高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及試題

1、第1章 空間幾何體一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)2.旋轉(zhuǎn)體： 3、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征（1）棱柱幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。（2）棱錐幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。（3）棱臺(tái)幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形 側(cè)面是梯形 側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)（4）圓柱幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形。（5）圓錐幾何特征：底面是一個(gè)圓；母線交于圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。（6）圓臺(tái)幾何特征：上

2、下底面是兩個(gè)圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。（7）球幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。二、空間幾何體的三視圖和直觀圖1.空間幾何體的三視圖（1）正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。正側(cè)俯（2）、三視圖圖形的位置：（3）、 三視圖長(zhǎng)、寬、高的關(guān)系：“正側(cè)長(zhǎng)對(duì)齊、正俯高對(duì)齊、側(cè)俯寬相等”三、空間幾何體的直觀圖1.斜二測(cè)畫法：對(duì)于平面多邊形，我們常用斜二測(cè)畫法畫它們的直觀圖。2.斜二測(cè)畫法原則：橫不變

3、，縱減半。3.斜二測(cè)畫法步驟：在已知圖形中取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn)。畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的軸與軸，兩軸交于點(diǎn)，且使（或135°），它們確定的平面表示水平面。已知圖形中平行于軸或軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸或軸的線段。已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于軸的線段，長(zhǎng)度為原來的一半。4、 空間幾何體的表面積與體積（1） 、幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。所以，棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面的面積之和。（2）：柱 體錐 體臺(tái) 體球 體第二章 直線與平面的位置關(guān)系2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1 平面含義：平面是無限延展的2 平面的畫法

4、及表示3 三個(gè)公理：（1）公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號(hào)表示為L(zhǎng)A·ALBL => L ABC·B·A·公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)（2）公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線 => 有且只有一個(gè)平面，使A、B、C。公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。P·L（3）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。符號(hào)表示為：P =>=L，且PL公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)2.1.2 空間中直線與直線之間的位

5、置關(guān)系1 空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。2 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線=>acabcb強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3 等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4 注意點(diǎn)： a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關(guān)，為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上； 兩條異

6、面直線所成的角(0,； 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作ab； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。2.1.3 2.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（2）直線與平面相交 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）直線在平面平行 沒有公共點(diǎn)指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a 來表示a a=A a2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1 直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一

7、條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。符號(hào)表示：a b => aab2.2.2 平面與平面平行的判定1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。符號(hào)表示：a b ab = P ab2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。2.2.3 2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行。符號(hào)表示：aa ab= b作用：利用該定理可解決直線間的平行

8、問題。2、定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。符號(hào)表示：= a ab = b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)1、定義如果直線L與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面互相垂直，記作L，直線L叫做平面的垂線，平面叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。Lp2、判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點(diǎn)： a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。1、二面角的概念：表示從空間一直

9、線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形A 梭 l B2、二面角的記法：二面角-l-或-AB-3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。2.3.3 2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。2性質(zhì)定理： 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。第二章重點(diǎn)總結(jié)：一、線面角、面面角：_B_L_A_Q_P_N_M_O1、直線和平面所成角：如圖，一條直線PA和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足。過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫

10、做斜線在這個(gè)平面上的射影。平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0°的角。2、二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。如右圖二面角可記作二面角或二面角或二面角或二面角【注意：二面角是一個(gè)面面角，范圍是】。在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線ON和OM，則射線ON和OM構(gòu)成的NOM叫做二面角的平面角。一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二

11、面角，就說這兩個(gè)平面互二、線、面平行垂直的八大定理：（直線與平面平行的判定）【文字語(yǔ)言】平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。（線線平行線面平行）【符號(hào)語(yǔ)言】（平面與平面平行的判定）【文字語(yǔ)言】一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。（線面平行面面平行）【符號(hào)語(yǔ)言】，引申：推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行，那么這兩個(gè)平面平行。（直線與平面平行的性質(zhì)）一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。（線面平行線線平行）作用：直線與平面平行的性質(zhì)定理揭示了直線與平面平行中蘊(yùn)含著直線與直線平行

12、。（平面與平面平行的性質(zhì)）如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行線線平行）（直線與平面垂直的判定）一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。（平面與平面垂直的判定）一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。（直線與平面垂直的性質(zhì)）垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。（平面與平面垂直的性質(zhì)）兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。注：（等角定理）空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。三、補(bǔ)充：證線線平行的方法：.定義法；.線面平行的性質(zhì)定理；.面面平行的性質(zhì)定理；.平行公理證線面平行的方法：.線面平行的

13、判定定理；.定義法；.面面平行證線面平行證面面平行的方法：.定義法；.面面平行的判定定理；.平面平行的傳遞性重要結(jié)論：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條垂線垂直。在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。射影長(zhǎng)定理：.從平面外一點(diǎn)向平面所引的斜線段、垂線段中，垂線段最短。.如圖（射影長(zhǎng)定理圖）：若，則；若，則。. 如圖（射影長(zhǎng)定理圖）：若，則；若，則。第三章 直線與方程一、直線的傾斜角與斜率1.傾斜角：當(dāng)直線與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線向上方向之間所成的夾角叫做直線的傾斜角。當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，

