高等數(shù)學(xué)(上)重要知識(shí)點(diǎn)歸納

1、精品文檔高等數(shù)學(xué)（上）重要知識(shí)點(diǎn)歸納第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)一、極限的定義與性質(zhì)1、定義（以數(shù)列為例）lim xna0, N, 當(dāng) nN 時(shí)， | xna |n2、性質(zhì)(1) lim f ( x) Af ( x) A( x) ，其中(x) 為某一個(gè)無窮小。xx0(2)( 保 號(hào) 性 ）若 lim f ( x)oA 0，則0, 當(dāng) xU ( x0 , ) 時(shí) ，x x0f (x)0 。(3)* 無窮小乘以有界函數(shù)仍為無窮小。二、求極限的主要方法與工具1、 * 兩個(gè)重要極限公式(1)lim sin1(2) lim (11) e02、兩個(gè)準(zhǔn)則(1) * 夾逼準(zhǔn)則(2)單調(diào)有界準(zhǔn)則3、 * 等價(jià)無窮小

2、替換法常用替換：當(dāng)0 時(shí)（ 1) sin （ 3） arcsin （ 5） ln(1) （ 7） 1 cos 1 22（ 2） tan （ 4) arctan（ 6） e1 （ 8） n 11 n.精品文檔4、分子或分母有理化法5、分解因式法6 用定積分定義三、無窮小階的比較*高階、同階、等價(jià)四、連續(xù)與間斷點(diǎn)的分類1、連續(xù)的定義 *f (x) 在 a 點(diǎn)連續(xù)lim y 0lim f ( x) f (a)f (a ) f (a )f (a)x 0x a第一類可去型（極限存在）跳躍型（左右極限存在 但不相等）2、間斷點(diǎn)的分類無窮型（極限為無窮大 ）第二類 震蕩型（來回波動(dòng)）其他3、曲線的漸近線 *

3、(1)水平漸近線：若 limf ( x)A, 則存在漸近線： yAx(2)鉛直漸近線：若 limf ( x),則存在漸近線： xax a五、閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)1、最大值與最小值定理2、介值定理和零點(diǎn)定理.精品文檔第二章 導(dǎo)數(shù)與微分一、導(dǎo)數(shù)的概念1、導(dǎo)數(shù)的定義 *y |x af (a)dy |x alimylim f (ax)f (a)limf (x)f (a)dxx 0xx 0xx axa2、左右導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù) f (a)limylimf (x)f (a)x 0xx axa右導(dǎo)數(shù) f (a)limylimf ( x)f (a)x 0xx axa3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義*y |x a曲線 f ( x)在點(diǎn)

4、（ a, f (a)處的切線斜率 k4、導(dǎo)數(shù)的物理意義若運(yùn)動(dòng)方程： ss(t)則s (t)v(t )(速度）,s (t)v (t )a(t ) (加速度）5、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系:可導(dǎo)連續(xù)，反之不然。二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1、四則運(yùn)算 (uv) u v(uv) u v uv(u )u vv2uvv2、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)設(shè) yf ( x) ，一定條件下 dydy duyuuxdxdu dx3、反函數(shù)求導(dǎo)設(shè) yf ( x)和xf 1 ( y) 互為反函數(shù)，一定條件1下： yxxy4、求導(dǎo)基本公式 * （要熟記）.精品文檔5、隱函數(shù)求導(dǎo) *方法：在 F (x, y)0兩端同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo)，其中要注意到： y 是中間變

5、量，然后再解出y6、參數(shù)方程確定函數(shù)的求導(dǎo) *設(shè) xx(t ) ， 一 定 條件 下yy(t)yx dy yt ,( yt )txt （可以不記）yxdyxxtyt xt ytdx xtdxxt( xt )37、常用的高階導(dǎo)數(shù)公式（ 1） sin (n) xsin( xn),( n0,1,2.)2（ 2） cos(n ) xcos(xn), ( n0,1,2.)2（ 3） ln( n ) (1x)(1)n1(n1)! , (n 12.)(1x)n（ 4） ( 1 )n(1)n n!, (n0,1,2.)1 x(1x)n 1（ 5）（萊布尼茨公式）n(uv)( n )Cnku( n k )v(

6、k )k 0三、微分的概念與運(yùn)算1、微分定義*若yA xo(x) ，則 yf ( x) 可微，記 dyA xAdx2、公式： dyf (x)xf ( x) dx3、可微與可導(dǎo)的關(guān)系*兩者等價(jià)4、近似計(jì)算當(dāng) | x | 較小時(shí)， ydy ， f ( x)f ( xx)f ( x) x.精品文檔第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、微分中值定理*1、柯西中值定理 *(1) f ( x)、g ( x)在 a,b上連續(xù)( 2) f ( x)、 g (x)在 (a, b)內(nèi)可導(dǎo)（3） g ( x) 0,則：（a, b),使得：f ( )f (b)f (a)g ( )g(b)g(a)當(dāng)取 g ( x) x 時(shí)，定理演變成

7、：2、拉格朗日中值定理 *（a, b),使得： f (f (b)f (a)f (b) f (a) f ( )(b a)ba當(dāng)加上條件f ( a)f (b) 則演變成：3、羅爾定理 *（a,b),使得： f ( )04、泰勒中值定理在一定條件下：f (x) f (x0 )f(x0 )(xx0 ).f ( n ) (x0 ) (x x0 )nRn (x)n!其中 Rn ( x)f (n1) ( ) ( x x0 )n 1o( x x0 )n ),介于 x0、x 之間 .(n1)!當(dāng)公式中 n=0 時(shí)，定理演變成拉格朗日定理 .當(dāng) x0 0 時(shí)，公式變成 :5、麥克勞林公式f (x)f (0)f (

