勾股定理綜合難題 附答案超好 打印版

1、1 如圖，圓柱的高為10 cm，底面半徑為2 cm.，在下底面的A點處有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處，需要爬行的最短路程是多少?2 如圖，長方體的高為3 cm，底面是邊長為2 cm的正方形. 現(xiàn)有一小蟲從頂點A出發(fā)，沿長方體側(cè)面到達(dá)頂點C處，小蟲走的路程最短為多少厘米? 答案AB=5BCBACD3、一只螞蟻從棱長為1的正方體紙箱的B點沿紙箱爬到D點，那么它所行的最短路線的長是_。4、如圖，小紅用一張長方形紙片ABCD進行折紙，已知該紙片寬AB為8cm，長BC為10cm當(dāng)小紅折疊時，頂點D落在BC邊上的點F處（折痕為AE）想一想，此時EC有多長？5如圖，將一個邊長分別為4、8的長

2、方形紙片ABCD折疊，使C點與A點重合，則EB的長是（ ）A3B4 C D5 6已知：如圖，在ABC中，C=90°，B=30°，AB的垂直平分線交BC于D，垂足為E，D=4cm求AC的長7、如圖，有一個直角三角形紙片，兩直角邊AC=6，BC=8，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使其落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD的長為8、如圖，在矩形中，將矩形折疊，使點B與點D重合，落在處，若，則折痕的長為 。9、如圖，已知：點E是正方形ABCD的BC邊上的點，現(xiàn)將DCE沿折痕DE向上翻折，使DC落在對角線DB上，則EBCE_10、如圖，AD是ABC的中線，ADC45o，把ADC沿AD對

3、折，點C落在C´的位置，若BC2，則BC´_CBAAFEDCBDC題5圖圖1D11如圖1，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC6cm，BC8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（ ）A.2cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm12、有一個直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿CAB的角平分線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長嗎？ 13、如圖，在ABC中，B=，AB=BC=6，把ADBCEFABC進行折疊，使點A與點D重合，BD:DC=1:2，折痕為EF，點E在AB上，點F在A

4、C上，求EC的長。14已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則ABE的面積為（）A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm2ABEFDC第11題圖15如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點D與點B重合，已知AB3，AD9，求BE的長16、如圖，每個小方格的邊長都為1求圖中格點四邊形ABCD的面積。17、如圖，已知：在中，分別以此直角三角形的三邊為直徑畫半圓，試說明圖中陰影部分的面積與直角三角形的面積相等18如圖8，有一塊塑料矩形模板ABCD，長為10cm，寬為4cm，將你手中足夠大的直角三角板 PHF 的直角頂點P落在AD邊

5、上(不與A、D重合)，在AD上適當(dāng)移動三角板頂點P：圖8能否使你的三角板兩直角邊分別通過點B與點C？若能，請你求出這時 AP 的長；若不能，請說明理由再次移動三角板位置，使三角板頂點P在AD上移動，直角邊PH 始終通過點B，另一直角邊PF與DC的延長線交于點Q，與BC交于點E，能否使CE2cm？若能，請你求出這時AP的長；若不能，請你說明理由21能.設(shè)APx米，由于BP216+x2，CP216+(10x)2，而在RtPBC中，有BP2+ CP2BC2，即16+x2+16+(10x)2100，所以x210x+160，即(x5)29，所以x5±3，所以x8，x2，即AP8或2，可求得AP

6、4.19.如圖ABC中，則MN= 420、直角三角形的面積為，斜邊上的中線長為，則這個三角形周長為（ ）（A） （B）（C） （D）解:設(shè)兩直角邊分別為,斜邊為,則,. 由勾股定理,得. 所以.所以.所以.故選（C）21在中,邊上有2006個不同的點,記,則=_.22如圖所示，在中,且,求的長.23、如圖，在ABC中，AB=AC=6，P為BC上任意一點，請用學(xué)過的知識試求PC·PB+PA2的值。ABPC24、如圖在RtABC中,，在RtABC的外部拼接一個合適的直角三角形，使得拼成的圖形是一個等腰三角形。如圖所示：要求：在兩個備用圖中分別畫出兩種與示例圖不同的拼接方法，在圖中標(biāo)明拼接

