高考真題分類匯編——統(tǒng)計與概率

1、分類匯編統(tǒng)計與概率6.（全國卷理6）我國古代典籍周易用“卦”“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，下圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有個陽爻的概率是（ ） A. B. C. D.答案：A解答：每爻有陰陽兩種情況，所以總的事件共有種，在個位置上恰有個是陽爻的情況有種，所以.15. （全國卷理15）甲乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊贏得四場勝利時，該對獲勝，決賽結(jié)束）根據(jù)前期的比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”設(shè)甲隊主場取勝的概率為，客場取勝的概率為，且各場比賽相互獨立，則甲隊以獲勝的概率是.答案：解答：甲隊要以，則甲隊在前4場比

2、賽中輸一場，第5場甲獲勝，由于在前4場比賽中甲有2個主場2個客場，于是分兩種情況：.21（全國卷理21）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物實驗實驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比實驗對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪實驗當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止實驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效為了方便描述問題，約定：對于每輪實驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩

3、種藥均得0分甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪實驗中甲藥的得分記為（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在實驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，其中，假設(shè)，（i）證明：為等比數(shù)列；（ii）求，并根據(jù)的值解釋這種實驗方案的合理性答案：（1）略；（2）略解答：（1）一輪實驗中甲藥的得分有三種情況：、得分時是施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈，則；得分時是施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈，則；得分時是都治愈或都未治愈，則則的分布列為：（2）（i）因為，則，可得，則，則，則，所以為等比數(shù)列（ii）的首項為，那么可得：，以上7個式子相加，得到

4、，則，則，再把后面三個式子相加，得，則表示“甲藥治愈的白鼠比乙藥治愈的白鼠多4只，且甲藥的累計得分為4”，因為，則實驗結(jié)果中“甲藥治愈的白鼠比乙藥治愈的白鼠多4只，且甲藥的累計得分為4”這種情況的概率是非常小的，而的確非常小，說明這種實驗方案是合理的6. （全國卷文6）某學(xué)校為了解名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號為，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取名學(xué)生進行體質(zhì)測驗，若號學(xué)生被抽到，則下面名學(xué)生中被抽到的是（ ）. A.號學(xué)生 B.號學(xué)生 C.號學(xué)生 D.號學(xué)生答案：C解答：從名學(xué)生中抽取名，每人抽一個，號學(xué)生被抽到，則抽取的號數(shù)就為，可得出號學(xué)生被抽到.17. （全國卷文17）某商場為提高

5、服務(wù)質(zhì)量，隨機調(diào)查了名男顧客和名女顧客，每位顧客對該商場的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表： 滿 意不 滿 意 男 顧 客女 顧 客（1） 分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率；（2） 能否有的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異？附：答案：(1)男顧客的的滿意概率為女顧客的的滿意概率為(2) 有的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異.解答： (1)男顧客的的滿意概率為女顧客的的滿意概率為.(2) 有的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異.5.（全國卷理5）演講比賽共有9位評委分別給出某位選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最

6、低分，得到7個有效評分。7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是（ ）A中位數(shù) B平均數(shù) C方差 D極差答案：A解答：由于共9個評委，將評委所給分?jǐn)?shù)從小到大排列，中位數(shù)是第5個，假設(shè)為，去掉一頭一尾的最低和最高分后，中位數(shù)還是，所以不變的是數(shù)字特征是中位數(shù)。其它的數(shù)字特征都會改變。13.（全國卷理13）我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進。經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20 個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為.答案：解答：經(jīng)停該站的列出共有40個車次，所有車次的平均正點率的估計值為。18.

