波函數(shù)與波動方程

1、 第二章 波函數(shù)與波動方程 第二章 目 錄 2.1 波粒兩象性32.2 波函數(shù)的玻恩（Max Born,1926年）幾率詮釋幾率波42.3 波函數(shù)的性質(zhì)，態(tài)疊加原理5（1）波函數(shù)的性質(zhì)5（2）位置和位能的平均值8（3）動量平均值9（4）態(tài)疊加原理122.4含時間的薛定諤方程（Schrodingers equation）15(1) Schrodingers equation的建立15(2) 對Schrodinger equation的討論172.5 不含時間的薛定諤方程，定態(tài)問題23(1) 不含時間的薛定諤方程23（2） 定態(tài)242.6 測不準關(guān)系25（1）一些例子25（2）一些實驗27（3）測

2、不準關(guān)系是波一粒兩象性的必然結(jié)果28（4）能量時間測不準關(guān)系28（5）一些應用舉例29 第二章 波函數(shù)與波動方程 既然輻射和粒子都具有波動性和微粒性，那么，如何理解這兩屬性呢？它們?nèi)绾谓y(tǒng)一起來？ 經(jīng)典物理觀點必須被修改。主要表現(xiàn)：a. 波粒兩象性 （粒子） （波） （Planck假設）Einstein關(guān)系 （，） （de Broglie假設） de Broglie關(guān)系 具有確定動量的自由粒子被一平面波所描述 b. 物理量取值不一定是連續(xù)的輻射體輻射的能量取值 氫原子的能量 由于平常粒子的波長，所以觀察不到干涉, 衍射現(xiàn)象。微觀粒子，如電子，因此在原子線度下可能顯示出波動性。而在宏觀測量尺度下，

3、幾乎也不顯示波動性。將粒子所具有的微粒性和波動性統(tǒng)一起來，這在經(jīng)典物理學中看來是不可能的，因經(jīng)典粒子 經(jīng)典波原子性（整體性） 實在物理量的空間分布軌道 干涉，衍射這兩者是不相容的。描述微觀粒子既不能用經(jīng)典粒子，也不能用經(jīng)典波，當然也不能用經(jīng)典粒子和經(jīng)典波來描述。2.1 波粒兩象性想像一個實驗事實：a每次接收到的是一個電子，即電子確是以一個整體出現(xiàn)；b電子數(shù)的強度，但，；c電子槍發(fā)射稀疏到任何時刻空間至多一個電子，但足夠長的時間后，也有同樣結(jié)果。因此，我們可得到下面的結(jié)論：a. 不能認為，波是電子將自己以以一定密度分布于空間形成的（因接收到的是一個個電子），也不是大量電子分布形成的（稀疏時，也有

4、同樣的現(xiàn)象）；b. 不能想像，電子通過時，能像經(jīng)典電子（有軌道）那樣來描述（因）；c. 不能認為衍射可能是通過縫后，電子相互作用所導致（稀疏時，也有同樣現(xiàn)象）?？傊娮樱孔恿Ｗ樱┎荒芸醋鹘?jīng)典粒子，也不能用經(jīng)典波來描述（經(jīng)典波是物理量在空間分布。如按經(jīng)典波描述，現(xiàn)在應是電子密度分布，這當然不是。）。但是，這種干涉現(xiàn)象在經(jīng)典中也有類似表示，如水波通過二個縫后，在接收器上的強度分布為， 。我們是如何解釋這干 涉現(xiàn)象呢？通過縫時， 水波以描述通過縫時，水波以描述 通過，時， 則以描述 強度 ， （，） 即為干涉項。 電子的干涉現(xiàn)象與這完全相似，但兩者的含意是本質(zhì)不同的，前者是強度，后者是接收到的電

