高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題

1、2014高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承諾書我們仔細閱讀了全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽章程和全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽參賽規(guī)則（以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽章程和參賽規(guī)則

2、的行為，我們將受到嚴肅處理。我們授權(quán)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進行公開展示（包括進行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： A 我們的報名參賽隊號為（8位數(shù)字組成的編號）： 07033001 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜杭謳煼洞髮W(xué)博達學(xué)院參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3.指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責人 (打印并簽名)：（論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以上內(nèi)容請仔細核對，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯誤，論文可能被取消評獎資格。） 日期： 201

3、4 年 9 月 15 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2014高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編號專用頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計與控制策略摘要本文針對嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計與控制策略問題，通過提取題目中的信息，利用拱點的概念、B樣條函數(shù)逼近的統(tǒng)計定位方法、非線性規(guī)劃問題及哈密爾頓函數(shù)為理論基礎(chǔ)進行了完整的建模工作。首先，通過建立坐標系結(jié)合物理學(xué)運動公式求解出了近月點與遠月點的位置及相應(yīng)的速度；在此基礎(chǔ)上，

4、利用B樣條函數(shù)逼近的方法確定了嫦娥三號的著陸軌；最后通過分解著陸過程并利用非線性規(guī)劃問題及哈密爾頓函數(shù)確定著陸階段的最優(yōu)控制策。針對問題一，利用拱點的概念及物理學(xué)中天體的運動的方程先求解出了嫦娥三號在近月點和遠月點得速度大小分別為：1692.2m/s 、1613.9m/s及方向為運行軌道方向的切線方向，并利用復(fù)平面上建立坐標系的方法建立了極坐標，運用橢圓軌道方程進而得出了近月點與遠月點的位置分別為：，針對問題二，采用B樣條函數(shù)逼近的運動學(xué)統(tǒng)計定位方法確定了在著陸弧段上任意時刻的位置方程，從而刻畫出了嫦娥三號的著陸軌道，并用matlab對軌跡進行了模擬。在6個階段的最優(yōu)控制策略上，先通過直角坐標

5、系得出質(zhì)心的運動方程，再通過對6個階段初始條件和終端狀態(tài)的分解，利用非線性規(guī)劃問題求解哈密爾頓函數(shù)，得出性能指標（耗燃量）的最小值為：382.6531kg，從而確定了最優(yōu)控制策略。針對問題三，對于設(shè)計的著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。通過對月球半徑、隕石坑對嫦娥三號著陸所需燃料及軌道的影響、著陸過程中消耗燃料對嫦娥三號運行質(zhì)量的影響三個方面進行了誤差分析，合理解釋了所求數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間的誤差。又通過對問題二所采用的B樣條函數(shù)逼近方法中的參數(shù)進行敏感性分析，得出模擬著陸軌道的最佳節(jié)點數(shù)。關(guān)鍵詞：拱點復(fù)平面建立坐標系 B樣條函數(shù)非線性規(guī)劃哈密爾頓函數(shù)一、 問題重述1.1引言航空航

6、天技術(shù)對一個國家的綜合國力發(fā)展具有重要的戰(zhàn)略意義，一直是世界各國重點建設(shè)的內(nèi)容。中國的航空航天技術(shù)創(chuàng)建于1956年，50年來，在中國人民的努力下取得了偉大成就，為國家的科技發(fā)展、經(jīng)濟建設(shè)和國家安全作出了巨大貢獻。嫦娥三號是我國探月工程第二期的第二顆月球探測器，在此之前，我國已成功實施了探月的一期工程，發(fā)射了嫦娥一號，并發(fā)射了探月工程二期的嫦娥二號探測器，為嫦娥三號的成功發(fā)射打下了堅實的基礎(chǔ)。嫦娥三號的軟著陸，與嫦娥一號和嫦娥二號不同的是，嫦娥三號使用了先進大推力變推力發(fā)動機。嫦娥三號使用了專門研制的15007500N變推力發(fā)動機作為推進系統(tǒng)的主發(fā)動機，這臺發(fā)動機不僅用于完成嫦娥三號直接奔月軌道

