高中數學A版必修五全冊

1、111正弦定理教學目標知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題。過程與方法：讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學生合情推理探索數學規(guī)律的數學思思想能力，通過三角形函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統(tǒng)一。教學重點正弦定理的探索和證明及其基本應用。教學難點已知兩邊和其中

2、一邊的對角解三角形時判斷解的個數。教學過程一.課題導入BCA如圖11-1，固定ABC的邊CB及B，使邊AC繞著頂點C轉動。 思考：C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數量關系？顯然，邊AB的長度隨著其對角C的大小的增大而增大。能否用一個等式把這種關系精確地表示出來？ 二.講授新課探索研究 在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。如圖，在RtABC中，設BC=a,AC=b,AB=c, 根據銳角三角函數中正弦函數的定義，CAB有，又, 則 從而在直角三角形ABC中， 思考1：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？（由學生討論、分析）可分為銳角

3、三角形和鈍角三角形兩種情況：如圖11-3，（1）當ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據任意角三角函數的定義，有CD=,則， C同理可得， b a從而 A c B（2）當ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。（由學生課后自己推導）思考2：還有其方法嗎？ 由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這問題。（證法二）：過點A作單位向量， 由向量的加法可得 則 CABj ，即同理，過點C作，可得 從而從上面的研探過程，可得以下定理正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即理解定理（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數為同一正數，即存在正數k使

4、，；（2）等價于，思考：正弦定理的基本作用是什么？已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。例題分析例1在中，已知，cm，解三角形。解：根據三角形內角和定理，；根據正弦定理， ；根據正弦定理， 評述：對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。練習：在中，已知下列條件解三角形。（1）， （2），例2 在中，已知cm，cm，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）。解：根據正弦定理， 因為，所以，或 當時， ， 當時，應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的

5、情形。課堂練習第4頁練習第2題。思考題：在ABC中，這個k與ABC有什么關系？三.課時小結（由學生歸納總結）（1）定理的表示形式：；或，（2）正弦定理的應用范圍：已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。四.課后作業(yè)：P10面1、2題。余弦定理（二）一、教學目標1知識與技能:掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應用。2. 過程與方法:通過引導學生分析，解答三個典型例子，使學生學會綜合運用正、余弦定理，三角函數公式及三角形有關性質求解三角形問題。3.情態(tài)與價值：通過正、余弦定理，在

6、解三角形問題時溝通了三角形的有關性質和三角函數的關系，反映了事物之間的必然聯系及一定條件下相互轉化的可能，從而從本質上反映了事物之間的內在聯系。二、教學重、難點重點：在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應用。難點：正、余弦定理與三角形的有關性質的綜合運用。四、教學設想復習引入 余弦定理及基本作用 已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊 已知三角形的三條邊就可以求出其它角。 練習1。教材P8面第2題2在ABC中，若，求角A（答案：A=120）思考。解三角形問題可以分為幾種類型？分別怎樣求解的？求解三角形一定要

7、知道一邊嗎？ （1）已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角； 例如 （先由正弦定理求B，由三角形內角和求C，再由正、余弦定理求C邊）（2）已知三角形的任意兩角及其一邊； 例如 （先由三角形內角和求角C，正弦定理求a、b）（3）已知三角形的任意兩邊及它們的夾角； 例如 （先由余弦定理求C邊，再由正、余弦定理求角A、B）（4）已知三角形的三條邊。 例如 （先由余弦定理求最大邊所對的角） 探索研究例1在中，已知下列條件解三角形（1），（一解） （2），（一解）（3），（二解） （4），（一解）（5），（無解）分析：先由可進一步求出B；則 從而歸納：（1）如果已知的A是直角或鈍角，ab，只有一解； （2

8、）如果已知的A是銳角，ab，或a=b，只有一解； （3）如果已知的A是銳角，ab，1、，有二解；2、，只有一解；3、，無解。評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當A為銳角且時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。隨堂練習1（1）在ABC中，已知，試判斷此三角形的解的情況。（2）在ABC中，若，則符合題意的b的值有_個。（3）在ABC中，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。（ 答案：（1）有兩解；（2）0；（3）例2在ABC中，已知，判斷ABC的類型。分析：由余弦定理可知 解：，即， 。隨堂練習2（1）在ABC中，已知，判斷ABC的類型。 （2）已知ABC滿足