5、子多少。這啟發(fā)我們，電子的雙縫干涉中的現(xiàn)象也可用函數(shù)來描述（它們一般應是復函數(shù)） ， （）稱為波函數(shù)（描述粒子波動性的函數(shù)稱為波函數(shù)），也就是說，接收器上某位置電子數(shù)的多少，將由波函數(shù)的模的平方來表征。空間若有兩個波，強度則應由波函數(shù)的模的平方來描述。但是，這種描述是什么意思呢？它沒有回答，電子是一個個出現(xiàn)的問題；也沒有回答，空間電子稀疏時，但時間足夠長后，干涉花紋照樣出現(xiàn)。2.2 波函數(shù)的玻恩（Max Born,1926年）幾率詮釋幾率波真正將量子粒子的微粒性和波動性統(tǒng)一起來的觀點是1926年被Max Born提出的。如電子用一波函數(shù)來描述，則 從上面分析可以看到，在范圍內(nèi)，接收到電子多少是

6、與的大小有關(guān)； 當發(fā)射電子稀疏到一定程度時，接收器上接收到的電子幾乎是“雜亂無章”的，但當時間足夠長時，接收到的電子數(shù)分布為。這表明，電子出現(xiàn)在接收器上的各個位置是具有一定的幾率的。當足夠多的電子被接收后。在接收器上的電子分布正顯示了這一幾率分布（電子到接收器上是一個個的，但分布又類似波，即幾率波）。 是電子出現(xiàn)在附近的幾率密度（如果）由此可見，盡管電子通過雙縫的描述，類似水波那樣用一波函數(shù)來描述，但本質(zhì)是不同的。它不像水波那樣是描述某處的水所帶能量的大小，而它僅是刻劃粒子在空間的幾率分布，即 是描述一個電子的幾率振幅。Max Born（1926年）給出了波函數(shù)的幾率解釋。玻恩幾率解釋：如果在

7、時刻，對以波函數(shù)描述的粒子進行位置測量，測得的結(jié)果可以是不同的；而在小區(qū)域中發(fā)現(xiàn)該粒子的幾率為 （由于是幾率， ）。說明兩點： 不是對物理量的波動描述。它有意義的是，在于代表在體積元中發(fā)現(xiàn)粒子的幾率，所以它不代表物理實體，僅是一幾率波； 粒子是由波函數(shù)來描述，但波函數(shù)并不能告訴你，時刻測量時，粒子在什么位置。粒子位置可能在，可能在，而在中發(fā)現(xiàn)粒子的幾率為。也就是說在某處越大，則在時刻測量發(fā)現(xiàn)粒子在該處的機會越多。（這表明，我們講的是預言到什么，但我們不能說出測量的結(jié)果）。我們?nèi)绾蝸砝斫膺@一點呢？因如果對一個體系去測量發(fā)現(xiàn)粒子可能就處于，只測得一個值。但可想像有很多很多同樣的體系，對體系同時進行

8、完全相同的測量，測得的結(jié)果發(fā)現(xiàn)次 次 次 當對足夠多的同樣的體系進行測量后，即在大量的完全相同的體系中，同時測量，那發(fā)現(xiàn)粒子在處的幾率為 我們將會看到，體系的波函數(shù)給出了體系所有信息（可能范圍），它給出體系一個完全的描述（例如，測量粒子的能量時，可給出預言可能測得那些能量值（即幾率不等于）和測得該能量值的幾率；等等）。正因為如此，我們可以說波函數(shù)描述了體系所處的量子狀態(tài)，或稱狀態(tài)。以描述體系，就稱體系處于態(tài)，或稱為體系的態(tài)函數(shù)。2.3 波函數(shù)的性質(zhì)，態(tài)疊加原理既然體系狀態(tài)的波函數(shù)給出了體系所有可能得到的信息，那么它有什么共同性質(zhì)呢？（1）波函數(shù)的性質(zhì)A. 歸一化條件：為時刻，發(fā)現(xiàn)粒子在中的幾率

9、。但測量時，總是要發(fā)現(xiàn)粒子的。所以，在整個空間中，發(fā)現(xiàn)粒子的幾率之和應為。因此，一個真正的實在的波函數(shù)，應該有 若波函數(shù)滿足上述條件，則稱該波函數(shù)已歸一化。應該注意，只有當波函數(shù)歸一化后，才能說是幾率。否則在區(qū)域中，發(fā)現(xiàn)粒子的幾率為 若 則歸一化的波函數(shù)為 （可差一相因子，為實數(shù)）這時才代表在區(qū)域中發(fā)現(xiàn)粒子的幾率。例： 所以，歸一化的波函數(shù)為而在 中的幾率為 在中的幾率為 在中的幾率為 當然，也可計算中的幾率顯然，重要的是相對幾率。和的相對幾率分布是完全相同的，是描述同一量子狀態(tài)（這與經(jīng)典波有很大不同）。所以差一常數(shù)因子的波函數(shù)是完全等價的。 即使歸一化了，仍可有一相因子的差別（為實數(shù)）。有時

