上好數(shù)學(xué)單元小結(jié)課你必須做好這些方面

1、上好數(shù)學(xué)單元小結(jié)課，你必須做好這些方面單元小結(jié)課的設(shè)計(jì)要做知識、方法的梳理和問題鏈的設(shè)計(jì)。在知識、方法的梳理過程中，要讓學(xué)生樹立知識的整體觀、系統(tǒng)觀，體現(xiàn)知識發(fā)生發(fā)展的內(nèi)在張力。問題及問題鏈的構(gòu)造應(yīng)反映知識的來源，復(fù)演知識的產(chǎn)生過程；反映知識的發(fā)展歷程，展示知識的獨(dú)特性、發(fā)展性、關(guān)聯(lián)性；體現(xiàn)知識的應(yīng)用性，展示知識的工具性和功用性，把知識轉(zhuǎn)化為見識。概念課、命題課、習(xí)題課、單元小結(jié)課是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要課型，這些課型的有序組織，有機(jī)配合，相互作用，從不同方面達(dá)成了單元教學(xué)目標(biāo)?！邦^難起，尾難收”，單元小結(jié)課不是新授課的簡單重復(fù)，也不是習(xí)題課的簡單 “翻錄”，而有自身的內(nèi)在價(jià)值和功能。一、對單元小

2、結(jié)課的認(rèn)識單元小結(jié)課所面臨的教學(xué)條件與新授課完全不同，其目標(biāo)和價(jià)值取向與新授課也不一樣。故而對單元小結(jié)課的功能有一個(gè)清晰而明確的認(rèn)識，才能有針對性地采取措施，使小結(jié)課更有實(shí)效和價(jià)值，真正做到 “溫故而知新”?？梢詮慕虒W(xué)研究的角度認(rèn)識小結(jié)課的功能。裴光亞認(rèn)為，小結(jié)課至少要做到三點(diǎn)：把各個(gè)局部知識組織成整體，使學(xué)生獲得的知識系統(tǒng)化；從知識整體中確定出核心內(nèi)容，建立起核心內(nèi)容與其他知識的聯(lián)系，將知識和方法進(jìn)一步深化；掌握知識的用途和適用范圍，將知識轉(zhuǎn)化成能力。上述表述從知識梳理、方法深化和知識技能化等方面指出了小結(jié)課的功能。向立政等認(rèn)為，小結(jié)課的基本任務(wù)就是通過全面系統(tǒng)地回顧，歸納概括本章 （單元）

3、主要知識，提煉主要數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)而理清知識脈絡(luò)，建立完整的知識網(wǎng)絡(luò)，并能運(yùn)用所學(xué)知識分析和解決問題。周遠(yuǎn)方等認(rèn)為，單元小結(jié)課不是將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識機(jī)械地重復(fù)和簡單地羅列，而是將知識、思想和方法融入問題情境之中，在問題探究的過程中加以歸納總結(jié)，使其動(dòng)態(tài)化、系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化和結(jié)構(gòu)化，形成一個(gè)完整的知識結(jié)構(gòu)庫和一幅動(dòng)態(tài)的思維導(dǎo)向圖。這兩種表述也是圍繞知識梳理、知識運(yùn)用等方面展開的。基本知識、基本技能，以及新增的基本思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，無不以知識習(xí)得為基本前提。上述教學(xué)研究的結(jié)論直接指向知識的結(jié)構(gòu)化、技能化，因此從各種角度深入認(rèn)識知識及其學(xué)習(xí)，從而認(rèn)識單元小結(jié)課，既切合課堂教學(xué)的實(shí)際，也使認(rèn)識更接近

4、小結(jié)課的本真面目。教育心理學(xué)認(rèn)為，知識是主體與其環(huán)境相互作用而獲得的信息及其組織，知識的本質(zhì)是信息在人腦中的表征。根據(jù)學(xué)習(xí)結(jié)果和學(xué)習(xí)過程這兩個(gè)維度，知識的學(xué)習(xí)分為三個(gè)階段：知識的習(xí)得階段；知識的鞏固和轉(zhuǎn)化階段；知識的遷移和應(yīng)用階段。第一個(gè)階段，通過新舊知識的相互作用，使新知識進(jìn)入個(gè)體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。但由于學(xué)習(xí)的遺忘律等多種因素的作用，習(xí)得知識還需要通過認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重建與改組，才能在心理上形成比較穩(wěn)固的聯(lián)系。還要通過變式訓(xùn)練，使知識從靜止的儲(chǔ)存狀態(tài)轉(zhuǎn)化為產(chǎn)生式系統(tǒng)，獲得各種智慧技能。如果能從習(xí)得的知識中獲得改造世界的方略，能在對習(xí)得知識進(jìn)行反思的過程中獲得對自身認(rèn)知方式、行為方式的認(rèn)識，獲得各種認(rèn)知策