9、條件，判斷ABC的類型。 （答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）例3在ABC中，面積為，求的值分析：可利用三角形面積定理以及正弦定理解：由得， 則=3，即，從而隨堂練習3（1）在ABC中，若，且此三角形的面積，求角C（2）在ABC中，其三邊分別為a、b、c，且三角形的面積，求角C（答案：（1）或；（2）課堂小結（1）在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；（2）三角形各種類型的判定方法；（3）三角形面積定理的應用。五、作業(yè)（課時作業(yè)）（1）在ABC中，已知，試判斷此三角形的解的情況。（2）設x、x+1、x+2是鈍角三角形的三邊長，求實數x的取值范圍。（

10、3）在ABC中，判斷ABC的形狀。（4）三角形的兩邊分別為3cm，5cm,它們所夾的角的余弦為方程的根，求這個三角形的面積。余弦定理(一)（一）教學目標1知識與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。2.過程與方法:利用向量的數量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題，3情態(tài)與價值：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數、余弦定理、向量的數量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯系與辯證統(tǒng)一。（二）教學重、難點重點：余弦定理的發(fā)現和證明過程及其基本應用；難點：勾股

11、定理在余弦定理的發(fā)現和證明過程中的作用。（三）教學設想復習舊知 運用正弦定理能解怎樣的三角形？ 已知三角形的任意兩角及其一邊， 已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角， 創(chuàng)設情景 問題1：如果已知三角形的兩邊及其夾角，根據三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形。從量化的角度來看，如何從已知的兩邊和它們的夾角求三角形的另一邊和兩個角？問題2：如何從已知兩邊和它們的夾角求三角形的另一邊？即：如圖11-4，在ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和C，求邊c ？ 探索研究聯系已經學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？用正弦定理試求，發(fā)現因A、B均未知，所以較

12、難求邊c。由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。 A如圖11-5，設，那么，則 C B 從而 (圖11-5)同理可證 余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即： 思考3：你還有其它方法證明余弦定理嗎？（兩點間距離公式，三角形方法）思考4：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？（由學生推出）從余弦定理，又可得到以下推論： 思考5：余弦定理及其推論的基本作用是什么？已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；已知三角形的三條邊就可以求出其它角。思考6：勾股定理指出了直角三角

13、形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？（由學生總結）若ABC中，C=，則，這時由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。例題分析例1在ABC中，已知，求b及A解：=cos= 求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos 解法二：sin 又 ，即 評述：解法二應注意確定A的取值范圍。思考7。在解三角形的過程中，求某一個角時既可用正弦定理也可用余弦定理，兩種方法有什么利弊呢？例2在ABC中，已知，解三角形解：由余弦定理的推論得：cos ；cos ； 隨堂練習第8頁練習第1（1）、（2）題。 課堂小結（1）余弦

14、定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的應用范圍：已知三邊求三角；已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。課后作業(yè)課后閱讀：課本第5-6頁課時作業(yè)：第11頁習題1.1A組第3題。1.2 解三角形應用舉例 第二課時一、教學目標1、能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關底部不可到達的物體高度測量的問題2、鞏固深化解三角形實際問題的一般方法，養(yǎng)成良好的研究、探索習慣。3、進一步培養(yǎng)學生學習數學、應用數學的意識及觀察、歸納、類比、概括的能力二、教學重點、難點重點：結合實際測量工具，解決生活中的測量高度問題難點：能觀察較復雜的圖形，從中找到解決問題的關鍵條件

15、三、教學過程.課題導入提問：現實生活中,人們是怎樣測量底部不可到達的建筑物高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂的海拔高度呢？今天我們就來共同探討這方面的問題.講授新課范例講解例1、AB是底部B不可到達的一個建筑物，A為建筑物的最高點，設計一種測量建筑物高度AB的方法。分析：求AB長的關鍵是先求AE，在ACE中，如能求出C點到建筑物頂部A的距離CA，再測出由C點觀察A的仰角，就可以計算出AE的長。解：選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點在同一條直線上。由在H、G兩點用測角儀器測得A的仰角分別是、，CD = a，測角儀器的高是h，那么，在ACD中，根據正弦定理可得AC = AB =

