高等數(shù)學(xué)輕松解決高考壓軸題,助現(xiàn)處于120左右卻始終無法突破140這個大瓶頸的資優(yōu)生一舉突破140瓶頸!!!

1、內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容（3.1、3.2）3.1 中值定理名稱條件結(jié)論羅爾中值定理：（1）在上連續(xù)；（2）在內(nèi)可導(dǎo)；（3）至少存在一點使得拉格朗日中值定理：（1）在上連續(xù)；（2）在內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點使得柯西中值定理、：（1）在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)；（2）在內(nèi)每點處至少存在一點使得 洛必達法則基本形式型與型未定式通分或取倒數(shù)化為基本形式1）型：常用通分的手段化為型或型；2）型：常用取倒數(shù)的手段化為型或型，即：或；取對數(shù)化為基本形式1）型：取對數(shù)得，其中或；2）型：取對數(shù)得，其中或；3）型：取對數(shù)得，其中或。以上就是對高考有著極大幫助的幾個基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué)定理，資優(yōu)生掌握以后必定能再更上一層樓，對其突破140

2、的瓶頸大有裨益！想要突破140瓶頸的千萬別錯過！12：核心總結(jié)本文的核心就是12，建議大家把以上公式記錄到自己的筆記本上好好理解，并在自己平時的作業(yè)嘗試應(yīng)用。39：重中之重拉格朗日中值定理深層次剖析以上就是對高考有著極大幫助的幾個基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué)定理，資優(yōu)生掌握以后必定能再更上一層樓，對其突破140的瓶頸大有裨益。但是由于篇幅有限，不能一一對其深入剖析，在此向大家致歉。不過本文對以上定理中最最重要的，也是高考壓軸題中最最常用的拉格朗日中值定理進行了深層次剖析。拉格朗日中值定理，是對高考數(shù)學(xué)壓軸題幫助最大的高等數(shù)學(xué)定理，望學(xué)有余力的同學(xué)務(wù)必將其掌握！1015：拉格朗日中值定理在高考題里的應(yīng)用或許有同

3、學(xué)不相信拉格朗日中值定理對高考的幫助是如此之大，以下將會以高考真題為例子向你闡明。 我想很大一部分同學(xué)或許不知道該如何應(yīng)用，下文將對于高考真題應(yīng)用拉格朗日中值定理解題并與參考答案的解法作比較，體現(xiàn)高觀點解題的好處。重中之重拉格朗日中值定理資優(yōu)生掌握了拉格朗日中值定理以后可幫助其突破140的瓶頸，一舉成為數(shù)學(xué)大神！拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基礎(chǔ)定理之一，它是溝通函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的橋梁，課本中關(guān)于拉格朗日中值定理的應(yīng)用并沒有專門的講解，而很多研究者也只是研究了它在某個方面的應(yīng)用，并沒有系統(tǒng)的總結(jié)。本文首先進一步分析了定理的實質(zhì)，以便使讀者深入理解拉格朗日中值定理；然后從課本中證明拉格朗日中值定

4、理的思想（構(gòu)造輔助函數(shù)法）出發(fā)，提出了一個較簡單的輔助函數(shù)，從而使拉格朗日中值定理的證明簡單化；以此為理論依據(jù)并在別人研究的基礎(chǔ)上，最后重點總結(jié)了拉格朗日中值定理在各個方面的應(yīng)用。這對于正確的理解和掌握拉格朗日中值定理，以及以后進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)具有重要的作用和深遠的意義。0前言函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)是兩個不同的的函數(shù)，而導(dǎo)數(shù)只是反映函數(shù)在一點的局部特征，如果要了解函數(shù)在其定義域上的整體性態(tài)，就需要在導(dǎo)數(shù)及函數(shù)間建立起聯(lián)系，微分中值定理就是這種作用.微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，是溝通導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，是利用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的工具。以羅爾中值定理、拉格

5、朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是一整個微分學(xué)的理論基礎(chǔ)。拉格朗日中值定理，建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的定量聯(lián)系，因而可用拉格朗日中值定理通過導(dǎo)數(shù)去研究函數(shù)的性態(tài)，拉格朗日中值定理的主要作用在于理論分析和證明.拉格朗日中值定理是幾個微分中值定理中最重要的一個，是微分學(xué)應(yīng)用的橋梁。在高等代數(shù)與數(shù)學(xué)分析中的一些理論推倒中起著很重要的作用。課本中對拉格朗日中值定理的應(yīng)用只是簡單的舉了例子，而很多研究者也只是研究了它在某個方面的應(yīng)用，并沒有系統(tǒng)的總結(jié)，所以研究拉格朗日中值定理的應(yīng)用，力求正確地理解和掌握它是十分必要的.拉格朗日中值定理：若函數(shù)f滿足如下條件：（1） 在閉區(qū)間上連續(xù)；（2） 在