7、飛行期間的中途修正、近月制動和變軌任務(wù)，還用于嫦娥三號的軟著陸。可見，嫦娥三號的軟著陸過程非常復(fù)雜，變推力主發(fā)動機在其中起到了至關(guān)重要的作用，也是嫦娥三號研制的主要難點之一。1.2問題的提出要保證嫦娥三號能夠準確的實現(xiàn)軟著陸，其關(guān)鍵問題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計。其著陸軌道設(shè)計的基本要求：著陸軌道為近月點15km，遠月點100km的橢圓形軌道；著陸軌道從近月點至著陸點，其過程共經(jīng)歷6個階段，要求滿足每個階段所在關(guān)鍵點的狀態(tài)，并盡量減少著陸過程的燃料消耗。其著陸點大致位置：19.51W，44.12N，海拔-2641m。為了更好的找到嫦娥三號軟著陸的軌道設(shè)計與控制策略，本文依次提出以下的幾個問題：

8、（1） 確定著陸準備軌道近月點和遠月點的位置，以及嫦娥三號相應(yīng)速度的大小和方向。（2） 確定嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優(yōu)控制策略。（3） 對設(shè)計的著陸軌道和控制策略做出相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。二、 模型假設(shè)1.月球引力場均勻。2.月球自轉(zhuǎn)對嫦娥三號的著陸無影響。3.嫦娥三號運行的軌道是以月球球心為一個焦點的橢圓。4、月球的形狀扁率對嫦娥三號的著陸軌道無影響。三、 符號說明在近月點時的速度 在遠月點時的速度 半主軸長 橢圓軌道離心率 月球標準重力參數(shù)值 遠月點到月球球心的距離 近月點到月球球心的距離 萬有引力常數(shù)月球質(zhì)量 嫦娥三號運行質(zhì)量四、 問題分析問題一：問題要求確定近月點與遠月

9、點的位置，以及嫦娥三號相應(yīng)速度大小和方向。首先，可以確定嫦娥三號近月的運動軌跡是一個橢圓，其中把月球球心作為橢圓長軸負半軸的焦點，則距離焦點較近的長軸交點為近月點，距離焦點較遠的長軸交點為遠月點。利用橢圓運動的天體方程，可求出嫦娥三號在近月點及遠月點的相應(yīng)速度。再以月球球心為坐標原點建立極坐標，通過建立常微分方程并通過matlab軟件進行求解，確定了嫦娥三號在近月點及遠月點的相應(yīng)位置。問題二：由問題一解出的準備著陸的位置和著陸的6個階段的運動特點，可以推算出這6個階段關(guān)鍵點的運動狀態(tài)及大致位置，再利用B樣本函數(shù)逼近的統(tǒng)計定位方法得出著陸軌 跡上任意時刻探測器的位置，從而模擬出了嫦娥三號的著陸軌

10、道。在最優(yōu)控制策略上，本文采用非線性規(guī)劃求解月球軟著陸最優(yōu)控制中的兩點邊值問題，構(gòu)造性能指標函數(shù)，由哈密爾頓函數(shù)取極小值的思想得出最優(yōu)著陸曲線，進而對函數(shù) 進行積分求得最終消耗燃料，即最少燃料。問題三：通過對月球半徑、隕石坑對嫦娥三號著陸所需燃料及軌道的影響、著陸過程中消耗燃料對嫦娥三號運行質(zhì)量的影響三個方面進行了誤差分析，合理解釋了所求數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間的誤差。同時，通過對問題二所采用的B樣條函數(shù)逼近方法中的參數(shù)進行敏感性分析，得出模擬著陸軌道的最佳節(jié)點數(shù)。五、 模型的建立與求解5.1問題一的建模與解答 嫦娥三號在近月點及遠月點相應(yīng)速度的大小和方向 模型的建立通常，可以把月球作為橢圓的焦點，

