113導數(shù)的幾何意義

1、導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義311 . ?,.,的的幾幾何何意意義義是是什什么么呢呢導導數(shù)數(shù)么么那那附附近近的的變變化化情情況況在在數(shù)數(shù)反反映映了了函函處處的的瞬瞬時時變變化化率率在在表表示示函函數(shù)數(shù)導導數(shù)數(shù)我我們們知知道道0000 xfxxxfxxxfxf P1P2P3P4PTTTTPP xfy xfy xfy xfy OyxOyxOyxOyx211 .圖圖 1 2 3 4 ?,.什么什么是是趨勢趨勢化化變變的的割線割線時時趨近于點趨近于點沿著曲線沿著曲線當點當點圖圖如如察察觀觀nnnnPPxfxPxfnxfxP004321211 .動動畫畫演演示示割割線線變變化化趨趨勢勢 ?,.tan,有

2、有什什么么關關系系呢呢的的斜斜率率斜斜率率與與切切線線的的割割線線值值得得關關注注的的問問題題是是的的稱稱為為過過點點這這個個確確定定位位置置的的直直線線定定的的位位置置趨趨近近于于確確割割線線時時趨趨近近于于點點當當點點我我們們發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)kPTPPlinegentPPTPPPPnnn切線切線?同同過過的的切切線線定定義義有有什什么么不不此此處處切切線線定定義義與與以以前前學學 .,00 xxxfxfkPPnnnn 的斜率是割線容易知道 .lim.,.,00000 xfxxfxxfkkPTxxxfPTkPPxnn 即的斜率線處的導數(shù)就是切在函數(shù)因此的斜率無限趨近于切線時無限趨近于點當點 .,.,

3、.近似代替近似代替的切線的切線就可以用過點就可以用過點曲線曲線附近附近在點在點因此因此附近的曲線附近的曲線最貼近點最貼近點的切線的切線過點過點更貼近曲線更貼近曲線比比更貼近曲線更貼近曲線比比附近附近在點在點可以發(fā)現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)或動畫演示或動畫演示繼續(xù)觀察圖繼續(xù)觀察圖PTPxfPxfPPTPxfPPPPxfPPPPP 2312211.,.,.以直代曲以直代曲想方法想方法這是微積分中重要的思這是微積分中重要的思附近的曲線附近的曲線點點這這替替近似代近似代切線切線我們用曲線上某點處的我們用曲線上某點處的這里這里近似代替無理數(shù)近似代替無理數(shù)用有理數(shù)用有理數(shù)如如例例刻畫復雜的對象刻畫復雜的對象數(shù)學上常用簡單

4、的對象數(shù)學上常用簡單的對象14163 .,.,.附近的變化情況附近的變化情況在在述、比較曲線述、比較曲線請描請描據(jù)圖象據(jù)圖象根根圖象圖象的的數(shù)數(shù)時間變化的函時間變化的函示跳水運動中高度隨示跳水運動中高度隨它表它表如圖如圖例例21021056943112tttthttth 0l1l2lthO0t1t2t311 .圖圖.,的的變變化化情情況況刻刻畫畫曲曲線線在在動動點點附附近近利利用用曲曲線線在在動動點點的的切切線線 .,變化情況在上述三個時刻附近的線刻畫曲處的切線在我們用曲線解thtttxh210 .,.,幾乎沒有升降較平坦附近曲線比在所以軸平行于處的切線在曲線時當00001ttxltthtt

5、.,.,附近單調遞減在即函數(shù)降附近曲線下在所以的斜率處的切線在曲線時當11111102ttthttthltthtt .,.,單調遞減附近也在即函數(shù)附近曲線下降在所以的斜率處的切線在曲線時當12222203ttthttthltthtt .,.附近下降得緩慢附近比在在這說明曲線程度的傾斜的傾斜程度小于直線直線可見從圖2121311ttthll 0l1l2lthO0t1t2t311 .圖圖80.80.50.0010.20.30.40.60.70.90.01.11.10.20.30.40.50.60.70.90.01.11. mlmgc/ mint411 .圖圖 .,min.,.,.,.min:)/:

6、(,.10806040204113精確到精確到率率物濃度的瞬時變化物濃度的瞬時變化血管中藥血管中藥時時估計估計根據(jù)圖象根據(jù)圖象函數(shù)圖象函數(shù)圖象變化的變化的單位單位隨時間隨時間位位單單物濃度物濃度表示人體血管中藥表示人體血管中藥它它如圖如圖例例 ttmlmgtfc 它表示從圖象上看在此時刻的導數(shù)藥物濃度就是度的瞬時變化率血管中某一時刻藥物濃解,.,tf .在此點處的切線的斜率曲線tf.,.時變化率的近似值瞬可以得到此刻藥物濃度估計這條切線的斜率利用網(wǎng)格線畫出曲線上某點處的切如圖411 .,.,.41804180 ft所以它的斜率約為處的切線作.,這些值是否正確一下驗證時變化率的估計值下表給出了藥物濃度瞬 417004080604020. tft藥物濃度的瞬時變化率 .lim,).()(,.,xxfxxfyxfyxfyfunctionderivativexfxxfxxfxxxxxfx 0000即即的導函數(shù)有時也記作的導函數(shù)有時也記