立體幾何初步

1、立體幾何初步§6.1 兩條直線之間的位置關(guān)系一、知識要點(diǎn)1. 平面的基本性質(zhì)：公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個(gè)公共點(diǎn)的直線.公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.空間兩條直線的位置關(guān)系，包括：相交、平行、異面.公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.定理4：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩

2、邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等.推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等.異面直線.異面直線所成的角；兩條異面直線互相垂直的概念；異面直線的公垂線及距離.反證法.會用反證法證明一些簡單的問題.二、疑難知識1異面直線是指不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).強(qiáng)調(diào)任何一個(gè)平面. 2異面直線所成的角是指經(jīng)過空間任意一點(diǎn)作兩條分別和異面的兩條直線平行的直線所成的銳角（或直角）.一般通過平移后轉(zhuǎn)化到三角形中求角，注意角的范圍. 3異面直線的公垂線要求和兩條異面直線垂直并且相交。 4異面直線的距離是指夾在兩異面直線之間公垂線段的長度.求兩條異面直線的距離

3、關(guān)鍵是找到它們的公垂線. 5異面直線的證明一般用反證法、異面直線的判定方法：如圖，如果b,A且A,a,則a與b異面.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1在正方體ABCD-ABCD中,O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD、DC的中點(diǎn)，則直線OM( ). A .是AC和MN的公垂線. B .垂直于AC但不垂直于MN. C .垂直于MN，但不垂直于AC. D .與AC、MN都不垂直.錯(cuò)解:B.錯(cuò)因：學(xué)生觀察能力較差，找不出三垂線定理中的射影.正解：A. 例2如圖，已知在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn)，G,H分別是BC,CD上的點(diǎn),且,求證:直線EG,FH,AC相交于一點(diǎn).證明：、F分別是A

4、B,AD的中點(diǎn), BD,EF=BD，又,GHBD,GH=BD, · 四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點(diǎn)T, 平面ABC,FH平面ACD, T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC, ,直線EG,FH,AC相交于一點(diǎn)T. 例3判斷：若a,b是兩條異面直線，P為空間任意一點(diǎn)，則過P點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與a,b都平行.錯(cuò)解：認(rèn)為正確.錯(cuò)因：空間想像力不夠.忽略P在其中一條線上，或a與P確定平面恰好與b平行，此時(shí)就不能過P作平面與a平行.正解：假命題 例4 如圖，在四邊形ABCD中，已知ABCD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面相交于點(diǎn)E，G，H，F(xiàn)求證：E，F(xiàn)

5、，G，H四點(diǎn)必定共線（在同一條直線上）  分析：先確定一個(gè)平面，然后證明相關(guān)直線在這個(gè)平面內(nèi)，最后證明四點(diǎn)共線  證明 AB/CD， AB，CD確定一個(gè)平面 又AB E，AB， E，E，  即 E為平面與的一個(gè)公共點(diǎn)同理可證F，G，H均為平面與的公共點(diǎn) 兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，它們有且只有一條通過公共點(diǎn)的公共直線， E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線 點(diǎn) 評：在立體幾何的問題中，證明若干點(diǎn)共線時(shí)，先證明這些點(diǎn)都是某兩平面的公共點(diǎn)，而后得出這些點(diǎn)都在二平面的交線上的結(jié)論 例5如圖，已知平面，且設(shè)梯形ABCD中，ADBC，

6、且AB，CD，求證：AB，CD，共點(diǎn)（相交于一點(diǎn)）  分析：AB，CD是梯形ABCD的兩條腰，必定相交于一點(diǎn)M，只要證明M在上，而是兩個(gè)平面，的交線，因此，只要證明M，且M即可 證明： 梯形ABCD中，ADBC， AB，CD是梯形ABCD的兩條腰  AB，CD必定相交于一點(diǎn)， 設(shè) AB CDM 又 AB，CD， M，且M  M 又 ， M， 即 AB，CD，共點(diǎn) 點(diǎn) 評：證明多條直線共點(diǎn)時(shí)，與證明多點(diǎn)共線是一樣的 例6已知：a，b，c，d是不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線，求證：a，b，c，d共面&#