11、把與焦點（月球）距離較近的交點叫做近月點，把與焦點（月球）距離較遠的交點叫做遠月點，如圖1所示：1.拱點拱點在天文學(xué)上的意義是在橢圓軌道上運行的天體最接近或最遠離它的引力中心，通常也就是系統(tǒng)的質(zhì)量中心的點。最靠近引力中心的點稱為近拱點（也就是本文中的近月點）而距離最遠的點就稱為遠拱點（也就是本文中的遠月點）連接近拱點和遠拱點的直線稱為拱點線，是橢圓的長軸，也是橢圓內(nèi)最長的線段。近拱點（近月點）：在最短距離處有最快的速度即 （4）遠拱點（遠月點）：在最遠距離上有最慢的速度即 （5）其中。2.軌道離心率 （6）在太空動力學(xué)上，一個天體的標準重力參數(shù)是萬有引力常數(shù)和它質(zhì)量之積即 （7） 其中：遠月點

12、到月球中心的距離； 近月點到月球中心的距離。模型的求解聯(lián)立（4）（6）（7）式可得近月點（近拱點）的速度： （8）聯(lián)立（5）（6）（7）式可得遠月點（遠拱點）的速度： （9）通過matlab計算（程序詳見附錄）可得：于是，可得知嫦娥三號在近月點的速度為，方向是沿運動的切線方向；嫦娥三號在遠月點的速度為 ，方向是沿運動切線方向。著陸準備軌道近月點與遠月點的位置 模型的建立嫦娥三號經(jīng)過軌道修正、減速制動、近月制動，從而進入環(huán)月軌道。環(huán)月軌道可以確定為是個橢圓軌道（如圖2所示）。我們要確定近月點與遠月點的位置，就必須研究嫦娥三號軟著陸過程中的主減速過程。在此，我們要確定嫦娥三號著陸準備軌道近月點與遠

13、月點的位置，就可以先確定嫦娥三號運動的軌跡方程。通過軌跡方程的求出，從而確定近月點與遠月點的具體位置，進而得到嫦娥三號著陸準備軌道近月點與遠月點的位置。設(shè)月球中心所在的位置為復(fù)平面的原點O，在時刻t，嫦娥三號位于所表示的點P。這里均為t的函數(shù)，分別表示的模和輻角。于是嫦娥三號的速度為：加速度為： （10）月球?qū)︽隙鹑柕囊σ罁?jù)物理學(xué)中的萬有引力定律，大小為方向指向月球的中心O，故有，其中M為月球質(zhì)量，m為嫦娥三號質(zhì)量。 依據(jù)牛頓第二定律我們可得 （11）將公式（10）帶入（11），然后比較其實部與虛部就得到：這是兩個未知函數(shù)的二階微分方程組。在確定某一衛(wèi)星軌道時，需要加上定解條件。假設(shè)當t=

14、0時，衛(wèi)星正處于遠月點，而遠月點位于正實軸上，距原點O為衛(wèi)星的速度為那么就有初值條件：因此問題轉(zhuǎn)化為求解帶初值問題的微分方程組為：又將兩邊同乘以r即得： （12）其中。這樣有向線段在時間內(nèi)掃過的面積等于這正是開普勒第二定律，從月球指向嫦娥三號的線段在單位時間內(nèi)掃過的面積相等。將（12）式代入得：于是我們可以得到嫦娥三號運行較為簡單形式的數(shù)學(xué)模型：對上式進行化簡得到：其中 A和是待定參數(shù)；。上式即為嫦娥三號的軌道方程，是一條平面二次曲線。由于嫦娥三號繞月球運行，故必有01.由于r在t=0時取到最大值（遠月點），意味著此時函數(shù)取到最大值1，于是有： （13）從而軌跡方程為： （14） 對于嫦娥三號

