《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》(第三版)浙江大學盛驟等編武漢科技學

1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計（第三版）浙江大學（第三版）浙江大學 盛驟等盛驟等 編編武漢科技學院數(shù)理系 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念 1.1 隨機試驗隨機試驗隨機試驗的特點：1.可在相同條件下重復進行； 2.試驗可能結(jié)果不止一個,但能確定所有的可能結(jié)果；3.一次試驗之前無法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)。 隨機試驗可記為隨機試驗可記為 E E 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理

2、系武漢科技學院數(shù)理系隨機試驗的例子E1: 拋一枚硬幣，分別用“H” 和“T” 表示出正面和反面;E2: 將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況；E3:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù);E4:擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點數(shù)； 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系(一一) 樣本空間樣本空間(Space)定義定義將隨機試驗 E 的所有可能結(jié)果組成的集合稱為 E 的樣本空間， 記為 S 。樣本空間的元素，即 E 的每個結(jié)果，稱為樣本點。 1.2 1.2 樣本空間、隨機事件樣本空間、隨機事件 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢

3、科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系S1 : 0,1,2,3S2 : t | t 0 S3 : ( x , y ) | T 0 x , y T1 E1：記錄尋呼臺一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。 E2：在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命。 E3：記錄某地一晝夜的最高溫度和最高溫度。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系（二）（二）隨機事件隨機事件定義定義 試驗中可能出現(xiàn)或可能不出現(xiàn)的情況叫“隨機隨機事件事件”, 簡稱“事件”.記作A、B、C等.任何事件均可表示為樣本空間的某個子集任何事件均可表示為樣本空間的某個子集. .稱事件事件A A發(fā)生發(fā)生當且僅當

4、試驗的結(jié)果是子集A中的元素兩個特殊事件兩個特殊事件: : 必然事件S 、不可能事件. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系4.差事件差事件 ：AB稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)生而B不發(fā)生. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系 概率

5、論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系6. 互逆的事件 AB , 且AB BABAAAB=-=易見的對立事件，稱為記作; 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系隨機事件的運算規(guī)律冪等律:AAAAAA=,交換律:ABBAABBA=, 結(jié)合律:CBACBACBACBA=分配律:CABACBACABACBA= De Morgan定律:AAAA=, 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系 1.3 頻頻 率率 與與 概概 率率 (一一) 頻率的定義和性質(zhì)頻率的定義和

6、性質(zhì) 定義定義 在相同的條件下，進行了n 次試驗， 在這 n 次試驗中，事件 A 發(fā)生的次數(shù) nA 稱為 事件 A 發(fā)生的頻數(shù)。比值 n A / n 稱為事件 A 發(fā)生的頻率，并記成 fn(A) 。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系)()()()(2121AfnAfnAfnAAAfkkn=; 1)(2=Sfn 它具有下述性質(zhì):;1)(01Afn則是兩兩互不相容事件若,321AAAk 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系 （二）（二） 概率的定義概率的定義;1)(20=SP;)(010AP=)

7、()()(2121APAPAAP則是兩兩互不相容事件若,3201AA定義定義 設 E 是隨機試驗，S 是它的樣本空間，對于 E 的每一個事件 A 賦予一個實數(shù)，記為 稱為事件 A 的概率，要求集合函數(shù) 滿足 下列條件： )(AP)(P 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系 概率的性質(zhì)(1) 有限有限可加性可加性：設A1，A2，An , 是n個兩兩互不相容的事件，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,則有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An); (3) 事件差事件差: A、B是兩個事件，則P(A-B)

8、=P(A)-P(AB)(2) 單調(diào)不減性單調(diào)不減性：若事件AB，則P(A)P(B) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系 (4) 加法公式加法公式：對任意兩事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 該公式可推廣到任意n個事件A1，A2，An的情形； (5) 互補性互補性：P(A)1 P(A); (6) 可分性可分性：對任意兩事件A、B，有 P(A)P(AB)P(AB ) . 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系若某實驗E滿足1.有限性：樣本空間Se1, e 2 , , e n ;2.

9、等可能性：P(e1)=P(e2)=P(en). 則稱E為古典概型也叫等可能概型。 1.4 1.4 古典概型與概率古典概型與概率 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系 例例 1 一口袋裝有 6 只球，其中 4 只白球、2 只紅球。從袋中取球兩次，每次隨機的取一只。考慮兩種取球方式： 放回抽樣放回抽樣 第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中， 攪勻后再取一球。 不放回抽樣不放回抽樣 第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球 中再取一球。分別就上面兩種方式求： 1）取到的兩只都是白球的概率； 2）取到的兩只球顏色相同的概率； 3）取到的兩只球中至少有一

10、只是白球的概率。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系 解：從袋中取兩球，每一種取法就是一個基本事件解：從袋中取兩球，每一種取法就是一個基本事件。 設 A= “ 取到的兩只都是白球 ”， B= “ 取到的兩只球顏色相同 ”， C= “ 取到的兩只球中至少有一只是白球”。 有放回抽取:444. 064)(22=AP556. 0624)(222=BP889. 0621)(1)(22=-=-=CPCP 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系 無放回抽取:2624)(CCAP=262224CCCBP =

11、=)(262211CCCPCP- -= =- -= =)()( 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系例例2:2:有三個子女的家庭,設每個孩子是男是女的概率相等,則至少有一個男孩的概率是多少?解:設A-至少有一個男孩,以H表示某個孩子是男孩N(S)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTTN(A)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT87)()()(=SNANAP 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系例例3 3從1到200這200個自然數(shù)中任取一個；(1)求