7、160; 分析：弄清楚四條直線不共點(diǎn)且兩兩相交的含義：四條直線不共點(diǎn)，包括有三條直線共點(diǎn)的情況；兩兩相交是指任何兩條直線都相交在此基礎(chǔ)上，根據(jù)平面的性質(zhì)，確定一個(gè)平面，再證明所有的直線都在這個(gè)平面內(nèi) 證明 1º若當(dāng)四條直線中有三條相交于一點(diǎn)，不妨設(shè)a，b，c相交于一點(diǎn) A   直線d和A確定一個(gè)平面 又設(shè)直線d與a，b，c分別相交于E，F(xiàn)，G，則 A，E，F(xiàn)，G A，E，A，Ea， a同理可證 b，c a，b，c，d在同一平面內(nèi)2º當(dāng)四條直線中任何三條都不共點(diǎn)時(shí)，如圖 這四條直線兩兩相交，則設(shè)相交直線a，b確定一個(gè)平面設(shè)直線c與a，b分別交于點(diǎn)

8、H，K，則 H，K又 H，Kc， c同理可證 d a，b，c，d四條直線在同一平面內(nèi)點(diǎn) 評：證明若干條線(或若干個(gè)點(diǎn))共面的一般步驟是：首先由題給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證明其余的線(或點(diǎn))均在這個(gè)平面內(nèi)本題最容易忽視“三線共點(diǎn)”這一種情況因此，在分析題意時(shí)，應(yīng)仔細(xì)推敲問題中每一句話的含義 例7 在立方體ABCDA1B1C1D1中，（1）找出平面AC的斜線BD1在平面AC內(nèi)的射影；（2）直線BD1和直線AC的位置關(guān)系如何？（3）直線BD1和直線AC所成的角是多少度？解：(1)連結(jié)BD, 交AC于點(diǎn)O . (2)BD1和AC是異面直線. (3)過O作BD1的平行線交D

9、D1于點(diǎn)M，連結(jié)MA、MC，則MOA或其補(bǔ)角即為異面直線AC和BD1所成的角. 不難得到MAMC，而O為AC的中點(diǎn)，因此MOAC，即MOA90°，異面直線BD1與AC所成的角為90°. 例8 已知：在直角三角形ABC中，A為直角，PA平面ABC，BDPC，垂足為D，求證：ADPC證明：PA 平面ABCPABA又BAAC BA平面PACAD是BD在平面PAC內(nèi)的射影又BDPC ADPC.（三垂線定理的逆定理）1. §6.2直線與平面之間的位置關(guān)系2. 一、知識要點(diǎn)3. 掌握空間直線與平面的三種位置關(guān)系（直線在平面內(nèi)、相交、平行）.4. 直線和平面所成的角，當(dāng)直線與平

10、面平行或在平面內(nèi)時(shí)所成的角是，當(dāng)直線與平面垂直時(shí)所成的角是9，當(dāng)直線與平面斜交時(shí)所成的角是直線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角.5. 掌握直線與平面平行判定定理（如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和平面平行）和性質(zhì)定理（如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行）.6. 直線與平面垂直的定義是：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)所有直線垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直；掌握直線與平面垂直的判定定理（如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面）和性質(zhì)定理（如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行）.7. 直線與平

11、面的距離（一條直線和一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線和這個(gè)平面的距離）.8. 三垂線定理（在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直）、逆定理（在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直）.從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中：射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；垂線段比任何一條斜線段都短.二、疑難知識1.斜線與平面所成的角關(guān)鍵在于找射影，斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切

12、角中最小的角. 2.在證明平行時(shí)注意線線平行、線面平行及面面平行判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運(yùn)用. 3.在證明垂直時(shí)注意線線垂直、線面垂直及面面垂直判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運(yùn)用，同時(shí)還要注意三垂線定理及其逆定理的運(yùn)用.要注意線面垂直的判定定理中的“兩條相交直線”，如果用“無數(shù)”或“兩條”都是錯(cuò)誤的. 4.直線與平面的距離一般是利用直線上某一點(diǎn)到平面的距離.“如果在平面的同一側(cè)有兩點(diǎn)到平面的距離（大于0）相等，則經(jīng)過這兩點(diǎn)的直線與這個(gè)平面平行.”要注意“同一側(cè)”、“距離相等”.三、經(jīng)典例題 例1已知平面平面，直線平面,點(diǎn)P直線,平面、間的距離為8，則在內(nèi)到點(diǎn)P的距離為10，且到的距離為9的點(diǎn)的軌跡是

