中南大學(xué)高等工程數(shù)學(xué)試卷超全整理

1、考試日期：2010年 4 月日時(shí)間110分鐘 注：解答全部寫在答題紙上一、填空題(本題24分，每小題3分)1.若函數(shù),且有和, 則方程在上的解存在唯一，對(duì)任意為初值由迭代公式產(chǎn)生的序列一定收斂于方程在上的解，且有誤差估計(jì)式；2.建立最優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的三要素是：確定決策變量、建立適當(dāng)?shù)募s束條件、建立目標(biāo)函數(shù)；3求解無(wú)約束非線性最優(yōu)化問(wèn)題的最速下降法會(huì)產(chǎn)生“鋸齒現(xiàn)象”，其原因是：最速下降法前后兩個(gè)搜索方向總是垂直的；4已知函數(shù)過(guò)點(diǎn)，設(shè)函數(shù)是的三次樣條插值函數(shù)，則滿足的三個(gè)條件（1）在每個(gè)子區(qū)間（i=1，2，n）上是不高于三次的多項(xiàng)式；（2）S（x），S（x），S（x）在上連續(xù)；（3）滿足插值條件

2、S（xi）=yi（i=1，2，n）；5隨機(jī)變量為樣本，是樣本均值，則 N（3，）；6正交表中各字母代表的含義為 L表示正交表，N表示試驗(yàn)次數(shù)，n、m表示因子水平數(shù)，p、q表示試驗(yàn)至多可以安排因素的個(gè)數(shù)；7線性方程組其系數(shù)矩陣滿足 A=LU，且分解唯一 時(shí)，可對(duì)進(jìn)行解，選主元素的Gauss消元法是為了避免 采用絕對(duì)值很小的主元素 導(dǎo)致誤差傳播大，按列選取主元素時(shí)第步消元的主元akk為8取步長(zhǎng)，用Euler法解的公式為。二、（本題6分）某汽車廠三種汽車：微型轎車、中級(jí)轎車和高級(jí)轎車。每種轎車需要的資源和銷售的利潤(rùn)如下表。為達(dá)到經(jīng)濟(jì)規(guī)模，每種汽車的月產(chǎn)量必須達(dá)到一定數(shù)量時(shí)才可進(jìn)行生產(chǎn)。工廠規(guī)定的經(jīng)濟(jì)

3、規(guī)模為微型車1500輛，中級(jí)車1200輛，高級(jí)車1000輛，請(qǐng)建立使該廠的利潤(rùn)最大的生產(chǎn)計(jì)劃數(shù)學(xué)模型。微型車中級(jí)車高級(jí)車資源可用量鋼材（噸）26000（噸）人工（小時(shí)）30405055000（小時(shí)）利潤(rùn)234解：設(shè)微型車生產(chǎn)了x1輛，中級(jí)車生產(chǎn)了x2輛，高級(jí)車生產(chǎn)了x3輛，而鋼材、人工均有限制，所以應(yīng)滿足限制條件：鋼材：1+2x236000人工：30x1+40x2+50x355000生產(chǎn)數(shù)量：x11500 x21200 x31000從而問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：Max c1x1+c2x2+c3三、（本題10分）已知的數(shù)據(jù)如表：0 125-53 06用Newton插值法求的三次插值多項(xiàng)式，計(jì)算的近似值，

4、給出誤差估計(jì)式。解：xiF(xi)一階差商二階差商三階差商四階差商0-513820-3-11/25625/427/206因此，而四、（本題12分）為了研究小白鼠在接種不同菌型傷寒桿菌后的存活日數(shù)有沒(méi)有差異，現(xiàn)試驗(yàn)了在接種三種不同菌型傷寒桿菌（記為并假設(shè)，）后的存活日數(shù)，得到的數(shù)據(jù)已匯總成方差分析表如下：方差來(lái)源平方和自由度樣本方差F值組間SSA66233組內(nèi)SSE6312總和SST12914 (1) 試把上述方差分析表補(bǔ)充完整（請(qǐng)?jiān)诖鹁砩袭嫳硖钌夏愕拇鸢福?2) 小白鼠在接種不同菌型傷寒桿菌后的存活日數(shù)有無(wú)顯著差異？（取，）解：（1）見表中紅色部分（2） 設(shè)H0：1=2=3=i選取統(tǒng)計(jì)量，由于

5、顯著性水平未給出，設(shè)，查表得，因?yàn)镕=6.286>，所以拒絕H0，即小白鼠在接種不同型傷寒桿菌后存活日數(shù)有顯著差異。五、（本題12分）用表格形式單純形法求解6、 （本題10分）試確定求積公式中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高。解：將分別代入式中得，因此得七、（本題12分）（1）在多元線性回歸建模過(guò)程中，需要考慮自變量的選擇問(wèn)題。常用的方法有向前回歸法、向后回歸法、逐步回歸法。試解釋什么是逐步回歸法？（2）如果要考察因素A、B、C及交互作用A×B、A×C、B×C，如何用正交表安排試驗(yàn)，交互作用見下表，試作表頭設(shè)計(jì)。表兩列間交互作用表列號(hào)(列號(hào)) 1 2 3 4

