在解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生反思能力的方法思考

1、在解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生反思能力的方法思考普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）明確把“反思”這一教學(xué)理念提到了應(yīng)有的高度：“人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題，不斷地經(jīng)歷直觀感知反思與建構(gòu)等思維過(guò)程。這些過(guò)程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學(xué)生對(duì)客觀事物中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和做出判斷”。美籍?dāng)?shù)學(xué)教育家波利亞也說(shuō)，如果沒(méi)有了反思，他們就錯(cuò)過(guò)了解題的一次重要而有效益的方面”。在解題過(guò)程中注重培養(yǎng)學(xué)生的反思能力，能夠有效優(yōu)化思維品質(zhì)，提高思維能力，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。、反思題目的數(shù)學(xué)模型，深思求源高中數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容有限，但題目卻靈活多變。同一個(gè)數(shù)學(xué)模型，命題者可以從不同的角度、不同的層次，以不同的題型進(jìn)

2、行命題。面對(duì)新題型、新情境問(wèn)題，學(xué)生往往會(huì)覺(jué)得很難，不知從何處下手。因此在平時(shí)的教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生掌握一些常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型，要學(xué)會(huì)進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生通過(guò)解題后的反思真正做到“以點(diǎn)帶面”，達(dá)到對(duì)某些知識(shí)的強(qiáng)化和知識(shí)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，使得思維更加敏捷、有序、合理。例1:（1）8個(gè)同樣的小球，隨機(jī)放入3個(gè)盒內(nèi)，求：有多少種不同的放法？每盒內(nèi)至少有1球的放法。（2）求方程xl+x2+x3+x4=7的正整數(shù)解的組數(shù)。（3）-ABQ的三個(gè)內(nèi)角都是的整數(shù)倍，且三內(nèi)角不全相等，這樣的三角形有多少種？上述3題，雖然形式和內(nèi)容不同，但是通過(guò)分析、類比，不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于（2）,可將整數(shù)7看成7個(gè)相同的小球，變量xl、x2、

3、x3、x4看成4個(gè)盒子，那么7球入4盒且無(wú)空盒的不同放法種數(shù)就是方程正整數(shù)解的組數(shù)。對(duì)于（3）,三角形內(nèi)角之和是n，它是的12倍，將這12個(gè)的角分配到三個(gè)內(nèi)角內(nèi)，其不同的分配法（除去正三角形一種），就是所求的三角形的個(gè)數(shù)。這樣，三個(gè)問(wèn)題都“化歸”為“小球入盒”的模型：將n個(gè)同樣的小球隨機(jī)放入m（men）個(gè)盒子內(nèi)的不同放法有mn種；若要求m個(gè)盒內(nèi)均有球，則不同的放法有C種。這樣，不難求出各個(gè)問(wèn)題的答案。二、反思解題的過(guò)程，深思求準(zhǔn)學(xué)生解題結(jié)束以后，教師應(yīng)該要求學(xué)生對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行反思、，目的是查找自己是否審清題意，能否理清題干之間的內(nèi)在聯(lián)系，能否快速找到解題突破口，存在哪些錯(cuò)誤，思維偏差及障礙內(nèi)化

4、為自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而完成“二次思維”。在哪里，這些困難及錯(cuò)誤是如何克服的。通過(guò)這些反思使之三、反思解題的本質(zhì)，深思求同在平時(shí)教學(xué)中，對(duì)例題、習(xí)題的學(xué)習(xí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入研究，揭示通性、通法，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲由淺入深，水到渠成完成一類問(wèn)題，達(dá)到螺旋式上升。例2:已知橢圓：+=1的上、下頂點(diǎn)分別為力B,P為橢圓上不同于A8的任意一點(diǎn)，求證：直線PAPB的斜率之積為定值。該題難度不大，學(xué)生按題意翻譯就可得到答案，講完該題，做出如下幾個(gè)設(shè)計(jì)：(1)A,B坐標(biāo)改為，-，-,結(jié)果如何？(2)A,B坐標(biāo)滿足什么條件，結(jié)論不變，并給出證明。通過(guò)特殊點(diǎn)展示通法，類比到一般情況，便于學(xué)生思考與掌握。利用這一結(jié)論