10、為了處理問題的方便，或理想化時，我們有時也用一些不能歸一化的波函數(shù)，如平面波，等。事實上，這也是一大類波函數(shù)（本征值連續(xù)所相應的波函數(shù)），我們將在以后討論。B波函數(shù)的自然條件：一般而言，波函數(shù)必須連續(xù)，有界，單值。 連續(xù)：由于有粒子處于中的幾率解釋，所以在 和處幾率當然應該相等，所以在任何條件下應連續(xù)； 有界：我們講有界是指有界，即使是在某些孤立奇點（對于）也能不違背波函數(shù)這一性質(zhì)。只要在包含它的小區(qū)域中的幾率有界，實際上就是波函數(shù)平方可積。例如：，那只要在小區(qū)域（附近）有界即可。所以要求 不快于，即時，若的漸近形式為，則要求 。對于一維 。當，有界對于二維 。 當， 有界 而對，那趨于0應快

11、于 單值：實際上僅需單值，即單值，我們將在后面討論。 在位勢有限大小的間斷處，波函數(shù)導數(shù)仍連續(xù) 這將在第三章中證明。C多粒子體系波函數(shù)的形式個粒子體系的波函數(shù)為 ，共有個自由度。是描述粒子處于粒子 處于的幾率。應該注意，說粒子處于等等并不確切。現(xiàn)指個粒子是不同粒子。而粒子處于的幾率為 同樣，在整個空間中找到這些粒子的幾率應為。所以，物質(zhì)粒子的波動性本質(zhì)上是與經(jīng)典波不一樣的。經(jīng)典波是指描述某種實在的物理量在三維空間中的波動現(xiàn)象，而物質(zhì)粒子波函數(shù)一般是在多維空間（位形空間）中的幾率波。（2）位置和位能的平均值既然波函數(shù)能給出體系的一切可能的信息，它能預言得到某可能值的幾率，那它應該能給出物理量的統(tǒng)

12、計平均值。這顯然是應當做得到的，但如何給出，則需要研究。A位置平均值設：是歸一化波函數(shù)。 由于測得值在的幾率為 從平均值的定義，則的平均值應表為 B位能平均值（假設位能表示中不依賴動量） 初看起來，動量，能量和角動量等等，平均值都應能類似地給出。但動量平均值能否仍按上述表示給出呢？ 原則上講，這是完全錯的。因粒子具有波動性，而動量是與波長相聯(lián)系的（）。但波長是描述波在空間變化的快慢，一般而言，一個波函數(shù)由很多不同波長的平面波疊加而成。在某一點（）處，其波長不是一個，而是有很多不同大小的波長，即在（）處，并沒有確定的值，從而可仿上述平均值來表示。那么究竟如何表示動量平均值呢？（3）動量平均值既然

13、不能像位置那樣求動量平均值，那如何計算呢？根據(jù)de Broglie關(guān)系，具備一定動量和能量的自由粒子，其波長，頻率，即以一平面波來描述 （系數(shù)是為了使它們歸一化到） ， 所以，描述體系是單色平面波時，則粒子具有的動量是完全確定的，因而平均值就是確定的值。一般而言，描述粒子是由一波包來實現(xiàn)（局限于空間某一區(qū)域，所以是由許多平面波疊加而成），即動量有一分布，可由實驗來定。一束具有動量的電子束垂直入射到拋光的鎳金屬晶體上（即戴維遜和蓋末實驗），在方向上有強的電子束出射（若）。假設，動量取分立值，有二個動量值和的電子束同時入射。由于和對應不同，所以經(jīng)鎳晶體表面散射的角度是不同的，而滿足 ， 當比較遠時

