函數(shù)、極限與連續(xù)復(fù)習(xí)與典型復(fù)習(xí)題

1、函數(shù)、極限與連續(xù)復(fù)習(xí)與典型復(fù)習(xí)題 （一）內(nèi)容1函數(shù)：常量與變量，函數(shù)概念，基本初等函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，初等函數(shù)，分段函數(shù)。2.極限：極限的定義，極限的四則運算。3.連續(xù)函數(shù)：連續(xù)函數(shù)的定義和四則運算，間斷點。（二）要求1.了解常量和變量的概念；理解函數(shù)的概念；了解初等函數(shù)和分段函數(shù)的概念。熟練掌握求函數(shù)的定義域、函數(shù)值的方法；掌握將復(fù)合函數(shù)分解成較簡單函數(shù)的方法。2.了解極限概念，會求簡單極限。3.了解函數(shù)連續(xù)的概念，會判斷函數(shù)的連續(xù)性，并會求函數(shù)的間斷點。（三）典型習(xí)題1填空題（1）函數(shù)的定義域是解：，函數(shù)的定義域是（2）函數(shù)的定義域是解：， 函數(shù)的定義域是（3）函數(shù)，則 解： （4）函數(shù)，則

2、解：2（5）函數(shù)，則 解： （6）函數(shù)的間斷點是 解：函數(shù)的間斷點是（7）解：（8）若，則解：，2單項選擇題（1）設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（）A奇函數(shù) B偶函數(shù)C非奇非偶函數(shù) D既奇又偶函數(shù)解： 因為所以函數(shù)是偶函數(shù)應(yīng)選B（2）函數(shù)的定義域為（）A B C且 D且解：，所以且 應(yīng)選D（3）設(shè)，則（ ）A B C D 解：應(yīng)選C（4）下列各函數(shù)對中，（）中的兩個函數(shù)相等 A， B， C， D，解：應(yīng)選D（5）當(dāng)時，下列變量中為無窮小量的是（ ）.A B C D解：應(yīng)選C（6）當(dāng)（ ）時，函數(shù)，在處連續(xù).A0 B1 C D 解： 應(yīng)選B（7）當(dāng)（ ）時，函數(shù)在處連續(xù).A0 B1 C D 解： 應(yīng)選D（8

3、）函數(shù)的間斷點是（ ）A B C D無間斷點解：應(yīng)選A3解答題 （1） 解：（2） 解： （3）解： （4）計算極限 解： （5）計算極限 解：導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí)與典型復(fù)習(xí)題解答（一）內(nèi)容1.導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義。2.導(dǎo)數(shù)公式與求導(dǎo)法則：導(dǎo)數(shù)的基本公式，四則運算求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，隱函數(shù)求導(dǎo)方法， 3.微分的定義與計算4.高階導(dǎo)數(shù)的概念及求法 5. 函數(shù)單調(diào)性判別，函數(shù)極值； 6. 導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用。(二)要求1.了解導(dǎo)數(shù)概念，會求曲線的切線。2熟練掌握求導(dǎo)數(shù)的方法(導(dǎo)數(shù)基本公式、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)，會求簡單的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3.了解微分的概念，掌握求微分

4、的方法。4.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握求顯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的方法。5.掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法。6.了解極值概念和極值存在的必要條件，掌握極值判別的方法。7.掌握求函數(shù)最大值和最小值的方法。（三）典型例題1填空題（1）曲線在點的斜率是 解：，斜率（2）曲線在點的切線方程是 解：，斜率 切線方程為（3）若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，則(0) = 解：(0) =（4）已知，則=解： （5）已知，則=解：，=（6）若，則 解：， （7）函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 解：， 函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是（8）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加，則a應(yīng)滿足 解：， 所以2單項選擇題（1）函數(shù)在區(qū)間是（ ）A單調(diào)增加 B單

5、調(diào)減少C先增后減 D先減后增答：應(yīng)選D（2）滿足方程的點一定是函數(shù)的（ ）.A極值點B最值點 C駐點D 間斷點答：應(yīng)選C（3）若，則=（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. 2解：， 應(yīng)選C（4）設(shè)，則（ ） A B C D答：， 應(yīng)選B（5）設(shè)是可微函數(shù)，則（ ） A B C D 解：應(yīng)選D（6）若，其中是常數(shù)，則（ ） A B C D答：應(yīng)選C（7）下列結(jié)論中（ ）不正確 A在處連續(xù)，則一定在處可微. B在處不連續(xù)，則一定在處不可導(dǎo). C可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定發(fā)生在其駐點上.D函數(shù)的極值點一定發(fā)生在不可導(dǎo)點上。答：應(yīng)選A、D （8）若函數(shù)f (x)在點x0處可導(dǎo)，則( )是錯誤的 A函

6、數(shù)f (x)在點x0處有定義 B，但 C函數(shù)f (x)在點x0處連續(xù) D函數(shù)f (x)在點x0處可微 答：應(yīng)選B（9）下列函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)增加的是（ ） Asinx Be x Cx 2 D3 x答：應(yīng)選B3解答題（1）設(shè)，求 解：（2）設(shè)，求.解：（3）設(shè)，求.解：（4）設(shè)，求. 解：（5）設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求.解：方程兩邊同時微分，得：解法二：方程兩邊同時對求導(dǎo)，得： （6）設(shè)，求解：方程兩邊同時對求導(dǎo)，得：4應(yīng)用題（1）設(shè)矩形的周長為120厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。試求矩形的邊長為多少時，才能使圓柱體的體積最大。解：設(shè)矩形的一邊長為厘米，則另一邊長為厘米，以厘米的

