《直線與圓的位置關系》教學設計

1、直線與圓的位置關系教學設計安徽省宿州市宿州學院附屬實驗中學 羅風云一、教材依據直線與圓的位置關系是普通高中課程標準實驗教科書數學必修2（人教A版）第四章第421節(jié)的內容。二、設計思想教材分析：普通高中課程標準實驗教科書數學必修2（人教A版）第四章第42節(jié)直線、圓的位置關系主要介紹了直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系，直線與圓的方程的應用等內容，大致安排四課時教學。本節(jié)課是第42節(jié)第一課時內容，是繼學生學習了直線的方程、圓的方程等知識點之后，用解析法（坐標法）來研究直線與圓的位置關系。在平面幾何中，已經對直線與圓的位置關系進行了定性的研究，即依照它們公共點的個數來判定它們的位置關系。但在實際問

2、題中，我們會經常遇到直線與圓的位置關系的定量刻畫問題，如當直線與圓有公共點時，其公共點的準確位置的確定問題，這是平面幾何沒有解決好的問題。學習了坐標法后，可以通過建立平面直角坐標系，使得直線與圓可以用方程表示，從而將直線與圓的位置關系的研究轉化為直線的方程與圓的方程之間的數量關系的研究。當直線與圓有公共點時，公共點位置的確定就轉化為求解直線的方程與圓的方程的公共解。同時，依據圓心到直線的距離與半徑長的大小關系也可以判斷直線與圓的位置關系，首先運用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，然后比較這個距離與圓的半徑的大小，并作出位置關系的判斷，仍然是用坐標法解決問題（幾何意義相對直觀些）。學情分析

3、：現有知識儲備（1）直線的方程；（2）直線與直線的公共點和方程組的解的關系；（3）點到直線的距離公式；（4）圓的標準方程、一般方程等現有能力特征具有一定的歸納、概括、類比、抽象思維能力現有情感態(tài)度對坐標法在具體情境中的應用具有強烈的求知欲和渴望探究的積極情感態(tài)度設計理念：以學生為本，重視思維發(fā)生的過程，通過兩個角度來研究直線與圓的位置關系：一是從幾何角度直觀判斷，二是通過直線與圓的方程從“數”的角度進行研究。這也體現了數形結合的思想。不斷利用學生自主探究來激發(fā)學生的學習興趣，有意識地培養(yǎng)學生的學習毅力，讓學生學習有趣的數學，學習有用的數學，充分體現數學的應用價值、思維價值和人文價值。三、教學目

4、標1知識與技能目標：（1）使學生從具體的事例中認知和理解直線與圓的三種位置關系，并能利用dr法和法來判斷;（2）當直線與圓有公共點時，會求直線與圓的公共點的坐標;當直線與圓相交時，會求圓的弦長，以及能解決與弦長相關的簡單問題;(3)通過直線與圓的位置關系的代數化處理，使學生進一步認識到坐標系是聯系“數”與“形”的橋梁，從而更深刻地體會坐標法思想。2過程與方法目標：通過觀察、實驗、討論、合作探究等數學活動使學生了解探索問題的一般方法；由觀察得到“圓心到直線的距離和圓半徑大小的數量關系對應等價于直線和圓的位置關系”，從而實現位置關系與數量關系的轉化，滲透運動與轉化的數學思想。3情感、態(tài)度與價值觀目

5、標：創(chuàng)設問題情景，激發(fā)學生好奇心；體驗數學活動中的探索與創(chuàng)造，感受數學的嚴謹性和數學結論的正確性，在學習活動中獲得成功的體驗；通過“轉化”數學思想的運用，讓學生體會數與形的有機統一，對數學知識之間的關系有辯證的理解與認識。四、教學重難點本節(jié)課教學重點：用坐標法判斷直線與圓的位置關系。本節(jié)課教學難點：探究直線與圓的位置關系的數量關系及其綜合運用。重、難點突破措施：1以情感人，以理醒人創(chuàng)設情境中：問題開題，扣人心弦；層層探究中：分類探究，步步為營，絲絲入扣。2數形結合現代的多媒體技術直觀、形象展示知識的形成過程，突破重難點。五、教學問題診斷學生在初中平面幾何中已經接觸過直線與圓的位置關系，學習了直

6、線的方程、兩直線的位置關系、兩條直線的交點、點到直線的距離以及圓的方程等知識點之后，具備了利用方程研究直線與圓的位置關系的基本能力。為什么要對直線與圓的位置關系進行定量刻畫？這是學生學習時可能遇到的第一個學習障礙。這個問題可以結合“暗礁問題”進行說明，這是平面幾何沒有解決的問題，必需借助坐標系，才能精確刻畫。利用直線與圓的方程進行直線與圓的位置關系的研究時，會遇上求方程組的解，求圓心到直線的距離等大量的代數計算問題，由于有些問題（特別是像暗礁這樣的實際問題）中的數據較復雜，可能導致學生計算出錯，這是第二個學習障礙，教學時不能因為這個問題而使教學偏離重點，必要時可使用信息技術工具解決這個問題。六