7、的直角三角形的三邊長（請同學(xué)們先用鉛筆畫出草圖，確定后再用0.5mn的黑色簽字筆畫出正確的圖形）25如圖，A、B兩個村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=1km，BD=3km，CD=3km，現(xiàn)在河邊CD上建一水廠向A、B兩村輸送自來水，鋪設(shè)水管的費用為20000元/千米，請你在CD選擇水廠位置O，使鋪設(shè)水管的費用最省，并求出鋪設(shè)水管的總費用F。ABPC第28題圖26已知：如圖，ABC中，C = 90°，點O為ABC的三條角平分線的交點，ODBC，OEAC，OFAB，點D、E、F分別是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，則點O到三邊AB，AC和BC的距離分別等于&

8、#160;                                cmCOABDEF第26題圖27（8分）如圖，在ABC中，AB=AC，P為BC上任意一點，請說明：AB2AP2=PB×PC。28、如圖，已知：，于P求證： AB小河?xùn)|北牧童小屋29（本題滿分6分）如圖，一個

9、牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少？30. （本題滿分6分）如圖所示，某住宅社區(qū)在相鄰兩樓之間修建一個上方是一個半圓，下方是長方形的仿古通道，現(xiàn)有一輛卡車裝滿家具后，高4米，寬，請問這輛送家具的卡車能否通過這個通道.31在一棵樹的10米高B處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的A處；另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高多少米?32在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，一陣風(fēng)吹來，紅蓮移到一邊，花朵齊及水面，已知

10、紅蓮移動的水平距離為2米，求這里的水深是多少米?33長為4 m的梯子搭在墻上與地面成45°角，作業(yè)時調(diào)整為60°角(如圖所示)，則梯子的頂端沿墻面升高了_m34已知：如圖，ABC中，C90°，D為AB的中點，E、F分別在AC、BC上，且DEDF求證：AE2BF2EF235已知：如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點，E為CB的四等分點且CE，求證：AFFE36已知ABC中，a2b2c210a24b26c338，試判定ABC的形狀，并說明你的理由37已知a、b、c是ABC的三邊，且a2c2b2c2a4b4，試判斷三角形的形狀38如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和

11、3cm，高為6cm如果用一根細(xì)線從點A開始經(jīng)過四個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點B，那么所用細(xì)線最短需要多長?如果從點A開始經(jīng)過四個側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點B，那么所用細(xì)線最短需要多長?39、a、b為任意正數(shù)，且a>b，求證：邊長為2ab、 a2b2、a2+b2的三角形是直角三角形ABCD第24題圖40. 三角形的三邊長為,則這個三角形是( )（A） 等邊三角形 （B） 鈍角三角形 （C） 直角三角形 （D） 銳角三角形.41.（12分）如圖，某沿海開放城市A接到臺風(fēng)警報，在該市正南方向100km的B處有一臺風(fēng)中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移動，已知城市A到BC的距離AD=60km，那么臺風(fēng)中心

12、經(jīng)過多長時間從B點移到D點？如果在距臺風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風(fēng)的破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風(fēng)警報后的幾小時內(nèi)撤離才可脫離危險？42.（14分）ABC中，BC，AC，AB，若C=90°，如圖（1），根據(jù)勾股定理，則，若ABC不是直角三角形，如圖（2）和圖（3），請你類比勾股定理，試猜想與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 解：若ABC是銳角三角形，則有a2+b2>c2若ABC是鈍角三角形，C為鈍角，則有a2+b2<c2當(dāng)ABC是銳角三角形時，證明：過點A作ADCB，垂足為D。設(shè)CD為x，則有DB=ax 根據(jù)勾股定理得 b2x2c2(ax) 2即 b2x2c