13、（ ）A.一個(gè)圓 B.四個(gè)點(diǎn) C.兩條直線 D .兩個(gè)點(diǎn)錯(cuò)解：A.錯(cuò)因：學(xué)生對點(diǎn)線距離、線線距離、面面距離的關(guān)系掌握不牢.正解：B. 例2 a和b為異面直線，則過a與b垂直的平面( ). A有且只有一個(gè) B一個(gè)面或無數(shù)個(gè) C可能不存在 D可能有無數(shù)個(gè)錯(cuò)解：A.錯(cuò)因：過a與b垂直的平面條件不清. 正解：C. 例3由平面外一點(diǎn)P引平面的三條相等的斜線段，斜足分別為A,B,C，O為ABC的外心，求證：.正解：取BC的中點(diǎn)D，連PD、OD，例4如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M為AA1的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC1到M點(diǎn)的最短路線長為，設(shè)這條最短路線

14、與C1C的交點(diǎn)為N,求: （1）該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長；（2）PC和NC的長；（3）平面NMP和平面ABC所成二面角（銳角）的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）錯(cuò)因：（1）不知道利用側(cè)面BCC1 B1展開圖求解,不會找 的線段在哪里;(2)不會找二面角的平面角.正解：(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面展開圖是一個(gè)長為9，寬為4的矩形，其對角線長為(2)如圖，將側(cè)面BC1旋轉(zhuǎn)使其與側(cè)面AC1在同一平面上，點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)P1的位置，連接MP1 ，則MP1就是由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過CC1到點(diǎn)M的最短路線.設(shè)PC，則P1C，在(3)連接PP1（如圖），則PP1就是平面NMP與平面ABC的交線，作NH于

15、H，又CC1平面ABC，連結(jié)CH，由三垂線定理的逆定理得，.例5 P是平行四邊形ABCD 所在平面外一點(diǎn)，Q 是PA 的中點(diǎn)，求證：PC 平面BDQ 分析：要證明平面外的一條直線和該平面平行，只要在該平面內(nèi)找到一條直線和已知直線平行就可以了證明：如圖所示，連結(jié)AC ，交BD 于點(diǎn)O ，四邊形ABCD 是平行四邊形.AO=CO ，連結(jié)OQ ，則OQ 在平面BDQ 內(nèi)，且OQ 是 的中位線，PCOQ PC 在平面BDQ 外，PC平面BDQ 點(diǎn) 評：應(yīng)用線面平行的判定定理證明線面平行時(shí)，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行.例6 在正方體A1B1C1D1ABCD中，E、F分別是棱AB、B

16、C的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中點(diǎn)求證：EF垂直平面BB1O證明 ： 如圖,連接AC、BD，則O為AC和BD的交點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，EF是ABC的中位線，EFACB1B平面ABCD,AC平面ABCDACB1B，由正方形ABCD知：ACBO，又BO與BB1是平面BB1O上的兩條相交直線，AC平面BB1O(線面垂直判定定理)ACEF， EF平面BB1O 例7如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1 中，E 是BB1 的中點(diǎn)，O 是底面正方形ABCD 的中心，求證：OE 平面ACD1 分析：本題考查的是線面垂直的判定方法根據(jù)線面垂直的判定方法，要證明OE 平面ACD1 ，只要在平

17、面ACD1 內(nèi)找兩條相交直線與OE 垂直證明：連結(jié)B1D 、A!D 、BD ，在B1BD 中，E,O 分別是B1B 和DB 的中點(diǎn)，EOB1D B1A1 面AA1D1D ，DA1 為DB1 在面AA1D1D 內(nèi)的射影又AD1A1D ，AD1DB1 同理可證B1DD1C 又AD1，AD1,D1C 面ACD1 ，B1D 平面ACD1 B1DOE ，OE 平面ACD1 點(diǎn) 評：要證線面垂直可找線線垂直，這是立體幾何證明線面垂直時(shí)常用的轉(zhuǎn)化方法在證明線線垂直時(shí)既要注意三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用，也要注意有時(shí)是從數(shù)量關(guān)系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的應(yīng)用例8如圖，正方體ABCD-A1B1C

