課件數(shù)學(xué)建模模糊數(shù)學(xué)方法建模

1、在生產(chǎn)實(shí)踐、科學(xué)實(shí)驗(yàn)以及日常生活中，人們經(jīng)常會(huì)遇到模糊概念（或現(xiàn)象）。例如,大與小、輕與重、快與慢、動(dòng)與靜、深與淺、美與丑等都包含著一定的模糊概念。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，各學(xué)科領(lǐng)域?qū)τ谶@些模糊概念有關(guān)的實(shí)際問題往往都需要給出定量的分析，這就需要利用模糊數(shù)學(xué)這一工具來解決。模糊數(shù)學(xué)是一個(gè)較新的現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科，它是繼經(jīng)典數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)之后發(fā)展起來的一個(gè)新的數(shù)學(xué)學(xué)科。統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)是將數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍從確定性的領(lǐng)域擴(kuò)大到了不確定性的領(lǐng)域，即從必然現(xiàn)象到偶然現(xiàn)象，而模糊數(shù)學(xué)則是把數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍從確定性的領(lǐng)域擴(kuò)大到了模糊領(lǐng)域，即從精確現(xiàn)象到模糊現(xiàn)象。在各科學(xué)領(lǐng)域中，所涉及的各種量總是可以分為確定性和不確定性兩大

2、類。對(duì)于不確定性問題，又可分為隨機(jī)不確定性和模糊不確定性兩類。模糊數(shù)學(xué)就是研究屬于不確定性，而又具有模糊性的量的變化規(guī)律的一種數(shù)學(xué)方法。本章對(duì)于實(shí)際中具有模糊性的問題，利用模糊數(shù)學(xué)的理論知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型解決問題。14.1 模糊數(shù)學(xué)的基本概念模糊集與隸屬函數(shù)1. 模糊集與隸屬函數(shù)一般來說，我們對(duì)通常集合的概念并不陌生，如果將所討論的對(duì)象限制在一定的范圍內(nèi)，并記所討論的對(duì)象的全體構(gòu)成的集合為，則稱之為論域（或稱為全域、全集、空間、話題）。如果是論域 ，則的所有子集組成的集合稱之為的冪集，記作。在此，總是假設(shè)問題的論域是非空的。為了與模糊集相區(qū)別，在這里稱通常的集合為普通集。對(duì)于論域的每一個(gè)元素和某

3、一個(gè)子集，有或，二者有且僅有一個(gè)成立。于是，對(duì)于子集定義映射即則稱之為集合的特征函數(shù)，集合可以由特征函數(shù)唯一確定。所謂論域上的模糊集是指：對(duì)于任意總以某個(gè)程度屬于，而不能用或描述。若將普通集的特征函數(shù)的概念推廣到模糊集上，即得到模糊集的隸屬函數(shù)。定義14.1 設(shè)是一個(gè)論域，如果給定了一個(gè)映射則就確定了一個(gè)模糊集，其映射稱為模糊集的隸屬函數(shù)，稱為對(duì)模糊集的隸屬度。定義14.1表明，論域上的模糊集由隸屬函數(shù)來表征，的取值范圍為閉區(qū)間，的大小反映了對(duì)模糊集的從屬程度，值接近于1，表示從屬的程度很高，值接近于0，表示從屬的程度很低，使的點(diǎn)稱為模糊集的過渡點(diǎn)。當(dāng)?shù)闹涤驗(yàn)闀r(shí)，退化為普通集的特征函數(shù)，模糊集

4、蛻變?yōu)槠胀?，所以模糊集是普通集概念的推廣。對(duì)于一個(gè)特定論域可以有多個(gè)不同的模糊集，記上的模糊集的全體為，即，則就是論域上的模糊冪集，顯然是一個(gè)普通集，且。當(dāng)論域?yàn)橛邢藜瘯r(shí)，若是上的任一模糊集，其隸屬度為，通常有如下三種表示方法：1）Zadeh表示法：在論域中，的元素集稱為模糊集合的支集。2）序偶表示法：將論域中的元素與其隸屬度構(gòu)成序偶來表示此種表示方法隸屬度為0的項(xiàng)可不寫入。3）向量表示法：在向量表示法中，隸屬度為0的項(xiàng)不能省略。當(dāng)論域?yàn)闊o限集時(shí)，則上的模糊集可以表示為模糊集與普通集有相同的運(yùn)算和相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)律。定義14.2 設(shè)模糊集，其隸屬函數(shù)為。1）若對(duì)任意，有，則稱包含，記；2）若且，