15、而言，又知嫦娥三號的近月點到月球的距離為： 模型的求解 由（13）式 化簡可得：利用matlab求解得（程序詳見附錄）：將所得數(shù)值代入（14）式中， 即可得到與P之間的關(guān)系：又因為，表示遠月點到月球中心的距離，表示近月點到月球中心的距離，那么即可求得：當時，解得，則；當時，解得，則。則在遠月點的位置是；近月點的位置是。根據(jù)所求位置，利用matlab做出圖像（程序詳見附錄）：圖3 嫦娥三號繞月運行的軌道曲線5.2 問題二的建模與解答嫦娥三號的軟著陸過程是從近月點到月面的全過程。嫦娥三號的軟著陸過程共分為6個階段，前3個階段主要是利用火箭的反推力制動減速，消除探測器較大的水平速度，通過姿態(tài)調(diào)整發(fā)動

16、機調(diào)整探測器姿態(tài)為豎直向下，并使探測器在到達預(yù)定高度時的速度接近0；第四階段，懸停避障段主要是根據(jù)圖像敏感器對著陸區(qū)的成像選擇安全著陸點；第五階段，緩速下降段是保證探測器在離月面約4米時速度為0，從而關(guān)閉發(fā)動機；最后一階段探測器以自由落體方式撞機月球表面著陸。（具體階段詳見圖4） 嫦娥三號的著陸軌道 模型的建立B樣條函數(shù)：在曲線擬合設(shè)計中，B樣條曲線主要用于要求局部交互式修改的自由曲線設(shè)計和實驗數(shù)據(jù)平滑。設(shè)為給定空間的n個點，稱下列參數(shù)曲線為k階（k-1次）的B樣條曲線。稱折線為的控制多變形（如圖5）。B樣條曲線及其控制多變形圖5本文采用B樣條函數(shù)逼近的運動學(xué)統(tǒng)計定位方法對落月的軌跡進行仿真刻

17、畫，對著陸軌跡確定的策略進行了分析。1. 計算原理：三階B樣條具有良好的二階光滑度，擬合的靈活性比較強，適合擬合曲率變化大、拐曲嚴重的任意形狀函數(shù)，而且具有較好的穩(wěn)定性和收斂性。本文選擇三階標準B樣條，函數(shù)形式如下： 將樣本數(shù)據(jù)處理區(qū)間為，P為節(jié)點數(shù) 則：其中：。以上可以得出：該弧段上任意時刻探測器的位置便可用B樣條函數(shù)表示。2. 采用B樣條函數(shù)逼近方法的本質(zhì)：從統(tǒng)計定位的思想出發(fā)，把需要定位的弧段分成若干個小區(qū)間，在區(qū)間上用B樣條函數(shù)逼近，然后利用最小二乘法求解各節(jié)點的參數(shù)?？烧{(diào)參數(shù)P越大，樣本數(shù)據(jù)區(qū)間就會分的越小，求解出的參數(shù)也會越多。 模型的求解 用matlab程序作圖得到嫦娥三號的著陸

18、軌道如圖6（matlab程序詳見附錄）。 圖6 定點直線擬合與模擬仿真模型5.2.2 6個階段的最優(yōu)控制策略 模型的建立建立著陸坐標系如圖7所示：取月球球心為坐標原點；oy指向著陸準備軌道的近月點；r為探測器到球心的距離；為oy與or的夾角；(t)為推力方向與垂線的夾角；F為制動火箭的推力大小，F(xiàn)取值為1500-7500或0。根據(jù)題意及運動軌跡得出嫦娥三號的質(zhì)心運動方程： （1）其中，v為探測器在r方向上的速度；為探測器方位角的角速度；m為探測器的質(zhì)量；為月球的引力常數(shù)；C為制動火箭的排氣速度，是一個常值。 嫦娥三號的軟著陸分為6個階段，根據(jù)近月點的位置和著陸的軌跡，可以推算出每個階段的初始狀