18、1D1中,點(diǎn)N在BD上, 點(diǎn)M在B1C上,且CM=DN,求證:MN平面AA1B1B.證明：證法一.如圖,作MEBC,交BB1于E,作NFAD,交AB于F,連EF則EF平面AA1B1B.ME=NF又MEBCADNF,MEFN為平行四邊形,MNEF. MN平面AA1B1B.證法二.如圖,連接并延長CN交BA延長線于點(diǎn)P,連B1P,則B1P平面AA1B1B.,又CM=DN,B1C=BD,B1P. B1P平面AA1B1B, MN平面AA1B1B.證法三.如圖,作MPBB1,交BC于點(diǎn)P,連NP.MPBB1,BD=B1C,DN=CM, NPCDAB.面MNP面AA1B1B.MN平面AA1B1B.

19、7;6.3平面與平面之間的位置關(guān)系一、基礎(chǔ)知識1空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系（有交點(diǎn)的是相交；沒交點(diǎn)的是平行）.2理解并掌握空間兩個(gè)平面平行的定義；掌握空間兩個(gè)平面平行判定定理（如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行）和性質(zhì)定理（如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行）.3理解并掌握空間兩個(gè)平面垂直的定義（一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面垂直）；判定定理（如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面垂直）和性質(zhì)定理（如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面）.4二面角的有關(guān)概念（從

20、一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角）與運(yùn)算； 二面角的平面角（以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角），二面角的平面角的常見作法(定義法、三垂線定理及逆定理法、垂面法等).二、疑難知識1兩個(gè)平面的位置關(guān)系關(guān)系的判定關(guān)鍵看有沒有公共點(diǎn).2面面平行也是推導(dǎo)線面平行的重要手段；還要注意平行與垂直的相互聯(lián)系，如：如果兩個(gè)平面都垂直于同一條直線，則這兩個(gè)平面平行；如果兩條直線都垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線平行等.在證明平行時(shí)注意線線平行、線面平行及面面平行的判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運(yùn)用.3對于命題“三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，

21、則這三條交線互相平行或者相交于同一點(diǎn).”要會證明.4.在證明垂直時(shí)注意線線垂直、線面垂直及面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運(yùn)用.5注意二面角的范圍是，找二面角的平面角時(shí)要注意與棱的垂直直線，這往往是二面角的平面角的關(guān)鍵所在.求二面角的大小還有公式,用的時(shí)候要進(jìn)行交代.在二面角棱沒有給出的情況下求二面角大小方法一：補(bǔ)充棱；方法二：利用“如果”；方法三：公式等，求二面角中解三角形時(shí)注意垂直（直角）、數(shù)據(jù)在不同的面上轉(zhuǎn)換.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1一直線與直二面角的兩個(gè)面所成的角分別為，則+滿足（ ）.A.+<900 B.+900 C.+>900 D.+900錯(cuò)解:A.錯(cuò)因：忽視直線與二面角

22、棱垂直的情況.正解：B.例2.如圖，ABC是簡易遮陽棚，A，B是南北方向上兩個(gè)定點(diǎn)，正東方向射出的太陽光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角應(yīng)為（ ）.A90° B60° C50° D45°錯(cuò)解:A.正解：C例3已知正三棱柱ABC-A1B1C1底面邊長是10，高是12，過底面一邊AB，作與底面ABC成角的截面面積是_.錯(cuò)解：.用面積射影公式求解：S底=S截=.錯(cuò)因：沒有弄清截面的形狀不是三角形而是等腰梯形.正解：.例4點(diǎn)是邊長為4的正方形的中心，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)沿對角線把正方形折成直二面角DACB（1）

