幾類特殊非齊次線性微分方程的特殊解（Word）

1、目 錄第一章 引言2第二章 一階非齊次線性微分方程3第三章 n階常系數(shù)齊次線性微分方程5第四章 n階常系數(shù)非齊次線性微分方程71.常數(shù)變易法72.待定系數(shù)法93.微分算子法134.拉普拉斯變換法18參考文獻(xiàn)21致謝210 / 29幾類特殊非齊次線性微分方程的特殊解法周園園數(shù)學(xué)與信息學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2004級 指導(dǎo)教師：李中平摘 要：本文主要闡述了求解常系數(shù)非齊次線性微分方程的四種方法：常數(shù)變易法、待定系數(shù)法、微分算子法、拉普拉斯變換法。常數(shù)變易法是求解微分方程的一種較為完善的方法，在其發(fā)展中起著重要的作用而其也被廣泛的應(yīng)用到了動力系統(tǒng)。當(dāng)具有某些特殊形狀，可用待定系數(shù)法和拉普拉斯變換法來

2、求解。它們的特點是不需要通過積分而用代數(shù)方法來可求得非齊次線性方程的特解,即將求解微分方程的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來處理,因而比較簡便。微分算子法實際上是一種直接靈活運用的公式法。關(guān)鍵字：線性；非齊次；通解；特解；微分算子；拉普拉斯變換Special solution of special categories of non-homogeneous linear differential equations Zhou Yuanyuan College of Mathematics and Information, Mathematics and Applied Mathematics, Grade

3、 2004, Instructor: Li ZhongpingAbstract: This article mainly focuses on four methods of solving non- homogenous linear differential equation with constant coefficients: method of variation of constant; method of undetermined coefficient; method of Laplace transformation and method of differential op

4、erator. The method of variation of constant is more perfect method in solving differential equation .Not only is it plays the vital role in its development, but also widely applied in dynamic system. When f(t) have some special shapes, we can use the method of undetermined coefficient and the method

5、 of Laplace transformation to solve it. Their characteristic is that it does not need to use integral but use algebraic method to obtain the particular solution of non-homogeneous linear differential equation .It can convert the problem of solving differential equations to the problem of solving alg

6、ebra equation, and then becomes simpler. The method of differential operator is actually a kind of formula method used directly and flexibly. Keyword: linear; non-homogenous; general solution; particular solution; differential operator; Laplace transform第一章 引言微分方程已有悠久的歷史，而且繼續(xù)保持著進(jìn)一步發(fā)展的活力，它是各種精確自然科學(xué)中表

7、達(dá)基本定律和各種問題的根本工具之一。換句話說，只要列出了相應(yīng)的微分方程，并且有了解(數(shù)值得或定性地)這種方程的方法，人們就得以預(yù)見到在已知條件下這種或那種運動過程將怎樣進(jìn)行或者為了實現(xiàn)人們所希望的某種運動應(yīng)該怎樣設(shè)計必要的裝置和條件等等，總之，微分方程成為數(shù)學(xué)聯(lián)系實際的主要途徑之一。早在十七至十八世紀(jì)，牛頓采用數(shù)學(xué)方法研究二體問題，其中需要求解的運動方程是微分方程，他以非凡的積分技巧解決了它，從而在理論上證實了地球繞太陽地運動軌跡是橢圓，澄清了當(dāng)時關(guān)于地球?qū)嫐柕囊环N悲觀觀點。后來，許多著名的數(shù)學(xué)家，例如伯努里(家族)、歐拉、高斯、拉格朗日和拉普拉斯等都遵循歷史傳統(tǒng)，把數(shù)學(xué)研究結(jié)合于當(dāng)時許