19、態(tài)和終端狀態(tài)：初始條件終端條件 主減速057快速調(diào)整5757粗粗避障5700精精避障000 緩速下降003.61440 自由落體3.614403.61440約束條件變量階段表1：著陸各階段狀態(tài)在上表中，r為月球半徑； （，其中）探為測器到達月面是的速度。通過matlab編程得到著陸過程中月心距與時間的關(guān)系（程序詳見附錄）圖8 月心距變化曲線在計算過程中，由于狀態(tài)變量的量級相差很大，在積分過程中會導(dǎo)致有效位數(shù)的丟失，所以本文采取歸一化處理來提高計算的精準度，這樣也可以使變量保持在同一量級。因此，做以下處理：令，及：則質(zhì)心運動方程（1）可以改寫為 （2）最優(yōu)耗燃問題：運動方程（1）的狀態(tài)方程為，其

20、中狀態(tài)變量，控制變量。終端性能指標 （3）若求耗然最少，則需構(gòu)造哈密爾頓函數(shù) （4）其中，滿足 （5）即： （6）終端約束為：由（6）式知，沿最優(yōu)軌跡有，得出：由于不受約束，因此由得最優(yōu)制導(dǎo)律 （7）將（7）式代入（2）、（6）式積分可得最優(yōu)軌道。 模型的求解根據(jù)非線性規(guī)劃解兩點邊值問題的方法，可以把性能指標J看作與的函數(shù)，即可把問題轉(zhuǎn)化為：優(yōu)化目標函數(shù)：；優(yōu)化參數(shù)：，；約束：即:其中為以米/秒為單位的比沖。利用matlab編程解得:J= 382.6531kg(程序詳見附錄)5.3問題三5.3.1 誤差分析本文在計算15km處速度時采用的月球半徑為月球的平均半徑，而此位置的半徑應(yīng)該1735.8

21、43kmR1737.646km，所以導(dǎo)致計算速度與實際速度有微小的偏差。本文在燃料最優(yōu)計算時所用的時間為750s，而實際的時間應(yīng)該比750s還要小，如：嫦娥三號在離地面4m時就關(guān)閉了發(fā)動機，之后就做自由落體運動。根據(jù)：有：（）代入數(shù)據(jù)得：實際用時要比750s小。并且隨著嫦娥三號的燃料消耗，會導(dǎo)致其質(zhì)量隨時間的增加而減小，從而影響發(fā)動機的推力大小，導(dǎo)致計算所需的燃料與實際所用燃料的偏差。嫦娥三號進行實施軟著陸中，時間作為主要影響因素。除此之外，還受到地形因素的影響。所用燃料的實際值還與嫦娥三號軟著陸位置的地形有關(guān)；因為軟著陸的地形會影響嫦娥三號姿態(tài)調(diào)整發(fā)動機所需燃料的多少；當遇到的隕石坑面積大時

22、，水平移動的距離就大，姿態(tài)調(diào)整發(fā)動機所需的燃料就多；當遇到的隕石坑面積小或地勢平坦時，水平移動的距離就小，姿態(tài)調(diào)整發(fā)動機所需的燃料就少（見圖9,、圖10）。圖9 嫦娥三號著陸過程中距月面2400m處月面情況變化趨勢圖圖10 嫦娥三號著陸過程中距月面100m處月面情況變化趨勢圖1.像素像素是指基本原色素及其灰度的基本編碼。像素是構(gòu)成數(shù)碼影像的基本單元，通常以像素每英寸PPI為單位來表示影像分辨率的大小。通常，一個像素被視為圖像的最小完整采樣。根據(jù)附錄3、附錄4所給圖片。我們發(fā)現(xiàn)圖片陰影部分較深的地方為隕石坑，所以對應(yīng)著色較深。圖片中成像較淺的部分，可認為月球表面且較平坦。把兩張圖片所對像素點作為

