三角形重心外心垂心內(nèi)心的向量表示及其性質(zhì)

1、1O是的重心;若O是的重心，則故;為的重心.2O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，則故3O是的外心(或)若O是的外心則故4O是內(nèi)心的充要條件是引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡(jiǎn)潔。如果記的單位向量為，則剛才O是內(nèi)心的充要條件可以寫成，O是內(nèi)心的充要條件也可以是 。若O是的內(nèi)心，則ACBCCP故;是的內(nèi)心;向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；(一)將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查例1O是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)的軌跡一定通過的（ ）（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心解析：因?yàn)槭窍蛄康膯挝幌蛄吭O(shè)與方向上的單位向量分別為， 又，則原式可化為，

2、由菱形的基本性質(zhì)知AP平分，那么在中，AP平分，則知選B.(二)將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“垂心定理”例2 H是ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，點(diǎn)H是ABC的垂心.由,同理，.故H是ABC的垂心. （反之亦然（證略）例3.(湖南)P是ABC所在平面上一點(diǎn)，若，則P是ABC的（D）A外心B內(nèi)心C重心D垂心解析:由.即則所以P為的垂心. 故選D.(三)將平面向量與三角形重心結(jié)合考查“重心定理”例4 G是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，=0點(diǎn)G是ABC的重心.證明 作圖如右，圖中連結(jié)BE和CE，則CE=GB，BE=GCBGCE為平行四邊形D是BC的中點(diǎn)，AD為BC邊上的中線.將代入=0，得=0，故G是ABC的重心

3、.（反之亦然（證略）例5 P是ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn).G是ABC的重心.證明G是ABC的重心=0=0，即由此可得.（反之亦然（證略）例6若 為內(nèi)一點(diǎn)， ，則 是 的（     ）A內(nèi)心           B外心        C垂心          D重心解析：由得，如圖以O(shè)B、OC為相鄰兩邊構(gòu)

4、作平行四邊形，則，由平行四邊形性質(zhì)知，同理可證其它兩邊上的這個(gè)性質(zhì)，所以是重心，選D。(四)將平面向量與三角形外心結(jié)合考查例7若 為內(nèi)一點(diǎn)，則 是 的（     ）A內(nèi)心           B外心        C垂心          D重心解析：由向量模的定義知到的三頂點(diǎn)距離相等。故 是 的外

5、心 ，選B。(五)將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例8已知向量，滿足條件+=0，|=|=|=1，求證P1P2P3是正三角形.（數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下），復(fù)習(xí)參考題五B組第6題）證明 由已知+=-，兩邊平方得·=， 同理 ·=·=，|=|=|=，從而P1P2P3是正三角形.反之，若點(diǎn)O是正三角形P1P2P3的中心，則顯然有+=0且|=|=|.即O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，+=0且|=|=|點(diǎn)O是正P1P2P3的中心.例9在ABC中，已知Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q、G、H三點(diǎn)共線，且QG:GH=1:2?！咀C明】：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，

6、建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分別為AB、BC、AC的中點(diǎn)，則有：由題設(shè)可設(shè),AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF即，故Q、G、H三點(diǎn)共線，且QG：GH=1：2例10若O、H分別是ABC的外心和垂心.求證 .證明 若ABC的垂心為H，外心為O，如圖.連BO并延長(zhǎng)交外接圓于D，連結(jié)AD，CD.，.又垂心為H，AHCD，CHAD，四邊形AHCD為平行四邊形，故.著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置關(guān)系：（1）三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線“歐拉線”；（2）三角形的重心在“歐拉線”上，且為外垂連線的第

7、一個(gè)三分點(diǎn)，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡(jiǎn)單，可簡(jiǎn)化成如下的向量問題.例11設(shè)O、G、H分別是銳角ABC的外心、重心、垂心.求證 證明 按重心定理 G是ABC的重心按垂心定理 由此可得 .一、“重心”的向量風(fēng)采【命題1】 是所在平面上的一點(diǎn)，若，則是的重心如圖.M圖圖 【命題2】 已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的軌跡一定通過的重心.【解析】 由題意，當(dāng)時(shí)，由于表示邊上的中線所在直線的向量，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的重心，如圖.二、“垂心”的向量風(fēng)采【命題3】 是所在平面上一點(diǎn)，若，則是的垂心【解析】 由，得，即，所以同理可證，