13、2a22axx 2a2b2c22ax a>0，x>02ax>0a2+b2>c2 當(dāng)ABC是鈍角三角形時，43（10分）如圖，A市氣象站測得臺風(fēng)中心在A市正東方向300千米的B處，以10 千米/時的速度向北偏西60°的BF方向移動，距臺風(fēng)中心200千米范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域 （1）A市是否會受到臺風(fēng)的影響？寫出你的結(jié)論并給予說明； （2）如果A市受這次臺風(fēng)影響，那么受臺風(fēng)影響的時間有多長？44、將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長度為hcm，則h的取值范圍是（）Ah17cm Bh8cmC15cm

14、h16cm D7cmh16cm45如圖，已知：，于P. 求證：. 46【變式2】已知：如圖，B=D=90°，A=60°，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。47【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高，寬，要開進廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?（一）轉(zhuǎn)化的思想方法我們在求三角形的邊或角，或進行推理論證時，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決49、如圖所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DEDF，若BE=12，CF=5求線段EF的長。50 如圖，在等腰ABC中，AC

15、B=90°，D、E為斜邊AB上的點，且DCE=45°。求證：DE2=AD2+BE2。51 如圖，在A BC中，AB=13,BC=14,A C=15，則BC邊上的高A D= 。52 如圖，長方形ABCD中，AB=8，BC=4，將長方形沿AC折疊，點D落在點E處，則重疊部分AFC的面積是。53 在ABC中，AB=15 ,AC=20,BC邊上的高A D=12，試求BC邊的長.54 在A BC中，D是BC所在直線上一點，若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17，求ABC的面積。55. 若ABC三邊a、b、c 滿足 a2b2c2338=10a+24b+26c，ABC是直角三角形嗎

16、？為什么？56. 在ABC中，BC=1997，AC=1998，AB2=1997+1998，則ABC是否為直角三角形？為什么？注意BC、AC、AB的大小關(guān)系。ABBCAC。AB2+BC2=1997+19972+1998=1997×（1+1997）+1998=1997×1998+1998=19982= AC2。57. 一只螞蟻在一塊長方形的一個頂點A處，一只蒼蠅在這個長方形上和蜘蛛相對的頂點C1處，如圖，已知長方形長6cm，寬5 cm，高3 cm。蜘蛛因急于捉到蒼蠅，沿著長方形的表面向上爬，它要從A點爬到C1點，有很多路線，它們有長有短，蜘蛛究竟應(yīng)該沿著怎樣的路線爬上去，所走的

17、距離最短？你能幫蜘蛛求出最短距離嗎？58.木箱的長、寬、高分別為40dm、30dm和50dm，有一70dm的木棒，能放進去嗎？請說明理由。59. 已知ABC的三邊a、b、c，且a+b=17，ab=60，c=13, ABC是否是直角三角形？你能說明理由嗎？60. 如圖，E是正方形ABCD的邊CD的中點，延長AB到F，使BF=AB，那么FE與FA 相等嗎？為什么？61. 如圖，A=60°, B=D=90°。若BC=4，CD=6，求AB的長。62如圖，xoy=60°，M是xoy內(nèi)的一點，它到ox的距離MA為2。它到oy的距離為11。求OM的長。帶答案版的用面積證明勾股定

18、理方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形。 圖（1）中，所以。 方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形。 圖（2）中，所以。方法三：將四個全等的直角三角形分別拼成如圖（3）1和（3）2所示的兩個形狀相同的正方形。 在（3）1中，甲的面積=（大正方形面積）（4個直角三角形面積）, 在（3）2中，乙和丙的面積和=（大正方形面積）（4個直角三角形面積）, 所以，甲的面積=乙和丙的面積和，即：.方法四：如圖（4）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形。 ，所以。練習(xí)題1 如圖，圓柱的高為10 cm，底面半徑為2 cm.，在下底面的A點處有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點