8、多重大的實際力學(xué)問題，在這些問題中通常都離不開微分方程的求解。其中由拉格朗日提出了常數(shù)變易法和拉普拉斯提出了拉普拉斯變換法在求解常系數(shù)非齊次線性微分方程發(fā)揮了很大的作用。在海王星被實際觀測之先，這顆行星的存在就被天文學(xué)家用微分方程的求法推算出來了。十九世紀(jì)在天體力學(xué)上的主要成就歸功于拉格朗日對線性常微分方程的工作?，F(xiàn)今不僅專業(yè)研究微分方程的數(shù)學(xué)工作者愈加愈多，而且力學(xué)、電子技術(shù)、自動控制、星際航行等各個學(xué)科或尖端技術(shù)領(lǐng)域的研究者也都以它為必要的工具了。另外，現(xiàn)代的(最優(yōu))控制理論、微分對策論以及泛函微分方程的基本思想都源于微分方程。既然微分方程在各個領(lǐng)域都用到，那對于怎樣求解微分方程也是極其重

9、要的。關(guān)于線性微分方程的通解問題從理論上說可以認(rèn)為已經(jīng)解決，但是求方程通解的方法沒有具體給出。事實上，對于一般的線性方程是沒有普遍解決的，但是對于常系數(shù)線性方程以及可以轉(zhuǎn)化成這一類的方程的求解是能夠徹底解決的。對于某些特殊的非齊次線性方程也可以通過代數(shù)運算和微分運算來求解它的通解。振動是日常生活和工作中常見的一種運動形式，例如鐘擺的往復(fù)擺動，彈簧的振動，樂器中弦線的振動，機床主軸的振動，電路中的電磁振蕩等等，振動問題的研究在一定條件下可以歸結(jié)為常系數(shù)線性微分方程的問題來討論，常系數(shù)非齊次線性微分方程也經(jīng)常出現(xiàn)，因此討論常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法也是很有必要的。本文主要討論了求解常系數(shù)非齊次

10、線性方程的四種解法：常數(shù)變易法、待定系數(shù)法、微分算子法和拉普拉斯變換法。早在十八世紀(jì)下半葉，拉格朗日就對求解線性微分方程做出了巨大貢獻(xiàn)，提出了常數(shù)變易法。當(dāng)對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解已經(jīng)求出時，可以把通解中的常數(shù)用函數(shù)代替，這樣就可以求出非齊次線性微分方程的特解，進(jìn)而求出非齊次線性微分方程的通解。用待定系數(shù)法求常系數(shù)非齊次線性方程特解的步驟固定，而且求解過程中僅用到代數(shù)運算和微分分析運算而不需要通過積分分析運算，因而實際上是一種固定模式法，但因只適合于非齊次是多項式、指數(shù)函數(shù)、正余函數(shù)這些基本初等函數(shù)及其乘積的線性組合的情況，因而有一定的局限性。拉普拉斯變換法實質(zhì)上是把常系數(shù)非齊次線性微分方

11、程的初值問題通過對方程施行拉普拉斯變換轉(zhuǎn)化為復(fù)變數(shù)的代數(shù)方程的求解問題，然后再利用拉氏變換或反變換求得相應(yīng)方程得解。但因并非任意函數(shù)都有象函數(shù)，而知其也有一定得局限性。用微分算子法求常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的過程中除了用到了代數(shù)運算、微分積分分析外，還用到微分算子多項式，分式運算公式，因而實際上實一種直接靈活運用的公式法。它在用待定系數(shù)法求解常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的基礎(chǔ)上擴(kuò)大了求常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的范圍?？傊?，不同類型的方程可用不同方法求解的，某些同一類型的方程也可用不同的方法求解，每種方法各有千秋?，F(xiàn)在簡單介紹全文的內(nèi)容：第一部分講解了一階非齊次線性微分方程的解法，并提出