6、5 6 7 (1) 3 2 5 4 7 6 (2) 1 6 7 4 5 (3) 7 6 5 4 (4) 1 2 3 (5) 3 2 (6) 1解：(1)逐步回歸法就是對(duì)全部因子按其對(duì)y影響程度大?。ㄆ貧w平方的大?。?，從大到小地依次逐個(gè)地引入回歸方程，并隨時(shí)對(duì)回歸方程當(dāng)時(shí)所含的全部變量進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否仍然顯著，如不顯著就將其剔除，知道回歸方程中所含的所有變量對(duì)y的作用都顯著是，才考慮引入新的變量。再在剩下的未選因子中，選出對(duì)y作用最大者，檢驗(yàn)其顯著性，顯著著，引入方程，不顯著，則不引入。直到最后再?zèng)]有顯著因子可以引入，也沒(méi)有不顯著的變量需要剔除為止。（2） 如果因子A放在第1列，因子B放第2

7、列，則A×B放在第3列。如C放在第4列，再查交互作用表，A×C和B×C應(yīng)分別放在第5列和第6列。表頭設(shè)計(jì)如下：列號(hào)1234567因子ABA×BCA×CB×C八、（本題14分）設(shè)方程組為（1）對(duì)方程組進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，使得用Gauss-Seidel迭代法求解時(shí)收斂；（2）取，用Gauss-Seidel迭代法計(jì)算兩步迭代值，；（3）取，估計(jì)用Jacobi迭代求解與準(zhǔn)確解的誤差。解：（1）將原矩陣變換為如下：，經(jīng)變換后的矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，因此在用Gauss-Seidel迭代法求解時(shí)收斂。（2） 由GS迭代公式得：，又由于，因此經(jīng)兩步迭代后得

8、，（3） 由Jacobi迭代公式得：因此中南大學(xué)工程碩士“高等工程數(shù)學(xué)”考試試卷2考試日期：2010年 4 月日時(shí)間110分鐘 注：解答全部寫在答題紙上一、填空題(本題24分，每小題3分)1. 若方程可表成，且在內(nèi)有唯一根，那么滿足，則由迭代公式產(chǎn)生的序列一定收斂于。（滿足：,且有, ；）2. 已知二元非線性函數(shù)，該函數(shù)從X0 出發(fā)的最速下降方向?yàn)椋ㄗ钏傧陆捣较驗(yàn)椋海?已知二元非線性函數(shù)，該函數(shù)從X0 出發(fā)的Newton方向?yàn)椋∟ewton方向?yàn)椋海?已知在區(qū)間上通過(guò)點(diǎn)，則其三次樣條插值函數(shù)是滿足（1）在每個(gè)小區(qū)間是次數(shù)不超過(guò)3次的多項(xiàng)式，（2）在區(qū)間上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，（3）滿足插值條件）；

9、5設(shè)某個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域?yàn)閃，且當(dāng)原假設(shè)H0成立時(shí)，樣本值落入W的概率為0.15，則犯第一類錯(cuò)誤的概率為_（）；6在實(shí)際問(wèn)題中求某參數(shù)的置信區(qū)間時(shí)，總是希望置信水平愈 大 愈好，而置信區(qū)間的長(zhǎng)度愈短愈好。但當(dāng)增大置信水平時(shí)，則相應(yīng)的置信區(qū)間長(zhǎng)度總是變長(zhǎng) ；7取步長(zhǎng)，解的Euler法公式為：（）；8對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行建模求解時(shí)可能出現(xiàn)的誤差有：（模型誤差，觀測(cè)誤差，方法誤差，舍入誤差。）。二、（本題8分）某鋼鐵公司生產(chǎn)一種合金，要求的成分是：錫不少于28%，鋅不多于15%，鉛恰好10%，鎳介于35%到55%之間，不允許有其他成分。鋼鐵公司擬從五種不同級(jí)別的礦石中進(jìn)行冶煉，每種礦物的成分含量和價(jià)格

10、如下表。礦石雜質(zhì)在冶煉中廢棄，并假設(shè)礦石在冶煉過(guò)程中金屬含量沒(méi)有發(fā)生變化。合金礦石錫（%）鋅（%）鉛（%）鎳（%）雜質(zhì)（%）費(fèi)用（元/噸）125101025303402400030302603015520601804202004020230585151715190（1）建立線性優(yōu)化模型，安排最優(yōu)礦物冶煉方案，使每噸合金產(chǎn)品成本最低。（不要求計(jì)算出結(jié)果）；（2）寫出所建立的模型的對(duì)偶形式。（1）設(shè)是第j 種礦石的數(shù)量，目標(biāo)是使成本最低，得線性規(guī)劃模型如下： 4分（2）上述線性規(guī)劃模型的對(duì)偶形式如下： 4分三、（本題8分）已知的數(shù)據(jù)如表：0 1 3 7試求三次插值多項(xiàng)式P(x)，求的近似值，并給出