6、開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點，使得=。1對于此定理的應(yīng)用，本文從求極限、估值問題、證明不等式、以及研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)等幾個方面詳細舉例說明，以便我們更好的理解和掌握拉格朗日中值定理。1 對拉格朗日中值定理的理解拉格朗日中值定理是微積分的基礎(chǔ)定理之一，在理論和應(yīng)用上都有著極其重要的意義。該定理的敘述簡單明了，并有明確的幾何意義，很容易簡單掌握，但要深刻認(rèn)識定理的內(nèi)容，特別是點的含義，就有較大難度。熟練掌握定理的本質(zhì)，會在解題時游刃有余，若對定理的實質(zhì)了解不夠深刻的話，會進入不少誤區(qū)。下面從四個方面對定理進行分析，以便更好的掌握定理。1.1 承上啟下的定理拉格朗日中值定理是導(dǎo)數(shù)概念的延伸，

7、是導(dǎo)數(shù)各種應(yīng)用的理論基礎(chǔ)。在講完導(dǎo)數(shù)內(nèi)容后，介紹導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是順理成章的。而正是這一定理使得導(dǎo)數(shù)概念與其應(yīng)用有機的聯(lián)系起來。例：函數(shù)，有，當(dāng)時，單調(diào)增加；當(dāng)時，單調(diào)減少；當(dāng)時，可見，函數(shù)的單調(diào)性的判定，是否取得極值可以用它的導(dǎo)數(shù)符號來確定。一般在某個區(qū)間上，若，則單調(diào)增加，若，則單調(diào)減少，若，則可能在改點處取得極值（此亦為定理）。又如例中，如果時，而，從而有，即函數(shù)在某個閉區(qū)間端點的函數(shù)值之差同該區(qū)長度之比等于該區(qū)間內(nèi)某一點的導(dǎo)數(shù)值。這樣一來，通過具體實例會讓學(xué)生容易學(xué)地接受定理的內(nèi)容。21.2 定理中的條件函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)、在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)是拉格朗日中值定理兩個不可缺少的條件，是充分而不必要的

8、條件。即由著兩個條件一定可得出結(jié)論，但沒有這兩個條件，則無定論。例函數(shù)在閉區(qū)間上不連續(xù)，在開區(qū)間(-1,1)內(nèi)不可導(dǎo)所以無實根，即在區(qū)間(-1,1)內(nèi)不存在，使得1.3 定理中的如果在滿足拉格朗日中值定理條件下，結(jié)論中的“至少存在”是關(guān)鍵所在。實際上是方程f()= （1）的所有實數(shù)解中屬于區(qū)間的那些解，而這些解的個數(shù)正是定理中的個數(shù)。例 求函數(shù)在區(qū)間（-1,1）內(nèi)的解：顯然函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)滿足定理的條件,所以即區(qū)間內(nèi)任何一點都可取為，這樣的有無窮多個。但值得注意的是方程（l）一般不是簡單的代數(shù)方程，不一定能解出，但這并不影響定理的應(yīng)用，因為定理的重要性不在于一定要知道或者解出，而是在于確定了的存

9、在性。1.4 定理的意義（1）幾何意義:定理中是連接曲線上兩點的弦的斜率，是過曲線上一點的切線的斜率。那么，定理就可解釋為在曲線上至少存在一條平行于弦的切線。1（2）物理意義:如果表示物體的運動規(guī)律在定理的條件下，表示物體運動到時間時的瞬時速度；表示物體從時間到平均速度，那么表示物體在運動過程中，至少有那么一個時刻，其瞬時速度等于它的平均速度。2 拉格朗日中值定理的證明拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理，它架起用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)性質(zhì)的橋梁。該定理的證明一直是人們研究的問題。它的證明通常是以羅爾中值定理作為預(yù)備定理，為此需要將拉格朗日中值定理的條件轉(zhuǎn)化為羅爾定理的條件，這個轉(zhuǎn)化過程就是要構(gòu)造一個滿

10、足羅爾定理條件的新函數(shù)作為輔助函數(shù)。教科書上的證明方法正是通過此思想實現(xiàn)的，但所作的輔助函數(shù)不是很容易想到，下面提供一個更易理解、更簡單的證明方法以供大家參考。分析：首先由定理的結(jié)論知則可求從而可構(gòu)造輔助函數(shù)證明：先構(gòu)造輔助函數(shù) 再用羅爾定理證明顯然，在連續(xù)，在（）可導(dǎo)，有羅爾定理知，在連續(xù)，在（）內(nèi)可導(dǎo)，且，則在（）內(nèi)至少存在一點，使.從而可證即證3 拉格朗日中值定理的應(yīng)用拉格朗日中值定理在微積分學(xué)中是一個重要的理論基礎(chǔ)，是應(yīng)用數(shù)學(xué)研究函數(shù)在區(qū)間上整體性態(tài)的有力工具，拉格朗日中值定理作為微分中值定理的核心，有著廣泛的應(yīng)用，如求極限、證明不等式和方程根的存在性等，它在很多題型中都起到了化繁為簡