23、求的大??；（2）求二面角的大小錯(cuò)解:不能認(rèn)識折疊后變量與不變量.不會找二面角的平面角.正解：（1）如圖，過點(diǎn)E作EGAC，垂足為G，過點(diǎn)F作FHAC，垂足為H，則，CDMHGOFABEGHMABCDEFO因?yàn)槎娼荄ACB為直二面角， 又在中， （2）過點(diǎn)G作GM垂直于FO的延長線于點(diǎn)M，連EM二面角DACB為直二面角，平面DAC平面BAC，交線為AC，又EGAC，EG平面BACGMOF，由三垂線定理，得EMOF就是二面角的平面角在RtEGM中，所以，二面角的大小為例5如圖，平面平面平面，且在、之間，若和的距離是5，和的距離是3，直線和、分別交于A、B、C，AC12，則AB ，BC . 解:作

24、，與、也垂直，與、分別交于A1、B1、C1.因此，A1B1是與平面間的距離，B1C1是與平面間的距離，A1C1是與之間的距離.A1B15，B1C13，A1C18，又知AC12AB= ， ，BC= .答：AB= ，BC .例6 如圖，線段PQ分別交兩個(gè)平行平面、于A、B兩點(diǎn)，線段PD分別交、于C、D兩點(diǎn)，線段QF分別交、于F、E兩點(diǎn)，若PA9，AB12，BQ12，ACF的面積為72，求BDE的面積.解：平面QAFAF，平面QAFBE又，AFBE同理可證：ACBD.FAC與EBD相等成互補(bǔ)由FABE，得：BE：AFQB：QA12：241：2，BE=由BDAC，得：AC：BDPA：PB9：213：7

25、，BD=又ACF的面積為72，即 72S=,答：BDE的面積為84平方單位.例7如圖，B為ACD所在平面外一點(diǎn)，M、N、G分別為ABC、ABD、BCD的重心.（1）求證：平面MNG平面ACD（2）求S：S解:（1）連結(jié)BM、BN、BG并延長交AC、AD、CD分別于P、F、HM、N、G分別為ABC、ABD、BCD的重心，則有：連結(jié)PF、FH、PH有MNPF又PF 平面ACDMN平面ACD同理：MG平面ACD，MGMNM平面MNG平面ACD.（2）由（1）可知：MG=，又PH=MG= ，同理：NG= ， MNGACD，其相似比為1：3S：S=1：9例8如圖，平面EFGH分別平行于CD、AB，E、F

26、、G、H分別在BD、BC、AC、AD上，且CDa，ABb，CDAB.(1)求證：EFGH是矩形.(2)求當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，EFGH的面積最大.(1)證明：CD面EFGH,而面EFGH面BCDEF.CDEF同理HGCD.EFHG同理HEGF.四邊形EFGH為平行四邊形由CDEF，HEABHEF為CD和AB所成的角或其補(bǔ)角，又CDAB.HEEF.四邊形EFGH為矩形.(2)解：由(1)可知在BCD中EFCD，其中DEm，EBn由HEAB又四邊形EFGH為矩形S矩形EFGHHE·EF·b·aabmn2，（mn）2mn，當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)取等號，即E為BD的中點(diǎn)時(shí),S矩形E

27、FGH=abab，矩形EFGH的面積最大為ab.點(diǎn)評：求最值時(shí)經(jīng)常轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值、不等式求最值、導(dǎo)數(shù)求最值、線性規(guī)劃求最值等.§6.4空間角和距離一、知識導(dǎo)學(xué)1.掌握兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角及二面角，掌握上述三類空間角的作法及運(yùn)算.2掌握給出公垂線的兩條異面直線的距離、點(diǎn)到直線（或平面）的距離、直線與平面的距離及兩平行平面間距離的求法.二、疑難知識1求空間角的大小時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為平面上的角來求，具體地將其轉(zhuǎn)化為某三角形的一個(gè)內(nèi)角.2求二面角大小時(shí)，關(guān)鍵是找二面角的平面角，可充分利用定義法或垂面法等.3空間距離的計(jì)算一般將其轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離.求點(diǎn)到平面距離時(shí)，可先