11、相應(yīng)的誤差估計(jì)式。解：用Newton插值法求的插值多項(xiàng)式，由所給數(shù)據(jù)如表可得差商表如下：xif(xi)一階差商二階差商三階差商四階差商00   1  32 7/64由差商表得出的三次插值多項(xiàng)式為： 3分于是有 2分相應(yīng)的誤差估計(jì)式為： 2分四、（本題12分）為了考察硝酸鈉NaNO的可容性溫度之間的關(guān)系，對(duì)一系列不同的溫度（），觀察它在100的水中溶解的NaNO的重量（g），得觀察結(jié)果如下：溫度x 20 30 33 40 15 13 26 38 35 43重量y 7 9 8 11 5 4 8 10 9 10（1）求Y對(duì)X的線性回歸方程。

12、（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位。）, , , , （2）對(duì)回歸方程的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)。（取顯著水平為0.05，0.01），。解：（） 4分回歸函數(shù)為 4分（），或2分故在顯著水平為0.05，0.01下線性回歸是顯著的或故在顯著水平為0.05，0.01下線性回歸是顯著的。12分五、（本題10分）利用單純形方法求解下面的線性規(guī)劃（要求寫出計(jì)算過(guò)程）：解：第一步：化為標(biāo)準(zhǔn)型， .(2分)第二步：列出是單純形表， .(2分)第三步：第一次單純形迭代計(jì)算，.(3分)第四步：列出是單純形表， .(3分)第五步：正確寫出結(jié)果，最優(yōu)解(2分)六、（本題10分）試確定求積公式中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高。七、（本題1

13、2分）設(shè)有4種治療蕁麻疹的藥，要比較它們的療效。假定將24個(gè)病人分成4組，每組6人，令同組病人使用一種藥，并記錄病人從使用藥物開始到痊愈所需時(shí)間，得到下面的記錄：藥物治愈所需天數(shù)12345，7，7，7，12，84，6，6，13，4，66，4，8，5，3，97，4，6，6，3，15試檢驗(yàn)不同藥物對(duì)病人的痊愈時(shí)間有無(wú)差別？（，）解：方差來(lái)源平方和自由度樣本方差F值組間（因子）3組內(nèi)（誤差）20總和21123由于，故接受假設(shè)，即不同藥物對(duì)病人的痊愈時(shí)間無(wú)顯著差別八、（本題16分）設(shè)方程組為（1）對(duì)方程組進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，使得用高斯塞德爾迭代法求解時(shí)收斂；（2）寫出對(duì)應(yīng)的高斯塞德爾迭代格式；（3）取初始向

14、量，用該方法求近似解，使。解：（1）將原方程組調(diào)整為，此方程組系數(shù)矩陣按行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，故用高斯塞德爾迭代法求解時(shí)收斂。 5分（2）高斯塞德爾迭代格式為 5分（2）取，用上述迭代格式計(jì)算得因，故取近似解。 6分。 6分中南大學(xué)工程碩士“高等工程數(shù)學(xué)”考試試卷1考試日期：2011年月日時(shí)間110分鐘 注：解答全部寫在答題紙上一、填空題(本題24分，每小題3分)（1） 對(duì)方程，寫出其Newton迭代公式，使得由迭代公式產(chǎn)生的序列可以2階收斂于方程的唯一正根；解：由牛頓迭代公式得因其存在2重跟，故需對(duì)其進(jìn)行修正得（2）在上，設(shè)與等價(jià)，則當(dāng)滿足 (x)于a,b一階導(dǎo)數(shù)存在， 當(dāng)xa,b時(shí)，有(x)a,

15、b 和 |g(x)|L1，xa,b時(shí)，由（）產(chǎn)生的序列收斂于方程的根；（3）用Doolittle分解法求方程：則：=，= ，解=；解：， ，,因此,（4）已知 ，則：=6 ；=6 ； 4+6+5=15 。（5）已知在區(qū)間上通過(guò)點(diǎn)，則其三次樣條插值函數(shù)是滿足在每個(gè)子區(qū)間上不高于三次的多項(xiàng)式， S(x），S（x），S（x）在上連續(xù)，滿足插值條件；（6）設(shè)有線性回歸模型，其中且相互獨(dú)立，寫出參數(shù)的最小二乘估計(jì)，。解：，因此得，故（7）在多元線性回歸建模過(guò)程中，需要考慮自變量的選擇問(wèn)題。寫出三種常用的自變量的選取方法向后回歸法、向前回歸法、逐步回歸法。（8）影響數(shù)學(xué)模型數(shù)值求解結(jié)果的誤差有：截?cái)嗾`差，