7、邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體，則體積為：，即：，令，得：（不合題意，舍去），這時由于根據(jù)實際問題，有最大體積，故當(dāng)矩形的一邊長為厘米、另一邊長為厘米時，才能使圓柱體的體積最大。（2）欲用圍墻圍成面積為216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問這塊土地的長和寬選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 解：設(shè)矩形的長為米，則矩形的寬為米，從而所用建筑材料為：，即： ，令得：（取正值），這時由于根據(jù)實際問題，確實有最小值，故當(dāng)矩形的長為米，寬為米時，才能使所用建筑材料最省5.證明題:證明函數(shù)在區(qū)間（上單調(diào)上升。證明：因為，當(dāng)時， 所以函數(shù)在區(qū)間（上單調(diào)上升不定積分與定積分復(fù)習(xí)與典型復(fù)習(xí)

8、題解答(一)內(nèi)容1.原函數(shù)與不定積分：原函數(shù)的概念；不定積分的定義、性質(zhì)，積分基本公式；求不定積分的直接積分法、第一換元積分法和分部積分法。2.定積分：定積分的定義(用牛頓¾萊布尼茲公式作定義)、性質(zhì)和計算。3.廣義積分（簡單的無窮限積分） (二)要求1.理解原函數(shù)與不定積分的概念、性質(zhì)，掌握積分基本公式，掌握用直接積分法、第一換元積分法和分部積分法求不定積分的方法。2.了解定積分的概念、性質(zhì)，會計算一些簡單的定積分。（三）典型例題1填空題（1）若的一個原函數(shù)為，則 。解：因為 所以（2）若，則 解：（3）若，則解：，（4）解：（5） 解：（6）若，則解：（7）若，則解：（8） 解：

9、（9） .解：0（10）= 解：2單項選擇題（1）下列等式成立的是（）A BC D解：應(yīng)選A（2）若，則（ ）. A. B. C. D. 解：因為，兩邊同時對求導(dǎo)得： 應(yīng)選A（3）以下計算正確的是（ ）A B C D 解：應(yīng)選A（4）（ ）A. B. C. D. 解： 應(yīng)選A（5）=（ ） A B C D 答：應(yīng)選C（6）如果等式，則（ ）A. B. C. D. 解：由兩邊對求導(dǎo)，得：，應(yīng)選B（7）若= 2，則k =（ ） A1 B-1 C0 D 解：因為 所以 應(yīng)選A（8）下列定積分中積分值為0的是（ ） A B C D 解：令則所以函數(shù)是奇函數(shù)因此=0 應(yīng)選A（9）設(shè)是連續(xù)的奇函數(shù)，則定積

10、分（ ）AB CD 0答：應(yīng)選D（10）下列無窮積分收斂的是（）A BC D答：應(yīng)選B3計算題（1）解： （2） 解： （3）解： (4)解：(5) 解： (6)解：(7) 解： 4.證明題(1)證明等式證明： 考慮積分，令，則，從而 所以 (2)設(shè)在上連續(xù)，證明：證明：積分應(yīng)用復(fù)習(xí)與典型復(fù)習(xí)題(一)內(nèi)容1.定積分在幾何上的應(yīng)用：求平面曲線圍成的圖形面積。2.微分方程的基本概念：微分方程及其解、階以及分類。3.兩類一階微分方程的解法：可分離變量的微分方程與一階線性微分方程求解舉例。(二)要求1. 會用定積分計算簡單的平面曲線圍成圖形的面積（直角坐標(biāo)系）和繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體體積。2.了解微

11、分方程的幾個概念，掌握變量可分離的微分方程和一階線性微分方程的解法。（三）典型例題1填空題(1)已知曲線在任意點處切線的斜率為，且曲線過，則該曲線的方程是 。解：由得所求的曲線方程由確定 因為曲線過，所以，解得： 因此所求的曲線方程為(2)由定積分的幾何意義知，= 。解：由定積分的幾何意義知，就等于圓在第象限的面積，即 圓面積的，因此(3)微分方程的特解為 . 解：由得，兩邊同時積分，得 因為，所以，所以 從而，因此微分方程的特解為(4)微分方程的通解為 .解：， ，即 所以微分方程的通解為(5)微分方程的階數(shù)為 答：微分方程的階數(shù)為4階2.單項選擇題(1)在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點（1, 4）的曲線為（ ）Ay = x2 + 3 By = x2 + 4 C D 解：由知切線斜率為2x的積分曲線族為因為曲線通過點（1, 4）所以，故所求的曲線為 應(yīng)選A(2)下列微分方程中，（ ）是線性微分方程 A B C D答：應(yīng)選D(3)微分方程的通解為（ ） A B C D解：應(yīng)選C(4)下列微分方程中為可分離變量方程的是（）A. ； B. ； C.