16、AE + h=AC+ h= + h例2、如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角=54，在塔底C處測得A處的俯角=50。已知鐵塔BC部分的高為27.3 m,求出山高CD(精確到1 m)師:根據已知條件,大家能設計出解題方案嗎？若在ABD中求CD，則關鍵需要求出哪條邊呢？生：需求出BD邊。師：那如何求BD邊呢？生：可首先求出AB邊，再根據BAD=求得。解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=- ,BAD =.根據正弦定理, = 所以 AB = 在RtABD中,得 BD =ABsinBAD=將測量數據代入上式,得BD = =177 (m)CD =BD -BC177-27.3

17、=150(m)答:山的高度約為150米.思考：有沒有別的解法呢？若在ACD中求CD，可先求出AC。思考如何求出AC？例3、如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛,到A處時測得公路南側遠處一山頂D在東偏南15的方向上,行駛5km后到達B處,測得此山頂在東偏南25的方向上,仰角為8,求此山的高度CD.思考1：欲求出CD，大家思考在哪個三角形中研究比較適合呢？ （在BCD中）思考2：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根據條件,易計算出哪條邊的長？ （BC邊）解:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,根據正弦定理, = , BC = 7.4524(km) CD=BCtanDBCBC

18、tan81047(m)答:山的高度約為1047米.課堂練習：課本第17頁練習第1、2、3題.課時小結利用正弦定理和余弦定理來解題時，要學會審題及根據題意畫方位圖,要懂得從所給的背景資料中進行加工、抽取主要因素，進行適當的簡化。.課后作業(yè)1、 作業(yè)：習案作業(yè)五1.2解三角形應用舉例 第三課時一、教學目標1、能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關計算角度的實際問題2、通過綜合訓練強化學生的相應能力，讓學生有效、積極、主動地參與到探究問題的過程中來，逐步讓學生自主發(fā)現規(guī)律，舉一反三。3、培養(yǎng)學生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，并激發(fā)學生的探索精神。二、教學重點、難點重點：能根

19、據正弦定理、余弦定理的特點找到已知條件和所求角的關系難點：靈活運用正弦定理和余弦定理解關于角度的問題三、教學過程.課題導入創(chuàng)設情境提問：前面我們學習了如何測量距離和高度，這些實際上都可轉化已知三角形的一些邊和角求其余邊的問題。然而在實際的航海生活中,人們又會遇到新的問題，在浩瀚無垠的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測量問題。.講授新課范例講解例1、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5 n mile后到達海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0 n mile后達到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達C,此船應該沿怎樣的方

20、向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精確到0.01n mile)學生看圖思考并講述解題思路分析：首先根據三角形的內角和定理求出AC邊所對的角ABC，即可用余弦定理算出AC邊，再根據正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角CAB。解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根據余弦定理，AC= = 113.15根據正弦定理, = sinCAB = = 0.3255, 所以 CAB =19.0, 75- CAB =56.0答:此船應該沿北偏東56.1的方向航行,需要航行113.15n mile例2、在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進30m，至點C處測得頂端A

21、的仰角為2，再繼續(xù)前進10m至D點，測得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4， = 。 因為 sin4=2sin2cos2cos2=,得 2=30 =15， 在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m解法二：（設方程來求解）設DE= x，AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 兩式相減，得x=5,h=15 在 RtACE中,tan2=2=30,=15 答：所求角為15，建筑物高度為15m解

22、法三：（用倍角公式求解）設建筑物高為AE=8，由題意，得BAC=， CAD=2， AC = BC =30m , AD = CD =10m在RtACE中，sin2=- 在RtADE中，sin4=, - 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m例3、某巡邏艇在A處發(fā)現北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？師：你能根據題意畫出方位圖？教師啟發(fā)學生做圖建立數學模型分析：這道題的關鍵是