14、，兩束電子分開，所以分別收集到動量為，的電子束（在，方向）。這時鎳晶體好似一譜分離器，你可認為在方向上接收到的電子以 平面波來描述；在方向上接收到的電子以平面波來描述。因此，在遠處接收到動量為的電子數(shù)目 收集到動量為的電子數(shù)目 。（而這反映入射到鎳晶體表面前電子動量為和的數(shù)目多少）所以，散射后，整個空間的波函數(shù)的描述應為（在遠處，方向相應，動量的電子） 實際上，鎳晶體就是一制備儀器，制備一個體系的狀態(tài)是以這一波函數(shù)來描述。這才是描述散射后，一個電子的波函數(shù)。而動量為的電子幾率為 ，動量為的電子幾率為 。因此，對于處于狀態(tài)的電子，其動量平均值應表為 我們可將這一思想（對分立值的情況所做的說明）推

15、廣到更一般情況：電子可能具有各種大小和方向的動量。若描述該電子的波函數(shù)為，則有 （可以證明，若，則，這表明是時刻，動量為的幾率密度振幅。）所以，相應的 這類似于 根據(jù)上式的逆變換 則 這表明，如果不用直接方法求動量平均值，而用去求，則需要引進算符來代替（變量）進行計算，我們稱為粒子的動量算符。對于粒子處于狀態(tài)（已歸一化），則其動量的平均值為 所以，在量子力學中的描述和經(jīng)典力學中的描述是有本質(zhì)差別的。量子力學中物理量（力學量）的描述是用算符來描述。在微觀粒子行為的量子力學描述中，引入的算符，對應于經(jīng)典的位置和動量變量。然而這些算符不等于經(jīng)典變量。由上述推理： 求動能平均值（），可表為 所以動量

16、即 球坐標 柱坐標 角動量 （原則上為） 于是角動量平方 這看上去與經(jīng)典動能在形式上相同，但有實質(zhì)的不同。因這是算符形式。另外，就而言，經(jīng)典為徑向動量，但現(xiàn)在就不同了。 （這在后面將討論） 另外 （4）態(tài)疊加原理若體系由來描述，則（已歸一）描述了體系的幾率分布或稱幾率密度。若粒子處于態(tài)中，則測量動量的取值僅為，而不在之間取值。對于大量粒子，好像一部分電子處于態(tài)，另一部分電子處于態(tài)。 但你不能指定某一個電子只處于態(tài)或只處于態(tài)。即對一個電子而言，它可能處于態(tài)（即動量為），也可能處于態(tài)（即動量為），即有一定幾率處于態(tài)，有一定幾率處于態(tài)。由這啟發(fā)建立量子力學最基本原理之一： A. 態(tài)疊加原理如果是體系

17、的一個可能態(tài)，也是體系的一個可能態(tài)，則是體系的可能態(tài)，并稱為和態(tài)的線性疊加態(tài)。說明二點： 對體系測量力學量時，測得值為，使你認為體系（在未測之前）可能處于態(tài)上，則稱是體系的一可能態(tài)；如測得值為，使你認為也為體系的一可處的態(tài)。因此，體系處的可能態(tài)為 ； 如體系處于，那測量力學量的測得值，可能為或，而不可能為其他值。而測得和的幾率分別。態(tài)疊加原理是否正確，是以導出的結(jié)果是否正確為依據(jù)。B討論（與經(jīng)典比較） 經(jīng)典認為：本身疊加將產(chǎn)生一個新的態(tài)這是因為空間各處的強度增大到原來的4倍。而量子力學認為，根據(jù)態(tài)疊加原理，這兩個態(tài)是一樣的。在和中測量力學量都只有一個值，而空間的幾率分布與在空間各點之間的相對幾

18、率是一樣的。事實上，從歸一化中，我們已看到，量子力學中態(tài)函數(shù)乘一常數(shù)并不改變或產(chǎn)生新的態(tài)。 經(jīng)典振動可處處為，即沒有振動。但量子力學中則沒有的態(tài)，因或一不為零的常數(shù)。 若，經(jīng)典認為是一個新的波動態(tài)，即以來描述物理量在空間的波動，不能說物理量可能作波動，或者可能作波動。但對量子力學來說，體系可能處于態(tài)，也可能處于態(tài)。但不會處于 態(tài)（）。因測量力學量所得的測量值是不會為的。應該強調(diào)指出，有時在處理物理問題時，常常對函數(shù)展開， 。對經(jīng)典物理學來說，這僅是一個數(shù)學處理，如富里葉分解。這僅表明有各種波相干，但并不能說，振蕩發(fā)生在某一頻率上。但量子力學中的態(tài)疊加原理則賦于這一展開以新的物理含意：測量力學量

