應(yīng)變推知位移的方法

1、近年來高空長航時（High-Altitude Long-Endurance）無人預(yù)警機越來越受重視，這類飛機普遍具有大展弦比柔性機翼，機翼同時是一部長基線天線。圖 1 大展弦比柔性機翼大展弦比柔性機翼在飛行載荷作用下，會產(chǎn)生很大的彎曲和扭轉(zhuǎn)變形圖 2 機翼變形示意圖結(jié)構(gòu)變形估計為保障機翼的安全性及機翼長基線天線的電性能，要求對機翼的變形進(jìn)行實時測量，目前主要的實時測量方法有兩種：一是模態(tài)法；二是Ko位移理論。模態(tài)法在僅考慮Y軸方向彎曲變形時，可以將機翼簡化為懸臂梁，如圖3所示，長為，半徑為的圓截面懸臂梁。圖 3 模態(tài)法應(yīng)變測量點與位移示例由結(jié)構(gòu)動力學(xué)可知，對于分布參數(shù)系統(tǒng)，理論上需要采用偏微分

2、方程描述其變形。但實際上，往往采用有限元方法對其離散化。將結(jié)構(gòu)離散化后，整體結(jié)構(gòu)有限元節(jié)點總數(shù)為，在外載荷作用下的變形可以由下面的運動方程來描述。 (1)式中，分別表示結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣，阻尼陣，剛度陣以及外載荷向量。對于線性系統(tǒng)，可以由相應(yīng)振型方程得各階模態(tài)振型。 (2)式中，表示結(jié)構(gòu)固有頻率；表示結(jié)構(gòu)模態(tài)振型向量。通過特征值和特征向量的求解，可得各階模態(tài)振型如下所示。 (3)式中，表示第階固有頻率所對應(yīng)的模態(tài)振型向量；表示第階模態(tài)振型的第個模態(tài)位移。根據(jù)模態(tài)疊加原理，結(jié)構(gòu)的變形可以表示成 (4)結(jié)構(gòu)位移模態(tài)反映的是結(jié)構(gòu)的固有振型，應(yīng)變是位移的一階導(dǎo)數(shù)。因此，對應(yīng)于每一階位移位移模態(tài)，則必有其對應(yīng)

3、的固有應(yīng)變分布，這種與位移模態(tài)相對應(yīng)的固有應(yīng)變分布狀態(tài)稱之為應(yīng)變模態(tài)。 (5)式中，表示第階應(yīng)變模態(tài)向量；表示第階位移模態(tài)向量；表示位移到應(yīng)變的線性微分算子。由應(yīng)變模態(tài)的定義可知，結(jié)構(gòu)在載荷作用下的變形所對應(yīng)的應(yīng)變分布也可以由各階應(yīng)變模態(tài)的線性組合來表示，且有相同的線性組合系數(shù)，即有相同的廣義模態(tài)坐標(biāo)。取前階彎曲模態(tài)，在處的測量應(yīng)變可以表示為 (6)式中，表示第階應(yīng)變模態(tài)在處的分量。那么個測量應(yīng)變的矩陣形式如下 (7)由模態(tài)分析得到，由測量得到，在時就可以求出，如下所示 (8)在求得前階彎曲模態(tài)所對應(yīng)的廣義模態(tài)坐標(biāo)，并且已知前階彎曲位移模態(tài)的條件下，所有參與評價位移估計精度的節(jié)點的估計位移就可

4、以表示為(9)簡寫為 (10)式中，表示參與評價位移估計精度的節(jié)點總數(shù)。Ko位移理論從整個機翼來看，變形量很大，但是逐段分析發(fā)現(xiàn)，段內(nèi)變形量仍是一個小量，并且滿足線彈性假設(shè)。因此將整個梁沿X軸方向劃分為多個小段，在每個小段上分別應(yīng)用經(jīng)典梁理論的線彈性小變形假設(shè)來推導(dǎo)位移。圖 4 Ko位移理論應(yīng)變測量點與位移示例在測得第段段首和段尾位置的應(yīng)變和之后，通過一次插值函數(shù)得到第段內(nèi)任意位置的應(yīng)變 (12)由歐拉-伯努利梁理論可知，梁表面的彎曲應(yīng)變與梁變形后的擾度之間的關(guān)系式為 (13)由此，在已知第段段首和段尾位置的轉(zhuǎn)角和擾度的條件下，通過一次積分得到第段內(nèi)任意點的轉(zhuǎn)角 (14)通過兩次積分得到第段內(nèi)任意點的擾度 (15)顯然上述積分過程是一般意義上的積分過程，但是必須是在已知和的前提下，而這在沒有完成第段的轉(zhuǎn)角和擾度的計算之前是未知的，即第段的位移估計必須建立在第段的基礎(chǔ)上。另外，由懸臂梁的邊界條件可知，在第1段內(nèi)，轉(zhuǎn)角，擾度，由此