決這個(gè)問(wèn)題， 運(yùn)用軸對(duì)如圖，AO B0= AC的長(zhǎng).所用等量代換的方式，把幾條線段的和想辦法轉(zhuǎn)化在一條線段上， 稱性質(zhì)，能將兩條線段通過(guò)類似于鏡面反射的方式轉(zhuǎn)化成一條線段, 以作已知點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)是解決這類問(wèn)題的基本方法.桌子擺成如圖a所示兩直排【例4】（實(shí)際應(yīng)用題）茅坪民族中學(xué)八（2）班舉行文藝晚會(huì), （圖中的AO BO, A0桌面上擺滿了橘子，OBg面上擺滿了糖果，站在 C處的學(xué)生小明先拿橘圖b子再拿糖果，然后到 D處座位上，請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)ACD*B圖a解：如圖b.（1）作C點(diǎn)關(guān)于OAW對(duì)稱點(diǎn)Ci,作D

9、點(diǎn)關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn)D, （2）連接CD,分別交0A OBT P, Q那么小明沿 O A CHD的路線行走，所走的總路程最短.5 .運(yùn)用軸對(duì)稱解決距離之差最大問(wèn)題利用軸對(duì)稱和三角形的三邊關(guān)系是解決幾何中的最大值問(wèn)題的關(guān)鍵.先做出其中一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接對(duì)稱點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn)，所得直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，即為所求.根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和三角形中兩邊之差小于第三邊易證明這就是最大值.破疑點(diǎn)解決距離的最值問(wèn)題的關(guān)鍵運(yùn)用軸對(duì)稱變換及三角形三邊關(guān)系是解決一些距離的最值問(wèn)題的有效方法.【例5】 如圖所示，A, B兩點(diǎn)在直線l的兩側(cè)，在l上找一點(diǎn)C,使點(diǎn)C到點(diǎn)A、B的距 離之差最大.3月K分析：此題的突破點(diǎn)

10、是作點(diǎn) 外或均關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'（或B'）,作直線A' B（AB'） 與直線l交于點(diǎn)C,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形任意兩邊之差小于第三，邊來(lái)解決.解：如圖所示，以直線l為對(duì)稱軸，作點(diǎn) A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A' , A' B的連線交l 于點(diǎn)C,則點(diǎn)C即為所求.理由：在直線l上任找一點(diǎn)C'（異于點(diǎn)。，連接CA C A, C A', C B.因?yàn)辄c(diǎn)A, A'關(guān)于直線l對(duì)稱，所以l為線段AA'的垂直平分線，則有 CA= CA，所 以 CA-CB= CA -CB= A' B.又因?yàn)辄c(diǎn) C'在 l 上，所以 C A

11、= C A'.在 A' BC'中，C A C B= C A' C' B< A' B,所以 C' A' C B< CA- CB點(diǎn)撥：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、利用三角形的三邊關(guān)系，通過(guò)比較來(lái)說(shuō)明最值問(wèn)題是常用的一 種方法.三、例題: 例1、如右圖是一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體木塊，一只螞蟻要從木塊的點(diǎn)A沿木塊側(cè) 面爬到點(diǎn)B處，則它爬行的最短路徑是 。如右圖是一個(gè)長(zhǎng)方體木塊，已知 AB=3,BC=4,CD=2假設(shè)一只螞蟻在點(diǎn)A處，它要沿著木塊側(cè)面爬到點(diǎn)D處，則螞蟻爬行的最短路徑是例2、如圖，要在河邊修建一個(gè)水泵站，分別向張村、李莊送水，水

12、泵站修在河 邊什么地方可使所用的水管最短。李莊.B張村.A . L如圖，直線L同側(cè)有兩點(diǎn)A B,已知A、B到直線L的垂直距離分別為1和3, 兩點(diǎn)的水平距離為3,要在直線L上找一個(gè)點(diǎn)P,使PA+PB勺和最小。請(qǐng)?jiān)趫D中找 出點(diǎn)P的位置，并計(jì)算PA+PB勺最小值。要在河邊修建一個(gè)水泵站，向張村、李莊鋪設(shè)管道送水，若張村、李莊到河邊 的垂直距離分別為IKmffi 3Km張村與李莊白水平距離為 3Km則所用水管最短長(zhǎng).李莊度為張村.四、練習(xí)題（鞏固提高）（一）1、如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體木塊，已知AB=5,BC=3,CD=4假設(shè)一只螞蟻在點(diǎn)A處, 它要沿著木塊側(cè)面爬到點(diǎn)D處，則螞蟻爬行的最短路徑是。第1題2、現(xiàn)

