(完整word版)數(shù)列的極限

1、數(shù)列的極限【知識(shí)概要】1. 數(shù)列極限的定義1）數(shù)列的極限，在n 無(wú)限增大的變化過(guò)程中，如果數(shù)列 an 中的項(xiàng) an 無(wú)限趨向于某個(gè)常數(shù) A ，那么稱 A 為數(shù)列 an 的極限，記作lim anA. 換句話說(shuō)，即：對(duì)于數(shù)列 an ，如n果存在一個(gè)常數(shù)A ，對(duì)于任意給定的0 ，總存在自然數(shù)N ，當(dāng) nN 時(shí)，不等式anA恒成立，把A 叫做數(shù)列 an 的極限，記為lim anA .n注：理解數(shù)列極限的關(guān)鍵在于弄清什么是無(wú)限增大，什么是無(wú)限趨近； 有限項(xiàng)的數(shù)列不存在極限問(wèn)題，只有無(wú)窮項(xiàng)數(shù)列才存在極限問(wèn)題； 這里的常數(shù)A 是唯一的，每個(gè)無(wú)窮數(shù)列不一定都有極限，例如：(1)n ； 研究一個(gè)數(shù)列的極限，關(guān)注

2、的是數(shù)列后面無(wú)限項(xiàng)的問(wèn)題，改變?cè)摂?shù)列前面任何有限多個(gè)項(xiàng)，都不能改變這個(gè)數(shù)列的極限； “無(wú)限趨近于A ”是指數(shù)列 an 后面的項(xiàng)與A 的“距離”可以無(wú)限小到“零”.例 1 判斷下列結(jié)論的正誤（ 1）若 lim an0 ，則 an 越來(lái)越??；n（ 2）若 lim anA，且 an 不是常數(shù)數(shù)列，則an 無(wú)限接近 A ，但總不能達(dá)到A ；n（ 3）在數(shù)列 an 中，如果對(duì)一切nN 總有 an 1an ，則 an 沒(méi)有極限；（ 4）若 lim anA，則 lim anA0 .nn解：（ 1）不正確，例如：an1an， an 1n，（ 為偶數(shù))2n（ 2）不正確，例如：an， liman2 .2n ，（

3、 為奇數(shù)）nn1n（ 3）不正確，例如： an1 1， an 1an ，但 lim an1.nn（ 4）正確12. 數(shù)列極限的運(yùn)算性質(zhì)1）數(shù)列極限的運(yùn)算性質(zhì)如果 lim anA ， lim bnB ，那么nn lim( anbn )lim anlim bnA B ；nnnlim( anbn )lim anlim bnAB ；nnnanlim anAn(B 0).limlim bnBn bnn特別地，如果 C 是常數(shù)，那么 lim(C an) limCliman.nnnC A2）四種常見(jiàn)的重要極限（ 1） lim CC10（ 2） limnnn1（ 3） lim qn0(1q1)（ 4） lim

4、(1)nennn例 2下列命題中正確的命題是（）（ A ）若 lim anA ， lim bnB ，則 limanAbnBnnn（ B）若 lim ann（ C）若 lim an 2n（ D）若 lim ann解：選（ D）0 ，則 lim( anbn )0nA2 ，則 lim anAnA ，則 lim an2A2n例 3已知 lim(2 n1)an 2，求 lim nan .nn解： lim nalim(2 n1)alimn21 1nnnnn2n12例 4求下列數(shù)列的極限2n1,1n6N * ) ，則 lim an（ 1）若 an1(n0 ， lim Sn 37 .n 6 , n7nn2（

5、2） limn22n112；n2nn322（ 3） limn (n1n1)1 ；n2n1n1 ；（ 4） limn2n1e（ 5） lim(11)(11)(111)L(1)0;n234n123Ln1（ 6） lim2.nn23. 數(shù)列極限常見(jiàn)的解題技巧現(xiàn)階段求數(shù)列的極限， 總是把被求極限的數(shù)列變形四個(gè)常見(jiàn)的基本極限， 再依據(jù)極限的四則運(yùn)算法則求解。所謂的解題“技巧” ，也就是如何變形的問(wèn)題。一般來(lái)說(shuō)，關(guān)于n 的數(shù)列通項(xiàng) anf (n) ，如果僅僅只在底數(shù)的位置中含序號(hào)n ，往往變形為 F ( 1) ，利用 lim 10 求解；如果僅僅只在指數(shù)的位置中含序號(hào)n ，往往變形成nnnF (qn )

6、，利用 lim qn0 求解；如果既在底數(shù)的位置中含序號(hào)n ，又在指數(shù)的位置中含序號(hào)nn ，往往變形成 F(11 )n 的形式，利用 lim(1 1 ) ne求解 .同時(shí)遵循先化簡(jiǎn)再變形的原nnn則.例 5若lim(34 ) 8,lim(6)1 ，求nanbnnan bnlim(3 an bn ).n解：根據(jù) 3an bnx(3an 4bn )y(6 anbn ) 求解，可得 lim(3 an bn ) 3.n3【課堂練習(xí)】1. 下列命題正確的是（）數(shù)列1 n 3 沒(méi)有極限數(shù)列1 n 2的極限為 0n3n2n數(shù)列3的極限為3 數(shù)列沒(méi)有極限2n3A. B.C.D.答案： D2. 命題：?jiǎn)握{(diào)遞減的

