高中數(shù)學(xué)選修4-4-簡單曲線的極坐標(biāo)方程講課教案

1、高中數(shù)學(xué)選修4-4-簡單曲線的極坐標(biāo)方程曲線的極坐標(biāo)方程一 定義：如果曲線上的點(diǎn)與方程f(,)=0有如下關(guān)系（）曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)（所有坐標(biāo)中至少有一個(gè)）符合方程f(,)=0 ；（）以方程f(,)=0的所有解為坐標(biāo)的 點(diǎn)都在曲線上。則曲線的方程是f(,)=0 。 二 求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟：與直角坐標(biāo)系里的情況一樣建系建系 （適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系）（適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系）設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) （設(shè)（設(shè)M M（ ，) )為要求方程的曲線上任意一點(diǎn)）為要求方程的曲線上任意一點(diǎn)）列等式（構(gòu)造列等式（構(gòu)造，利用三角形邊角關(guān)系的定理列關(guān)于，利用三角形邊角關(guān)系的定理列關(guān)于M M的等式）的等式） 將等式坐標(biāo)化將等式坐標(biāo)化化簡化簡

2、 （此方程此方程f(,)=0即為曲線的方程）即為曲線的方程）例1.半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為(a,0)(a0)，極坐標(biāo)方程：xC(a,0)OMA(,) 2acos 2 ,( , )cos2 cos .(1)(0,), (2 ,0)(1)2OAOAaMOAOMAMRt AMOOMOAMOAaOAa 解：圓經(jīng)過極點(diǎn) 。設(shè)圓與極軸的另一個(gè)交點(diǎn)是 ，那么設(shè)為圓上除點(diǎn) ，以外的任意一點(diǎn)，那么。在中即 可以驗(yàn)證，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足等式的點(diǎn)都在這個(gè)圓上。等式，可以驗(yàn)證，坐標(biāo)適合滿足的條件，另一方面坐標(biāo)就是圓上任意一點(diǎn)的極所以，等式) 1 (),() 1 (OC(a,0)AxM (,)例例2.已知圓已知圓O的半徑為的

3、半徑為r，極坐標(biāo)方程？，極坐標(biāo)方程？xOrM a簡單。上比式合時(shí)的極坐標(biāo)方程在形顯然，使極點(diǎn)與圓心重即為圓上任意一點(diǎn)，則設(shè)都等于半徑何特征就是它們的極徑幾圖），那么圓上各點(diǎn)的為極軸建立坐標(biāo)系（如出發(fā)的一條射線為極點(diǎn)，從解：如果以圓心) 1 (,),(.rrOMMrOO例例3.半徑為半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為的圓的圓心坐標(biāo)為(a, /2)(a0)求圓的極坐標(biāo)方程。求圓的極坐標(biāo)方程。OxMA 2asin 例例4.如圖，半徑為如圖，半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為的圓的圓心坐標(biāo)為 a0)，圓的極坐標(biāo)方程，圓的極坐標(biāo)方程？xOMA(,)1,C a1,C a12 cos()a例例5.如圖，如圖，( 1, 1)，半

4、徑為，半徑為r圓的極坐標(biāo)方圓的極坐標(biāo)方程程？解解:設(shè)設(shè)P(,)為圓周上任意一點(diǎn)為圓周上任意一點(diǎn),如下圖所示如下圖所示,在在OCP中中,CP=r,OC=1,OP=.根據(jù)余弦定理根據(jù)余弦定理,得得CP2=OC2+OP2-2OCOPcos(-1),即即r2=12+2-21cos(-1).也就是也就是2-21cos(-1)+(12-r2)=0. 即：即： 2+ 1 2 -2 1 cos( - 1)= r2這就是圓在極坐標(biāo)系中的一般方程這就是圓在極坐標(biāo)系中的一般方程.(1)中心在極點(diǎn)，半徑為中心在極點(diǎn)，半徑為a；(2)中心在中心在(a,0)，半徑為，半徑為a；(3)中心在中心在(a, /2)，半徑為，半