12、取到的數(shù)能被6整除的概率；(2)求取到的數(shù)能被8整除的概率；(3)求取到的數(shù)既能被6整除也能被8整除的概率.解:N(S)=200,N(S)=200,N(3)=200/24=8N(3)=200/24=8N(1)=200/6=33N(1)=200/6=33, ,N(2)=200/8=25N(2)=200/8=25(1),(2),(3)(1),(2),(3)的概率分別為:33/200,1/8,1/25:33/200,1/8,1/25 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系 例例 4 某接待站在某一周曾接待過 12 次來訪，已知所有這 12 次接待都是在

13、周二和周四進行的。問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的？ 解：解：假設接待站的接待時間沒有規(guī)定，各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12 次接待來訪者都在周二、周四的概率為: 212/712=0.0000003，即千萬分之三。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系 人們在長期的實踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次實驗中幾乎是不發(fā)生的”（稱之為實際推斷原理）?，F(xiàn)在概率很小的事件在一次實驗中竟然發(fā)生了，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認為其接待時間是有規(guī)定的。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢

14、科技學院數(shù)理系 1.5 1.5 條條 件件 概概 率率設A、B是某隨機試驗中的兩個事件，且 0AP則稱事件B在“事件A已發(fā)生”這一附加條件下的概率為在事件A已發(fā)生的條件下事件B的條件概率,簡稱為B在A之下的條件概率，記為ABP 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系例 5 已知某家庭有3個小孩，且至少有一個是女孩，求該家庭至少有一個男孩的概率 則 878111=-=-=APAP86=ABP 768786=APABPABP 所以解：設 A= 3個小孩至少有一個女孩 B= 3個小孩至少有一個男孩 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢

15、科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系條件概率的性質(zhì)：條件概率的性質(zhì)：01ABPB，有非負性：對任意事件；規(guī)范性：12=ASP=11213nnnnnABPABPBBB則兩互不相容，兩，事件可列可加性：如果隨機 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系乘法公式乘法公式設A、BS，P（A）0,則 P(AB)P(A)P(B|A). 稱為事件A、B的概率乘法公式乘法公式。 乘法公式還可推廣到三個事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1). 概率論與數(shù)理

16、統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系 例例 6 設某光學儀器廠制造的透鏡，第一次落 下時打破的概率為 1/2 ，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為 7/10 ,若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為 9/10 。求透鏡落下三次而未打破的概率。 解：解：以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透鏡第 i 次落下打破”，以 B 表示事件“透鏡落下三次而未打破”，有：.2003)211)(1071)(1091 ()()|()|()()(112213321=-=APAAPAAAPAAAPBP 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科

17、技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系 定義 事件組A1，A2，An (n可為)，稱為樣本空間S的一個劃分，若滿足：A1A2AnB全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式.,.,2 , 1,),(,)(;)(1njijiAAiiSAijinii= 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系全全 概概 率率 公公 式：式：設隨機事件BAAAn以及,21滿足： , 2, 103=nAPn 或 21SAnn=；=1nnAB 兩兩互不相容；nAAA,121 =1nnnABPAPBP則有 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技

18、學院數(shù)理系例7 某小組有20名射手，其中一、二、三、四級射手分別為2、6、9、3名又若選一、二、三、四級射手參加比賽，則在比賽中射中目標的概率分別為0.85、0.64、0.45、0.32，今隨機選一人參加比賽，試求該小組在比賽中射中目標的概率解：由全概率公式，有該小組在比賽中射中目標設=B4321 ，級射手參加比賽選=iiiA 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系 =41nnABPnAPBP32. 020345. 020964. 020685. 0202=5275. 0= 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢

19、科技學院數(shù)理系定理定理 設A1，, An是S的一個劃分，且P(Ai) 0,(i1，n)，則對任何事件BS，有 1() (|)(|),(1,., )() (|)jjjniiiP A P B AP ABjnP A P B A=稱為貝葉斯公式貝葉斯公式。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系例 8 用某種方法普查肝癌，設： A= 用此方法判斷被檢查者患有肝癌 ， D= 被檢查者確實患有肝癌 ， 已知90. 0,95. 0=DAPDAP 現(xiàn)有一人用此法檢驗患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率 0004. 0=DP而且已知： 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論

20、與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系例 8（續(xù)）解： 由已知，得 9996. 0,90. 0=DPDAP 所以，由Bayes公式，得 DAPDPDAPDPDAPDPADP=10. 09996. 095. 00004. 095. 00004. 0=0038. 0= 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系 1.6 1.6 事件的獨立性事件的獨立性 ( (一一) ) 兩事件獨立兩事件獨立定義定義 設A、B是兩事件，P(A) 0,若 P(B)P(B|A) 則稱事件A與B相互獨立獨立。等價于： P(AB)P(A)P(B) 概率論與數(shù)理統(tǒng)

21、計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系例例 9 9 袋中有 a 只黑球，b 只白球每次從中取出一球，取后放回令： A= 第一次取出白球 ， B= 第二次取出白球 ，則 babAP=222baabBAPbabABP= 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系例例 9 9（續(xù)）（續(xù)）所以，由BAABB=babbaabbab=222 BAPABPBP=得：babbabbab=22 APABPABP= 概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案概率論與數(shù)理統(tǒng)計電子教案 武漢科技學院數(shù)理系武漢科技學院數(shù)理系(二二) 多個事件的獨立多個事件的獨立