7、、教學方法與手段：以問題為主線組織探究，講練結合，整理歸納。利用ppt、幾何畫板等多媒體手段輔助教學。七、課 型：新授課八、教學過程設計：數學來源于生活，應用于生活。首先，我們來看一段美麗的海上日出視頻。如果我們把海平面看作是一條直線，把太陽看作是一個圓，那么剛才的視頻中直線與圓有幾種位置關系呢？今天這節(jié)課我們就來研究如何判斷直線與圓的位置關系。 1回顧舊知 探究新知問題1：直線與圓的位置關系有幾種？在初中,我們是怎樣判斷 直線與圓的位置關系的呢？設計意圖：從已有的知識經驗出發(fā)，建立新舊知識之間的聯系，構建學生學習的最近發(fā)展區(qū)，不斷加深對問題的理解。師生活動：引導學生回憶初中階段判斷直線與圓的

8、位置關系的兩種思路，展示下面的表格，使問題直觀形象。（其中d表示圓心到直線的距離）問題2：通過剛才的復習，大家覺得判斷直線與圓的位置關系的方法有幾種呢？設計意圖：從舊知出發(fā)，引導學生總結直線與圓的位置關系的判斷方法。師生活動：引導學生回答有兩種：一是看圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關系；二是看直線與圓公共點的個數。問題3：圖中直線l與圓C的位置關系是什么？（打開幾何畫板）          設計意圖：利用電腦的分辨率造成誤解，通過一系列的追問，讓學生感受到能否判斷位置關系，需要根據數量來判斷，

9、為后續(xù)引出用坐標法解決問題做鋪墊。師生活動：通過教師追問，引起學生思考。生：圖中直線l與圓C相切。師：上述圖形中直線和圓的相切你是如何得到的？生：我是看出來的。師：經過放大后，你能看得出來它們的位置關系嗎？（畫得似乎相切（實際上相離）很難看出來是相切還是相離）；（保持圓和直線的相對位置不變的情況下，拖動使得圖形放大，再觀察）生：是相離，看來有時眼睛也會欺騙我們，直線與圓的位置關系有些情況通過觀察是看不出來的。師：是的，有的情形通過觀察，也不清楚公共點個數的，那怎么辦？生：那就通過圓心到直線的距離與半徑比較大小。師：如何去比較呢？象圖中圓心到直線的距離怎么得到？半徑又是如何得到？用直尺度量長度行

10、嗎？ 生：好象也不行，那也只是近似的，象圖中問題還是難以解決的。師：觀察和度量都不是精確的，怎么樣才是精確的呢？ 生：用計算出來的量化數字來判斷。 師：對，解析幾何就是用代數方法研究幾何問題的一門學科，直線、圓都有方程，那么我們就可以通過研究兩個方程的相關量來判斷直線與圓的位置關系，而要寫出方程的前提是建立平面直角坐標系。下面我們來看一個實例。2問題引導 方法探究 一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島的中心為圓心，半徑為30km的圓形區(qū)域.已知小島中心位于輪船正西70km處，港口位于小島中心正北40km處.如果輪船沿直線返港，那么它是否有觸礁危險？設計意圖：讓學生感受這個實際問題中所蘊含

11、的直線與圓的位置關系，思考解決問題的方案。通過實際問題的解決，讓學生體會生活中的數學，突出研究直線與圓的位置關系的重要意義。師生活動：讓學生進行討論、交流，啟發(fā)學生由圖形獲取判斷直線與圓的位置關系的直觀認知。師：你覺得船什么情況下有危險？只從圖形上觀察能否準確判斷船有危險？生：如果船經過暗礁的圓形區(qū)域，就有危險，也就是說如果暗礁所在的圓與輪船航線所在的直線相切或相交，那么船就有危險。這種情況不能通過觀察得出有沒有危險，只有通過計算。問題4：你能根據我們學過的直線與圓的方程來判斷它們之間的位置關系嗎？步驟又該怎樣寫呢？設計意圖：引導學生用直線與圓的方程判斷直線與圓的位置關系，體驗坐標法的思想方法

12、。師生活動：通過教師追問，引起學生思考。師：要想求出圓與直線的方程，得有平面直角坐標系，那如何建立坐標系呢？怎樣建立坐標系使得得到的方程更簡單呢？生：以小島中心為原點，以東西方向為軸，南北方向為軸，建立平面直角坐標系。分析：如圖，以小島中心為原點，以東西方向為軸，南北方向為軸，建立平面直角坐標系，其中，取10km為單位長度。則暗礁的圓形區(qū)域的邊界所對應的圓的方程為，圓心O（0，0），半徑，輪船航線所在的直線的方程為，圓心到直線的距離，即，所以直線與圓相離。故輪船無觸礁的危險。問題5：這是利用圓心到直線的距離與半徑的大小關系判別直線與圓的位置關系（故可稱此法為“法”）。請問用“法”的一般步驟如何