5、略，能調(diào)控自身，這就實(shí)現(xiàn)了知識的遷移和應(yīng)用。新知識的習(xí)得主要在新授課中完成，雖然新授課也能部分地完成知識的鞏固和轉(zhuǎn)化，但要真正完成知識的鞏固、轉(zhuǎn)化、遷移和應(yīng)用，還要充分發(fā)揮復(fù)習(xí)課的功能。故不僅有縱向的復(fù)習(xí)課，還有橫向的復(fù)習(xí)課?？v向的復(fù)習(xí)課是針對每一大節(jié)、每一章的單元小結(jié)復(fù)習(xí)課，橫向的復(fù)習(xí)課就是通常所說的專題小結(jié)復(fù)習(xí)課。因此，從教育心理學(xué)的角度看，單元小結(jié)課不僅應(yīng)在新授課的基礎(chǔ)上完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，用一條主線把單元知識貫穿起來，還應(yīng)在其基礎(chǔ)上繼續(xù)實(shí)現(xiàn)知識的技能化，進(jìn)而使學(xué)生的認(rèn)知上升到一個(gè)新的臺階，獲得各種智慧技能，順利地解決問題，獲得各種認(rèn)知策略，發(fā)展反思、元認(rèn)知等能力。教育學(xué)立場下的知識有三

6、個(gè)維度：符號表征、邏輯形式和意義。任何知識都是以特定的符號作為表征的，但不能把符號表征看作知識的全部，還要追問符號表征背后的故事。邏輯形式是指獲取知識的方式和過程。知識的意義是其內(nèi)具的具有促進(jìn)人的思想、精神和能力發(fā)展的力量?；谥R的這種內(nèi)在結(jié)構(gòu)和功能，符號表征的傳遞、邏輯形式的生成、知識意義的生成，應(yīng)該是知識教學(xué)價(jià)值的三個(gè)重要維度。如果采取豐富性教學(xué)、回歸性教學(xué)、關(guān)聯(lián)性教學(xué)和嚴(yán)密性教學(xué)，新授課就能完成作為認(rèn)識結(jié)果的符號知識的傳遞，也能使學(xué)生獲得獲取知識的各種方式和方法，甚至能使學(xué)生部分地生成知識的意義。但是，學(xué)生的認(rèn)知有一個(gè)螺旋上升的過程，把知識置于整體脈絡(luò)之中認(rèn)識，與剝離出來認(rèn)識有著完全不

7、同的意味。單元小結(jié)課更要采取以上四種教學(xué)，使知識教育走向深刻。按豐富性教學(xué)的要求，單元小結(jié)課不僅要把點(diǎn)狀知識結(jié)成一個(gè)整體之網(wǎng)，還要在結(jié)網(wǎng)的過程中闡明知識得以產(chǎn)生的過程和方法，以及知識之于人的意義。作為結(jié)果的知識是可以量化的，存在于知識的整體網(wǎng)絡(luò)之中，然而，知識得以產(chǎn)生的方法和過程，以及由此蘊(yùn)含的意義則是難以言說的，不同的人有不同的感悟。這就要求學(xué)生在教師的幫助下，能夠把知識的背景依存、經(jīng)驗(yàn)依存、邏輯依存以及通過形式化、理性化而揭示的知識間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)融為一個(gè)整體，通過多層次的反思，獲得知識之于個(gè)體的意義?？梢?，單元小結(jié)課還要提供豐富的情境問題，要能觸動(dòng)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的調(diào)動(dòng)、方法的領(lǐng)悟、批判反思等精神的