19、相對的B點處，需要爬行的最短路程是多少?2 如圖，長方體的高為3 cm，底面是邊長為2 cm的正方形. 現(xiàn)有一小蟲從頂點A出發(fā)，沿長方體側(cè)面到達(dá)頂點C處，小蟲走的路程最短為多少厘米? 答案AB=5BCBACD3、一只螞蟻從棱長為1的正方體紙箱的B點沿紙箱爬到D點，那么它所行的最短路線的長是_。4、如圖，小紅用一張長方形紙片ABCD進行折紙，已知該紙片寬AB為8cm，長BC為10cm當(dāng)小紅折疊時，頂點D落在BC邊上的點F處（折痕為AE）想一想，此時EC有多長？5如圖，將一個邊長分別為4、8的長方形紙片ABCD折疊，使C點與A點重合，則EB的長是（ ）A3B4 C D5 6已知：如圖，在ABC中，

20、C=90°，B=30°，AB的垂直平分線交BC于D，垂足為E，D=4cm求AC的長7、如圖，有一個直角三角形紙片，兩直角邊AC=6，BC=8，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使其落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD的長為 8、如圖，在矩形中，將矩形折疊，使點B與點D重合，落在處，若，則折痕的長為 。9、如圖，已知：點E是正方形ABCD的BC邊上的點，現(xiàn)將DCE沿折痕DE向上翻折，使DC落在對角線DB上，則EBCE_10、如圖，AD是ABC的中線，ADC45o，把ADC沿AD對折，點C落在C´的位置，若BC2，則BC´_CBAAFEDCBDC題5圖圖1D11

21、如圖1，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC6cm，BC8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（ ）A.2cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm12、有一個直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿CAB的角平分線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長嗎？ 13、如圖，在ABC中，B=，AB=BC=6，把ADBCEFABC進行折疊，使點A與點D重合，BD:DC=1:2，折痕為EF，點E在AB上，點F在AC上，求EC的長。14已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點B與

22、點D重合，折痕為EF，則ABE的面積為（）A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm2ABEFDC第11題圖15如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點D與點B重合，已知AB3，AD9，求BE的長16、如圖，每個小方格的邊長都為1求圖中格點四邊形ABCD的面積。17、如圖，已知：在中，分別以此直角三角形的三邊為直徑畫半圓，試說明圖中陰影部分的面積與直角三角形的面積相等18如圖8，有一塊塑料矩形模板ABCD，長為10cm，寬為4cm，將你手中足夠大的直角三角板 PHF 的直角頂點P落在AD邊上(不與A、D重合)，在AD上適當(dāng)移動三角板頂點P：圖8能否使你的三角板兩直角邊分別通過點B與點C？若

23、能，請你求出這時 AP 的長；若不能，請說明理由再次移動三角板位置，使三角板頂點P在AD上移動，直角邊PH 始終通過點B，另一直角邊PF與DC的延長線交于點Q，與BC交于點E，能否使CE2cm？若能，請你求出這時AP的長；若不能，請你說明理由21能.設(shè)APx米，由于BP216+x2，CP216+(10x)2，而在RtPBC中，有BP2+ CP2BC2，即16+x2+16+(10x)2100，所以x210x+160，即(x5)29，所以x5±3，所以x8，x2，即AP8或2，可求得AP4.ABC中，則MN= 4 20、直角三角形的面積為，斜邊上的中線長為，則這個三角形周長為（ ）（A）

24、 （B）（C） （D）解:設(shè)兩直角邊分別為,斜邊為,則,. 由勾股定理,得. 所以. 所以.所以.故選（C）21在中,邊上有2006個不同的點,記,則=_.解:如圖,作于,因為,則.由勾股定理,得.所以所以.因此.22如圖所示，在中,且,求的長.解:如右圖：因為為等腰直角三角形,所以. 所以把繞點旋轉(zhuǎn)到,則. 所以.連結(jié). 所以為直角三角形. 由勾股定理,得.所以. 因為所以. 所以. 所以.23、如圖，在ABC中，AB=AC=6，P為BC上任意一點，請用學(xué)過的知識試求PC·PB+PA2的值。ABPC24、如圖在RtABC中,，在RtABC的外部拼接一個合適的直角三角形，使得拼成的圖