16、舍入誤差，觀測(cè)誤差。二、（本題8分）已知的數(shù)據(jù)如表：-2 0260 4 -210試求三次Newton插值多項(xiàng)式，求的近似值，并給出相應(yīng)的誤差估計(jì)式。xF(x)一階差商二階差商三階差商四階差商-200422-2-3-5/4610319/3250因此而三、（本題10分）引入人工變量利用大M法求解下面的線性規(guī)劃（要求寫出計(jì)算過(guò)程）：解：將約束條件加上松弛變量x3，剩余變量x4和人工變量x5后得到一個(gè)有基可行解的典型方程如下：相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為列出初始單純形表，并進(jìn)行迭代得：基變量CBXBX1X2X3X4X53400-MX304211002X5-M110-111Zj-M0M-M-M-30M0X30202

17、12-21X13110-11Zj30-3300-33+MX241011-1X13103Zj3400-2.5+M這時(shí)的檢驗(yàn)數(shù)已全部非負(fù)。得最優(yōu)解；人工變量X5=0，去掉人工變量部分，得原線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解為，最優(yōu)值4、 （本題8分）某廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，都分別經(jīng)A,B兩道工序加工，A工序在設(shè)備或上完成，B工序在，三種設(shè)備上完成。已知產(chǎn)品甲可在A，B任何一種設(shè)備上加工；產(chǎn)品乙可在任何規(guī)格的A設(shè)備上加工，但完成B工序時(shí)，只能在設(shè)備上加工；產(chǎn)品丙只能在與設(shè)備上加工。加工單位產(chǎn)品所需要工序時(shí)間及其他數(shù)據(jù)見下表。設(shè)備產(chǎn)品設(shè)備有效臺(tái)時(shí)設(shè)備加工費(fèi)（元/小時(shí)）甲乙丙5106000791210000684

18、000411700074000原料費(fèi)（元/件）售價(jià)（元/件）（1）建立線性優(yōu)化模型，安排使該廠獲利最大的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃（不要求計(jì)算出結(jié)果）；（2）寫出所建立的模型的對(duì)偶形式。解：（1）設(shè)在A1設(shè)備上生產(chǎn)甲x11件，乙x12件，在A2設(shè)備上生產(chǎn)甲x21件，乙x22件，丙x23件，在B1設(shè)備上生產(chǎn)甲x31件，乙x32件，在B2設(shè)備上生產(chǎn)甲x41件，丙x43件，在B3設(shè)備上生產(chǎn)甲x51件由已知條件得（2） 因目標(biāo)函數(shù)為最大值，而線性規(guī)劃方程符合要求，故不需轉(zhuǎn)換形式，由此得：5、 （本題12分）一種生產(chǎn)降血壓藥品的生產(chǎn)廠家聲稱，他們生產(chǎn)的一種降壓藥服用一周后能使血壓明顯降低的效率可以達(dá)到80%，今在高血

19、壓的人群中隨機(jī)抽取了200人服用此藥品，一周后有148人血壓有明顯降低，試問(wèn)生產(chǎn)廠家的說(shuō)法是否真實(shí)？解：設(shè)降壓效率為p，作假設(shè)H0：p80% H1：p80%由點(diǎn)估計(jì)，m為血壓明顯降低的人數(shù)，抽取的樣本為大樣本，因此選取統(tǒng)計(jì)量為，對(duì)，拒絕域。由已知得m=148，n=200,因此統(tǒng)計(jì)量，查表得Z，從而，樣本觀測(cè)值未落入拒絕域中，不能拒絕H0，即生產(chǎn)廠家說(shuō)法是真實(shí)的。六、（本題10分）設(shè)有數(shù)值求積公式，試確定，使該數(shù)值積分公式有盡量高的代數(shù)精度，并確定其代數(shù)精度為多少。解：將分別代入式中得，因此A0，A1，A2將，因此代數(shù)精度為3。七、（本題12分）影響水稻產(chǎn)量的因素有秧齡、每畝基本苗數(shù)和氮肥，其水

20、平如下表因素秧齡苗數(shù)氮肥1水平2水平小苗 15萬(wàn)株/畝 8斤/畝大畝 25萬(wàn)株/畝 12斤/畝若考慮之間的交互作用，采用安排試驗(yàn)，并按秧齡、每畝基本苗數(shù)、氮肥分別放在表的第一、二、四列，解答下列問(wèn)題：（1） 它們的交互作用分別位于哪一列？（2）若按這種表頭作試驗(yàn)并測(cè)得產(chǎn)量為83.4, 84.0, 87.3, 84.8, 87.3, 88.0, 92.3, 90.4，試尋找較好的生產(chǎn)條件。解：列表如下：1（秧齡A）A2（苗數(shù)B）3（A×B）4（氮肥C）5（A×C）6（B×C）產(chǎn)量斤/畝12345678111122221122112211222211121212121

21、212212112211221K1iK2i 358R由表計(jì)算數(shù)據(jù)及直觀分析可知，因子B×C、A、B是重要的。顯然A取水平A2，B取水平B2，而B×C由B2×C1：，B2×C2：故C取C1水平。從而最優(yōu)水平為A2B2C1。八、（本題16分）設(shè)方程組為（1）對(duì)方程組進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，使得用雅可比迭代方法和高斯塞德爾迭代法求解時(shí)都收斂；（2）寫出對(duì)應(yīng)的高斯塞德爾迭代格式的分量形式；（3）取初始向量，用雅可比迭代方法求準(zhǔn)確解的近似解，使至少需要迭代多少次？解：（1），經(jīng)變換后的矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，因此在用Gauss-Seidel迭代法求解時(shí)收斂。（2）（3） 解方