5、則稱與相等，記為。定義14.3 設(shè)模糊集，其隸屬函數(shù)為，則稱分別為與的并集與交集；稱為的補(bǔ)集或余集，它們的隸屬函數(shù)分別為其中分別表示取大運(yùn)算與取小運(yùn)算，稱其為Zadeh算子。并且，并和交運(yùn)算可以直接推廣到任意有限的情況，同時(shí)也滿足普通集的交換律、結(jié)合律、分配律等運(yùn)算。 隸屬函數(shù)的確定方法正確地確定隸屬函數(shù)是運(yùn)用模糊集合理論解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)。隸屬函數(shù)是對(duì)模糊概念的定量描述。應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵是建立符合實(shí)際的隸屬函數(shù)。然而，如何確定一個(gè)模糊集的隸屬函數(shù)至今還是尚未完全解決的問題。隸屬函數(shù)的確定過程，本質(zhì)上應(yīng)該是客觀的，但每個(gè)人對(duì)于同一個(gè)模糊概念的認(rèn)識(shí)理解又有差異，因此，隸屬函數(shù)的

6、確定又帶有主觀性。一般是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或統(tǒng)計(jì)進(jìn)行確定，也可由專家、權(quán)威給出。下面僅介紹幾種常用的確定隸屬函數(shù)的方法。不同的方法結(jié)果會(huì)不同，但隸屬函數(shù)建立是否適合標(biāo)準(zhǔn)，要用實(shí)際使用的效果來檢驗(yàn)。1. 模糊統(tǒng)計(jì)方法模糊統(tǒng)計(jì)方法可以算是一種客觀方法，主要是在模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，根據(jù)隸屬度的客觀存在性來確定，所謂的模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)必須包含下面的四個(gè)要素：1）論域。2）中的一個(gè)固定元素。3）中的一個(gè)隨機(jī)變動(dòng)的集合（普通集）。4）中的一個(gè)以作為彈性邊界的模糊集，對(duì)的變動(dòng)起著制約作用。其中或，致使對(duì)的隸屬關(guān)系是不確定的。假設(shè)做次模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)，則可計(jì)算出對(duì)的隸屬頻率事實(shí)上，當(dāng)不斷增大時(shí)，隸屬頻率趨于穩(wěn)定，其頻率的穩(wěn)定

7、值稱為對(duì)的隸屬度，即2. 例證法例證法是Zadeh在1972年提出的，主要思想是從已知有限個(gè)的值來估計(jì)論域上的模糊子集的隸屬函數(shù)。3. 指派方法指派方法是一種主觀方法，它主要依據(jù)人們的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來確定某些模糊集的隸屬函數(shù)。如果模糊集定義在實(shí)數(shù)域R上，則模糊集的隸屬函數(shù)稱為模糊分布。所謂的指派方法就是根據(jù)問題的性質(zhì)主觀地選用某些形式的模糊分布，再依據(jù)實(shí)際測量數(shù)據(jù)確定其中所包含的參數(shù)。若以實(shí)數(shù)域R為論域，稱隸屬函數(shù)為模糊分布。實(shí)際中，根據(jù)研究對(duì)象的描述來選擇適當(dāng)?shù)哪：植?。偏小型模糊分布適合描述像“小”、“冷”、“青年”以及顏色的“淡”等偏向小的一方的模糊現(xiàn)象，偏大型模糊分布適合描述像“大”、“熱”