25、形是一個等腰三角形。如圖所示：要求：在兩個備用圖中分別畫出兩種與示例圖不同的拼接方法，在圖中標(biāo)明拼接的直角三角形的三邊長（請同學(xué)們先用鉛筆畫出草圖，確定后再用0.5mn的黑色簽字筆畫出正確的圖形）解：要在RtABC 的外部接一個合適的直角三角形，使得拼成的圖形是一個等腰三角形，關(guān)鍵是腰與底邊的確定。要求在圖中標(biāo)明拼接的直角三角形的三邊長，這需要用到勾股定理知識。下圖中的四種拼接方法供參考。25如圖，A、B兩個村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=1km，BD=3km，CD=3km，現(xiàn)在河邊CD上建一水廠向A、B兩村輸送自來水，鋪設(shè)水管的費用為20000元/千米，請你在CD選擇水廠

26、位置O，使鋪設(shè)水管的費用最省，并求出鋪設(shè)水管的總費用F。ABPC第28題圖26已知：如圖，ABC中，C = 90°，點O為ABC的三條角平分線的交點，ODBC，OEAC，OFAB，點D、E、F分別是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，則點O到三邊AB，AC和BC的距離分別等于                         

27、60;       cmCOABDEF第26題圖27（8分）如圖，在ABC中，AB=AC，P為BC上任意一點，請說明：AB2AP2=PB×PC。28、如圖，已知：，于P求證： AB小河?xùn)|北牧童小屋29（本題滿分6分）如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少？30. （本題滿分6分）如圖所示，某住宅社區(qū)在相鄰兩樓之間修建一個上方是一個半圓，下方是長方形的仿古通道，現(xiàn)有一輛卡車裝滿家具后，高4米，寬，請問這輛送

28、家具的卡車能否通過這個通道.31在一棵樹的10米高B處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的A處；另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高多少米?32在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，一陣風(fēng)吹來，紅蓮移到一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動的水平距離為2米，求這里的水深是多少米?33長為4 m的梯子搭在墻上與地面成45°角，作業(yè)時調(diào)整為60°角(如圖所示)，則梯子的頂端沿墻面升高了_m34已知：如圖，ABC中，C90°，D為AB的中點，E、F分別在AC、BC上，且DEDF求證：AE2BF2EF235已

29、知：如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點，E為CB的四等分點且CE，求證：AFFE36已知ABC中，a2b2c210a24b26c338，試判定ABC的形狀，并說明你的理由37已知a、b、c是ABC的三邊，且a2c2b2c2a4b4，試判斷三角形的形狀38如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm，高為6cm如果用一根細(xì)線從點A開始經(jīng)過四個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點B，那么所用細(xì)線最短需要多長?如果從點A開始經(jīng)過四個側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點B，那么所用細(xì)線最短需要多長?39、a、b為任意正數(shù)，且a>b，求證：邊長為2ab、 a2b2、a2+b2的三角形是直角三角形ABCD第24題圖40. 三角形的

30、三邊長為,則這個三角形是( )（A） 等邊三角形 （B） 鈍角三角形 （C） 直角三角形 （D） 銳角三角形.41.（12分）如圖，某沿海開放城市A接到臺風(fēng)警報，在該市正南方向100km的B處有一臺風(fēng)中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移動，已知城市A到BC的距離AD=60km，那么臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點？如果在距臺風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風(fēng)的破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風(fēng)警報后的幾小時內(nèi)撤離才可脫離危險？42.（14分）ABC中，BC，AC，AB，若C=90°，如圖（1），根據(jù)勾股定理，則，若ABC不是直角三角形，如圖（2）和圖（3），請你類