7、無(wú)窮數(shù)列不存在極限；常數(shù)列的極限是這個(gè)常數(shù)本身；搖擺的無(wú)窮數(shù)列不存在極限 . 以上命題正確的是 ( )A.0B.1C.2D.3答案： B. 由極限的定義僅有是正確的. 的反例是 an =1 這是無(wú)窮單調(diào)遞減數(shù)列，它的極n(1) n 1它 是 搖 擺 的 無(wú) 窮 數(shù) 列， 它 的 極 限 是零 . 因 為 | an 限 是 零 ； 的 反例 是 an=2n0|=|( 1)n10|=1故選 B.2n可以任意小 .2n3.已知 ab1 ，則 liman n 1bn 1n11 的值是 (B )nabA. bB.1C.bD. 不存在aa= 14.設(shè) Sn 是無(wú)窮等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和 , 若 lim S,

8、 則首項(xiàng) a1 的取值范圍是 ( C)nn4A. （0， 1） B. （0， 1）C. （0， 1 ）（ 1,1）D. （0， 1 ）（ 1 ，1）42442425.在數(shù)列 an 中，若 lim(3 n1)a1 , 則 lim na =_.nnnn6. 設(shè) 數(shù) 列 an , bn均 為 等 差 數(shù) 列 ，（ 公 差 都 不 為 零 ）， liman =3, 則nbnlimb1 b2b2 n =_.n n a3 n7. 已知 lim ( n21an b) 0 ，則 a =_, b =_.nn148.已知無(wú)窮等比數(shù)列a1qn)1，則首項(xiàng) a1 的 an 的首項(xiàng)為 a1 ，公比為 q 且有 lim

9、（n2q2取值范圍是 _.答案：5.16.2 7.11 8.1 a1 3, 且 a1 1.3922n9.若 lim1a0 ，則 a 的取值范圍是（）n 2a1C 1 a11A a 1B a1或 aD a或 a 1333分析：由 lim a n0 （ a 為常數(shù)），知 a 1 ，所以由已知可得1 a1，解這個(gè)不等n2a式就可求得a 的取值范圍n解：由 lim1a0 ，得1 a1，n2a2a所以 1a2a ，兩邊平方，得：(1a) 24a2 ，3a22a10, (3a1)(a1)0 ，所以 a1或 a13答案B10. 在數(shù)列 an 中，已知 a11，且 an2Sn Sn 1(n 2) ，求 lim

10、 an2 .3nSn解： limanlim2(2n 1)222nSnn(2n1)(2n 1)11. 已知 f ( x)2(x 0), 設(shè) a11,an21f (an ) 2(n N * ) ，x24求： (1) 數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（ 2） limb 4n2an24n22nb3 2a n解：（ 1）由 an+12· f ( an)=2, 得 an +12·an2=224222為首項(xiàng)， 4 為公差的等差數(shù)列， an+1 an =4 an 是以 1 an2=1+4( n 1)=4 n 3 an0 an= 4n 35(2) 原式 = lim4 n2 4n 3b4n 23 24

11、 n 3n當(dāng) | b| 2, 即 2 b 2 時(shí)，原式 = 1當(dāng) | b|=2 ，即 b=± 2 時(shí)，原式 =375當(dāng) | b| 2，即 b 2 或 b 2 時(shí)，原式 =b21 ,(2 b2)372)綜上，原式 = ,( b52,(b或2)b2 b12. 如圖，在邊長(zhǎng)為I 的等邊 ABC 中，圓 O1 為 ABC的內(nèi)切圓，圓O2 與圓 O1 外切，且與AB、 BC相切， ，圓 On 1 與圓 On 外切，且與 AB、BC相切，如此無(wú)限繼續(xù)下去，記圓On 的面積為 an ， (nN*).( ) 證明 an 是等比數(shù)列；（）求 lim( a1a2 a3Lan ) 的值 .n解：（）記 r

12、r =1° =3l ，nntan30為圓 O的半徑 .126rn 1rn=sin30 ° = 1rn 1rn2 r1r1( n 2) a = r2=l 2=n1n1123an(rn)n1 a 成等比數(shù)列 .anrn9n11（ ) an=( 1 ) n 1· a1( n N)lim（ a1a2ana13 l 2.+ +)=9n13219613. 設(shè) 數(shù) 列 an a2a3an2n an 的 前 n 項(xiàng) 和 為滿 足 a13+=a 1,2nSn (a 0, a 1,nN*).(1)求 an ；(2)求 limSn；(a2 n1) nn（3）求證： (n2)( n1)a

13、nn(n2) an 12n( n1)an 2解：（ 1） a+a2a3an2n=a 1123n aa2a3an 1=a2(n 1) 1( n 2)+13n 12 a2(n 1)an2n2 n2n 2n2) 1+=a 1 a =n( aa)(nn a1=a2 1當(dāng) n=1 時(shí)，等式亦成立 . an=n( a2n a2n 2) nN*(2) 由（ 1） an=n( a2n a2n2)= n( a2 1) a2n 2Sn=( a2 1)(1+2 a2+3a4+ +na2 n2)a2Sn=( a2 1)( a2+2n4+( n 1) a2n 2+na2n)a2Sn Sn= (1+ a2+a4+a2n2 na2n)( a2 1)2a 2 n12n2a 2 n 12n( a 1) Sn= (2 na)(a 1) Sn =21)+naa1(a2 nSnna2 na 21a2 n121)limlima1 = lim =0,(a2n1)n(a2n2n1 n(a21)2n(an1)nna1,(a1)(3) 若要證（ n+2)( n+1) a +n( n+2) a 2n( n+1) a，只要證anan1an 22·nn+1n+2nn1n 2 2·an2anan1=2×(n2)(a21)a2n 2n(a2 1)a2