8、、“老年”以及顏色的“濃”等偏向大的一方的模糊現(xiàn)象，中間型模糊分布適合描述像“中”、“暖和”、“中年”等處于中間的模糊現(xiàn)象。但這些方法所給出的隸屬函數(shù)都是近似的，應(yīng)用時(shí)需要對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析，逐步地進(jìn)行修改完善，最后得到近似程度更好的隸屬函數(shù)。常用的模糊分布見下表：偏小型中間型偏大型矩形分布梯形分布正態(tài)分布次拋物型分布型分布其中其中其中柯西型分布其中其中為偶數(shù)其中4. 其他方法實(shí)際中，用來確定模糊集的隸屬函數(shù)的方法是多種多樣的，主要是根據(jù)問題的實(shí)際意義來確定。例如，在經(jīng)濟(jì)管理、社會(huì)管理中，可以直接借助已有的“客觀尺度”作為模糊集的隸屬度。如果論域表示機(jī)器設(shè)備，在上定義模糊集=“設(shè)備完好”，則可

9、以用“設(shè)備完好率”作為的隸屬度。如果表示產(chǎn)品，在上定義模糊集=“質(zhì)量穩(wěn)定”，可以用“正品率”作為的隸屬度。如果表示家庭，在上定義模糊集=“貧困家庭”，則可以用Engel系數(shù)=（食品消費(fèi)）/（總消費(fèi)）作為的隸屬度。14.2 模糊關(guān)系與模糊矩陣模糊關(guān)系與模糊矩陣的概念模糊關(guān)系是普通關(guān)系的推廣，它描述元素之間關(guān)聯(lián)程度的多少。定義14.4 設(shè)論域，稱的一個(gè)模糊子集為從到的模糊關(guān)系，記為，其隸屬函數(shù)為映射并稱隸屬度為關(guān)于模糊關(guān)系的相關(guān)程度。由于模糊關(guān)系就是直積的一個(gè)模糊子集，因此，模糊關(guān)系同樣具有模糊子集的運(yùn)算及性質(zhì)。 對(duì)于有限論域，則到的模糊關(guān)系可用階模糊矩陣表示，即其中表示對(duì)模糊關(guān)系的相關(guān)程度。定義

10、14.5 設(shè)矩陣，且則稱矩陣為模糊矩陣。 若，則模糊矩陣變成布爾（Boole）矩陣。 模糊等價(jià)關(guān)系與模糊相似關(guān)系若模糊關(guān)系滿足1)自反性：。2)對(duì)稱性：。3)傳遞性；（即）。則稱是上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系。其中隸屬度表示的相關(guān)程度。當(dāng)論域?yàn)橛邢拚撚驎r(shí)，上的模糊等價(jià)關(guān)系可表示為階模糊等價(jià)矩陣定義14.7 設(shè)論域，模糊矩陣，為單位矩陣，若滿足：1)自反性：（即）。 2)對(duì)稱性：（即）。3)傳遞性； （即）。則稱為模糊等價(jià)矩陣。定義14.8 設(shè)論域，模糊矩陣，為單位矩陣，若滿足：1)自反性： （即）。 2)對(duì)稱性：（即）。則稱為模糊相似矩陣。截矩陣與傳遞矩陣設(shè)為模糊矩陣，對(duì)任意的，1）如果則稱為的截矩陣

11、。2）如果則稱為的強(qiáng)截矩陣。 顯然，截矩陣為布爾矩陣。定義14.10 設(shè)是階模糊矩陣，如果滿足（即）則稱為模糊傳遞矩陣。將包含的最小的模糊傳遞矩陣稱為的傳遞閉包，記為。14.3 模糊聚類分析方法在科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理中常常需要按一定的標(biāo)準(zhǔn)(相似程度或親疏關(guān)系)進(jìn)行分類。例如，根據(jù)生物的某些性狀，可對(duì)生物分類；根據(jù)土壤的性質(zhì)，可對(duì)土壤分類等等。對(duì)所研究的事物按一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類的數(shù)學(xué)方法稱為聚類分析，它是多元統(tǒng)計(jì)“物以類聚”的一種分類方法。由于科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理中的分類往往具有模糊性，因此采用模糊聚類方法通常比較符合實(shí)際。在進(jìn)行多指標(biāo)評(píng)價(jià)時(shí)，同類指標(biāo)的評(píng)價(jià)效果基本上是等價(jià)的，因此，可以通過對(duì)同類指標(biāo)

