高中數(shù)學(xué)必修2第二章知識點+習(xí)題+答案

1、榮達家教中心第二章 直線與平面的位置關(guān)系2.1空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.11 平面含義：平面是無限延展的2 平面的畫法及表示DCBA（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）（2）平面通常用希臘字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。3 三個公理：（1）公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號表示為ALBL => L AB公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)C·B·A·（

2、2）公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。符號表示為：A、B、C三點不共線 => 有且只有一個平面，使A、B、C。公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。P·L（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。符號表示為：P =>=L，且PL公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1 空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。2 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符

3、號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線=>acabcb強調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3 等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補4 注意點： a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關(guān)，為了簡便，點O一般取在兩直線中的一條上； 兩條異面直線所成的角(0， )； 當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作ab； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。2.1

4、.3 2.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個公共點（2）直線與平面相交 有且只有一個公共點（3）直線在平面平行 沒有公共點指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a 來表示a a=A a2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1 直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：a b => aab2.2.2 平面與平面平行的判定1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行

5、，則這兩個平面平行。符號表示：a b ab = P ab2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。2.2.3 2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：aa ab= b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。符號表示：= a ab = b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直的判定1、定義如

6、果直線L與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面互相垂直，記作L，直線L叫做平面的垂線，平面叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點P叫做垂足。 L p 2、判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點： a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2.3.2平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形A 梭 l B2、二面角的記法：二面角-l-或-AB-3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個

7、平面垂直。2.3.3 2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2性質(zhì)定理： 兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系A(chǔ)組一、選擇題1設(shè) a，b為兩個不同的平面，l，m為兩條不同的直線，且la，m，有如下的兩個命題：若 ab，則lm；若lm，則 ab那么( )A是真命題，是假命題B是假命題，是真命題C都是真命題D都是假命題2如圖，ABCDA1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論錯誤的是( )(第2題)ABD平面CB1D1BAC1BDCAC1平面CB1D1D異面直線AD與CB1角為60°3關(guān)于直

8、線m，n與平面 a，b，有下列四個命題：ma，nb 且 ab，則mn；ma，nb 且 ab，則mn；ma，nb 且 ab，則mn；ma，nb 且 ab，則mn其中真命題的序號是( )ABCD4給出下列四個命題：垂直于同一直線的兩條直線互相平行垂直于同一平面的兩個平面互相平行若直線l1，l2與同一平面所成的角相等，則l1，l2互相平行若直線l1，l2是異面直線，則與l1，l2都相交的兩條直線是異面直線其中假命題的個數(shù)是( )A1B2C3D45下列命題中正確的個數(shù)是( )若直線l上有無數(shù)個點不在平面 a 內(nèi)，則la 若直線l與平面 a 平行，則l與平面 a 內(nèi)的任意一條直線都平行 如果兩條平行直線

9、中的一條直線與一個平面平行，那么另一條直線也與這個平面平行若直線l與平面 a 平行，則l與平面 a 內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點 A0個B1個C2個D3個 6 兩直線l1與l2異面，過l1作平面與l2平行，這樣的平面( )A不存在B有唯一的一個C有無數(shù)個D只有兩個7把正方形ABCD沿對角線AC折起，當以A，B，C，D四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線BD和平面ABC所成的角的大小為( )A90°B60°C45°D30° 8下列說法中不正確的是( )A空間中，一組對邊平行且相等的四邊形一定是平行四邊形B同一平面的兩條垂線一定共面C過直線上一點可以作無數(shù)條直

10、線與這條直線垂直，且這些直線都在同一個平面內(nèi)D過一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直9給出以下四個命題：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的一個平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面如果兩條直線都平行于一個平面，那么這兩條直線互相平行如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么些兩個平面互相垂直其中真命題的個數(shù)是( )A4 B3 C2 D110異面直線a，b所成的角60°，直線ac，則直線b與c所成的角的范圍為( )A30°，90° B60°，90° C30

11、76;，60°D30°，120°二、填空題11已知三棱錐PABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩相互垂直，且三個側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，則這個三棱錐的體積為 12P是ABC 所在平面 a 外一點，過P作PO平面 a，垂足是O，連PA，PB，PC(1)若PAPBPC，則O為ABC 的 心；(2)PAPB，PAPC，PCPB，則O是ABC 的 心；(3)若點P到三邊AB，BC，CA的距離相等，則O是ABC 的 心；(4)若PAPBPC，C90º，則O是AB邊的 點；J(第13題)(5)若PAPBPC，ABAC，則點O在ABC的 線上13如圖，在正三角

12、形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點，G，H，I，J分別為AF，AD，BE，DE的中點，將ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為 14直線l與平面 a 所成角為30°，laA，直線ma，則m與l所成角的取值范圍是 15棱長為1的正四面體內(nèi)有一點P，由點P向各面引垂線，垂線段長度分別為d1，d2，d3，d4，則d1d2d3d4的值為 16直二面角 alb 的棱上有一點A，在平面 a，b 內(nèi)各有一條射線AB，AC與l成45°，ABa，ACb，則BAC 三、解答題17在四面體ABCD中，ABC與DBC都是邊長為4的正三角形(1)求證：BCAD；(第17