8、形成，從而使個(gè)體獲得知識背后承載的東西。從知識論的角度看，知識有內(nèi)容、形式和旨趣三個(gè)維度。數(shù)學(xué)知識是問題解決之后的結(jié)晶?？梢允菙?shù)學(xué)內(nèi)部的問題，也可以是生產(chǎn)、生活實(shí)踐中產(chǎn)生的問題，以及來自其他學(xué)科的問題。數(shù)學(xué)家常創(chuàng)造性地利用成法解決問題，但更多的是創(chuàng)造新方法解決問題。問題解決之法常和數(shù)學(xué)家的世界觀、方法論有關(guān)。但當(dāng)這些凝固于問題解決的結(jié)果之中以后，數(shù)學(xué)家的靈氣和思想則深藏在其中，可以作為思想資源，激發(fā)各種不同水平的理解與創(chuàng)造?？茖W(xué)的數(shù)學(xué)展開的過程與教學(xué)用的數(shù)學(xué)的過程是不一樣的：教學(xué)用的數(shù)學(xué)展開的過程，試圖要求學(xué)生通過形式到內(nèi)容到旨趣而掌握數(shù)學(xué)，而科學(xué)的數(shù)學(xué)卻是由旨趣到內(nèi)容到形式。從形式上，要學(xué)習(xí)

9、數(shù)學(xué)知識的思維探索方式、檢驗(yàn)方式與表達(dá)方式，學(xué)習(xí)各種從經(jīng)驗(yàn)中去粗取精的數(shù)學(xué)化、模型化方法，數(shù)學(xué)區(qū)別于實(shí)驗(yàn)科學(xué)的邏輯演繹的推理方法，數(shù)學(xué)的符號化、公理化的表述方式。從內(nèi)容上講，數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)不僅要掌握數(shù)學(xué)的研究對象與問題，以及作為認(rèn)知結(jié)果的數(shù)學(xué)概念與原理，還要通過反思，認(rèn)識數(shù)學(xué)的學(xué)科性質(zhì)與特點(diǎn)。從旨趣上看，要了解數(shù)學(xué)知識創(chuàng)造過程中的目標(biāo)追求與價(jià)值取向，因?yàn)閿?shù)學(xué)是目標(biāo)明確的，每個(gè)數(shù)學(xué)概念和方法都有其目的。而且，旨趣制約著知識創(chuàng)造的方向、內(nèi)容及其形式，是知識創(chuàng)造者在知識中賦予的東西，它潛在于知識之中，可能導(dǎo)致預(yù)期的結(jié)果。旨趣背后站立的是歷史上的偉人，他們的思想、情感及價(jià)值觀能通過教學(xué)這種知識再生產(chǎn)、

10、再傳遞的方式釋放出知識內(nèi)蘊(yùn)的教育價(jià)值，成為教學(xué)中情感、態(tài)度及價(jià)值觀的源泉所在，使體驗(yàn)與感悟，探索、挫折與樂趣走向高品質(zhì)的學(xué)習(xí)成為可能?？傊?，由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特殊性，學(xué)生學(xué)到的概念、公式、定理都是數(shù)學(xué)知識的表達(dá)形式，要在這個(gè)過程中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的語言及思維方式，用數(shù)學(xué)的語言及思維方式開展探究性學(xué)習(xí)，還原知識的形成過程，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地觀察、思維與探究，形成數(shù)學(xué)的眼光。在新授課中強(qiáng)調(diào)探究性學(xué)習(xí)，是在知識形式上做文章，至于形式背后的內(nèi)容是什么，內(nèi)容背后的旨趣是什么，新授課或許能涉及一些，但這些還需在單元小結(jié)課中繼續(xù)深化。數(shù)學(xué)與其他學(xué)科相比有一個(gè)非常不同的特點(diǎn)：數(shù)學(xué)構(gòu)成一個(gè)形式運(yùn)演系統(tǒng)，人可以樂在其中，卻不知其在言

11、說什么。從形式系統(tǒng)中跳出來，追求形式背后的東西，可以說是單元小結(jié)課的重要任務(wù)之一。單元小結(jié)課不是 “炒剩飯”。從上述各種角度的對比分析中，我們可以明確單元小結(jié)課的功能。首先，要梳理作為認(rèn)識結(jié)果的知識，把它們編織成一個(gè)整體，使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的表述方式，在其中體現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯化、系統(tǒng)化精神，其目標(biāo)指向是塑造學(xué)生整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)；其次，要從不同角度認(rèn)識作為認(rèn)識成果的知識，使學(xué)生能品味其獨(dú)特性，在其中體現(xiàn)數(shù)學(xué)的奧妙、獨(dú)特與偉大之處，其目標(biāo)指向是培養(yǎng)學(xué)生的理性批判、反思等獨(dú)立個(gè)性；再次，要深化作為認(rèn)識過程的方法，把它們形成一個(gè)系統(tǒng)，使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思維方式，在其中體現(xiàn)數(shù)學(xué)化、符號化精神，其目標(biāo)指向是培養(yǎng)學(xué)生的探