8、是的垂心如圖.圖圖【命題4】 已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的垂心【解析】 由題意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即點(diǎn)在過點(diǎn)且垂直于的直線上，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的垂心，如圖.三、“內(nèi)心”的向量風(fēng)采【命題5】 已知為所在平面上的一點(diǎn)，且， 若，則是的內(nèi)心圖圖【解析】 ，則由題意得，與分別為和方向上的單位向量，與平分線共線，即平分同理可證：平分，平分從而是的內(nèi)心，如圖.【命題6】 已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心【解析】 由題意得，當(dāng)時(shí)，表示的平分線所在直線方向的向量，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心，如圖

9、.四、“外心”的向量風(fēng)采【命題7】 已知是所在平面上一點(diǎn)，若，則是的外心圖圖【解析】 若，則，則是的外心，如圖?！久}7】 已知是平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的外心?！窘馕觥?由于過的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，表示垂直于的向量（注意：理由見二、4條解釋。），所以在垂直平分線上，動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的外心，如圖。補(bǔ)充練習(xí)1已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是三角形ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足= (+2),則點(diǎn)P一定為三角形ABC的 （ B ）A.AB邊中線的中點(diǎn) B.AB邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）C.重心 D.AB邊的中點(diǎn)1. B取AB邊的中點(diǎn)M，則，由= (+2)可得

10、3，即點(diǎn)P為三角形中AB邊上的中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，且點(diǎn)P不過重心，故選B.2在同一個(gè)平面上有及一點(diǎn)滿足關(guān)系式： ，則為的 （  D  ） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心2已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足：，則P為的 （  C  ） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心3已知O是平面上一 定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P 滿足：，則P的軌跡一定通過ABC的（  C  ） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心4已知ABC，P為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且

11、動(dòng)點(diǎn)P滿足：，則P點(diǎn)為三角形的 （  D  ） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心5已知ABC，P為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足：，則P點(diǎn)為三角形的 （ B   ） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心6在三角形ABC中，動(dòng)點(diǎn)P滿足：，則P點(diǎn)軌跡一定通過ABC的： （ B ） 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心與滿足(+)·=0且·= , 則ABC為( )A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等邊三角形 D.等邊三角形解析：非零向量與滿足()·=0，即角A的平分線垂直于BC，AB

12、=AC，又=，A=，所以ABC為等邊三角形，選D8.的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，則實(shí)數(shù)m =1所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)O是的（B）（A）三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)（B）三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)（C）三條中線的交點(diǎn)（D）三條高的交點(diǎn)10. 如圖1，已知點(diǎn)G是的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則。 證 點(diǎn)G是的重心，知O，得O，有。又M，N，G三點(diǎn)共線（A不在直線MN上）， 于是存在，使得， 有=，得，于是得。1、課前練習(xí)ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若，則O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心ABC中，有命題；若，則ABC為等腰三角形；若，則ABC為銳角

13、三角形，上述命題中正確的是 A、 B、 C、 D、例1、已知ABC中，有和,試判斷ABC的形狀。練習(xí)1、已知ABC中，B是ABC中的最大角，若，試判斷ABC的形狀。4、運(yùn)用向量等式實(shí)數(shù)互化解與三角形有關(guān)的向量問題例2、已知O是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心5、運(yùn)用向量等式圖形化解與三角形有關(guān)的向量問題例3、已知P是ABC所在平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P一定過ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心練習(xí)2、已知O為平面內(nèi)一點(diǎn)，A、B、C平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡一定通過ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心例4、已知O是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P一定過ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心練習(xí)3、已知O是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P一定過ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、內(nèi)心例5、已知點(diǎn)G是的重心，過G作直線與AB、AC分別相交于M、N兩點(diǎn)，且，求證：7、作業(yè)1、已知O是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若，則O是ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D