5、徑為a；(4)中心在中心在(a, 1)，半徑為，半徑為a；(5)中心在中心在( 1, 1)，半徑為，半徑為r。 a 2acos 2asin 2+ 1 2 -2 1 cos( - 1)= r2圓的幾種極坐標(biāo)方程圓的幾種極坐標(biāo)方程12cos()a53 cos5 sin已 知 一 個(gè) 圓 的 極 坐 標(biāo) 方 程 是，求 在 直 角 坐 標(biāo) 系 下 圓 心 坐思 考 ：標(biāo) 和 半 徑 。222225 3cos5sin5 3 cos5 sin5 355 35()()25225 35(,),522xyxyxy解： 兩邊同乘以 得即化為直角坐標(biāo)為即所以圓心為半徑是你可以用極坐標(biāo)方程直接來求嗎？你可以用極坐標(biāo)

6、方程直接來求嗎？3110(cossin)10cos()226(5,),56解：原式可化為所以圓心為半徑為11( ,)(0)2 cos()aaaaO結(jié)論：圓心為半徑為 ，圓的極坐標(biāo)方程為 ，此圓過極點(diǎn) 。5 3cos5sin已知一個(gè)圓的極坐標(biāo)方程是 ，求圓心坐標(biāo)和半徑。練習(xí)21.以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)(1,1)為圓心，為圓心，1為為半徑的圓的方程是半徑的圓的方程是( ) 1 12 21 12 24 42 24 42 2 sin.Dcos.Csin.Bcos.A方程是什么？化為直角坐標(biāo)、曲線的極坐標(biāo)方程sin424)2(22 yx3cos()4、極坐標(biāo)方程所表示的曲線是（ ）A、雙曲線、

7、雙曲線 B、橢圓、橢圓 C、拋物線、拋物線 D、圓、圓D為半徑的圓。為圓心，以解：該方程可以化為21)4,21()4cos(41)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22222yxyxyx即解：410cos()3、圓 的圓心坐標(biāo)是)0 , 5( 、A)3, 5(、B)3, 5(、C)32, 5(、D（ ）C5(2,)2A、寫出圓心在點(diǎn)處且過極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程，并把它化成直角坐標(biāo)方程。222224cos()4sin24 sin4(2)4xyyxy解： 化為直角坐標(biāo)系為即2126:2cos ,:2 3 sin20,CC、已知圓圓試判斷兩圓的位置關(guān)系。所以兩圓相

8、外切。半徑為，圓心半徑為圓心坐標(biāo)方程為解：將兩圓都化為直角21)3, 0(1)3(:1)0 , 1 (, 1) 1( :2122221221OOOyxCOyxC思考：思考：在平面直角坐標(biāo)系中在平面直角坐標(biāo)系中過點(diǎn)過點(diǎn)(3,0)且與且與x軸垂直的直線方程為軸垂直的直線方程為 ;過點(diǎn)過點(diǎn)(2,3)且與且與y軸垂直的直線方程為軸垂直的直線方程為 x=3y=3四四 直線的極坐標(biāo)方程：直線的極坐標(biāo)方程：例例1：求過極點(diǎn)，傾斜角為求過極點(diǎn)，傾斜角為 的射線的極坐標(biāo)方程。的射線的極坐標(biāo)方程。4 oMx4 (0)4 （2）求過極點(diǎn)，傾斜角為）求過極點(diǎn)，傾斜角為 的射線的極坐標(biāo)方程。的射線的極坐標(biāo)方程。54 5

9、(0)4 （3）求過極點(diǎn)，傾斜角為）求過極點(diǎn)，傾斜角為 的直線的極坐標(biāo)方程。的直線的極坐標(biāo)方程。4 (0)4 5(0)4 和和 和前面的直角坐標(biāo)系里直線方程的表示形和前面的直角坐標(biāo)系里直線方程的表示形式比較起來，極坐標(biāo)系里的直線表示起來很不式比較起來，極坐標(biāo)系里的直線表示起來很不方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？0 為了彌補(bǔ)這個(gè)不足，可以考慮允許極徑可以為了彌補(bǔ)這個(gè)不足，可以考慮允許極徑可以取全體實(shí)數(shù)。則上面的直線的極坐標(biāo)方程可取全體實(shí)數(shù)。則上面的直線的極坐標(biāo)方程可以表示為以表示為()4R 或或5()4R 例例2、求過點(diǎn)求過點(diǎn)A(a,0)(a0)，且垂