12、了常數(shù)變易法的思想。第二部分簡單介紹了階常系數(shù)齊次線性微分方程基本解組的求法。第三部分詳細(xì)講解了求解階常系數(shù)非齊次線性微分方程的四種解法：常數(shù)變易法，待定系數(shù)法，微分算子法、拉普拉斯變換法。第二章 一階非齊次線性微分方程 對于特殊的非齊次線性微分方程，我們首先從最簡單的一階非齊次線性方程討論。 （2.1） (2.2） 現(xiàn)在來討論（2.1）通解的求法，不難看出（2.2）是（2.1）的特殊情形，兩者既有聯(lián)系又有差別，因此可以設(shè)想它們的解應(yīng)該有一定的聯(lián)系而又有差別。對于（2.2）我們可以用變量分離法（見參考文獻(xiàn)1）求得它的通解為 （2.3）我們試圖利用方程（2.2）的通解（2.3）的形式去求方程（2

13、.1）的通解，顯然如果（2.3）中恒為常數(shù)，它必不可能是（2.1）的解，我們設(shè)想：在（2.3）中將常數(shù)變易為的待定函數(shù)，使它滿足方程（2.1），從而求出，為此，令 （2.4） 微分之，得到 （2.5）以（2.4），（2.5） 代入（2.1）中，得到 即 ，積分后得到 （2.6）這里是任意常數(shù)。將（2.6）代入（2.3）中得到 ， （2.7）這就是方程（2.1）的通解。 這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，我們通常稱為常數(shù)變易法，以后我們還要用到這種方法。例1 求方程的通解，這里為常數(shù)。解 （2.8）首先，求齊線性方程的通解，從得到齊線性方程的通解，其次應(yīng)用常數(shù)變易法求非齊線性方程的通解。為此，把看

14、成為的待定函數(shù)，即 ， （2.9）微分之，得到 。 （2.10）以（2.9），（2.10）代入（2.8），得到，積分之，求得 。因此，以所求的代入（2.9），即得原方程的通解，這里是任意常數(shù)。第三章階常系數(shù)齊次線性微分方程 對于階齊次線性微分方程的通解的結(jié)構(gòu)問題，從理論上可以認(rèn)為已經(jīng)解決了，但是求方程的通解的方法還沒有具體給出。事實上，對于一般的線性方程是沒有普遍的通解，但對于階常系數(shù)齊次線性方程通解的求法，我們是能夠徹底解決的。 對于階常系數(shù)齊次線性方程的基本解組的求法，我們可以通過歐拉待定指數(shù)函數(shù)法（見參考文獻(xiàn)1）求得，這里就不推導(dǎo)只給出結(jié)論。 （3.1）其中為常數(shù)。（3.1）的特征方程為

15、 （3.2）（3.2）的根就稱為特征根。一、特征根是單根的情形 設(shè)是特征方程(3.2)的個彼此不相等的根，則相應(yīng)的方程（3.1）有如下個解： （3.3）如果（）均為實數(shù)，則（3.3）是（3.1）的個線性無關(guān)的實值解，而方程（3.1）的通解可以表示為，其中為任意數(shù)。如果特征方程有復(fù)根，則方程（3.1）的兩個實值解： 二、 特征根有重根的情形設(shè)特征方程（3.2）的根的重數(shù)依次為且則方程（3.1）有對應(yīng)的解： 第四章 階常系數(shù)非齊次線性微分方程 知道了階常系數(shù)齊線性微分方程的通解，以此為基礎(chǔ)就不難解決階非齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)問題了。 （4.1）一 、常數(shù)變易法 易見方程 (3.1)是(4.1)

16、的特殊情形，我們指出兩者之間解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)有著十分密切的聯(lián)系，首先容易直接驗證如下兩個簡單性質(zhì)：性質(zhì)1 如果是方程(3.1)的解，而是方程(3.1)的解，則也是方程(4.1)的解。 性質(zhì)2 方程(4.1)的任意兩個解只差必為方程(3.1)的解。其次，我們有下面定理： 定理 設(shè),為方程(3.1)的基本解組，而是方程(4.1)的某一解，則方程(4.1)的通解可表為 ， (4.2) 其中為任意常數(shù)，而且這個通解(4.2 )包括了方程(4.1)的所有解。定理告訴我們，要解非齊次線性方程，只需要知道它的一個解和對應(yīng)的齊次線性方程的基本解組。我們進(jìn)一步指出，只要知道對應(yīng)的齊次線性方程的基本解組就可以利用常