28、找出點(diǎn)在平面內(nèi)的射影（可用兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)），也可用等體積轉(zhuǎn)換法求之.另外要注意垂直的作用.球心到截面圓心的距離由勾股定理得4球面上兩點(diǎn)間的距離是指經(jīng)過這兩點(diǎn)的球的大圓的劣弧的長，關(guān)鍵在于畫出經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓以及小圓.5要注意距離和角在空間求值中的相互作用，以及在求面積和體積中的作用.三、經(jīng)典例題例1平面外有兩點(diǎn)A,B，它們與平面的距離分別為a,b，線段AB上有一點(diǎn)P，且AP:PB=m:n，則點(diǎn)P到平面的距離為_.錯(cuò)解：.錯(cuò)因：只考慮AB在平面同側(cè)的情形，忽略AB在平面兩測的情況.正解：.例2與空間四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的平面共有_個(gè).錯(cuò)解：4個(gè).錯(cuò)因：只分1個(gè)點(diǎn)與3個(gè)點(diǎn)在平面兩側(cè).沒

29、有考慮2個(gè)點(diǎn)與2個(gè)點(diǎn)在平面兩側(cè).正解：7個(gè).例3一個(gè)盛滿水的三棱錐形容器，不久發(fā)現(xiàn)三條側(cè)棱上各有一個(gè)小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用這個(gè)容器盛水，則最多可盛原來水的（ ）A. B. C. D. 錯(cuò)解：A、B、C.由過D或E作面ABC的平行面，所截體計(jì)算而得.正解：D.當(dāng)平面EFD處于水平位置時(shí)，容器盛水最多最多可盛原來水得1例4斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為a的正三角形，側(cè)棱長等于b，一條側(cè)棱AA1與底面相鄰兩邊AB、AC都成450角，求這個(gè)三棱柱的側(cè)面積.錯(cuò)解：一是不給出任何證明，直接計(jì)算得結(jié)果；二是作直截面的方法不當(dāng)，即“過BC作平面與AA

30、1垂直于M”；三是由條件“A1AB=A1ACAA1在底面ABC上的射影是BAC的平分線”不給出論證.正解：過點(diǎn)B作BMAA1于M，連結(jié)CM，在ABM和ACM中，AB=AC，MAB=MAC=450，MA為公共邊，ABMACM，AMC=AMB=900，AA1面BHC，即平面BMC為直截面，又BM=CM=ABsin450=a，BMC周長為2xa+a=(1+)a，且棱長為b，S側(cè)=(1+)ab例5已知CA平面，垂足為A；AB ，BDAB，且BD與成30°角；AC=BD=b，AB=a.求C，D兩點(diǎn)間的距離.解 : 本題應(yīng)分兩種情況討論：（1）如下左圖.C，D在同側(cè)：過D作DF，垂足為

31、F.連BF，則于是.根據(jù)三垂線定理BDAB得BFAB.在RtABF中，AF=過D作DEAC于E，則DE=AF，AE=DF=.所以EC=AC-AE= b-=.故CD=(2)如上右圖.C，D在兩側(cè)時(shí)：同法可求得CD=點(diǎn) 評: 本題是通過把已知量與未知量歸結(jié)到一個(gè)直角三角形中，應(yīng)用勾股定理來求解.例6如圖，在棱長為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點(diǎn)，.（1）試確定，使得直線與平面所成角的正切值為；（2）在線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得對任意的，在平面上的射影垂直于.并證明你的結(jié)論.解：解法一（1）連AC，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,AP與平面相交于點(diǎn)，,連結(jié)OG，因?yàn)镻C平面，平面平面APCOG,故O

32、GPC，所以，OGPC.又AOBD,AOBB1，所以AO平面，故AGO是AP與平面所成的角. 在RtAOG中，tanAGO，即m.所以，當(dāng)m時(shí)，直線AP與平面所成的角的正切值為.（2）可以推測，點(diǎn)Q應(yīng)當(dāng)是AICI的中點(diǎn)O1，因?yàn)镈1O1A1C1, 且 D1O1A1A ，所以 D1O1平面ACC1A1，又AP平面ACC1A1，故 D1O1AP.那么根據(jù)三垂線定理知，D1O1在平面APD1的射影與AP垂直。解法二：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)所以又由知，為平面的