22、程組可知雅克比迭代法形式為kX1(k)X2(k)X3(k)12345中南大學(xué)工程碩士“高等工程數(shù)學(xué)”考試試卷（開卷）考試日期：2011年 5 月日時(shí)間110分鐘 注：解答全部寫在答題紙上一、填空題(本題24分，每小題3分)1.若函數(shù), 給出該方程存在正根的區(qū)間, 該方程的Newton迭代公式是；2.若標(biāo)準(zhǔn)型線性規(guī)劃的解集R非空，則R為n維空間R n中的；3寫出下述線性規(guī)劃問(wèn)題的對(duì)偶問(wèn)題：4已知函數(shù)過(guò)點(diǎn)，設(shè)函數(shù)是的三次樣條插值函數(shù)，則滿足的三個(gè)條件是；5在進(jìn)行二因子方差分析時(shí)，如果二因子之間存在交互作用，在做試驗(yàn)時(shí)，需要對(duì)每一種組合進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)。當(dāng)二因子都取四水平，每一種組合重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)均為3次

23、，則一共應(yīng)做次試驗(yàn)。6如果要對(duì)4個(gè)因子進(jìn)行方差分析，不考慮它的交互作用，（能，不能）采用正交表7線性方程組其系數(shù)矩陣滿足時(shí)，可對(duì)進(jìn)行分解（Cholesky分解）；8設(shè)為區(qū)間的等分點(diǎn)，和為定積分復(fù)合梯形公式，則其復(fù)合辛普森公式=。二、（本題6分）某公司生產(chǎn)三種產(chǎn)品：A、B和C。每種產(chǎn)品需要的資源和銷售的利潤(rùn)如下表。請(qǐng)建立使該公司的利潤(rùn)最大的生產(chǎn)計(jì)劃數(shù)學(xué)模型。A產(chǎn)品B產(chǎn)品C產(chǎn)品資源可用量鋼材（噸）5345000（噸）人工（小時(shí)）3566000（小時(shí)）利潤(rùn)234三、（本題10分）已知的數(shù)據(jù)如表：0 125-42 06用Newton插值法求的三次插值多項(xiàng)式，計(jì)算的近似值，給出誤差估計(jì)式。四、（本題12

24、分）（本題12分）王先生和李先生競(jìng)選市人大代表，在選舉前的一次民意測(cè)驗(yàn)中，隨機(jī)地抽取了400名選民進(jìn)行民意測(cè)驗(yàn)，結(jié)果有220名推選王先生，有150名推選李先生，30名既不推選王先生也不推選李先生。如果在所有的選民中，支持率超過(guò)50%就能當(dāng)選為市人大代表，王先生能否當(dāng)選？（?。┪?、（本題12分）用表格形式單純形法求解下面的線性規(guī)劃（寫出過(guò)程）六、（本題10分）寫出含有個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式，并證明其代數(shù)精度至少為。七、（本題12分）某種合金鋼的抗拉強(qiáng)度Y(Pa)與鋼的含碳量x有線性回歸關(guān)系，現(xiàn)進(jìn)行了10次獨(dú)立觀測(cè)，并對(duì)測(cè)得數(shù)據(jù)進(jìn)行處理得到如下結(jié)果：,（1）求Y對(duì)X的線性回歸方程。（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)

25、后兩位。）（2）對(duì)回歸方程的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)。八、（本題14分）設(shè)方程組為（1）對(duì)方程組進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，使得用Gauss-Seidel迭代法求解時(shí)收斂；（2）寫出用Gauss-Seidel迭代法計(jì)算的迭代公式；（3）取，估計(jì)用Jacobi迭代求解與準(zhǔn)確解的誤差。中南大學(xué)工程碩士“高等工程數(shù)學(xué)”考試試卷（開卷）1考試日期：2012年 4 月日時(shí)間10分鐘 注：解答全部寫在答題紙上一、填空題(本題24分，每小題3分)1.對(duì)方程，寫出該方程存在正數(shù)根的一個(gè)區(qū)間，構(gòu)造迭代公式，使其產(chǎn)生的序列可以收斂于方程的這個(gè)正數(shù)根；2.用Cholesky (喬勒斯基) 分解法求解方程：則：L = ; 方程組的解x =