17、數(shù)變易法求得非齊次方程的解，正如第一章所做的那樣，不過這里稍微復(fù)雜一些而已，具體過程如下： 設(shè)是方程（2.1）的基本解組，因而 （4.3）為(3.1)的通解，把其中的任意常數(shù)看作的待定函數(shù).這時（3.3）變成 ， （4.4）將它代入方程（4.1）就得到必須滿足的一個方程，但待定函數(shù)有個即，為了確定它們，必須再找出個限制條件，在理論上，這些另加的條件可以任意給出，其法無窮，當(dāng)然以運算上簡便為宜，為此，我們將按下面的方法來給出這個條件。對微分等式(4.4)得 +，令 得到 ， 對微分并像上面一樣做法，令含有函數(shù)的部分等于零，我們有得到一個條件 和表達(dá)式 。 繼續(xù)上面做法,在最后一次得到第個條件：

18、和表達(dá)式。 最后，對微分得到 。 現(xiàn)將（4.4），,，代入（4.1），并注意到是（3.1）的解，得 。 這樣，我們得到了含個未知數(shù)函數(shù)的個方程，,.，它們組成一個線性代數(shù)方程組,其系數(shù)行列式就是，它不等于零，因而方程組的解就可唯一確定,設(shè)求得 積分得 這里是任意常數(shù),將所得的表達(dá)式代入（4.4）即得方程(4.1)的解 顯然，它并且是方程(4.1)的通解,為了得到方程的一個解,只需給常數(shù)以確定的值。例2 求方程的通解,已知它的對應(yīng)齊線性方程的基本解。解 應(yīng)用常數(shù)變易法,令 將它代入方程.則可得決定和的兩個方程： 解得，。由此 ，。于是原方程的通解為，其中為任意常數(shù).。二、 待定系數(shù)法本來，有了前

19、面討論的結(jié)果，這一問題已經(jīng)可以解決了，因為可以求出對應(yīng)齊線性方程（3.1）的基本解組，再用常數(shù)變易法，求得方程（4.1）的一個特解，這樣根據(jù)定理即可寫出方程（4.1）的通解表達(dá)式在利用初值條件確定通解中的任意常數(shù)，就可得到方程的滿足初識條件的解。但是正如大家所看到的，通過上述步驟求解往往是比較繁瑣的，而且必須經(jīng)過積分運算。下面介紹具有某些特殊形狀時所適用的一些方法。比如待定系數(shù)法，它的特點是不需要通過積分而用代數(shù)方法即可求得非齊次線性方程的特解，即將求解微分方程的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來處理，因而比較簡便。（一） 設(shè),其中及為實常數(shù),那么方程 (4.1)有形如 （4.7） 的特解,其中為特征方程的

20、根的重數(shù)(單根相當(dāng)于；當(dāng)不是特征根時,取),而是待定常數(shù),可以通過比較系數(shù)來確定。1 如果，則此時?，F(xiàn)在再分兩種情形討論.： （1） 在不是特征根的情形，即因而，這時，取以 代入方程 (4.1)，并比較的同次冪的系數(shù)，得到常數(shù)必須滿足的方程： （4.8） 注意到,這些待定常數(shù)可以從方程組(4.8) 唯一地逐個確定出來。（2） 在是重特征根的情形，即 而,也就是這時相應(yīng)地，方程 (4.1)將為 ， (4.9)令，則方程 (4.9)化為 。 （4.10）對方程(4.10)來說，由于已不是它的特征根，因此由1知它有形如的特解，因而方程(4.10)有特解滿足： ，這表明是是的次多項式，其中的冪次的項帶