31、比勾股定理，試猜想與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 解：若ABC是銳角三角形，則有a2+b2>c2若ABC是鈍角三角形，C為鈍角，則有a2+b2<c2當(dāng)ABC是銳角三角形時，證明：過點A作ADCB，垂足為D。設(shè)CD為x，則有DB=ax 根據(jù)勾股定理得 b2x2c2(ax) 2即 b2x2c2a22axx 2a2b2c22ax a>0，x>02ax>0a2+b2>c2 當(dāng)ABC是鈍角三角形時，43（10分）如圖，A市氣象站測得臺風(fēng)中心在A市正東方向300千米的B處，以10 千米/時的速度向北偏西60°的BF方向移動，距臺風(fēng)中心200千米范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的

32、區(qū)域 （1）A市是否會受到臺風(fēng)的影響？寫出你的結(jié)論并給予說明； （2）如果A市受這次臺風(fēng)影響，那么受臺風(fēng)影響的時間有多長？44、將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長度為hcm，則h的取值范圍是（）Ah17cm Bh8cmC15cmh16cm D7cmh16cm45如圖，已知：，于P. 求證：. 思路點撥: 圖中已有兩個直角三角形，但是還沒有以BP為邊的直角三角形. 因此，我們考慮構(gòu)造一個以BP為一邊的直角三角形. 所以連結(jié)BM. 這樣，實際上就得到了4個直角三角形. 那么根據(jù)勾股定理，可證明這幾條線段的平方之間的關(guān)系.解析：連結(jié)

33、BM，根據(jù)勾股定理，在中，. 而在中，則根據(jù)勾股定理有. 又（已知），. 在中，根據(jù)勾股定理有，. 46【變式2】已知：如圖，B=D=90°，A=60°，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC，或延長AB、DC交于F，或延長AD、BC交于點E，根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡單。解析：延長AD、BC交于E。A=60°，B=90°，E=30°。AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。 DE2= CE2-CD2=

34、42-22=12，DE=。S四邊形ABCD=SABE-SCDE=AB·BE-CD·DE=47【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高，寬，要開進廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時其高度是否小于CH如圖所示，點D在離廠門中線處，且CD， 與地面交于H解：OC1米(大門寬度一半)，OD（卡車寬度一半）在RtOCD中，由勾股定理得：CD，C.（米）.（米）因此高度上有的余量，所以卡車能通過廠門48、如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且QPN30°，點A處有一所中學(xué)，AP160m。假設(shè)拖

35、拉機行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？ 思路點撥：（1）要判斷拖拉機的噪音是否影響學(xué)校A，實質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m, 小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計算其長度。（2）要求出學(xué)校受影響的時間，實質(zhì)是要求拖拉機對學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機行至哪一點開始影響學(xué)校，行至哪一點后結(jié)束影響學(xué)校。 解析：作ABMN，垂足為B。 在 RtABP中，ABP90°，APB30

36、6;， AP160， ABAP80。 （在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半） 點 A到直線MN的距離小于100m,這所中學(xué)會受到噪聲的影響。 如圖，假設(shè)拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛到點C處學(xué)校開始受到影響，那么AC100(m)，由勾股定理得： BC21002-8023600, BC60。 同理，拖拉機行駛到點D處學(xué)校開始脫離影響，那么，AD100(m)，BD60(m),CD120(m)。 拖拉機行駛的速度為 : 18km/h5m/s t120m÷5m/s24s。 答：拖拉機在公路 MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校會受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時間為24秒。 （一

37、）轉(zhuǎn)化的思想方法我們在求三角形的邊或角，或進行推理論證時，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決49、如圖所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DEDF，若BE=12，CF=5求線段EF的長。思路點撥：現(xiàn)已知BE、CF，要求EF，但這三條線段不在同一三角形中，所以關(guān)鍵是線段的轉(zhuǎn)化，根據(jù)直角三角形的特征，三角形的中線有特殊的性質(zhì)，不妨先連接AD解：連接AD因為BAC=90°，AB=AC又因為AD為ABC的中線，所以AD=DC=DBADBC且BAD=C=45°因為EDA+ADF=90°又因為CDF+ADF=90°所以EDA=CDF所以AEDCFD（ASA）所以AE=FC=5同理：AF=BE=12在RtAEF中，根據(jù)勾股定