23、計算出三角形的各邊，即需要引入時間這個參變量。解：如圖，設該巡邏艇沿AB方向經過x小時后在B處追上走私船，則CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB=+= (14x) = 9+ (10x) -2910xcos化簡得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)所以BC = 10x =15,AB =14x =21,又因為sinBAC =BAC =38,或BAC =141（鈍角不合題意，舍去），38+=83答：巡邏艇應該沿北偏東83方向去追，經過1.4小時才追趕上該走私船.評注：在求解三角形中，我們可以根據正弦函數的定義得到兩個解，但作為有關現實生活的應用題，必須檢驗上述所求的解是否符合

24、實際意義，從而得出實際問題的解.課堂練習課本第16頁練習.課時小結解三角形的應用題時，通常會遇到兩種情況：（1）已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解。.課后作業(yè) 習案作業(yè)六1.2解三角形應用舉例 第四課時一、教學目標1、能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法進一步解決有關三角形的問題, 掌握三角形的面積公式的簡單推導和應用2、本節(jié)課補充了三角形新的面積公式，巧妙設疑，引導學生證明，同時總結出該公式的特點，循序漸進地具體運用于相關的題型。另外本節(jié)課的

25、證明題體現了前面所學知識的生動運用，教師要放手讓學生摸索，使學生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點，能不拘一格，一題多解。只要學生自行掌握了兩定理的特點，就能很快開闊思維，有利地進一步突破難點。3、讓學生進一步鞏固所學的知識，加深對所學定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進一步培養(yǎng)學生研究和發(fā)現能力，讓學生在探究中體驗愉悅的成功體驗二、教學重點、難點重點：推導三角形的面積公式并解決簡單的相關題目難點：利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題三、教學過程.課題導入創(chuàng)設情境師：以前我們就已經接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學習它的另一個表達公式。在ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為h

26、、h、h，那么它們如何用已知邊和角表示？生：h=bsinC=csinB h=csinA=asinC h=asinB=bsinaA師：根據以前學過的三角形面積公式S=ah,應用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推導出下面的三角形面積公式，S=absinC，大家能推出其它的幾個公式嗎？生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB.講授新課范例講解例1、在ABC中，根據下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm）（1）已知a=14 cm, c=24 cm, B=150;（2）已知B=60, C=45, b=4 cm;（3）已知三邊的長分別為a=3 cm,b=4 cm, c=6 cm

27、分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關系，我們可以應用解三角形面積的知識，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。解：略例2、如圖,在某市進行城市環(huán)境建設中,要把一個三角形的區(qū)域改造成室內公園,經過測量得到這個三角形區(qū)域的三條邊長分別為68m,88m,127m,這個區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm）？思考：你能把這一實際問題化歸為一道數學題目嗎？本題可轉化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。解：設a=68m,b=88m,c=127m,根據余弦定理的推論，cosB= =0.7532sinB=0.6578 應

28、用S=acsinB S 681270.65782840.38(m)答：這個區(qū)域的面積是2840.38m。變式練習1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面積S提示：解有關已知兩邊和其中一邊對角的問題，注重分情況討論解的個數。答案：a=6,S=9;a=12,S=18例3、在ABC中，求證：（1）（2）+=2（bccosA+cacosB+abcosC）分析：這是一道關于三角形邊角關系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的特點，用正弦定理來證明證明：（1）根據正弦定理，可設 = = = k 顯然 k0，所以 左邊=右邊（2）根據余弦定理的推論， 右邊=2(bc+ca+ab) =(b

29、+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c) =a+b+c=左邊變式練習2：判斷滿足sinC =條件的三角形形狀提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊” （解略）直角三角形.課堂練習 課本第18頁練習第1、2、3題.課時小結利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉化為只含邊的式子或只含角的三角函數式，然后化簡并考察邊或角的關系，從而確定三角形的形狀。特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以兩者混用。.課后作業(yè) 習案作業(yè)七1.2解三角形應用舉例 第一課時一、教學目標1、能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離的實際問題，了解常用的測量相關術語2、激發(fā)學生學習

30、數學的興趣,并體會數學的應用價值；同時培養(yǎng)學生運用圖形、數學符號表達題意和應用轉化思想解決數學問題的能力二、教學重點、難點教學重點：由實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解教學難點：根據題意建立數學模型，畫出示意圖三、教學設想1、復習舊知復習提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？2、設置情境請學生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多