21、有任意常數(shù)。但因我們只需要知道一個特解就夠了，我們特別地取這些任意常數(shù)均為零，于是我們得到方程 (4.9)的一個特解 ，這里是已確定了的常數(shù)。 2. 如果則此時可象解常系數(shù)齊線性方程的做法，作變量變換，將方程(4.1)化為 ， (4.11)其中都是常數(shù)，而且特征方程（3.2）根對應(yīng)于方程 (4.11)的特征方程的零根，并且重數(shù)也相同。因此利用上面的結(jié)果就有如下的結(jié)論：在不是特征方程(3.2)的根的情形,方程(4.11)有特解從而方程(4.1)有特解 。 在是特征方程(3.2)重根的情形，方程 (4.1) 有特解從而方程有特解，從而方程（4.7）有特解 。例3 求方程的通解。解 先求對應(yīng)的齊線性

22、方程的通解，這里特征方程有兩個根因此,通解為，其中為任意常數(shù)，再求非齊線性方程的一個特解。這里，。又因為不是特征根，故可取特解形如,其中為待定常數(shù),為了確定，將將代入原方程，得到，比較系數(shù)得 由此得，從而，因此，原方程的通解為 。（二） 設(shè)其中為常數(shù)，而是帶實系數(shù)的的多項式，其中一個的次數(shù)為，而另一個的次數(shù)不超過，那么我們有如下結(jié)論：方程 (4.1) 有形如的特解。這里為特征方程的根的重數(shù)，而均為待定的帶實系數(shù)的次數(shù)不高于的的多項式，可以通過比較系數(shù)的方法來確定。 事實上,回顧一下（一）的討論過程，易見當(dāng)不是實數(shù)，而是復(fù)數(shù)時，有關(guān)結(jié)論仍然正確。現(xiàn)將表為指數(shù)形式 。根據(jù)非齊線性方程的疊加原理方程

23、與 的解之和必為方程(3.1)的解。注意到，易知，若為的解 , 則必為的解.因此,直接利用（1）的結(jié)論，可知方程(3.1)有解形如 其中為的次多項式，而 顯然為帶實系數(shù)的的多項式，其次數(shù)不高于，可見上述結(jié)論成立。三、 微分算子法微分算子法（見參考文獻(xiàn)2）不僅能求前述用比較系數(shù)法求解的兩種類型的常系數(shù)非齊次線性方程的一特解，而且還能將求一特解的常系數(shù)線性微分方程的范圍擴(kuò)大不少，在求其一特解的過程中，除用一些代數(shù)運算公式，積分分析運算外，主要還用到微分算子多項式，微分算子運算公式，因而微分算子解法實際上是一種直接靈活運用公式法。（一）微分算子的概念：1.求常系數(shù)非齊次線性方程一特解的實質(zhì)： 若已定

24、常系數(shù)非齊次線性方程 ： （4.12） 則求 (4.12)的一特解問題可視作下述問題的推廣。 已知一函數(shù)的微商為即 （4.13）求 事實上，容易看出，當(dāng)且時，（4.12）即變成（4.13），由此即知：（4.16）的求一特解問題即是（3.17）的求一特解問題的推廣。2. 微分算子與微分算子多項式： 由(4.13) ，有 (不計常數(shù)) （4.14） 這時，若記，則 （4.14）可改寫為 （4.15） 若再（4.15）將改寫為：， 則便表示這樣一個函數(shù)，以作用于它，結(jié)果便等于本身，即。這表明：就是的一個原函數(shù)，并且在不計較積分常數(shù)的條件下與兩者之間有著如下可交換關(guān)系：這說明：與不計較積分常數(shù)的條件下