26、；3建立最優(yōu)化模型的三要素：；4已知函數(shù), , ，用此函數(shù)表作Newton插值多項(xiàng)式，那么插值多項(xiàng)式的系數(shù)是；5設(shè)總體已知,是樣本均值，在檢驗(yàn)假設(shè)時(shí)選用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為，拒絕域?yàn)椋?. 設(shè)總體服從上的均勻分布，則的矩法估計(jì)為，極大似然估計(jì)為；7影響數(shù)學(xué)模型求解結(jié)果的誤差有：，。8已知在區(qū)間上通過(guò)點(diǎn)，則其三次樣條插值函數(shù)是滿足，；二、（本題6分）設(shè)有鋼材100根，長(zhǎng)17米，需軋成配套鋼料。每套由7根5米長(zhǎng)與2根6米長(zhǎng)的鋼梁組成，問(wèn)如何下料使鋼材廢料最少（不計(jì)下料損耗）？建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型（不要求計(jì)算）。三、（本題10分）已知的數(shù)據(jù)如表：-1 036 03 -18用三次Lagrange插值多項(xiàng)式計(jì)

27、算的近似值，并給出相應(yīng)的誤差估計(jì)式。四、（本題12分）為了考察硝酸鈉NaNO的可容性與溫度之間的關(guān)系，對(duì)一系列不同的溫度（），觀察它在100的水中溶解的NaNO的重量（g），得觀察結(jié)果如下：溫度x 20 30334015 1326 3835 43重量y 7 9 8 11 5 4 8 10 9 10（1）求Y對(duì)X的線性回歸方程。（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位。）,（2）對(duì)回歸方程的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)。（檢驗(yàn)水平=0.05,）五、（本題12分）利用單純形法求解下面的線性規(guī)劃（要求寫出計(jì)算過(guò)程）：六、（本題10分）已知數(shù)值求積公式，試確定，使該數(shù)值積分公式對(duì)次數(shù)的一切多項(xiàng)式都精確成立，并確定其代數(shù)精度為多少。七

28、、（本題12分）影響水稻產(chǎn)量的因素有秧齡、每畝基本苗數(shù)和氮肥，其水平如下表因素秧齡苗數(shù)氮肥1水平2水平小苗 15萬(wàn)株/畝 8斤/畝大畝 25萬(wàn)株/畝 12斤/畝用安排試驗(yàn)，并將秧齡、苗數(shù)、氮肥分別放在第一、二、四列，測(cè)得產(chǎn)量為60, 63，58，67，70，74，69，81 。將數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)在下表中1（A）2（B） 3(A×B) 4(C)5(A×C)6(B×C)k1ik2i248296 2622822802642642802682762782666274706666706769R1254423在下檢驗(yàn)各因素及每?jī)蓚€(gè)因素的交互作用對(duì)產(chǎn)量有無(wú)顯著影響。八、（本題14分）設(shè)

29、方程組為（1）對(duì)方程組直接用雅可比迭代方法和高斯塞德爾迭代法求解時(shí)，判斷其收斂性。（2）對(duì)方程組進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，使得用雅可比迭代方法和高斯塞德爾迭代法求解時(shí)都收斂；（3）寫出調(diào)整后所對(duì)應(yīng)的Jacobi (雅可比) 迭代格式的分量形式和矩陣形式；（4）在（3）的基礎(chǔ)上，取初始向量，用Jacobi (雅可比) 迭代格式求準(zhǔn)確解的近似解，使，至少需要迭代多少次？中南大學(xué)工程碩士“高等工程數(shù)學(xué)”考試試卷（開卷）2考試日期：2012年 7 月 12 日時(shí)間100分鐘 注：解答全部寫在答題紙上一、填空題(本題24分，每小題3分)1.求方程根的牛頓迭代格式是    &#

30、160;              ；2.在求解方程組時(shí)，建立的迭代格式對(duì)于任意初始向量及任意收斂的充要條件是.3.設(shè)，則差商（均差）               ，          .4. 設(shè)為互異節(jié)點(diǎn)，為L(zhǎng)agrange插值

31、基函數(shù)，則，.5.因素與因素各有兩水平且具有交互作用。代表處于第i位級(jí)處于第j位級(jí)的試驗(yàn)指標(biāo)。測(cè)得,，則、的交互作用為；6已知二次函數(shù)具有形式，則= , = ,=；7已知二次函數(shù)，該函數(shù)在處的Hesse 陣為；8總體XN ()，取自總體X的樣本為，其樣本均值為=，=，=。二、（本題12分）1. 將下列線性規(guī)劃問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)型：2. 視上式為原問(wèn)題，寫出其對(duì)偶問(wèn)題。三、（本題12分）已知單調(diào)連續(xù)函數(shù)的如下數(shù)據(jù)：  求若用插值法計(jì)算，x約為多少時(shí)（小數(shù)點(diǎn)后保留5位）。四、（本題15分）某車間為了制訂工時(shí)定額，需要確定加工零件所消耗的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)，結(jié)果見下表，其中，x