11、的作用。下面通過舉例說明拉格朗日中值定理在以上幾個方面的應(yīng)用。3.6估值問題 3.7判定級數(shù)的收斂性 3.8證明方程根的存在性 3.9誤用拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理在高考題里的應(yīng)用近幾年，以高等數(shù)學(xué)為背景的高考命題成為熱點.許多省市高考試卷有關(guān)導(dǎo)數(shù)的題目往往可以用拉格朗日中值定理解答.本文主要先歸類總結(jié)，再通過一些具體的高考試題，利用拉格朗日中值定理解答，并與參考答案的解法作比較，體現(xiàn)高觀點解題的好處.拉格朗日中值定理：若函數(shù)滿足如下條件：（i）在閉區(qū)間上連續(xù)；（ii）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點，使得 .一、證明或成立（其中）例：（2007年高考全國卷I第20題）設(shè)函數(shù).（）證

12、明：的導(dǎo)數(shù)；（）證明：若對所有，都有 ，則的取值范圍是.（）略.（）證明：（i）當(dāng)時，對任意的，都有(ii)當(dāng)時，問題即轉(zhuǎn)化為對所有恒成立.令，由拉格朗日中值定理知內(nèi)至少存在一點（從而），使得，即，由于，故在上是增函數(shù)，讓 得，所以的取值范圍是.，再分和 兩種情況討論.其中，又要去解方程.但這有兩個缺點：首先，為什么的取值范圍要以為分界展開.其次，方程求解較為麻煩.但用拉格朗日中值定理求解就可以避開討論，省去麻煩.二、證明成立例：（2004年四川卷第22題）已知函數(shù).（）求函數(shù)的最大值；（）設(shè)，證明：.（）略； （）證明：依題意，有 由拉格朗日中值定理得，存在，使得評注：對于不等式中含有的形式

13、，我們往往可以把和，分別對和兩次運用拉格朗日中值定理.三、證明成立例： (2OO6年四川卷理第22題)已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，對任意兩個不相等的正數(shù)，證明：（）當(dāng)時，（）當(dāng)時，.證明：（）不妨設(shè)，即證由拉格朗日中值定理知，存在，則且，又，.當(dāng)時，.所以是一個單調(diào)遞減函數(shù)，故從而成立，因此命題獲證（）由得，令則由拉格朗日中值定理得：下面只要證明：當(dāng)時，任意,都有，則有，即證時，的最小值大于.由于，當(dāng)且僅當(dāng)時取到最小值，又，故時，恒成立.所以由拉格朗日定理得：.評注：這道題用初等數(shù)學(xué)的方法證明較為冗長，而且技巧性較強.因而思路較為突兀，大多數(shù)考生往往難以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理證明，思路較為

14、自然、流暢.體現(xiàn)了高觀點解題的優(yōu)越性，說明了學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要性.四、證明或成立例：（2008年全國卷22題）設(shè)函數(shù).（）求的單調(diào)區(qū)間；（）如果對任何，都有，求的取值范圍.（）略；（）證明：當(dāng)時，顯然對任何，都有；當(dāng)時， 由拉格朗日中值定理，知存在，使得.由（）知，從而.令得，；令得，.所以在上，的最大值在 上，的最大值.從而函數(shù)在上的最大值是.由知，當(dāng)時，的最大值為.所以，的最大值.為了使恒成立，應(yīng)有.所以的取值范圍是.評注：這道題的參考答案的解法是令,再去證明函數(shù)的最小值,要對參數(shù)進行分類討論;其次為了判斷的單調(diào)性,還要求和的解,這個求解涉及到反余弦,較為復(fù)雜.而用拉格朗日中值定理就可以避

15、開麻煩，省去討論.再次體現(xiàn)了高觀點解題的優(yōu)越性.五、證明成立，（其中）例：（2007年安徽卷18題） 設(shè).（）令，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值；（）求證：當(dāng)時，恒有.（）略；（）證明：即證，由于，則.由拉格朗日中值定理得，存在，使得.由（）的解題過程知，所以.令得，.令得，.故在上最小值.所以.從而.又，則成立，從而當(dāng)時，成立. 評注：這道題的參考答案是用（）中在內(nèi)的極小值得到.又，所以.從而在上單調(diào)遞增,故的最小值，所以.但是如果沒有（），很難想到利用來判斷的單調(diào)性.而用拉格朗日中值定理證明，就不存在這個問題.六、證明或（其中）例：（2009年遼寧卷理21題）已知函數(shù)（）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）證明：若，則對任意，有.（）略；（）.由（）得，.所以要證成立，即證.下面即證之.令，則.由于，所以.從而在.又，故.則，即，也即. 評注：這道題（）小題存在兩個難點：首先有兩個變量；其次.為什么考慮函數(shù)的放縮也不易想到.拉格朗日中值定理是數(shù)學(xué)分析的一個重要定理.是解決函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)的重要工具.近年來，不少高考壓軸題以導(dǎo)數(shù)命題，往往可以用拉格朗日中值定理求解.固然，這些壓軸題用初等數(shù)學(xué)的方法也可以求解.但初等數(shù)學(xué)的方法往往計算量較大.這時，用拉格朗日中值定理交易解決.