13、要在如圖所示的圓柱體側(cè)面 A點(diǎn)與B點(diǎn)之間纏一條金絲帶（金絲帶的寬度忽 略不計(jì)），圓柱體高為6cm,底面圓周長(zhǎng)為16cm,則所纏金絲帶長(zhǎng)度的最小值為 03、如圖是一個(gè)圓柱體木塊，一只螞蟻要沿圓柱體的表面從 A點(diǎn)爬到點(diǎn)B處吃到食物，知圓柱體的高為5 cm,底面圓的周長(zhǎng)為24cm,則螞蟻爬行的最短路徑 為 。DW MN4、正方形 ABCD勺邊長(zhǎng)為8, M在DC上，且DW 2, N是AC上的一動(dòng)點(diǎn),5、在菱形 ABCm，AB=2點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),/BAD=60 ,P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB勺最小值為。6、如圖，在 ABC中,AO BO2, /ACB= 90° , D是BC邊的中

14、點(diǎn)，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，則EJ ED的最小值為 。7、AB是。的直徑，AB=Z OC是。的半徑，OCL AB,點(diǎn)D在AC上，AD = 2CQ點(diǎn)P是半徑OC±的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AP+PD勺最、俏為 。(二)8、如圖，點(diǎn)P關(guān)于OA OB的對(duì)稱點(diǎn)分別為 G D,連接CD交OA于M 交OB于N,若C518cm,則 PMN勺周長(zhǎng)為。9、已知，如圖DE是4ABC的邊AB的垂直平分線，D為垂足，DEi BC于E,且AC =5, BO 8,則4AEC的周長(zhǎng)為。11、如圖，在銳角 ABC中,AB= 4地,/BAC= 4510、已知，如圖，在 ABC中，AB< AC BC邊上的垂直平分線 DE交BC于

15、點(diǎn)D,交 AC于點(diǎn)E, AO8, 4ABE的周長(zhǎng)為14,則AB的長(zhǎng)。,/ BAC的平分線交BC于點(diǎn)D, M N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MI®最小值是.12、在平面直角坐標(biāo)系中，有 A (3, 2), B (4, 2)兩點(diǎn)，現(xiàn)另取一點(diǎn)C (1, n), 當(dāng)n =時(shí),AC + BC的值最小.第11題第14題第15題13、4ABC中，/ C = 90 0 , AB = 10 , AC=6,BC=8過(guò) AB邊上一點(diǎn) P 作 PEL AC于E, PF71 BC于F, E、F是垂足，則EF的最小值等于.14、如圖，菱形 ABCE, AB=2, / BAD=60，點(diǎn) E、F、P 分別是

16、AB BC AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PFF勺最小值為.15、如圖，村莊A、B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸 a、b彼此平行，現(xiàn)在要建設(shè)一座與河岸垂直的橋CD問(wèn)橋址應(yīng)如何選擇，才能使 A村到B村的路程最近?16、一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A (2, 0), B (0, 4).(1)求該函數(shù)的解析式；(2) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA AB的中點(diǎn)分別為C、D, 的最小值,并求取得最小值時(shí) P點(diǎn)坐標(biāo).(三)16、如圖，已知/ AO時(shí)有一點(diǎn)P,試分別在邊OA?口 OB上各找一點(diǎn)E、F, 使得4PEF的周長(zhǎng)最小。試畫(huà)出圖形，并說(shuō)明理由17、如圖，直線l是第一、三象限的角平分線. 實(shí)驗(yàn)與探究：(1

17、)由圖觀察易知A (0, 2)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2, 0),請(qǐng)?jiān)趫D 中分別標(biāo)明B (5, 3)、C( 2, 5)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'、C'的位置，并寫(xiě) 出他們的坐標(biāo)：B， 、C，;歸納與發(fā)現(xiàn)：(2)結(jié)合以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo) 平面內(nèi)任一點(diǎn)P (a, b)關(guān)于第一、三象限的角 平分線l的對(duì)稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)為; 運(yùn)用與拓廣：(3)已知兩點(diǎn) D (1, 3)、E(-1, 4),試 在直線l上確定一點(diǎn)Q,使點(diǎn)Q到D E兩點(diǎn)的 距離之和最小，并求出Q點(diǎn)坐標(biāo).18、幾何模型：條件：如圖，A、B是直線L同旁的兩個(gè)定點(diǎn).問(wèn) 題：在直線L上確定一點(diǎn)P,使PA+PB勺