19、，可能測得值僅為的值，其幾率，即系數(shù)不僅僅是展開系數(shù)，而是正比于取值的幾率振幅。 它反映了一個非常重要的性質(zhì)，而這在經(jīng)典物理學中是很難被接受的。我們知道一個動量為的自由粒子是以一個平面波描述；動量為的自由粒子是以平面波 描述。如體系（一個自由粒子）可能處于這兩個態(tài)，則表明體系所處的態(tài)為，可是這個態(tài)沒有確定的動量（當你預言動量的測量值時）。但也是描述自由粒子的可能態(tài)。事實上，描述自由粒子狀態(tài)的最普遍的形式為 而 至于具體狀態(tài)，那應由一定的條件來定。所以，量子力學允許體系處于這樣一個態(tài)中，在這個態(tài)中，某些物理量沒有確定值（而從經(jīng)典物理學看只能有一定值）。具有確定動量的自由粒子是以平面波來描述。但你

20、不能說具有確定動量的自由粒子就是處于平面波這個狀態(tài)，這要看你所要觀測的物理量。事實上，大家熟知的 而在中測量角動量和角動量分量的測得值為，。這表明，這一自由粒子有一定幾率處于態(tài)上，其幾率為。另外，值得注意的是：在態(tài)疊加中重要的是系數(shù)，（如，給定）。對于，這時完全被，所決定。 完全可替代來描述該態(tài)（以后要討論）， ，所以，重要的是和。 態(tài)疊加原理的直接后果是要求波函數(shù)滿足的方程，必須是線性齊次方程。 例1. 高斯波包（The Gaussian wave packet） 一個質(zhì)量為的自由粒子，其為高斯分布 求：相應的粒子波包 所以，高斯分布的富氏變換成另一個高斯分布這是一個，位置在區(qū)域（位置幾率明

21、顯不為），而動量在區(qū)域（動量幾率明顯不為區(qū)域）2.4含時間的薛定諤方程（Schrodingers equation）(1) Schrodingers equation的建立 應該指出，薛定諤方程不是從基本原理導出來的，它的正確性是靠由它所推出的結(jié)果及預言的正確性來證實的。有確定動量的自由粒子：根據(jù)de Broglie關(guān)系和Einstein關(guān)系 （）它應相應于一個de Broglies波 由這波函數(shù)可得 但這不是普遍適用的方程（因含有一特殊參量）。因 而若 則 但從另一方面 在這方程中無特殊參量，它不僅對有確定動量的自由粒子的波函數(shù)成立，對最普遍的自由粒子的波函數(shù)也成立。 而 這一微分方程決定了

22、體系狀態(tài)隨時間的演化。將上述情況推廣，對于質(zhì)量為的粒子，在位勢中運動時，則 因此，描述這一粒子運動的波函數(shù)應滿足最為普遍的方程是：體系的Hamiltonian 則 被稱為含時間的Schrodingers equation。但應注意，同一力學量的經(jīng)典表示，可得不同的量子力學表示： 因此，經(jīng)典力學的力學量，變?yōu)榱孔恿W的力學量表示（即量子化），即算符時，應注意和對經(jīng)典力學是一樣的，但對量子力學而言是不同的。所以規(guī)定： 在直角坐標中表示分量，再代入算符表示； 對于形式為與線性函數(shù)的物理量，則取 （為實）； 如果是矢量，則直角坐標下的分量表示，然后再作 替換，再換為其它坐標。 如果 ，則 (2) 對S