12、的選擇，達(dá)到指標(biāo)篩選的目的。其基本思想是：首先根據(jù)各指標(biāo)之間相似程度，構(gòu)造評(píng)價(jià)指標(biāo)的模糊相似矩陣，然后通過平方法求傳遞閉包，得到模糊等價(jià)矩陣，以此為依據(jù)進(jìn)行聚類。模糊聚類的步驟及其關(guān)鍵算法：設(shè)論域?yàn)榇诸惖闹笜?biāo)集，用維向量描述樣本，也就是說每個(gè)指標(biāo)由個(gè)分量組成，即，故原始數(shù)據(jù)矩陣形式如公式(1)所示（1）具體的聚類方法按下列步驟進(jìn)行： 數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化不同的數(shù)據(jù)具有不同的量綱，為了使有不同量綱的量進(jìn)行比較，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行無量綱化處理，而且根據(jù)模糊矩陣的要求，需要將數(shù)據(jù)壓縮在區(qū)間上。數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的具體算法包括兩個(gè)步驟：1、平移·標(biāo)準(zhǔn)差變換 （2）其中變換后的每個(gè)變量的均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1，實(shí)現(xiàn)了數(shù)

13、據(jù)的無量綱化，但是這樣還不能保證都在區(qū)間上。2、平移·極差變換（3）其中.顯然所有的都在區(qū)間上，同時(shí)也消除了量綱的影響。 標(biāo)定（建立模糊相似矩陣)對(duì)論域而言，和的關(guān)系可用來描述。建立模糊相似矩陣的方法有很多，如距離法、相關(guān)系數(shù)法、主觀打分法等?，F(xiàn)采用相關(guān)系數(shù)法建立模糊相似矩陣，通過計(jì)算指標(biāo)之間的相關(guān)系數(shù)，以相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值作為模糊相似矩陣的元素，見式（4）（4）其中.矩陣形式如式（5）所示：（5）由（4）式可知，故該矩陣滿足自反性和對(duì)稱性，滿足模糊相似矩陣的要求。聚類采用基于等價(jià)矩陣的聚類方法。首先通過平方法求傳遞閉包得到模糊等價(jià)矩陣。具體算法是：從模糊相似矩陣出發(fā)，依次求平方（6）

14、當(dāng)?shù)谝淮纬霈F(xiàn)時(shí)，就是傳遞閉包，也就是模糊等價(jià)矩陣。方陣的自乘運(yùn)算是用模糊集合運(yùn)算中的交和并取代通常矩陣乘法中的乘積與求和操作（7）等價(jià)矩陣建立之后，具體的聚類過程就是從大到小依次賦給不同的值，通過計(jì)算截矩陣的方法獲得不同的分類。在具體的分類選擇中，通常根據(jù)實(shí)際需要選擇值，換言之就是根據(jù)特定的值選擇分類1。14.4 模糊模型識(shí)別方法己知某類事物的若干標(biāo)準(zhǔn)模型，現(xiàn)有這類事物中的一個(gè)具體對(duì)象，問把它歸到哪一模型，這就是模型識(shí)別。這里主要介紹模糊模型識(shí)別的兩種基本方法最大隸屬原則和擇近原則。模型識(shí)別在實(shí)際問題中是普遍存在的。例如，學(xué)生到野外采集到一個(gè)植物標(biāo)本，要識(shí)別它屆于哪一綱哪一目；投遞員(或分揀機(jī)

15、)在分揀信件時(shí)要識(shí)別郵政編碼等等，這些都是模型識(shí)別。它們有兩個(gè)本質(zhì)的特征：一是事先己知若干標(biāo)準(zhǔn)模型（稱為標(biāo)準(zhǔn)模型庫)，二是有待識(shí)別的對(duì)象。上述例子中，事先建立的植物標(biāo)本室、信封背面提供的10個(gè)標(biāo)準(zhǔn)阿拉伯?dāng)?shù)字都是標(biāo)準(zhǔn)模型庫，采集到的植物、分揀的每一封信都是待識(shí)別的對(duì)象。因此，模型識(shí)別粗略地講，就是要把一種研究對(duì)象，根據(jù)其某些特征進(jìn)行識(shí)別并分類。模糊模型識(shí)別中的最大隸屬原則定義14.11 設(shè)論域上有個(gè)模糊子集，其隸屬函數(shù)為，而為模糊向量集合族。對(duì)于普通向量，則稱為對(duì)模糊向量集合族的隸屬度。 需要指出的是，普通向量對(duì)模糊向量集合族的隸屬度也有其他形式的定義，如最大隸屬原則I 設(shè)論域上有個(gè)模糊子集，(