31、可供選擇的測量方案，比如可以應用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實施。如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學習正弦定理、余弦定理在科學實踐中的重要應用，首先研究如何測量距離。3、 新課講授（1）解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求轉換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數學模型來求解(2)例1、如圖，設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側，在

32、所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m，BAC=，ACB=。求A、B兩點的距離(精確到0.1m)提問1：ABC中，根據已知的邊和對應角，運用哪個定理比較適當？提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學生回答。分析：這是一道關于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據三角形的內角和定理很容易根據兩個已知角算出AC的對角，應用正弦定理算出AB邊。解：根據正弦定理，得 = AB = = = = 65.7(m)答:A、B兩點間的距離為65.7米變式練習：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東3

33、0，燈塔B在觀察站C南偏東60，則A、B之間的距離為多少？老師指導學生畫圖，建立數學模型。 解略：a km例2、如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量A、B兩點間距離的方法。分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測量問題。首先需要構造三角形，所以需要確定C、D兩點。根據正弦定理中已知三角形的任意兩個內角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計算出AB的距離。解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測得CD=a，并且在C、D兩點分別測得BCA=，ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，應用正弦定理得 AC = = BC =

34、 = 計算出AC和BC后，再在ABC中，應用余弦定理計算出AB兩點間的距離 AB = 分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進行對比、分析。變式訓練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點，測得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20評注：可見，在研究三角形時，靈活根據兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結合題目條件來選擇最佳的計算方式。4、 學生閱讀課本4頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應例子。5、 課堂練習：課本第14頁練習第1、2題6

35、、 歸納總結解斜三角形應用題的一般步驟：（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖（2）建模：根據已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解斜三角形的數學模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數學模型的解（4）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解四、課后作業(yè)1、 課本第22頁第1、2、3題2、 思考題：某人在M汽車站的北偏西20的方向上的A處，觀察到點C處有一輛汽車沿公路向M站行駛。公路的走向是M站的北偏東40。開始時，汽車到A的距離為31千米，汽車前進20千米后，到A的距離縮短了10千米。問汽車還需行駛多遠，才

36、能到達M汽車站？解：由題設，畫出示意圖，設汽車前進20千米后到達B處。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得cosC=,則sinC =1- cosC =, sinC =,所以 sinMAC = sin（120-C）= sin120cosC - cos120sinC =在MAC中，由正弦定理得 MC =35從而有MB= MC-BC=15答：汽車還需要行駛15千米才能到達M汽車站。作業(yè)：習案作業(yè)三2.1 數列的概念與簡單表示法（二）教學要求：了解數列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；會根據數列的遞推公式寫出數列的前幾項；理解數列的前n項和與的關系.教學重點：根據數列的

37、遞推公式寫出數列的前幾項.教學難點：理解遞推公式與通項公式的關系.教學過程：一、復習：1).以下四個數中,是數列中的一項的是 ( A )A.380 B.39 C.32 D.182).設數列為則是該數列的 ( C )A.第9項 B. 第10項 C. 第11項 D. 第12項 3).數列的一個通項公式為4）、圖2.1-5中的三角形稱為希爾賓斯基（Sierpinski）三角形。在下圖4個三角形中，著色三角形的個數依次構成一個數列的前4項，請寫出這個數列的一個通項公式，并在直角坐標系中畫出它的圖象。二、探究新知（一）、觀察以下數列，并寫出其通項公式： 思 考： 除了用通項公式外，還有什么辦法可以確定這

38、些數列的每一項？（二）定義：已知數列的第一項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，這個公式就叫做這個數列的遞推公式.練習: 運用遞推公式確定一個數列的通項： 例1:已知數列的第一項是1,以后的各項由公式給出,寫出這個數列的前五項解:練習: 已知數列的前n項和為:求數列的通項公式.例2.已知,求.解法一: - 觀察法解法二: -累加法例3:已知,求.解法一: 解法二: -迭乘法 三、課堂小結： 1.遞推公式的概念；2.遞推公式與數列的通項公式的區(qū)別是：(1)通項公式反映的是項與項數之間的關系，而遞推公式反映的是相臨兩項(或n項)之間的關系.(2)對于通項公式

