中考復(fù)習(xí)：“將軍飲馬”類題型大全

1、“將軍飲馬類題型大全一求線段和最值1 一兩定一動型例1:如圖， AML EF, BNL EF,垂足為 M N, MN= 12m AMk 5m, BN= 4m P 是 EF上任意一點，那么PA+ PB的最小值是mA分析：這是最根本的將軍飲馬問題，A, B是定點，P是動點，屬于兩定一動將軍飲馬 型，根據(jù)常見的“定點定線作對稱，可作點A關(guān)于EF的對稱點A,根據(jù)兩 點之間，線段最短，連接 A B,此時A P+ PB即為A B,最短而要求A B, 那么需要構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決.解答：作點A關(guān)于EF的對稱點A,過點A作A C丄BN的延長線于C.易知A MAMk NCk 5m BC= 9m A

2、C= MN= 12m 在 Rt A BC 中，A B= 15m,即 PA+ PB的最小值是15mAKB紅/* yE _X_F:.V c變式：如圖，在邊長為2的正三角形ABC中, E, F, G為各邊中點，P為線段EF上一 動點，那么 BPG周長的最小值為 分析：考慮到BG為定值是1,那么厶BPG的周長最小轉(zhuǎn)化為求BP+ PG的最小值，又是 兩 定一動的將軍飲馬型，考慮作點G關(guān)于EF的對稱點，這里有些同學(xué)可能看不出 來到底是哪個點，我們不妨連接 AG那么AGLBC再連接EG根據(jù)“直角三角形 斜邊中線等于斜邊的一半，可得AE= EG那么點A就是點G關(guān)于EF的對稱點.最 后計算周長時，別忘了加上 B

3、G的長度.解答：連接 AG 易知 PG= PA BP+ PG= BP+ PA 當(dāng) B，P, A三點共線時，BP+ PG= BA, 此時最短，B心2，BG= 1,即厶BPG周長最短為3.2二一定兩動型例2:如圖，在 ABC中，AB= AO5，D為BC中點，AD= 5，P為AD上任意一點，E 為AC上任意一點，求PC+ PE的最小值.分析：這里的點C是定點，P, E是動點，屬于一定兩動的將軍飲馬模型，由于 ABC 是等腰三角形，AD是BC中線，那么AD垂直平分BC點C關(guān)于AD的對稱點是點B, PC+ PE= PB+ PE,顯然當(dāng)B, P，E三點共線時，BE更短.但此時還不是最短， 根據(jù)“垂線段最短

4、只有當(dāng)BE!AC時，BE最短.求BE時，用面積法即可. 解答：作BE!AC交于點E,交AD于點P,易知ADLBC，BD= 3，BO6，貝U AD- BO BE- AC,4X 6= BE- 5,BE= 4.8A/ILABDC變式：如圖，BD平分/ ABC E, F分別為線段BC, BD上的動點，A吐8, ABC的周長 為20,求EF+ CF的最小值.分析：這里的點C是定點，F(xiàn), E是動點，屬于一定兩動的將軍飲馬模型，我們習(xí)慣于“定點定線作對稱，但這題這樣做，會出現(xiàn)問題.因為點 C的對稱點C必然 在AB上，但由于BC長度未知，BC長度也未知，那么C相對的也是不確定點， 因此我們這里可以嘗試作動點

5、E關(guān)于BD的對稱點.解答：如圖，作點E關(guān)于BD的對稱點E,連接E F,那么EF+ CF= E F+ CF,當(dāng)E, F, C三點共線時，E F+ CF= E C,此時較短.過點C作CE 丄AB于E, 當(dāng)點E與點E重合時，EC最短，EC為AB邊上的高，E C- 5.B EC三兩定兩動型例3:如圖，/ A0圧30, OC= 5, OD= 12,點E, F分別是射線 OA 0B上的動點,求CF+ EF+ DE的最小值.D B分析: 這里的點C,點D是定點，F(xiàn), E是動點，屬于兩定兩動的將軍飲馬模型，依舊 可以用“定點定線作對稱來考慮作點C關(guān)于0B的對稱點，點D關(guān)于0A的 對稱點.解答:作點C關(guān)于0B的

6、對稱點C,點D關(guān)于0A的對稱點D,連接CD.CF +EF+ DE= C F+ EF + D E,當(dāng) C , F, E , D 四點共線時，CF+ EF+ DE=C D 最短.易知/ D 0C = 90, 0D = 12, 0C = 5, C D = 13, CF+ EF+ DE最小值為13.B變式：原創(chuàng)題如圖，斯諾克比賽桌面 AB寬1.78m,白球E距AD邊0.22m,距CD 邊1.4m，有一顆紅球F緊貼BC邊，且距離CD邊0.1m，假設(shè)要使白球E經(jīng)過邊AD， DC，兩次反彈擊中紅球F,求白球E運(yùn)動路線的總長度.注DEOBFC分析：此題中，點E和點F是定點，兩次反彈的點雖然未知，但我們可以根據(jù)前幾題 的經(jīng)驗作出，即分別作點E關(guān)于AD邊的對稱點E,作點F關(guān)于CD邊的對稱點 F,即可畫出白球E的運(yùn)動路線，化歸為 兩定兩動將軍飲馬型 解答：作點E關(guān)于AD邊的對稱點E,作點F關(guān)于CD邊的對稱點F,連接E F, 交AD于點G交CD于點H,那么運(yùn)動路線長為EGb G出HF長度之和，即E F 長，延長 EE 交 BC于 N,交 AD于 M 易知 E M= EM