應變推知位移的方法

1、近年來高空長航時（High-Altitude Long-Endurance）無人預警機越來越受重視，這類飛機普遍具有大展弦比柔性機翼，機翼同時是一部長基線天線。圖 1 大展弦比柔性機翼大展弦比柔性機翼在飛行載荷作用下，會產(chǎn)生很大的彎曲和扭轉變形圖 2 機翼變形示意圖結構變形估計為保障機翼的安全性及機翼長基線天線的電性能，要求對機翼的變形進行實時測量，目前主要的實時測量方法有兩種：一是模態(tài)法；二是Ko位移理論。模態(tài)法在僅考慮Y軸方向彎曲變形時，可以將機翼簡化為懸臂梁，如圖3所示，長為，半徑為的圓截面懸臂梁。圖 3 模態(tài)法應變測量點與位移示例由結構動力學可知，對于分布參數(shù)系統(tǒng)，理論上需要采用偏微分

2、方程描述其變形。但實際上，往往采用有限元方法對其離散化。將結構離散化后，整體結構有限元節(jié)點總數(shù)為，在外載荷作用下的變形可以由下面的運動方程來描述。 (1)式中，分別表示結構的質量陣，阻尼陣，剛度陣以及外載荷向量。對于線性系統(tǒng)，可以由相應振型方程得各階模態(tài)振型。 (2)式中，表示結構固有頻率；表示結構模態(tài)振型向量。通過特征值和特征向量的求解，可得各階模態(tài)振型如下所示。 (3)式中，表示第階固有頻率所對應的模態(tài)振型向量；表示第階模態(tài)振型的第個模態(tài)位移。根據(jù)模態(tài)疊加原理，結構的變形可以表示成 (4)結構位移模態(tài)反映的是結構的固有振型，應變是位移的一階導數(shù)。因此，對應于每一階位移位移模態(tài)，則必有其對應

3、的固有應變分布，這種與位移模態(tài)相對應的固有應變分布狀態(tài)稱之為應變模態(tài)。 (5)式中，表示第階應變模態(tài)向量；表示第階位移模態(tài)向量；表示位移到應變的線性微分算子。由應變模態(tài)的定義可知，結構在載荷作用下的變形所對應的應變分布也可以由各階應變模態(tài)的線性組合來表示，且有相同的線性組合系數(shù)，即有相同的廣義模態(tài)坐標。取前階彎曲模態(tài)，在處的測量應變可以表示為 (6)式中，表示第階應變模態(tài)在處的分量。那么個測量應變的矩陣形式如下 (7)由模態(tài)分析得到，由測量得到，在時就可以求出，如下所示 (8)在求得前階彎曲模態(tài)所對應的廣義模態(tài)坐標，并且已知前階彎曲位移模態(tài)的條件下，所有參與評價位移估計精度的節(jié)點的估計位移就可

4、以表示為(9)簡寫為 (10)式中，表示參與評價位移估計精度的節(jié)點總數(shù)。Ko位移理論從整個機翼來看，變形量很大，但是逐段分析發(fā)現(xiàn)，段內變形量仍是一個小量，并且滿足線彈性假設。因此將整個梁沿X軸方向劃分為多個小段，在每個小段上分別應用經(jīng)典梁理論的線彈性小變形假設來推導位移。圖 4 Ko位移理論應變測量點與位移示例在測得第段段首和段尾位置的應變和之后，通過一次插值函數(shù)得到第段內任意位置的應變 (12)由歐拉-伯努利梁理論可知，梁表面的彎曲應變與梁變形后的擾度之間的關系式為 (13)由此，在已知第段段首和段尾位置的轉角和擾度的條件下，通過一次積分得到第段內任意點的轉角 (14)通過兩次積分得到第段內任意點的擾度 (15)顯然上述積分過程是一般意義上的積分過程，但是必須是在已知和的前提下，而這在沒有完成第段的轉角和擾度的計算之前是未知的，即第段的位移估計必須建立在第段的基礎上。另外，由懸臂梁的邊界條件可知，在第1段內，轉角，擾度，由此