12、索發(fā)現(xiàn)精神；最后，要挖掘作為認(rèn)識源頭動(dòng)力的精神力量，用適當(dāng)?shù)妮d體表達(dá)出來，在其中體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文之美、理性之美、精神之美，其目標(biāo)指向是用數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量影響學(xué)生數(shù)學(xué)觀及世界觀的形成，體現(xiàn)數(shù)學(xué)科學(xué)的教育性。二、單元小結(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)周遠(yuǎn)方等指出了單元小結(jié)課的一些現(xiàn)狀，單元小結(jié)課不能演變成題組訓(xùn)練課，不能演變成單元檢測講評課，也不能演變成依托資料式的練習(xí)課，而應(yīng)努力體現(xiàn)知識的思想性和創(chuàng)造性，邏輯性和實(shí)證性，工具性和功利性，文化性和精神性。這些目標(biāo)的達(dá)成取決于單元小結(jié)課設(shè)計(jì)的別出心裁。單元小結(jié)課的設(shè)計(jì)根本上說可以分成兩大塊：知識、方法的梳理和問題鏈的設(shè)計(jì)。（一）對知識、方法梳理的設(shè)計(jì)根據(jù)關(guān)聯(lián)性教學(xué)的要求，

13、知識的符號表征、邏輯方法及思想應(yīng)融為一體。作為知識梳理典范的，當(dāng)推 幾何原本。公理化、形式化、系統(tǒng)化作為一種數(shù)學(xué)思想可以體現(xiàn)在學(xué)生組織知識網(wǎng)絡(luò)的過程中。以核心知識點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)，以知識的發(fā)生發(fā)展為主線，構(gòu)建多元聯(lián)系、前后相依、自然連貫的知識序列，是知識梳理的內(nèi)在要求。知識梳理的外在要求是知識結(jié)構(gòu)可視化，知識脈絡(luò)清晰化，如，通過圖、表或口訣，對知識進(jìn)行信息加工。在教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生對知識的精要進(jìn)行濃縮、提煉，以固化的方式表現(xiàn)出來，診斷認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完備性、連通性與穩(wěn)定性，以采取有針對性的查漏補(bǔ)缺。方法附著于知識之中，知識梳理的過程也是方法提煉、精神升華的過程。當(dāng)用一條紅線把知識貫通起來時(shí)，能看到知識間的演

14、化發(fā)展、認(rèn)知視角的變遷，以及人類精神思想的進(jìn)化。以 “復(fù)數(shù)”為例，在梳理這一章的過程中，我們不但看到知識層面的數(shù)系擴(kuò)充過程中的各種不同類型的數(shù)，還看到了方法層面的數(shù)系擴(kuò)充的基本原則，推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在動(dòng)力，以及人類在 “方程與解”的過程中追求數(shù)學(xué)和諧統(tǒng)一的精神。復(fù)數(shù)概念的建立艱難而曲折，它有多種表示法，這其中就包含了方法論。在梳理方法時(shí)，既要注重方法的獨(dú)特性，又要注意方法的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，以基本方法為核心構(gòu)筑方法庫。自高斯在復(fù)平面上建立復(fù)數(shù)的表示之后，復(fù)數(shù)就成了人們心目中的“實(shí)”數(shù)了，可以算，可以畫。這其實(shí)啟示學(xué)生，數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩大支柱，從多種角度闡釋理論，是加深認(rèn)識的重要方法，也是發(fā)現(xiàn)新知識的

15、重要方法。復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、三角形式、指數(shù)形式、向量形式，其實(shí)是在不同側(cè)面言說同一件事情，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家不輕下斷語，多方求證，多向相求的治學(xué)精神。（二）問題鏈的設(shè)計(jì)我們認(rèn)為，教學(xué)的過程應(yīng)當(dāng)擬合數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程。在單元小結(jié)課中更應(yīng)如此。當(dāng)學(xué)生對知識、方法有了一定的認(rèn)識之后，要使知識稔熟于心、方法純熟于手，對知識和方法有個(gè)人的感悟，還需要學(xué)生在問題解決的過程中升華認(rèn)識，能從經(jīng)驗(yàn)中引導(dǎo)心靈向上，促發(fā)精神世界的變化。問題的選配及問題的構(gòu)造設(shè)計(jì)是非常關(guān)鍵的一環(huán)。問題及問題鏈的構(gòu)造應(yīng)反映知識的來源，復(fù)演知識的產(chǎn)生過程。好的問題可以導(dǎo)致一個(gè)學(xué)科的誕生，可以再現(xiàn)知識產(chǎn)生過程的曲折性、艱巨性。在單元小結(jié)