39、,只要將公式中的n依次取即可得到相應的項，而遞推公式則要已知首項（或前n項），才可依次求出其他項.3用遞推公式求通項公式的方法：觀察法、累加法、迭乘法.四、作業(yè)1.閱讀教材P30-33面2. 習案作業(yè)十21數列的概念與簡單表示法（一）一、教學要求：理解數列及其有關概念；了解數列和函數之間的關系；了解數列的通項公式，并會用通項公式寫出數列的任意一項；對于比較簡單的數列，會根據其前幾項的特征寫出它的一個通項公式.二、教學重點、教學難點：重點：數列及其有關概念，通項公式及其應用.難點：根據一些數列的前幾項，抽象、歸納出數列的通項公式.三、教學過程：導入新課 “有人說，大自然是懂數學的”“樹木的，。”

40、， （一）、復習準備：1. 在必修課本中，我們在講利用二分法求方程的近似解時，曾跟大家說過這樣一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，即如果將初始量看成“1”，取其一半剩“”，再取一半還剩“”，、，如此下去，即得到1，、2. 生活中的三角形數、正方形數. 閱讀教材提問：這些數有什么規(guī)律？與它所表示的圖形的序號有什么關系？（二）、講授新課：1. 教學數列及其有關概念：（1）三角形數：1，3，6，10，···（2）正方形數：1，4，9，16，···（2）1，2，3，4的倒數排列成的一列數：（3）-1的1次冪，2次冪，3次冪，排列成一列數

41、：-1，1，-1，1，-1，。（4）無窮多個1排列成的一列數：1，1，1，1，。有什么共同特點？ 1. 都是一列數；2. 都有一定的順序 數列的概念：按照一定順序排列著的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項.辯析數列的概念：（1）“1，2，3，4，5”與“5，4，3，2，1”是同一個數列嗎？與“1，3，2，4，5”呢？ -數列的有序性（2）數列中的數可以重復嗎？（3）數列與集合有什么區(qū)別？集合講究：無序性、互異性、確定性，數列講究：有序性、可重復性、確定性。 數列中每一個數叫數列的項，排在第一位的數稱為這個數列的第1項（或首項），排在第二位的數稱為這個數列的第2項、排在第位的數稱為

42、這個數列的第項. 數列的一般形式可以寫成，簡記為. 數列的分類：(1)按項數分：有窮數列與無窮數列，(2)按項之間的大小關系：遞增數列、遞減數列、常數列與擺動數列. 數列中的數與它的序號有怎樣的關系？ 序號可以看作自變量，數列中的數可以看作隨著變動的量。把數列看作函數。 即：數列可看作一個定義域是正整數集或它的有限子集的函數，當自變量從小到大依次取值對應的一列函數值。反過來，對于函數，如果有意義，可以得到一個數列： 如果數列的第n項與項數之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式。函數數列（特殊的函數）定義域R或R的子集或它的子集解析式圖象點的集合一些離散的點的集合2

43、應用舉例例1、寫出下列數列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數： （1） （2） 2，0，2，0練習：根據下面數列的前幾項的值，寫出數列的一個通項公式：(1) 3, 5, 7, 9, 11,； (2) , , , , , ；(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ；(5) 2, 6, 18, 54, 162, .例2. 寫出數列的一個通項公式，并判斷它的增減性。思考：是不是所有的數列都存在通項公式？根據數列的前幾項寫出的通項公式是唯一的嗎？例3根據下面數列的通項公式，寫出前五項：（1） （2）例4求數列中的最大項。例5已

44、知數列的通項公式為，求是這個數列的第幾項？三. 小結：數列及其基本概念，數列通項公式及其應用.四、鞏固練習：1. 練習：P31面1、2、題、2. 作業(yè)：習案九。2.2等差數列（二）一、教學目標1、掌握判斷數列是否為等差數列常用的方法；2、進一步熟練掌握等差數列的通項公式、性質及應用3、進一步熟練掌握等差數列的通項公式、性質及應用二、教學重點、難點重點：等差數列的通項公式、性質及應用難點：靈活應用等差數列的定義及性質解決一些相關問題三、教學過程（一）、復習1等差數列的定義2等差數列的通項公式： (或 =pn+q (p、q是常數)3有幾種方法可以計算公差d: d= d= d=4. an是首項a1=