16、即個(gè)模型)，構(gòu)成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型庫，若對(duì)任一，有，使得則認(rèn)為相對(duì)隸屬于。最大隸屬原則設(shè)論域上有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型，待識(shí)別的對(duì)象有個(gè)，如果有某個(gè)滿足則應(yīng)優(yōu)先錄取。模糊模型識(shí)別中的擇近原則下面討論的是第二類模糊識(shí)別問題。設(shè)在論域上有個(gè)模糊子集，(即個(gè)模型)，構(gòu)成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型庫。被識(shí)別的對(duì)象也是一個(gè)模糊集，與中的哪一個(gè)最貼近？這就是一個(gè)模糊集對(duì)標(biāo)準(zhǔn)模糊集的識(shí)別問題。因此，這里涉及到兩個(gè)模糊集的貼近程度問題。（1）貼近度的概念設(shè)論域上的模糊子集，稱為的內(nèi)積；稱為的外積。定義14.12 設(shè)論域上的模糊子集，則稱為的貼近度?？梢姡?dāng)越大(亦即越大，越小)時(shí)，越貼近。（2）單個(gè)特性的擇近原則設(shè)在論域上有個(gè)模糊子集

17、，構(gòu)成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型庫。為待識(shí)別的模型若存在，使得則稱與最貼近，或者說把歸并到類。（3）多個(gè)特性的擇近原則設(shè)論域上有兩個(gè)模糊向量集合族，則的貼近度定義為由于實(shí)際問題的需要，為了解決兩個(gè)模糊向量集合族的貼近程度問題，人們創(chuàng)造了多種貼近度?，F(xiàn)列舉如下：設(shè)論域上有兩個(gè)模糊向量集合族，則的貼近度也可定義為1）；2），其中，且；3），其中，且；4），其中，且?？梢愿鶕?jù)實(shí)際需要，應(yīng)用不同的貼近度。多個(gè)特性的擇近原則：設(shè)在論域上有個(gè)模糊子集，構(gòu)成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型庫。每個(gè)模型由個(gè)特性來刻畫，即，待識(shí)別對(duì)象。 先求兩個(gè)模糊向量集合族的貼近度的最小值，即，若有，使得則認(rèn)為隸屬于。最后介紹一下模糊模型識(shí)別與模糊聚類分

18、析的區(qū)別。在講完模糊模型識(shí)別以后，再回到模糊聚類分析，讀者可能會(huì)產(chǎn)生一種錯(cuò)覺，以為模糊模型識(shí)別與模糊聚類分析都是分類問題，沒有什么差別。實(shí)際上，二者是有差別的。模糊模型識(shí)別所討論的問題是：已知若干模型，或者已知一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型庫(優(yōu)良的作物品種，印刷體的阿拉伯?dāng)?shù)字等都是標(biāo)準(zhǔn)模型庫)，有一個(gè)待識(shí)別的對(duì)象，要求我們?nèi)プR(shí)別對(duì)象應(yīng)屬于哪一個(gè)模型，即哪一類。模糊聚類分析所討論的對(duì)象是一大堆樣本，事先沒有任何模型可以借鑒，要求我們根據(jù)它們的特性進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸?，因此，可以這樣說，模糊模型識(shí)別是一種有模型的分類問題，而模糊聚類分析是一種無模型的分類問題。但是，在對(duì)農(nóng)作物病、蟲害作預(yù)報(bào)時(shí)，往往是先進(jìn)行模糊聚類，把它