10、直于極軸的，且垂直于極軸的直線直線L的極坐標(biāo)方程。（學(xué)生們先自己嘗試做）的極坐標(biāo)方程。（學(xué)生們先自己嘗試做）解：如圖，建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)解：如圖，建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)( , )M ox AM在在 中有中有 Rt MOA cosOMMOAOA 即即cosa 可以驗(yàn)證，點(diǎn)可以驗(yàn)證，點(diǎn)A的坐標(biāo)也滿足上式。的坐標(biāo)也滿足上式。為直線為直線L上除點(diǎn)上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)，外的任意一點(diǎn)，連接連接OM交流做題心得歸納解題步驟：求直線的極坐標(biāo)方程步驟求直線的極坐標(biāo)方程步驟1、據(jù)題意畫出草圖；、據(jù)題意畫出草圖；2、設(shè)點(diǎn)、設(shè)點(diǎn) 是直線上任意一點(diǎn)；是直線上任意一點(diǎn)；( , )M 3、連接、連接MO；4、根據(jù)幾何條件建立關(guān)

11、于、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于 的方的方程，程， 并化簡；并化簡；, 5、檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求。、檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求。 練習(xí)練習(xí)1求過點(diǎn)求過點(diǎn)A (a, /2)(a0)，且平行于，且平行于極軸的直線極軸的直線L的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。解：如圖，建立極坐標(biāo)系，解：如圖，建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) 為直線為直線L上除點(diǎn)上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)，連接外的任意一點(diǎn)，連接OM( , )M 在在 中有中有 Rt MOA 即即可以驗(yàn)證，點(diǎn)可以驗(yàn)證，點(diǎn)A的坐標(biāo)也滿足上式。的坐標(biāo)也滿足上式。Mox A sin aIOMI sinAMO=IOAI課堂練習(xí)課堂練習(xí)2 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為 ，直線，

12、直線 過點(diǎn)過點(diǎn)( ,0)a ll解：如圖，建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)解：如圖，建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)( , )M 為直線為直線 上異于上異于A點(diǎn)的任意一點(diǎn)，連接點(diǎn)的任意一點(diǎn)，連接OM，l在在 中，由正弦定理中，由正弦定理 得得MOA sin()sin()a 即即sin()sina 顯然顯然A點(diǎn)也滿足上方程點(diǎn)也滿足上方程A且與極軸所成的角為且與極軸所成的角為 ,求直線求直線 的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程?；喌没喌?oMx A例例3：設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為 ，直線，直線 過點(diǎn)過點(diǎn)P且且與極軸所成的角為與極軸所成的角為 ,求直線求直線 的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。 11(,) lloxMP 1 1 A

13、解：如圖，設(shè)點(diǎn)解：如圖，設(shè)點(diǎn)( , )M 的任意一點(diǎn)，連接的任意一點(diǎn)，連接OM，則，則,OMxOM1O P 1xO P 為直線上除點(diǎn)為直線上除點(diǎn)P外外由點(diǎn)由點(diǎn)P的極坐標(biāo)知的極坐標(biāo)知設(shè)直線設(shè)直線L與極軸交于點(diǎn)與極軸交于點(diǎn)A。則在。則在 中中MOP 1,()OMPOPM 由正弦定理得由正弦定理得11sin()sin() 11sin()sin() 顯然點(diǎn)顯然點(diǎn)P的坐標(biāo)也是上式的解。的坐標(biāo)也是上式的解。即即OMPOPOPMOMsinsin練習(xí)練習(xí)3 求過點(diǎn)求過點(diǎn)P(4, /3)且與極軸夾角為且與極軸夾角為 /6的直線的直線 的的方程。方程。l2)6sin(直線的幾種極坐標(biāo)方程直線的幾種極坐標(biāo)方程1、過極點(diǎn)，傾斜角為、過極點(diǎn)，傾斜角為 2、過點(diǎn)、過點(diǎn) 垂直于極軸垂直于極軸4、過點(diǎn)、過點(diǎn) ，且與極軸成的角度，且與極軸成的角度3、過點(diǎn)、過點(diǎn)A (a, /