32、表示零件數(shù)，y表示時(shí)間。x/件102030405060708090100y/min62.68758189951021081151221建立y對(duì)x的回歸直線方程。2. 作回歸方程的顯著性檢驗(yàn)。3.。若，求的99%的預(yù)測(cè)區(qū)間。，五、（本題15分）試用兩階段法并表格形式的單純形法求解六、（本題10分）用復(fù)化Simpson公式求積分的近似值時(shí)，為使計(jì)算結(jié)果誤差不超過(guò)，問(wèn)至少需要取多少個(gè)節(jié)點(diǎn)？七、（本題12分）用梯形方法解初值問(wèn)題 證明其近似解為，并證明當(dāng)時(shí)，它收斂于原初值問(wèn)題的準(zhǔn)確解 中南大學(xué)工程碩士“高等工程數(shù)學(xué)”考試試卷（開卷）1考試日期：2013年月日時(shí)間100分鐘 注：解答

33、全部寫在答題紙上一、填空題(本題24分，每小題3分)1. 對(duì)矩陣 A 進(jìn)行Doolittle分解的條件是；2設(shè)總體，從總體分別獨(dú)立抽取容量為的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，。記為樣本的樣本均值與方差，為樣本的樣本均值與方差，則的95%的置信區(qū)間為；3如果，矩陣，利用Jacobi和 Gauss-Seidel迭代法求解此方程組的斂散性情況是；4在進(jìn)行二元方差分析時(shí)，當(dāng)兩個(gè)因子之間存在交互作用時(shí)，需要進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，假設(shè)兩個(gè)因子都取3水平，各種組合時(shí)試驗(yàn)的重復(fù)次數(shù)均為4，則體現(xiàn)兩因子的交互作用的平方和的自由度是；5函數(shù)，已知和的絕對(duì)誤差分別為和，則；6線性規(guī)劃的對(duì)偶線性規(guī)劃是，兩個(gè)線性規(guī)劃的最優(yōu)目標(biāo)值；7方程 與等價(jià)

34、，由于迭代函數(shù)滿足：，可用迭代法求方程的唯一正根的近似值，且；8.設(shè)為區(qū)間的等分點(diǎn)，和為定積分復(fù)合梯形公式，則復(fù)合梯形公式的遞推形式=。二、（本題14分）某工廠生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品，需利用甲、乙、丙三種資源。已知生產(chǎn)產(chǎn)品A一件需消耗資源甲、乙、丙分別為2噸、4噸、2噸，生產(chǎn)產(chǎn)品B一件需消耗資源甲、乙、丙分別為6噸、2噸、2噸，生產(chǎn)產(chǎn)品C一件需消耗資源甲、乙、丙分別為2噸、4噸、2噸。A、B、C產(chǎn)品每件產(chǎn)值分別為5、4、4萬(wàn)元。工廠現(xiàn)有甲、乙、丙資源量分別為180、160、90噸。（1） 建立工廠安排生產(chǎn)使總產(chǎn)值最大數(shù)學(xué)模型。（2） 列出并利用單純形法求工廠的最優(yōu)生產(chǎn)方案。三、（本題10分）用

35、Newton迭代法求方程的最小正根，初值取為，給出第次迭代近似誤差的估計(jì)式。四、（本題10分）已知的數(shù)據(jù)如表：0 124-43 08用Lagrange插值法求函數(shù)的三次值函數(shù)，給出用作為的近似值的誤差估計(jì)式。五、（本題7分）試確定求積公式中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高。六、（本題12分）一種特殊藥品的生產(chǎn)廠家聲稱，這種藥能在8小時(shí)內(nèi)解除一種過(guò)敏的效率為90%，在有這種過(guò)敏的200人中使用藥品后，有160人在8小時(shí)內(nèi)解除了過(guò)敏，試問(wèn)生產(chǎn)廠家的說(shuō)法是否真實(shí)？七、（本題12分）某種合金鋼的抗拉強(qiáng)度Y(Pa)與鋼的含碳量x有線性回歸關(guān)系，現(xiàn)進(jìn)行了10次獨(dú)立觀測(cè)，并對(duì)測(cè)得數(shù)據(jù)進(jìn)行處理得到如下結(jié)果：,（

36、1）求Y對(duì)X的線性回歸方程。（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位。）（2）對(duì)回歸方程的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)。八、（本題11分）對(duì)方程組：，（1）建立求解該方程組的Jacobi法和Gauss-Seidel法的迭代計(jì)算式；（2）分析討論 a 的取值范圍，使 Jacobi 迭代法收斂。中南大學(xué)工程碩士“高等工程數(shù)學(xué)”考試試卷（開卷）2考試日期：2013年月日時(shí)間100分鐘 注：解答全部寫在答題紙上一、填空題(本題24分，每小題3分)1.對(duì)矩陣 A 進(jìn)行Cholesky分解的條件是：；2在進(jìn)行二因子方差分析時(shí)，如果二因子之間存在交互作用，在做試驗(yàn)時(shí)，需要對(duì)每一種組合進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)。當(dāng)二因子都取四水平，每一種組合重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)