33、一個(gè)法向量。設(shè)AP與平面所成的角為，則。依題意有解得。故當(dāng)時(shí)，直線AP與平面所成的角的正切值為。（2）若在A1C1上存在這樣的點(diǎn)Q，設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則Q(x，1，1)，。依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等價(jià)于D1QAP即Q為A1C1的中點(diǎn)時(shí)，滿足題設(shè)要求。例7在梯形ABCD中，ADC=90°，ABDC，AB=1，DC=2，P為平面ABCD外一點(diǎn)，PAD是正三角形，且PAAB，求：（1）平面PBC和平面PAD所成二面角的大??；（2）D點(diǎn)到平面PBC的距離解: （1）設(shè)ADBC=E，可知PE是平面PBC和平面PAD的交線，依題設(shè)條件得PA=AD=AE，則E

34、PD=90°，PDPE又PAAB，DAAB，故AB平面PAD DCAB， DC平面PAD由PEPC得PEPD，DPC是平面PBC與平面PAD所成二面角的平面角，DC=2，tan，（2）由于PEPD，PEPC，故PE平面PDC，因此平面PDC平面PBC，作DHPC，H是垂足，則DH是D到平面PBC的距離在RtPDC中，DC=2，平面PBC與平面PAD成二面角的大小為arctan，D到平面PBC的距離為.例8 半徑為1的球面上有A、B、C三點(diǎn)，A與B和A與C的球面距離都是，B與C的球面距離是，求過A、B、C三點(diǎn)的截面到球心O距離分析 ： 轉(zhuǎn)化為以球心O為頂點(diǎn)，ABC為底面的三棱

35、錐問題解決由題設(shè)知OBC是邊長為1的正三角形，AOB和AOC是腰長為1的全等的等腰三角形取BC中點(diǎn)D，連AD、OD，易得BC面AOD，進(jìn)而得面AOD面ABC，過O作OHAD于H，則OH面ABC，OH的長即為所求，在Rt中,AD=,故在Rt,OH=點(diǎn)評： 本題若注意到H是ABC的外心，可通過解ABC和AHO得OH或利用體積法§6.5空間幾何體及投影一、知識導(dǎo)學(xué)1. 了解投影（投影線通過物體，向選定的面透射，并在該面上得到圖形的方法）、中心投影（投射線交于一點(diǎn)的投影稱為中心投影）、平行投影（投影線互相平行的投影稱為平行投影）、斜投影（平行投影投射方向不是正對著投影面的投影）、正投影（平行

36、投影投射方向正對著投影面的投影）的概念.2. 了解三視圖的有關(guān)概念（視圖是指將物體按正投影向投影面投射所得到的圖形.光線自物體的前面向后面投射所得的投影稱之為主視圖或正視圖，自上而下的稱為俯視圖，自左向右的稱為左視圖，用這三種視圖刻畫空間物體的結(jié)構(gòu)，稱之為三視圖）;了解三視圖畫法規(guī)則，能作出物體的三視圖.3. 注意投影和射影的關(guān)系，以及在解題中的作用.二、疑難知識1三視圖間基本投影關(guān)系的三條規(guī)律：主視圖與俯視圖長對正，主視圖與左視圖高平齊，俯視圖與左視圖寬相等.概括為“長對正，高平齊，寬相等”；看不見的畫虛線.2主視圖的上、下、左、右對應(yīng)物體的上、下、左、右；俯視圖的上、下、左、右對應(yīng)物體的后

37、、前、左、右；左視圖的上、下、左、右對應(yīng)物體的上、下、后、前.三、經(jīng)典例題例1如圖，該物體的俯視圖是（）.錯(cuò)解：B.錯(cuò)因：投影方向不對.正解：C.例2 如圖所示的正方體中，E、F分別是AA1,D1C1的中點(diǎn)，G是正方形BDB1D1的中心，則空間四邊形AGEF在該正方體面上的投影不可能是（ ）A B C D錯(cuò)解：C.正解：D 例3水平放置的ABC有一邊在水平線上，它的直觀圖是正A1B1C1，則ABC是（ ）A. 銳角三角形B. 直角三角形C. 鈍角三角形D. 任意三角形錯(cuò)解：B.錯(cuò)因：不熟悉斜二側(cè)畫法的規(guī)則.正解:C.例4 正方體的全面積是a2，它的頂點(diǎn)都在球面上，這個(gè)球的表面積是（ ）.A. B. C. D. 錯(cuò)解：A.錯(cuò)因：對正方體和