7、 （全國卷理18）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時甲得分的概率為平后，甲先發(fā)球，兩人又打了個球該局比賽結(jié)束.(1)求；(2)求事件“且甲獲勝”的概率.答案：（1） ；（2）解析：(1)時，有兩種可能：甲連贏兩局結(jié)束比賽，此時；乙連贏兩局結(jié)束比賽，此時，；(2)且甲獲勝，即只有第二局乙獲勝，其他都是甲獲勝，此時.4.（全國卷文4）生物實驗室有只兔子，其中只有只測量過某項指標(biāo).若從這只兔子中隨機取出只，則恰有只測量過該指標(biāo)的概率為（）A. B. C. D.答案：B

8、解答：計測量過的3只兔子為、，設(shè)測量過的只兔子為、則3只兔子的種類有,則恰好有兩只測量過的有種，所以其概率為.14.（全國卷文14）我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進.經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有個車次的正點率為，有個車次的正點率為，有個車次的正點率為，則經(jīng)停該站的高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為.答案：解答：平均正點率的估計值.19.（全國卷文19）某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機調(diào)查了100個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率的頻數(shù)分布表.的分組企業(yè)數(shù)（1）分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例；（2）求這類企業(yè)

9、產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.（精確到0.01）附：.答案：詳見解析解答:（1）這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例是，這類企業(yè)中產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例是.（2）這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)是這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的方差是所以這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的標(biāo)準(zhǔn)差是.3.（全國卷理3文4）西游記三國演義水滸傳和紅樓夢是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著，某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過西游記或紅樓夢的學(xué)生共有90位，閱讀過紅樓夢的學(xué)生共有80位，閱讀過西游記且閱讀過紅樓夢的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過西游記的

10、學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為（ ）A.B.C.D.答案：C解答：17.（全國卷理17文17）為了解甲，乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下實驗：將200只小鼠隨機分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同，摩爾溶度相同。經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記為事件“”，根據(jù)直方圖得到的估計值為0.70.（1） 求乙離子殘留百分比直方圖中的值；（2） 分別估計甲，乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.答案：見解析解答:（1） 依題意得，解得.

11、（2）得到甲離子殘留百分比的平均值為4.05,，乙離子殘留百分比的平均值為5.7.17.（北京卷理17）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變近年來，移動支付已成為主要支付方式之一為了解某校學(xué)生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：交付金額（元）支付方式（0,1000（1000,2000大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（）從全校學(xué)生中隨機抽取1人，估計該學(xué)生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率；（）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各

12、隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由【答案】() ；()見解析；()見解析.【解析】【分析】()由題意利用古典概型計算公式可得滿足題意的概率值；()首先確定X可能的取值，然后求得相應(yīng)的概率值可得分布列，最后求解數(shù)學(xué)期望即可.()由題意結(jié)合概率的定義給出結(jié)論即可.【詳解】()由題意可知，兩種支付方式都是用的人數(shù)為：人，則：該學(xué)生上個

13、月A，B兩種支付方式都使用的概率.()由題意可知，僅使用A支付方法的學(xué)生中，金額不大于1000的人數(shù)占，金額大于1000的人數(shù)占，僅使用B支付方法的學(xué)生中，金額不大于1000的人數(shù)占，金額大于1000的人數(shù)占，且X可能的取值為0,1,2.，X分布列為：X012其數(shù)學(xué)期望：.()我們不認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化.理由如下：隨機事件在一次隨機實驗中是否發(fā)生是隨機的，是不能預(yù)知的，隨著試驗次數(shù)的增多，頻率越來越穩(wěn)定于概率。學(xué)校是一個相對消費穩(wěn)定的地方，每個學(xué)生根據(jù)自己的實際情況每個月的消費應(yīng)該相對固定，出現(xiàn)題中這種現(xiàn)象可能是發(fā)生了“小概率事件”.【點睛】本題以支付

14、方式相關(guān)調(diào)查來設(shè)置問題，考查概率統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用，考查概率的定義和分布列的應(yīng)用，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活息息相關(guān).17.（北京卷文17）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變近年來，移動支付已成為主要支付方式之一為了解某校學(xué)生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學(xué)生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額支付方式不大于2000元大于2000元僅使用A27人3人僅使用B24人1人（）估計該校學(xué)生中上個月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)；（）從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機抽取1人，