19、們分成若干類(即若干標(biāo)準(zhǔn)模型)，然后將待預(yù)報(bào)的因子進(jìn)行模糊識(shí)別，如果它分到危害重的那一類，即可作病、蟲害災(zāi)情重的預(yù)報(bào)，以便及時(shí)采取防治措施。由上可見，由模糊聚類分析進(jìn)行判別、預(yù)測預(yù)報(bào)的過程，實(shí)際上是模糊聚類與模糊識(shí)別綜合運(yùn)用的過程。這里的模型是在聚類過程中得到的，恰恰為模糊識(shí)別提供了標(biāo)準(zhǔn)模型庫。因此，從某種意義上說，模糊聚類分析與模糊模型識(shí)別又是有聯(lián)系的。14.5 模糊綜合評(píng)判方法在實(shí)際工作中，對(duì)一個(gè)事物的評(píng)價(jià)(或評(píng)估)，常常涉及多個(gè)因素或多個(gè)指標(biāo)，這時(shí)就要求根據(jù)這多個(gè)因素對(duì)事物作出綜合評(píng)價(jià)，而不能只從某一因素的情況去評(píng)價(jià)事物，這就是綜合評(píng)判。在這里，評(píng)判的意思是指按照給定的條件對(duì)事物的優(yōu)劣、

20、好壞進(jìn)行評(píng)比、判別；綜合的意思是指評(píng)判條件包含多個(gè)因素或多個(gè)指標(biāo)因此，綜合評(píng)判就是要對(duì)受多個(gè)因素影響的事物作出全面評(píng)價(jià)。綜合評(píng)判的方法有許多種，這里介紹最常用的兩種1評(píng)總分法即根據(jù)評(píng)判對(duì)象列出評(píng)價(jià)項(xiàng)目，對(duì)每個(gè)項(xiàng)目定出評(píng)價(jià)的等級(jí)，并用分?jǐn)?shù)表示。將評(píng)價(jià)項(xiàng)目所得分?jǐn)?shù)累計(jì)相加，然后按總分的大小排列次序，以決定方案的優(yōu)劣。例如，我國高考成績的評(píng)分方法就是如此?？偡忠话惚硎緸?，其中表示總分，表示第個(gè)項(xiàng)目得分，為項(xiàng)目數(shù)。2加權(quán)評(píng)分法這種方法主要是考慮諸因素(或諸指標(biāo))在評(píng)價(jià)中所處的地位或所起的作用不盡相同，因此不能一律平等地對(duì)待諸因素(或諸指標(biāo))。于是，就引進(jìn)了權(quán)重的概念，它體現(xiàn)了諸因素(或諸指標(biāo))在評(píng)價(jià)中

21、的不同地位或不同作用。這種評(píng)分法顯然較評(píng)總分法合理。加權(quán)評(píng)分法一般表示為其中表示加權(quán)平均分?jǐn)?shù)，是第個(gè)因素所占的權(quán)重，且要求。若取權(quán)重，則由式求出的就是平均分。模糊綜合評(píng)判方法1. 模糊綜合評(píng)判的提法設(shè)為種因素(或指標(biāo))，為種評(píng)判，它們的元素個(gè)數(shù)和名稱均可根據(jù)實(shí)際問題需要由人們主觀規(guī)定。由于各種因素所處的地位不同，作用也不一樣，當(dāng)然權(quán)重也不同，因而評(píng)判也就不同人們對(duì)種評(píng)判并不是絕對(duì)地肯定或否定，因此綜合評(píng)判應(yīng)該是上的一個(gè)模糊于集其中反映了第種評(píng)判在綜合評(píng)判中所占的地位(即對(duì)模糊集的隸屬度：)。綜合評(píng)判依賴于各個(gè)因素的權(quán)重，它應(yīng)該是上的模糊子集，且，其中表示第種因素的權(quán)重。因此，一旦給定權(quán)重，相應(yīng)地可得到一個(gè)綜合評(píng)判。1. 模糊綜合評(píng)判的一般步驟1）確定因素集；2）確定評(píng)判集；3）確定模糊評(píng)判矩陣；首先，對(duì)每一個(gè)因素做一個(gè)評(píng)判，則可以得到的一個(gè)模糊映射，即然而，由模糊映射可以誘導(dǎo)出模糊關(guān)系，即因此，可以確定出模糊評(píng)判矩陣。而稱為模糊綜合