5、可以快速完成2011江蘇高考題18題的第三問(wèn)：(江蘇18)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，MN分別是橢圓：+=1的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C連接AC并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B,設(shè)直線PA的斜率為k.(1)當(dāng)直線PA平分線段MN求k的值。(2)當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d。(3)對(duì)任意k>0,求證：PAIPB四、反思題目的結(jié)構(gòu)，深思求變?cè)诮虒W(xué)中，設(shè)計(jì)合理的變式教學(xué)，將一題變一串，拓寬思路，提高應(yīng)變能力。例3：已知函數(shù)f(x)=ex-l,g(x)=-x2+4x-3,若有f(a)=g(b),b的取值范圍為變式1：求a的取值范圍。變式2

6、：求b?f(a)的取值范圍。變式3：若有f(a)=g(b)=g(c),(bMc)求a+b+c的取值范圍。通過(guò)四小題歸納反思變中有同有不同，不要思維定式，讓學(xué)生的思維在解題后繼續(xù)飛翔。五、反思解題的角度，深思求異教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生在掌握基本解法的基礎(chǔ)上再思考其他方法，多角度觀察聯(lián)想，尋找最佳解題方案，以利于提高思維的廣闊性和發(fā)散性。例4:如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓E:+=1,若點(diǎn)A,B分別是橢圓的E左、右頂點(diǎn)，直線I經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸，點(diǎn)P是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn)，直線AP交I于點(diǎn)M設(shè)直線0M的斜率為K1,直線BP的斜率為K2,求證：K1?K2為定值.角度1：按題目閱讀的順序知，有了

7、P點(diǎn)坐標(biāo)，就可求出M點(diǎn)坐標(biāo),從而就有K1?K2的表達(dá)式，表達(dá)式中利用P點(diǎn)滿足橢圓方程進(jìn)行消元，得出結(jié)論，故而引入變量為P點(diǎn)坐標(biāo)。角度2:改變一下順序，若有了M點(diǎn)坐標(biāo)就可有直線AP方程，再聯(lián)立直線AP與橢圓方程得到P點(diǎn)坐標(biāo)，代入K1?K2計(jì)算即得，故引入變量為M點(diǎn)坐標(biāo)。角度3:若直線AP定了，聯(lián)立直線AP與橢圓方程得到P點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線AP與I直線方程得到M點(diǎn)坐標(biāo)，代入K1?K2計(jì)算即得，故引入變量為直線AP的斜率k。角度2、歸納：角度1中P點(diǎn)坐標(biāo)在橢圓上起到了消元作用，3中P點(diǎn)坐標(biāo)通過(guò)聯(lián)立直線與橢圓方程得到，哪種角度考慮最為簡(jiǎn)潔，一目了然。引導(dǎo)學(xué)生多角度反思，引入“誰(shuí)”作變量。仿照該角度就可輕松解決一類題：（2013蘇錫常鎮(zhèn)一模）已知橢圓E:+y2=l的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,圓x2+y2=4上有一動(dòng)點(diǎn)P,P在x軸上方，直線PA交橢圓E于點(diǎn)D,連結(jié)DCPB,設(shè)直線PB,DC的斜率存在，且分別為kbk2,若kl=入k2,求入的取值范圍。六、反思解題的結(jié)果，深思求真解題后的驗(yàn)證過(guò)程是確保答案準(zhǔn)確無(wú)誤的一種有效做法。于數(shù)學(xué)問(wèn)題的特點(diǎn)，對(duì)解題結(jié)果的反思，一方面能確保答案準(zhǔn)確無(wú)誤，另一方面考查了學(xué)生審題的嚴(yán)密規(guī)范，能逐步養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性和批