23、chrodinger equation的討論A量子力學的初值問題：當體系在時刻的狀態(tài)為時，以后任何時刻的波函數(shù)就完全由S,eq，所決定（因?qū)κ且淮纹⑸蹋?。這就是量子力學的因果律，即決定狀態(tài)的演化。因此，在量子力學中的因果律是對波函數(shù)的確定。它不像經(jīng)典力學那樣是確定軌道或力學量的測得值，而是決定狀態(tài)的演化。如，即與時間無關(guān)，則時刻的解可表為（如時為） 如何從波函數(shù)來確定時刻波函數(shù)？例如 自由粒子 時刻，已知為由于是自由粒子，在時，它必是的疊加態(tài)即 當給定，則 也就是，當給定，則由定出。我們知時刻自由粒子的態(tài)是由疊加而成，疊加系數(shù)為（已確定） 而 下一節(jié)中再進一步討論。 從另一角度討論，對于自由

24、粒子，直接利用 例：自由粒子在時處于態(tài) 可以證明 粒子處于的幾率密度為 發(fā)現(xiàn)粒子主要在區(qū)域中。令 討論： a. 波包的擴展如果我們以這個高斯波包來描述（或模擬）一個物體在時，它位于，（有一寬度）, 而平均動量為。在時刻，其包絡線中心位于 。 所以，包絡極大處的速度 稱為群速度，即群速度等于粒子速度。從相位看，如 相位為 相位為 , 所以，相速度 你也可以計算標準偏差，即發(fā)現(xiàn)粒子的主要區(qū)域在（）。 所以，隨時間演化，這一高斯波包越來越寬。設：當，包波已擴散很大，因此似乎與經(jīng)典粒子無任何相似之處 （以后討論其物理意義） 所以，這樣一個顯示經(jīng)典粒子的 波包，動量的分布沒有擴展，而空間的分布則擴展，使

25、得你在 時，就認不得經(jīng)典粒子了。上圖即為高斯波包的傳播 這一討論和結(jié)論，對任何其它形狀的波包都相同。a. 波包擴展的時間量級在實際生活中，對一宏觀粒子，我們從來沒有看見它會擴展，以至好似消失 人：， 所以，人活秒長的時間，還算像人樣。 （當，才擴散得很大） 但 年秒 對于經(jīng)年仍還可以，這即年=億年。因此，量子現(xiàn)象你是看不到的。 塵粒： 克， 即經(jīng)秒年億年，塵粒仍保持“經(jīng)典粒子“圖象。 電子（原子中） 千克， 米 秒 而在波爾的氫原子中，電子繞質(zhì)子一周所花的時間 秒。由這看出，電子在原子中不可能以波包形式描述。另外，求波函數(shù)隨時間的演化，也可這樣來做。時刻的波函數(shù)，可由時刻的波函數(shù)完全確定。由于

26、S. eq. 是線性的，因而解能夠被疊加。因此，不同時刻的波函數(shù)關(guān)系也必須是線性的。這就意味著，必須滿足齊次的微分方程。即可表為稱為Green函數(shù)，或稱傳播子。知道了Green函數(shù)，就知道態(tài)隨時間的演化。如時刻，粒子處于，即由上式得 這就是格林函數(shù)的含義。（時刻，粒子處于，則時刻，處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率密度振幅即為）由薛定諤方程我們可直接給出 例：自由粒子的格林函數(shù) 根據(jù) 這即自由粒子的Green函數(shù) B粒子數(shù)守恒在非相對論的情況下，實物粒子既不產(chǎn)生也不湮滅，所以在整個空間發(fā)現(xiàn)粒子的幾率應不隨時間變，即 這即要求，凡滿足Schrodinger eq.的波函數(shù)，必須滿足上式。 由 從而得 。若V為實函

27、數(shù)（保證體系是穩(wěn)定的，能量為實）對整個空間積分，得 對于真實粒子，運動于有限范圍內(nèi)，波函數(shù)應平方可積（平方可積條件要求，應快于），于是 證得 這即表明，一旦波函數(shù)在某時刻已歸一化，則任何時刻都是歸一化的。當波函數(shù)未歸一化時，那 ，而與無關(guān)。這正是物理上的要求。若非實，則。所以當，則體系不穩(wěn)定而衰變掉。當，則其它粒子衰變?yōu)樵摿Ｗ?。由上可見，若?則 稱為幾率流密度矢。上述表示，即為幾率守恒的微分形式，形式上與流體力學的連續(xù)方程一樣，但是有很大的實質(zhì)差別。如對空間某一體積積分，則有 這表明，單位時間內(nèi)，體積中，發(fā)現(xiàn)粒子的總幾率增加是等于從該體積表面（S面）流入該區(qū)域的幾率，也就是說，在某區(qū)域中的幾