13、？設計意圖：對根據圓心到直線的距離與半徑的大小關系來判斷直線與圓位置關系的步驟進行小結，對知識進行梳理，使學生有“操作規(guī)范”，培養(yǎng)其歸納能力，同時也滲透了算法思想。師生活動：教師引導學生分析歸納：（1）建立平面直角坐標系；（2）求出直線與圓的方程，從而確定圓心坐標與圓的半徑；（3）求出圓心到直線的距離；（4）比較與的大?。寒敃r，直線與圓相交；當時，直線與圓相切；當時，直線與圓相離。問題6：如果從公共點個數的角度來考察直線與圓的位置關系，該如何解答呢？設計意圖：引導學生回想兩直線交點的解法，從而知道聯立方程組，根據方程組解的情況判斷直線與圓的位置關系。分析：聯立方程組，消去，得，因為所以，方程組

14、無解，直線與圓相離。故輪船無觸礁的危險。問題7：根據方程組是否有解來判斷直線與圓的位置關系（故可稱此法為“法”）的步驟如何？設計意圖：對根據方程組是否有解來判斷直線與圓位置關系的步驟進行小結，對知識進行梳理，使學生有“操作規(guī)范”，培養(yǎng)歸納能力，同時也滲透了算法思想。師生活動：教師引導學生分析、歸納：（1）建立平面直角坐標系；（2）求出直線與圓的方程；（3）聯立直線和圓的方程建成方程組；（4）消元得到一個一元二次方程，求出其判別式的值，判斷的符號：若0，直線與圓相交； 若0，則直線與圓相切；若0，則直線與圓相離。 3例題探究 鞏固提高例1.如圖，已知直線：和圓心為的圓，判斷直線與圓的位

15、置關系。設計意圖：通過例題鞏固判斷直線與圓的位置關系方法，關注量與量之間的關系，使學生體驗用坐標法研究直線與圓的位置關系的兩種思路。師生活動：教師引導學生分析解答。分析：方法一：可以依據圓心到直線的距離與圓半徑的大小關系（dr法）；方法二：可以看由它們的方程組成的方程組有無實數解（法）。（展示學生解答過程）例1 變式：如果相交，求它們交點A,B的坐標求弦AB的長度設計意圖：直線與圓的位置關系，當他們相交時，學習弦長的求法師生活動：學生思考解決，可能有兩種方法：方法一：因為兩個交點坐標分別是，所以用兩點之間的距離公式得弦長；方法二：構造直角三角形，先求弦心距，再求弦長（如圖所示）總結提煉：弦長的

16、求法：方法一：聯立方程組求交點的坐標，而后利用兩點間的距離公式；方法二：弦長公式：（其中d表示圓心到直線的距離，r為圓的半徑）例2已知過點M（3，3）的直線l被圓x2+y2+4y-21=0所截得的弦長為，求直線l的方程。設計意圖：一方面鞏固例1變式中的弦長公式，強調其應用；一方面為例2變式中對斜率存在性的討論埋下伏筆。師生活動：教師引導學生分析解答。分析：可以先計算出圓心到直線l的距離（勾股定理），從而由點到直線的距離公式確定出直線l的方程（也可通過弦長公式來求）。思考：針對結果提出問題：能否結合圖形解釋為什么有兩個？（提出兩條直線關于直徑對稱的現象） 例2 變式：如果把題中的弦長改為8，結果

17、如何呢？設計意圖：如果學生對直線的斜率存在性不進行討論的話，就會用直線的點斜式方程求出直線方程為（即），從而遺漏直線，這樣做的目的還是使學生關注用點斜式或斜截式設直線方程式時要注意對斜率的存在性進行討論。師生活動：學生解答，解釋出錯原因。（展示學生解答過程）（提出弦長最短或最長時，所求的直線只有一條）4實戰(zhàn)演練 強化評測1.求過點與圓相切的直線方程；2.已知直線與圓，當實數取何值時，直線與圓相切、相離、相交？（展示學生解答過程）設計意圖：練習主要考察學生兩方面的知識（直線與圓的位置關系的應用、直線點斜式方程對斜率存在性問題的討論），通過練習檢驗學生的知識掌握情況，從而達到鞏固直線與圓的位置關系的相關知識點的目的。師生活動：學生分析解答，教師指導。5.課堂小結師：同學們，我們今天學習了直線與圓的位置關系，你能回答下面的問題嗎？（1） 根據直線與圓的方