15、求該學(xué)生上個月支付金額大于2000元的概率；（）已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元結(jié)合（）的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由【答案】（）400人；（）；（）見解析.【解析】分析】()由題意利用頻率近似概率可得滿足題意的人數(shù)；()利用古典概型計算公式可得上個月支付金額大于2000元的概率；()結(jié)合概率統(tǒng)計相關(guān)定義給出結(jié)論即可.【詳解】（）由圖表可知僅使用A的人數(shù)有30人，僅使用B的人數(shù)有25人，由題意知A,B兩種支付方式都不使用的有5人，所以樣本中兩種支付方式都使用的

16、有，所以全校學(xué)生中兩種支付方式都使用的有（人）.（）因為樣本中僅使用B的學(xué)生共有25人，只有1人支付金額大于2000元，所以該學(xué)生上個月支付金額大于2000元的概率為.（）由（）知支付金額大于2000元的概率為，因為從僅使用B的學(xué)生中隨機調(diào)查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元，依據(jù)小概率事件它在一次試驗中是幾乎不可能發(fā)生的，所以可以認(rèn)為僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化，且比上個月多.【點睛】本題主要考查古典概型概率公式及其應(yīng)用，概率的定義與應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.16.（天津卷理16）設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為

17、.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立.（）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）設(shè)為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率.16.本小題主要考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式等基礎(chǔ)知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.滿分13分.（）解：因為甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7：30之前到校的概率均為，故，從而.所以，隨機變量的分布列為0123隨機變量的數(shù)學(xué)期望.（）解：設(shè)乙同學(xué)上

18、學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)為，則，且.由題意知事件與互斥，且事件與，事件與均相互獨立，從而由（）知.15.（天津卷文15）2019年，我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取人調(diào)查專項附加扣除的享受情況.（）應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？（）抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為.享受情況如右表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪.員工項目ABCDEF子女

19、教育××繼續(xù)教育×××大病醫(yī)療×××××住房貸款利息××住房租金×××××贍養(yǎng)老人×××（）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；（）設(shè)為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”，求事件發(fā)生的概率.15.本小題主要考查隨機抽樣、用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計算公式等基本知識，考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力，滿分13分.解：（）由已知，老、中、青員工人數(shù)之

20、比為，由于采用分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員中分別抽取6人，9人，10人.（）（）從已知的6人中隨機抽取2人的所有可能結(jié)果為，共15種.（）由表格知，符合題意的所有可能結(jié)果為，共11種.所以，事件發(fā)生的概率7.（浙江卷7）設(shè)，則隨機變量的分布列是：則當(dāng)在內(nèi)增大時（ ）A. 增大B. 減小C. 先增大后減小D. 先減小后增大【答案】D【解析】【分析】研究方差隨變化的增大或減小規(guī)律，常用方法就是將方差用參數(shù)表示，應(yīng)用函數(shù)知識求解.本題根據(jù)方差與期望的關(guān)系，將方差表示為的二次函數(shù)，二測函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題.題目有一定綜合性，注重重要知識、基礎(chǔ)知識、運算求解能力的考查.【詳解】

21、方法1：由分布列得，則，則當(dāng)在內(nèi)增大時，先減小后增大.方法2：則故選D.【點睛】易出現(xiàn)的錯誤有，一是數(shù)學(xué)期望、方差以及二者之間的關(guān)系掌握不熟，無從著手；二是計算能力差，不能正確得到二次函數(shù)表達(dá)式.5.（江蘇卷5）已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是_.【答案】【解析】【分析】由題意首先求得平均數(shù)，然后求解方差即可.【詳解】由題意，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以該組數(shù)據(jù)的方差是.【點睛】本題主要考查方差的計算公式，屬于基礎(chǔ)題.6.（江蘇卷6）從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是_.【答案】【解析】【分析】先求事件的總數(shù)，再求選出的2名同學(xué)