25、是運算可逆的或可相互約去的。 同理，對于 ， （4.16） 若記，則（4.16）可改寫為 。 （4.17） 若再將（4.17）改寫為則便表示這樣一個函數(shù)，以作用于它，結(jié)果便等于本身，即而且顯然，有 且在不計作用于的計算過程中各次積分的積分常數(shù)的條件下，與亦是運算互逆或可相互可約去，即 。 由此，一般地，我們定義： 和 分別稱為1階，2階，階微分算子和階微分算子多項式。（二）階常系數(shù)非齊次線性方程的微分算子表示: 由上述階微分算子多項式的定義即知：階常系數(shù)非齊次線性方程（4.12）可表示為：，而且這時可用，表示這樣一個函數(shù)，以作用于它，結(jié)果便等于本身，即 。 因而在此意義下,按照數(shù)學(xué)上的通常說法

26、,即可稱為微分算子多項式所決定的逆算子。由此求方程(4.12)的特解,實質(zhì)上就是用的逆算子作用于方程的兩邊而最后歸結(jié)為計算。為此，作為計算的必要準(zhǔn)備,我們轉(zhuǎn)而討論（三） 算子的基本性質(zhì)：1. （為常數(shù)）2. 3. 若，則 （四） 幾個簡單微分算子的運算公式: 1. （1） （） 2. （2） （） 3. （3） （）若是次可微函數(shù),則4. (4） 5. 設(shè)，則有 當(dāng)時， 當(dāng)時， 其中，是將按的升冪排列后再按普通多項式除法去除1在第步上所得到的商。 (五) 一類特殊的階常系數(shù)非齊次線性方程的特解 若給定的階常系數(shù)非齊次線性方程 （4.12）的非齊次項是下述三種基本類型,則由的運算公式1，2，3，

27、4，5及性質(zhì)1，2，3，即可迅速求出這時的方程（4.12）的一特解。1 的次多項式 這時的方程（4.12）成為： ， （4.18）顯然,當(dāng)時,直接由公式5可求方程（4.12）的一特解為： ，其中滿足。 當(dāng)時，若，則同樣由公式5可求得方程（4.12）的一特解為： 。其中滿足。2 指數(shù)函數(shù)與次多項式之積。這時方程（4.12）成為： （4.19）顯然，這時可由公式4即可求得方程（4.19）的一特解為： 其中可直接用公式5計算得出。3 次多項式與余弦函數(shù)或正弦函數(shù)之積。這時方程（4.12）成為： （4.20）或 （4.21） 若假定和的系數(shù)均是實的，則在假定條件下，方程（4.20）（4.21）的特解就

28、是輔助方程 ： （4.22） 的特解的實部或虛部，而方程（4.22）的特解的求法完全基本類型2。例4 解 因為 所以由公式1，有 四、拉普拉斯變換法 拉普拉斯變換法這種方法對求解初值問題和間斷微分方程要比通常的方法快速得多，而且拉普拉斯變換與工程上的一些術(shù)語有緊密的配合，因此許多工程大師都喜歡采用拉普拉斯變換求解微分方程。下面簡單的介紹一下這種方程：（一） 拉普拉斯變換的概念：設(shè)是定義在區(qū)間上的實變實值或復(fù)值函數(shù)，一般是已給的復(fù)數(shù)，若廣義積分：存在，則稱為函數(shù)的拉普拉斯（Laplace）變換，記作：，它表示：對于給定的函數(shù)通過拉普拉斯變換，便有一個函數(shù)與之對應(yīng)，因而有：，稱為拉氏變換的原函數(shù)，稱為拉氏變換的原函數(shù)的象函數(shù)。（二） 一些特殊函數(shù)的拉普拉斯變換：1 2 3 4 5 （三） 拉普拉斯變換在解常系數(shù)線性微分方程中的應(yīng)用設(shè)給定微分方程 （4.1）及初始條件 其中是常數(shù)，而是連續(xù)且滿足原函數(shù)的條件?？梢宰C明，如果是方程（4.1）的任意解，則及其各階導(dǎo)數(shù)均是原函數(shù)。記 那么，按