18、值最小. 方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A',連結(jié)A'B 交l于點(diǎn)P ,則PA + PB= A'B的值最小(不必 證明).模型應(yīng)用：(1)如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2, E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn).連 結(jié)BD,由正方形對(duì)稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱.連結(jié)ED交AC于P,則 PB中E的最小值是；(2)如圖 2, OO的半徑為 2,點(diǎn) A、B、C 在。O上，OA,OB,，AOC=60。， 標(biāo)準(zhǔn)文案BDPCBBBAAElA .POA圖1DE為邊BC的中點(diǎn)，P為BDAB = 10cmAB = 10cm,PC + PE的最小值;ADADCBQ圖3(1)如圖，四邊形A

19、BCD是正方形， 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PC+PE的最小值；(2)如圖，若四邊形ABCD是菱形， 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求問(wèn)題解決(3)如圖，若四邊形 ABCD矩形,AB=10cm, BC=20cm, E為 邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PC+PE的最小值；L1JBBEC實(shí)用文檔是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA + PC的最小值；(3)如圖 3, /AOB=45 , P 是/AOBft一點(diǎn)，PO=10 Q R分別是 OA OB上的 動(dòng)點(diǎn)，求 PQRH長(zhǎng)的最小值.RC-PN ABC = 45。，E 為邊 BC 上A19、問(wèn)題探究3C圖2標(biāo)準(zhǔn)文案20.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A的坐標(biāo)為

20、(-2, 0),連結(jié)0A,將線段OA繞原點(diǎn) O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120 ,得到線段OB.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過(guò)A、O B三點(diǎn)的拋物線的解析式；(3)在(2)中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn) C,使BOC勺周長(zhǎng)最??？若存在， 求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(注意：本題中的結(jié)果均保留根號(hào)) 解：(1)過(guò)點(diǎn)B作BDL x軸于點(diǎn)D,由已知可得：OB=OA=2/BOD=60.在RtAOBD 中，/ ODB=90 / OBD=30.四解得：a=*b=2,c=0. 33 .OD=1 DB= 3(2)設(shè)所求拋物線的解析式為知可得:c = 04a -2b c =0點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1,百)y = ax2 bx

21、 c ,由已< a +b +c =出所求拋物線解析式為y=x ，一 ，J W3)2x.33(3)存在.由1爭(zhēng)2+亭x配方后得：尸泉爪"?,拋物線的對(duì)稱軸為x=- 1.(也寫(xiě)用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出).OB=2要使BOC勺周長(zhǎng)最小，必須 BC+CCM小.點(diǎn)O與點(diǎn)A關(guān)于直線x=1對(duì)稱，有CO=CA. BOC勺周長(zhǎng)=OB+BC+CO=OB+BC+CA.當(dāng)A G B三點(diǎn)共線，即點(diǎn)C為直線AB與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)，BC+CAft小, 此時(shí) BOC勺周長(zhǎng)最小.設(shè)直線AB的解析式為y =kx+b,則有：|k+b = Q-2k b = 0解得：k=3,b=233直線AB的解析式為y=1x+友 33

22、當(dāng) x= 1 時(shí)， y = 321、如圖，拋物線y=ax,交x軸于A、B兩 3所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,34734a解得2f(列出方程組給1分，解出給2分)拋物線的解析式為y=Y3x2_Rlx_J3 4 分33(2)設(shè)點(diǎn) A (x1? 0), B(X2, 0),則 x2 -拽 x->/3 = 0,33解得 x1 =1, x2 =35分I OAI =1, I OBI =3.又tan/OC& l2BJ = Q|OC| ./OC氏 60° ,同理可求 / OCAf 30° . ./AC氏 90°6 分由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知A捻BD, BG= AD四邊形ADBO平行四

23、邊形7分又/AC氏90° . .四邊形ADBO矩形 8分(3)延長(zhǎng)BC至N,使CN=CB.假設(shè)存在一點(diǎn)F,使4FBD的周長(zhǎng)最小.即FD +FB +DB最小.DB固定長(zhǎng).只要FD+FB最小.又: CALBN .FD+FB= FC+FN.當(dāng)N F、D在一條直線上時(shí)，F(xiàn)D+FB最小. 101又C為BN的中點(diǎn)， .FC= AC (即F為AC的中點(diǎn)).2又. A (-1, 0), C (0, - V3);點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 F (-,22存在這樣的點(diǎn)F (1,使得 FBD的周長(zhǎng)最小.-12分 2211 2.22.已知：直線丫=一*+1與丫軸父于A,與x軸父于D,拋物線y=-x +bx + c與 22直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為 (1, 0).(1)求拋物線的解析式；(2)動(dòng)點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng) PAE是直角