28、率減少，則另一區(qū)域中的幾率增加，全空間幾率不變。一維情況 幾率流密度矢是處處連續(xù)的。由 當 則 連續(xù)因此，即使在特定情況下，波函數(shù)導數(shù)可不連續(xù)，但仍是處處連續(xù)。C. 多粒子體系的薛定諤方程設：體系有個粒子，質(zhì)量分別為，所處的位勢為，相互作用為，則 這時S. eg.為 這也看出與經(jīng)典不一樣。不一定都是三維空間的函數(shù)，而是多維的，即在多維位形空間中的。2.5 不含時間的薛定諤方程，定態(tài)問題當位勢與時間無關(guān)，即。(1) 不含時間的薛定諤方程由于H與t無關(guān)，可簡單地用分離變數(shù)法求特解。令 于是 =常數(shù)由于它與任何t或都保持相等，所以它們必等于一個與t，無關(guān)的常數(shù)。于是有 。我們有 。所以，當H與t無關(guān)

29、時，含時間的薛定諤方程的特解為： 其中 。該方程被稱為不含時間的薛定諤方程，或稱能量本征方程。A. 在上述方程中，E實際上是體系的能量。因為在經(jīng)典力學中，粒子在一個與t無關(guān)的位勢中運動，體系機械能守恒，即具有一定的能量。而在量子力學中，對應波函數(shù)隨時間變化為，所以相應的實際上是體系的能量。從平面波看，它隨時間變化就是。B. 一般而言，上述方程對任何E值都有非零解。但由于對波函數(shù)有幾率解釋，波函數(shù)有一定要求（自然條件），以及一些特殊的邊界要求（ 無窮大位勢邊界處 等）。這樣能滿足方程的解就只有某些E值。由這而自然地獲得能量的分立值（而測量值只能是這方程有非零解所對應的值）。C. 根據(jù)態(tài)疊加原理，

30、是含時間的薛定諤方程的一個特解，也就是，是該體系的一個可能態(tài)，所以普遍的可能態(tài)一定可表為通常稱（其中 ）為定態(tài)波函數(shù)。應該注意，對體系可按各種定態(tài)波函數(shù)展開來表示。但只有按自身的定態(tài)波函數(shù)展開時，系數(shù)C才與t無關(guān)。否則與t有關(guān)。（2） 定態(tài)A. 定態(tài)定義：具有確定能量的態(tài)，稱為體系的定態(tài)，或者說，以波函數(shù) （其中 ）描述的態(tài)稱為定態(tài)。在2.4節(jié)中，我們已指出，當與t無關(guān)時（即），態(tài)隨時間演化的規(guī)律為 。若tt0時處于定態(tài)，即t0時波函數(shù)為 則 這正是我們所給出的。B. 定態(tài)的性質(zhì)：若體系Hamiltonian與t無關(guān)。1體系在初始時刻（t0）處于一定能量本征態(tài)，則在以后任何時刻，體系都處于這一

31、本征態(tài)上，即。它隨時間的變化僅表現(xiàn)在因子上。2體系的幾率密度不隨時間變化，幾率流密度矢的散度為0（即無幾率源）。 所以 這表明，在任何地方，都無幾率源，空間的幾率密度分布不變。3幾率流密度矢，不隨時間變化。所以與t無關(guān)。4任何不含t的力學量在該態(tài)的平均值不隨時間變化。5任何不顯含t的力學量在該態(tài)中取值的幾率不隨時間變化。根據(jù)態(tài)疊加原理，若對體系測量力學量的值，如可取a1, a2，那么體系的可能態(tài)必為 （因討論的力學量與t無關(guān)，所以與t無關(guān)。而在態(tài)中測量力學量，其測得值僅為ai。而測得ai的幾率正比于。現(xiàn)體系處于定態(tài)，顯然與t無關(guān), =。這正表明，對處于定態(tài)中的體系，測量取可能值的幾率不變。2.