8、0) x .f ( n) (0) xnRn ( x)n!.精品文檔6、常用麥克勞林展開式（ 1） ex 1xx22!（ 2） sin xxx33!（ 3） cosx1x22!.1 xno(xn )n!x5.( 1)n 12 n 1(2n )5!(2nxo x1)!x4.(1)nx2no(x2 n 1 )4!(2n)!（ 4）ln(1x2x3( 1)n 1xn(n )x) x.no x23二、羅比達(dá)法則 *記?。悍▌t僅能對(duì) 0 ,型直接用， 對(duì)于 0 ,1 ,00, 0 , 轉(zhuǎn)化0后用 .冪指函數(shù)恒等式 * f geg ln f三、單調(diào)性判別*1、 y0y,y0y2、單調(diào)區(qū)間分界點(diǎn)：駐點(diǎn)和不可導(dǎo)

9、點(diǎn).四、 極值求法 *1、極值點(diǎn)來自：駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)（可疑點(diǎn)）.2、求出可疑點(diǎn)后再加以判別.3、第一判別法：左右導(dǎo)數(shù)要異號(hào)，由正變負(fù)為極大，由負(fù)變正為極小 .4、第二判別法： 一階導(dǎo)等于0，二階導(dǎo)不為0 時(shí)，是極值點(diǎn) .正為極小，負(fù)為極大.五、閉區(qū)間最值求法*找出區(qū)間內(nèi)所有駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)，比較大小.精品文檔六、凹凸性與拐點(diǎn)*1、 y0y,y0y2、拐點(diǎn)：曲線上凹凸分界點(diǎn)( x0 , y0 ) .橫坐標(biāo) x0 不外乎f ( x0 )0,或f (x0 )不存在 ，找到后再加以判別x0附近的二階導(dǎo)數(shù)是否變號(hào).七、曲率與曲率半徑| y|1、曲率公式 K3(1 y2 )212、曲率半徑 RK.

10、第四章 不定積分一、不定積分的概念*若在區(qū)間 I 上， F (x)f ( x),亦dF (x)f ( x)dx ，則稱 F ( x)為f ( x)的原函數(shù) .稱全體原函數(shù)F(x)+c 為 f(x) 的不定積分，記為二、微分與積分的互逆關(guān)系1、f (x)dxf (x)d f (x)dxf ( x)dx2、f( x)dxf (x) cdf (x)f ( x) c三、積分法 *1、湊微分法 *2、第二類換元法3、分部積分法 *udvuvvdu4、常用的基本積分公式(要熟記 ).精品文檔f ( x)dx .第五章 定積分一、定積分的定義bnf (x) dx limf ( i ) xiax 0i 1二、

11、可積的必要條件有界 .三、可積的充分條件連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)或單調(diào) .四、幾何意義定積分等于面積的代數(shù)和 .精品文檔五、 主要性質(zhì) *bcb1、可加性 aac2、估值 在 a,b 上， m(bba) a f ( x) dxM (ba)3、積分中值定理 *當(dāng) f(x) 在 a,b 上連續(xù)時(shí)：ba f ( x)dx f ()(b a), a, bbf (x)dx4、函數(shù)平均值：aba六、變上限積分函數(shù)*1、 若 f ( x)在 a,b連續(xù)，則 F ( x)xxaf (t )dt可導(dǎo)，且 a f (t) dtf ( x)2、 若 f ( x)在 a,b連續(xù)，（ x）( x)可導(dǎo)，則： a f

12、 (t )dt f (x)( x)七、牛 -萊公式 *bf ( x)dx |ba F (b)若 f ( x)在 a, b連續(xù)，則 af ( x)dxF (a)八、定積分的積分法*1、換元法牢記：換元同時(shí)要換限2、分部積分法3、特殊積分bba udv uv |baa vdu（ 1）a0,當(dāng) f ( x)為奇函數(shù)時(shí)a f ( x)dxa2 f ( x) dx,當(dāng)f ( x)為偶函數(shù)時(shí)0（ 2）當(dāng) f(x) 為周期為 T 的周期函數(shù)時(shí)：a nTTf ( x)dxnf ( x)dx, nZa0（ 3）一定條件下 :xf (sin x) dx2 0 f (sin x)dx0.精品文檔(n1)! ， 是正

13、奇數(shù)時(shí)（ 4）02 sinn xdx02 cosn xdxn!n(n1)!，n是正偶數(shù)時(shí)！n !2（ 5）0 sinn xdx2 02 sinn xdx九、 反常積分 *1、無窮區(qū)間上f ( x)dxlimxf (t )dtF ( x) |aF ( ) F (a) 其他類似aax1p時(shí)收斂2、 p 積分 ： adx(a1xp0) :時(shí)發(fā)散p13、瑕積分：若a 為瑕點(diǎn)：則 babf ( x)dxlimxaxf (t )dtF ( x) |baF (b)F (a )其他類似處理第六章定積分應(yīng)用一、幾何應(yīng)用1、面積Ab（y上 - y下） dx（ 1）abA（x右 - x左） dya（ 2）（ 3）xx(t ),則 A| y(t ) x (t ) | dtC :, (tyy(t )C :( ),與，（)圍成圖形面積12A（ ）d22、體積 *（ 1）旋轉(zhuǎn)體體積 * Vxby2 dx Vydx2 dy或 Vybac2 xy dxa（ 2）截面面積為 AA(x) 的立體體積為bVa A( x) dx.精品文檔3、弧長（ 1） s（ 2） sby 2 dx( a xb)1ax 2 (t ) y 2 (t )dt,(t)（ 3） s22 d ,()二、物理應(yīng)用1、變力作功一般地：先求功元素： d