37、均為3次，則一共應(yīng)做次試驗(yàn)。3如果，矩陣，利用Jacobi和 Gauss-Seidel迭代法求解此方程組的斂散性情況是；4正交表中的各數(shù)字有其含義，其中數(shù)字16表示，15表示；5函數(shù)，已知和的絕對(duì)誤差分別為和，則；6線性規(guī)劃的對(duì)偶線性規(guī)劃是；7設(shè)方程，迭代函數(shù)=時(shí)，可用迭代法求方程的最小正根的近似值，；8.設(shè)為區(qū)間的等分點(diǎn)，和為定積分復(fù)合梯形公式、為其復(fù)合辛普森公式，利用和表示為。二、（本題14分）某廠生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品，所需要的勞動(dòng)力、材料等數(shù)據(jù)如下表：ABC可用量（單位）勞動(dòng)力63545材料34530產(chǎn)品利潤(rùn)（元/件）314（1）建立產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃的數(shù)學(xué)模型使工廠獲利最大；（2）將模型標(biāo)

38、準(zhǔn)化；利用單純形法求解，列出求解過(guò)程。三、（本題10分）用Newton迭代法求方程的最小正根，初值取為，給出第近似誤差的估計(jì)式。四、（本題10分）已知的數(shù)據(jù)如表：-1 123-42 05用恰當(dāng)?shù)牟逯捣ㄇ蠛瘮?shù)的三次值函數(shù)，給出用作為的近似值的誤差估計(jì)式。五、（本題7分）試確定求積公式中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高。六、（本題12分）在甲、乙兩市進(jìn)行的職工家計(jì)調(diào)查結(jié)果表明：甲市抽取的500戶中平均每戶消費(fèi)支出元，標(biāo)準(zhǔn)差元；乙市抽取的1000戶中平均每戶消費(fèi)支出元，標(biāo)準(zhǔn)差元，試求兩市職工家庭每戶平均年消費(fèi)支出之間差別的置信水平為的置信區(qū)間。七、（本題12分）考察硝酸鈉的可溶性程度時(shí)，對(duì)一系列不同的

39、溫度觀察它在l00ml的水中溶解的硝酸納的重量，得觀察結(jié)果如下重量y0410152129365168溫度x通過(guò)計(jì)算有（1）試求重量與溫度的回歸直線方程。（2）重量與溫度的回歸直線方程是否顯著？八、（本題11分）對(duì)方程組：，（1）建立求解該方程組的Jacobi法和Gauss-Seidel法的迭代計(jì)算式；（2）分析討論 a 的取值范圍，使 Jacobi 迭代法收斂中南大學(xué)工程碩士“高等工程數(shù)學(xué)”試卷（開卷）3考試日期：2013年月日時(shí)間110分鐘 注：解答全部寫在答題紙上一、填空題(本題24分，每小題3分)（1）線性規(guī)劃（LP）與(LD)對(duì)偶，如果(LP)存在最優(yōu)解，則（LD）的最優(yōu)解；它們的最優(yōu)

40、目標(biāo)值；（2）在上，設(shè)與等價(jià)，則當(dāng)滿足， ，時(shí)，由（）產(chǎn)生的序列收斂于方程的根；（3）如果，矩陣，利用Jacobi和 Gauss-Seidel迭代法求解此方程組的斂散性情況是；（4）對(duì)矩陣 A 進(jìn)行Cholesky分解的條件是：；（5）已知在區(qū)間上通過(guò)點(diǎn)，則其三次樣條插值函數(shù)是滿足，；（6）設(shè)有線性回歸模型，其中且相互獨(dú)立，寫出參數(shù)的最小二乘估計(jì)。（7）在多元線性回歸建模過(guò)程中，需要考慮自變量的選擇問(wèn)題。寫出三種常用的自變量的選取方法。（8）影響數(shù)學(xué)模型數(shù)值求解結(jié)果的誤差有：，。二、（本題8分）已知的數(shù)據(jù)如表：-2 0260 4 -210試求三次Newton插值多項(xiàng)式，求的近似值，并給出相應(yīng)的

41、誤差估計(jì)式。三、（本題10分）利用迭代法求解非線性方程的正數(shù)根，取初值x0。要求先進(jìn)行收斂性分析，計(jì)算結(jié)果具有2位有效數(shù)字。四、（本題14分）某廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，需要A，B兩種原料，加工單位產(chǎn)品所需要原料及其他數(shù)據(jù)見下表。原料產(chǎn)品（噸/件）原料總量T甲乙丙A5108600B29121000產(chǎn)品獲利（元/件）（1）建立線性優(yōu)化模型，安排使該廠獲利最大的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃；（2）利用單純形法求解（要求計(jì)算過(guò)程和結(jié)果）；（3）寫出所建立的模型的對(duì)偶形式。五、（本題12分）一種生產(chǎn)降血壓藥品的生產(chǎn)廠家聲稱，他們生產(chǎn)的一種降壓藥服用一周后能使血壓明顯降低的效率可以達(dá)到80%，今在高血壓的人群中隨機(jī)抽取了200人服用此藥品，一周后有148人血壓有明顯降低，試問(wèn)生產(chǎn)廠家的說(shuō)法是否真實(shí)？六、