23、圖片的基本單位，我們發(fā)現(xiàn)像素所對應(yīng)單位可以做成一個的矩陣記為。然后再依據(jù)每個像素點作為單位，以每一行的像素點（地面平坦程度）變化作為周期，做出整張圖片的像素變化趨勢。5.3.2 敏感性分析在問題二中，確定嫦娥三號著陸軌道時用到了B樣條函數(shù)，而本文只利用題中涉及的7個節(jié)點確定了著陸軌跡，事實上，當節(jié)點個數(shù)增多時，會解得更多參數(shù)，從而更利于確定軌跡。下表示為取不同節(jié)點數(shù)時得到的位置和速度的數(shù)據(jù)：表2 不同節(jié)點數(shù)所對應(yīng)的位置和速度不同節(jié)點數(shù)所對應(yīng)的位置和速度節(jié)點數(shù)位置RMS/m速度RMS/mRTN總計RTN總計10節(jié)點78.743.729.394.60.8490.6080.8521.34720節(jié)點6

24、8.444.129.586.61.7340.6241.6012.43730節(jié)點63.440.129.680.72.2510.8261.7772.98440節(jié)點70.948.829.991.32.5881.0562.4983.78450節(jié)點75.737.433.390.81.8381.1681.7022.763表中，RMS是均方根，也就是有效值，是一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)的平方的平均值的平方根。統(tǒng)計學(xué)計算公式為：從這些數(shù)據(jù)可以看出，可調(diào)參數(shù)（節(jié)點）從10增加到30是，位置誤差的RMS再逐漸減小，P取到30是，位置誤差的RMS為80m左右，但是，繼續(xù)增加節(jié)點數(shù)，P增大到50時，位置誤差的RMS并沒有繼續(xù)減小，

25、而是增大到了90m左右。這是因為如果P增加，需要求解的參數(shù)也會怎多，而求解參數(shù)N與P的關(guān)系為,所以，P值太大，反而會影響計算效率，因此，取為宜。六、 模型的評價6.1模型的優(yōu)點1. 模型一.將嫦娥三號的運行軌道方程化，可以直觀的求出運行軌道上的每一點的具體坐標。將近拱點（近月點）與遠拱點（遠月點）公式化。試用于運動軌道為橢圓的天體之間的運動。2模型二利用B樣條差值法，處理嫦娥三號軟著陸過程的擬合。使試驗結(jié)果更加逼真，準確。3.通過使用matlab，excel，Word作圖，來處理相關(guān)數(shù)據(jù)，使抽象的具體數(shù)值變成更加詳盡的圖像，更加直觀的觀察出數(shù)據(jù)變化趨勢與規(guī)律。并且，利用matlab來進行大量的

26、數(shù)據(jù)處理。6.2模型的缺點1. 模型具有局限性，不適用于運動軌道為圓形的天體間的運動。2本文所建模型，只適用于軟著陸過程參考文獻1 鐘玉泉復(fù)變函數(shù)論第四版北京：高等教育出版社.2 昌勝騏，黃勇，宋葉志，嫦娥三號動力落月段軌跡確定策略飛行器測控學(xué)報 2014,33（3）.3 單永正，段廣仁，呂世良月球探測器軟著陸的最優(yōu)控制光學(xué)精密工程第17卷第9期 2009年九月.4 姜啟源，謝金星，葉俊. 數(shù)學(xué)模型. 第三版. 北京：高等教育出版社，20035 東北師范大學(xué)微分方程教研室常微分方程第二版北京：高等教育出版社，2012年12月 P157-1696 劉衛(wèi)國 MATLAB程序設(shè)計教程第二版北京：中國

27、水利水電出版社，2005附錄：1.求clearG=6.67e-011;M=7.3477e+022;ra=1837.013;rp=1752.013;a=1794.513e+003vp=sqrt(ra*G*M)/(rp*a)ansvp =1.6922e+032.求clearG=6.67e-011;M=7.3477e+022;ra=1837.013;rp=1752.013;a=1794.513e+003va=sqrt(rp*G*M)/(ra*a)ansva = 1.6139e+033.求所對應(yīng)的角度clearra=1837013;rp=1752013;e=(ra-rp)/(ra+rp);p=(1-e)*ra;ra=1837013;e=(r