32、6 測不準關(guān)系由于粒子應由態(tài)函數(shù)來描述，因此，就不能像經(jīng)典那樣以每時刻 ，來描述（事實上由前一節(jié)也看出，自由粒子的動量并不一定取一個值）。但是否仍能像經(jīng)典那樣在處發(fā)現(xiàn)粒子具有動量呢？W.Heisenberg指出：當我們測量客體的動量如有一測不準度（即客體動量在這區(qū)域中的幾率很大），我們在同時，不可能預言它的位置比更精確。也就是說，在同一時刻測量動量和位置，其測不準度必須滿足類似， 。這稱為Heisenberg測不準關(guān)系。應該注意：這是實驗的結(jié)果，當然也是波一粒兩象性的結(jié)果；自然也是波函數(shù)幾率解和態(tài)疊加原理的結(jié)果。我們將從幾個方面來論述它。（1）一些例子A. 具有確定動量（一維運動）的自由粒子，

33、是以 來描述，其幾率密度 所以，對任何x處的相對幾率都相同。也就是說，發(fā)現(xiàn)粒子在xixi+dx區(qū)域中的幾率都相同。所以，x的不準確度為 ，但=0，所以不違背測不準關(guān)系。B如一個自由粒子是由一系列沿x方向的平面波疊加而成的波包描述 設：k很小，變化很緩慢，可近似取為. 所以， 這是具有一定形狀沿x方向傳播的波包。在x0，t0時，位相為 在x，t時，位相也為 ，所以，位相傳播速度 ，稱為相速度。同時我們可以看到，波包（可認為幾率振幅最大處）的平均值在移動。而極大值位置為 ，所以它移動的速度 即粒子的速度，稱為群速度。這個波包擴展度的區(qū)域不是任意小，即 于是有 。所以要波包僅限于空間一定區(qū)域，相應P

34、x的擴展度不可能任意?。划擯x的擴展度一定時，那波包的擴展度也不可能任意小。應該指出，我們在展開時，只取前二項，當二級項包含時，即 不為零時，波包將隨時間而擴大（這并不代表粒子消失，而是它的幾率在較大的范圍內(nèi)明顯不為零）（2）一些實驗A位置測量：一束電子平行地沿x方向入射，通過窄縫a，從而測出y方向的位置。由于通過窄縫，這時電子的位置（在y方向）有一不確定度，而人們認為=0，所以違背測不準關(guān)系。但事實上，通過縫后，在不同位置接收到的電子數(shù)的多少顯示出干涉圖象（電子數(shù)的大?。?，這一單縫干涉的第一極小為 即通過單縫后，電子在y方向的動量不再為0，而為。所以，當測量y的位置越精確（即a越?。?，那動量

35、在y方向越不精確，它們的精確度至少要滿足（事實上，這是一制備一個電子在某狀態(tài)下，波包寬為a，而不是平面波（寬為無窮）。顯然，這不是儀器的精度問題，而是電子具有波動性，以波函數(shù)來描述。所以通過窄縫，有干涉。但它又是幾率波。電子動量有一定幾率密度在 中的某一值，所以它是波一粒兩象性的后果。B用顯微鏡測量電子的位置：一束具有確定動量Px的電子沿x軸運動，用顯微鏡觀察被電子散射的光束來測量電子的位置。但顯微鏡的分辯率為（即電子位置的精度） 。這是因為成的像是一衍射斑點，有一定大小，被觀測電子的位置有一不確定度。所以越小，我們可以測得電子位置越精確，而我們還認為，以為違背了測不準原理。但事實上，光子是一個個到達屏上（量子力學認為）它是從之間某一角度進入的，但不知是那一角度進入的。所以散射光子的動量在x方向上有一不確定度Px，而這不確定度也使被反沖的電子在x方向上有同樣的不確定度（而不是Px0），即 。所以，當你測量得知電子在x方向上位置的不確定度為時，則電子在x方向上的動量并不確定，而必然有一不確定度。你越想精確，測量電子位置（越小），那電子的動量的確定度越差（）。（3）測不準關(guān)系是波一粒兩象性的必然結(jié)果測不準關(guān)系是波一粒兩象性的必然結(jié)果,也就是微觀粒子用波函數(shù)描述及態(tài)疊加態(tài)原理的必然結(jié)果。由于物質(zhì)粒子的波粒兩象