45、1, 公差d=3的等差數列, 若an =2005,則n =( ) A. 667 B. 668 C. 669 D. 6705. 在3與27之間插入7個數, 使它們成為等差數列,則插入的7個數的第四個數是( ) A. 18 B. 9 C. 12 D. 15 二、新課1性質：在等差數列an中,若m + n=p + q, 則am + an = ap + aq 特別地,若m+n=2p, 則am+an=2ap例1. 在等差數列an中 (1) 若a5=a, a10=b, 求a15; (2) 若a3+a8=m, 求a5+a6; (3) 若a5=6, a8=15, 求a14; (4) 若a1+a2+a5=30,

46、 a6+a7+a10=80,求a11+a12+a15.解: (1) 2a10=a5+a15,即2b=a+a15 , a15=2ba;(2) 5+6=3+8=11,a5+a6=a3+a=m(3) a8=a5+(83)d, 即15=6+3d, d=3，從而a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33 2判斷數列是否為等差數列的常用方法：（1） 定義法: 證明an-an-1=d (常數)例2. 已知數列an的前n項和為Sn=3n2-2n, 求證數列an成等差數列,并求其首項、公差、通項公式.解: 當n=1時,a1=S1=32=1; 當n2時,an=SnSn1=3n22n 3(n1)22(

47、n1)=6n5; n=1時a1滿足an=6n5,an=6n5 首項a1=1,anan1=6(常數) 數列an成等差數列且公差為6.（2）中項法: 利用中項公式, 若2b=a+c,則a, b, c成等差數列.（3）通項公式法: 等差數列的通項公式是關于n的一次函數.例3. 已知數列的通項公式為其中p、q為常數，且p0，那么這個數列一定是等差數列嗎？分析：判定是不是等差數列，可以利用等差數列的定義，也就是看（n1）是不是一個與n無關的常數。解：取數列中的任意相鄰兩項（n1），求差得 它是一個與n無關的數.所以是等差數列。課本左邊“旁注”：這個等差數列的首項與公差分別是多少？這個數列的首項。由此我們

48、可以知道對于通項公式是形如的數列，一定是等差數列，一次項系數p就是這個等差數列的公差，首項是p+q.如果一個數列的通項公式是關于正整數n的一次型函數，那么這個數列必定是等差數列。探究引導學生動手畫圖研究完成以下探究：在直角坐標系中，畫出通項公式為的數列的圖象。這個圖象有什么特點？在同一個直角坐標系中，畫出函數y=3x-5的圖象，你發(fā)現了什么？據此說一說等差數列與一次函數y=px+q的圖象之間有什么關系。分析：n為正整數，當n取1，2，3，時，對應的可以利用通項公式求出。經過描點知道該圖象是均勻分布的一群孤立點；畫出函數y=3x-5的圖象一條直線后發(fā)現數列的圖象（點）在直線上，數列的圖象是改一次

49、函數當x在正整數范圍內取值時相應的點的集合。于是可以得出結論：等差數列的圖象是一次函數y=px+q的圖象的一個子集，是y=px+q定義在正整數集上對應的點的集合。該處還可以引導學生從等差數列中的p的幾何意義去探究。三、課堂小結： 1. 等差數列的性質； 2. 判斷數列是否為等差數列常用的方法四、課外作業(yè)1.閱讀教材第110114頁； 2.教材第39頁練習第4、5題作業(yè)：習案作業(yè)十二22 等差數列(一)一、教學目標1知識與技能:通過實例，理解等差數列的概念；探索并掌握等差數列的通項公式；能在具體的問題情境中，發(fā)現數列的等差關系并能用有關知識解決相應的問題； 2. 過程與方法:讓學生對日常生活中實際問題分析，引導學生通過觀察，推導，歸納抽象出等差數列的概念；由學生建立等差數列模型用相關知識解決一些簡單的問題，進行等差數列通項公式應用的實踐操作并在操作過程中二、教學重、難點重點：理解等差數列的概念及其性質，探索并掌握等差數列的通項公式； 難點：概括通項公式推導過程中體現出的數學思想方法。三、教學設想創(chuàng)設