16、課中，應(yīng)努力再現(xiàn)推動(dòng)學(xué)科或知識產(chǎn)生的動(dòng)因。如，復(fù)數(shù)源于解三次方程的求根問題，意大利數(shù)學(xué)家邦貝利用使無意義的數(shù)變得有意義了，這標(biāo)志著復(fù)數(shù)的產(chǎn)生。這就是復(fù)數(shù)的源頭。復(fù)數(shù)既然源于解方程，那么就要在 “解方程構(gòu)造方程根與系數(shù)的關(guān)系”的方法鏈中，選配精當(dāng)?shù)膯栴}，充分揭示方程與復(fù)數(shù)的關(guān)系，方程的解與數(shù)域的依存關(guān)系，弄清楚推動(dòng)復(fù)數(shù)產(chǎn)生及數(shù)域擴(kuò)充的根本原因，并理清復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，從而獲得對復(fù)數(shù)之源的充分認(rèn)識。數(shù)學(xué)史上有很多歷史名題，這些本原性問題經(jīng)過教學(xué)法的加工簡化之后，可以成為揭示問題之源，思想之威力的好素材。如上述素材，不管是解二次方程，還是解三次方程，只要是解方程，與方程相關(guān)聯(lián)，就揭示了復(fù)數(shù)之源

17、，方程思想方法的威力。問題及問題鏈的構(gòu)造應(yīng)反映知識的發(fā)展歷程，展示知識的獨(dú)特性、發(fā)展性、關(guān)聯(lián)性。當(dāng)數(shù)學(xué)知識作為一個(gè)實(shí)體而存在之后，可以不依賴其實(shí)際背景而運(yùn)行，能在一個(gè)形式系統(tǒng)中獨(dú)立運(yùn)行和繁衍，最終形成枝繁葉茂的理論體系。單元小結(jié)課的問題及問題鏈的構(gòu)造應(yīng)反映學(xué)科或知識發(fā)展的規(guī)律。以復(fù)數(shù)為例，當(dāng)復(fù)數(shù)因其 “可視性”而獲得承認(rèn)之后，人們就從各種角度展開了研究，如從幾何的、代數(shù)的、三角的、向量的、函數(shù)的等角度。凡此種種努力，都在于使復(fù)數(shù) “化虛為實(shí)”，讓復(fù)數(shù) “看得見，摸得著”。從幾何的角度而言，復(fù)數(shù)的獨(dú)特性在于復(fù)數(shù)有模，能刻畫距離，復(fù)數(shù)有共軛復(fù)數(shù)，反映了某種對稱性。從代數(shù)的角度而言，復(fù)數(shù)的發(fā)展性在于

18、，復(fù)數(shù)就是建立在實(shí)數(shù)域上的一個(gè)有序?qū)崝?shù)對，凡是與復(fù)數(shù)有關(guān)的問題均可以轉(zhuǎn)化為與實(shí)數(shù)有關(guān)的問題來解決。從向量的角度而言，復(fù)數(shù)的發(fā)展性還在于復(fù)數(shù)是向量的母體，可以 “由其子識其母”。從三角函數(shù)的、指數(shù)函數(shù)角度而言，復(fù)數(shù)的關(guān)聯(lián)性在于它深刻地揭示了三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、復(fù)數(shù)和向量之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，把我們的認(rèn)識引向深入。上述各種表示法可以相互轉(zhuǎn)化，結(jié)成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，體現(xiàn)知識的關(guān)聯(lián)性、邏輯性。依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，單元小結(jié)課，既要牢牢抓住復(fù)數(shù)的獨(dú)特性，用精當(dāng)?shù)膯栴}體現(xiàn)復(fù)數(shù)的幾何特征，又要牢牢扣住復(fù)數(shù)的發(fā)展性，用精當(dāng)?shù)膯栴}揭示復(fù)數(shù)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算的代數(shù)特征。最后，還要讓學(xué)生明白，如此種種手段，其要旨都在于充分運(yùn)用復(fù)數(shù)的多種表示法，由多種路徑化歸到實(shí)問題。這樣就揭示了復(fù)數(shù)之特：多元表征，化虛為實(shí)，由實(shí)探虛，也揭示了數(shù)學(xué)化歸思想的威力。問題及問題鏈的構(gòu)造應(yīng)體現(xiàn)知識的應(yīng)用性，展示知識的工具性和功用性，把知識轉(zhuǎn)化為見識。當(dāng)知識、方法成為認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有機(jī)組成部分之