13、題)(2)若點D到平面ABC的距離等于3，求二面角ABCD的正弦值；(3)設(shè)二面角ABCD的大小為 q，猜想 q 為何值時，四面體ABCD的體積最大(不要求證明)18 如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E為D1C1的中點，連結(jié)ED，EC，EB和DB(1)求證：平面EDB平面EBC；(2)求二面角EDBC的正切值.(第18題)19*如圖，在底面是直角梯形的四棱錐ABCD中，ADBC，ABC90°，SA面ABCD，SAABBC，AD(1)求四棱錐SABCD的體積；(2)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值(提示：延長 BA，CD 相交于點 E，則直線 S

14、E 是所求二面角的棱.)(第19題)20*斜三棱柱的一個側(cè)面的面積為10，這個側(cè)面與它所對棱的距離等于6，求這個棱柱的體積(提示：在 AA1 上取一點 P，過 P 作棱柱的截面，使 AA1 垂直于這個截面.) (第20題)第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系參考答案一、選擇題1D 解析：命題有反例，如圖中平面平面直線n，la，mb，且ln，mn，則ml，顯然平面不垂直平面 b， (第1題)故是假命題；命題顯然也是假命題，2D解析：異面直線AD與CB1角為45°3D解析：在、的條件下，m，n的位置關(guān)系不確定4D解析：利用特殊圖形正方體我們不難發(fā)現(xiàn)均不正確，故選擇答案D5B解析：學(xué)會用長

15、方體模型分析問題，A1A有無數(shù)點在平面ABCD外，但AA1與平面ABCD相交，不正確；A1B1平面ABCD，顯然A1B1不平行于BD，不正確；A1B1AB，A1B1平面ABCD，但AB平面ABCD內(nèi)，不正確；l與平面平行，則l與 a 無公共點，l與平面 a 內(nèi)的所有直線都沒有公共點，正確，應(yīng)選B (第5題)6B解析：設(shè)平面 a 過l1，且 l2a，則 l1上一定點 P 與 l2 確定一平面 b ，b 與 a 的交線l3l2，且 l3 過點 P. 又過點 P 與 l2 平行的直線只有一條，即 l3 有唯一性，所以經(jīng)過 l1 和 l3 的平面是唯一的，即過 l1 且平行于 l2 的平面是唯一的.7

16、C解析：當三棱錐DABC體積最大時，平面DACABC，取AC的中點O，則DBO是等腰直角三角形，即DBO45°8D解析：A一組對邊平行就決定了共面；B同一平面的兩條垂線互相平行，因而共面；C這些直線都在同一個平面內(nèi)即直線的垂面；D把書本的書脊垂直放在桌上就明確了9B解析：因為正確，故選B10A解析：異面直線，所成的角為60°，直線，過空間任一點 P，作直線 aa， bb， cc. 若a，b，c 共面則 b 與 c 成 30° 角，否則 與 所成的角的范圍為(30°，90°，所以直線b與c所成角的范圍為30°，90° 二、填空

17、題11解析：設(shè)三條側(cè)棱長為 a，b，c則 abS1，bcS2，caS3 三式相乘： a2 b2 c2S1S2S3， abc2 三側(cè)棱兩兩垂直， Vabc·12外，垂，內(nèi)，中，BC邊的垂直平分解析：(1)由三角形全等可證得 O 為ABC 的外心；(2)由直線和平面垂直的判定定理可證得，O 為ABC 的垂心；(3)由直線和平面垂直的判定定理可證得，O 為ABC 的內(nèi)心；(4)由三角形全等可證得，O 為 AB 邊的中點；(5)由(1)知，O 在 BC 邊的垂直平分線上，或說 O 在BAC 的平分線上1360°解析：將ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為

18、60°1430°，90°解析：直線l與平面 a 所成的30°的角為m與l所成角的最小值，當m在 a 內(nèi)適當旋轉(zhuǎn)就可以得到lm，即m與l所成角的的最大值為90°15解析：作等積變換：×(d1d2d3d4)·h，而h1660°或120°解析：不妨固定AB，則AC有兩種可能 三、解答題17證明：(1)取BC中點O，連結(jié)AO，DOABC，BCD都是邊長為4的正三角形，AOBC，DOBC，且AODOO，BC平面AOD又AD平面AOD，BCAD (第17題)解：(2)由(1)知AOD為二面角ABCD的平面角，設(shè)AODq，則過點D作DEAD，垂足為EBC平面ADO，且BC平面ABC，平面ADO平面ABC又平面ADO平面ABCAO，DE平面ABC線段DE的長為點D到平面ABC的距離，即DE3又DOBD2，在RtDEO中，sinq，故二面角ABCD的正弦值為 (3)當 q90°時，四面體ABCD的體積最大18證明：(1)在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E為D1C1的中點DD1E為等腰直角三角形，D1ED45°同理C1EC45°，即DEEC在長方體ABCD中，