14、我們規(guī)定它的傾斜角為0°。則直線的傾斜角的取值范圍為0°180°。2.確定一條直線的條件：直線上的一點(diǎn)和這個(gè)直線的傾斜角可以惟一確定一條直線。3.確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個(gè)定點(diǎn)以及它的傾斜角。4.斜率：一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，我們用斜率表示直線的傾斜程度。斜率常用小寫字母k表示，即。注意：傾斜角是90°的直線沒有斜率。5.經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式為6.對(duì)于兩條不重合的直線，其斜率分別為，有注意：若直線可能重合時(shí)，我們得到或7.如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于-1；反之，如果它

15、們的斜率之積等于-1，那么它們互相垂直，即8.兩條直線垂直的條件：二、直線的方程（5個(gè)）1.直線的點(diǎn)斜式方程（簡(jiǎn)稱點(diǎn)斜式）：【當(dāng)直線的傾斜角為0°時(shí)，tan0°=0，即k=0，這是直線與x軸平行或重合，的方程就是】注意：直線的點(diǎn)斜式方程僅適用于有斜率的情形，所以在求直線的方程時(shí)，應(yīng)先討論直線有無斜率。截距：我們把直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫做直線在x軸上的截距。我們把直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)b叫做直線在y軸上的截距。注意：截距不是距離，截距是數(shù)。2.直線的斜截式方程（簡(jiǎn)稱斜截式）：注意：直線的斜截式方程僅適用于有斜率的直線。3.直線的兩點(diǎn)式方程（簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)式）：注意：直線的兩點(diǎn)式方

16、程不適用于沒有斜率或斜率為0的直線。若中有或時(shí)，直線沒有兩點(diǎn)式方程。當(dāng)時(shí)，直線平行于x軸，直線方程為，或；當(dāng)時(shí)，直線平行于x軸，直線方程為，或。4.直線的截距式方程（簡(jiǎn)稱截距式）：注意：直線的截距式方程不適用于平行于x軸（或y軸）或過原點(diǎn)的直線。線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式：若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，且線段的中點(diǎn)則M的坐標(biāo)為， 5.直線的一般式方程（簡(jiǎn)稱一般式）：6.已知直線，則的充要條件是：三、直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式1.若方程組有唯一解與相交，且有唯一交點(diǎn)；若方程組無解；若方程與方程可化成同一個(gè)方程與重合。變化時(shí)，方程表示直線束。表示過直線與直線交點(diǎn)的任意一條直線，但它不能表示這條直線。4.與直線平行的直線

17、方程可設(shè)為5.與直線垂直的直線方程可設(shè)為6.兩點(diǎn)間的距離公式為：7.原點(diǎn)與任一點(diǎn)的距離公式為：8.點(diǎn)到直線的距離公式為：9.兩條平行直線與間的距離為：第四章圓與方程4.1.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程2、點(diǎn)與圓的關(guān)系的判斷方法：（1）>，點(diǎn)在圓外（2）=，點(diǎn)在圓上（3）<，點(diǎn)在圓內(nèi)4.1.2 圓的一般方程1、圓的一般方程：，圓心為，半徑為為半徑長(zhǎng)的圓2、圓的一般方程的特點(diǎn)：(1)x2和y2的系數(shù)相同，不等于0沒有xy這樣的二次項(xiàng) (2)圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù)D、E、F，因之只要求出這三個(gè)系數(shù)，圓的方程就確定了(3)、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

18、相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯。4.2.1 圓與圓的位置關(guān)系1、用點(diǎn)到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線：，圓：，圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則判別直線與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：（1）當(dāng)時(shí)，直線與圓相離；（2）當(dāng)時(shí)，直線與圓相切；（3）當(dāng)時(shí)，直線與圓相交；注意： 直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)方程組有兩組不同實(shí)數(shù)解 直線與圓相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)方程組有唯一實(shí)數(shù)解 直線與圓相離，沒有公共點(diǎn)方程組無實(shí)數(shù)解2.求兩圓公共弦所在直線方程的方法：將兩圓方程相減。4.2.2 圓與圓的位置關(guān)系兩圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的連心線長(zhǎng)為，則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：（1）當(dāng)時(shí)，圓與圓相離；（2）當(dāng)時(shí)，圓與圓外切；（3）當(dāng)時(shí)，圓與圓相交；（4）當(dāng)時(shí)，圓與圓內(nèi)切；（5）當(dāng)時(shí)，圓與圓內(nèi)含；三、空間直角坐標(biāo)系是單位正方體。以為原點(diǎn)，分別以射線的方向?yàn)檎较?，以線段的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸。這是我們說建