以為周期的函數(shù)的展開式（Word）

1、§2以為周期的函數(shù)的展開式教學(xué)計劃：課時教學(xué)目的：讓學(xué)生掌握以為周期的函數(shù)以及偶函數(shù)和奇函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式教學(xué)重點：以為周期的函數(shù)的展開式教學(xué)難點：對函數(shù)作相應(yīng)的奇式或偶式延拓進行傅里葉級數(shù)展開教學(xué)方法：講授法教學(xué)步驟：在上節(jié)提到的收斂定理中，我們假設(shè)函數(shù)是以為周期的，或是定義在上然后作以為周期延拓的函數(shù)本節(jié)討論以為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式及偶函數(shù)和奇函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式一以為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù) 設(shè)是以為周期的函數(shù),通過變量置換 或 可以把變換成以為周期的的函數(shù)若在上可積，則在上也可積，這時函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式是：, (1)其中 (2)因為,所以于是由(1)與(2)是

2、分別得 (3)與 (4)這里(4)式是以為周期的函數(shù)的傅里葉系數(shù)，(3)式是的傅里葉級數(shù)若函數(shù)在上按段光滑,則同樣可由收斂定理知道 (5)例1 把函數(shù) 展開成傅里葉級數(shù)解 由于在(-5 ,5)上按段光滑，因此可以展開成傅里葉級數(shù)根據(jù)(4)式，有62 / 6代入(5)式,得 這里當(dāng)和時級數(shù)收斂于 二 偶函數(shù)與奇函數(shù)的傅里葉級數(shù)設(shè)是以為周期的偶函數(shù),或是定義在上的偶函數(shù),則在上,是偶函數(shù), 函數(shù)是奇.因此，的傅里葉系數(shù)(4)是 （6）于是的傅里葉級數(shù)只含有余弦函數(shù)的項,即 ， （7） 其中如(6)式所示,(7)式右邊的級數(shù)稱為余弦級數(shù)同理,若是以為周期的奇函數(shù),或是定義在上的奇函數(shù),則可以推得 （

3、8）所以當(dāng)為奇函數(shù)時,它的傅里葉級數(shù)只含有正弦函數(shù)的項,即 （9）其中如(8)式所示.(9)式右邊的級數(shù)稱為正弦級數(shù)若,則偶函數(shù)所展開成的余弦級數(shù)為 ， （10）其中 （11）當(dāng)且為奇函數(shù)時,則它展開成的正弦級數(shù)為 （12）其中 （13）在實際應(yīng)用中,有時需把定義在上(或一般地上)的函數(shù)展開成余弦級數(shù)或正弦函數(shù)為此,先把定義在上的函數(shù)作偶式延拓或作奇式延拓到上(如圖15-6(a)或(b)然后求延拓后函數(shù)的傅立葉級數(shù),即得(10)或(12)形式但顯然可見,對于定義在上的函數(shù),將它展開成余弦級數(shù)或正弦級數(shù)時,可以不必作延拓而直接由(11)式或(13)式計算出它的傅里葉系數(shù)例2 設(shè)函數(shù)，求的傅里葉級

4、數(shù)展開式解 是上的偶函數(shù)，圖15-7是這函數(shù)及其周期延拓的圖形由于是按段光滑函數(shù)，因此，可以展開成傅里葉級數(shù),而且這個級數(shù)為余弦級數(shù)由(10)式(這時可把其中”改為”=”)知 ，其中 因此當(dāng)時,有 由此可得 例3把定義在上的函數(shù)(其中)展開成正弦級數(shù) 解 函數(shù)如圖15-8所示,它是按段光滑函數(shù),因而可以展開成正弦級數(shù)(12),其系數(shù) 所以 當(dāng)時,級數(shù)的和為0,當(dāng)時,有 本題中若則有 而且當(dāng)時,級數(shù)收斂于0 例把在(0,2)內(nèi)展開成：(i) 正弦級數(shù); (ii) 余弦級數(shù).解 (i)為了要把展開為正弦級數(shù)，對作奇式周期延拓(圖15-9)，并由公式(8)有 所以當(dāng)時,由(9)及收斂定理得到 （14）但當(dāng)時，右邊級數(shù)收斂于0(ii)為了要把展開為余弦級數(shù)，對作偶式周期延拓(圖15-10)由公式(6)得的傅里葉系數(shù)為 或 所以當(dāng)時,由(7)及收斂定理得到 （15）由例4可以看到，同樣一個函數(shù)在同樣的區(qū)間上可以用正弦級數(shù)表示，也可以用余弦級數(shù)表示，甚至作適當(dāng)延拓后，可以用更一般的