線性代數(shù)習(xí)題及答案

1、線性代數(shù)習(xí)題答案習(xí)題一1. 求下列各排列的逆序數(shù).(1) 341782659； (2) 987654321；(3) n(n-1)321； (4) 13(2n-1)(2n)(2n-2)2.【解】(1) (341782659)=11;(2) (987654321)=36;(3) (n(n-1)3·2·1)= 0+1+2 +(n-1)=;(4) (13(2n-1)(2n)(2n-2)2)=0+1+(n-1)+(n-1)+(n-2)+1+0=n(n-1).2. 略.見教材參考答案.3. 略.見教材答案.4. 本行列式的展開式中包含和的項(xiàng).解： 設(shè) ，其中分別為不同列中對(duì)應(yīng)元素的行下

2、標(biāo)，則展開式中含項(xiàng)有展開式中含項(xiàng)有.5. 用定義計(jì)算下列各行列式.(1)； (2).【解】(1) D=(-1)(2314)4!=24; (2) D=12.6. 計(jì)算下列各行列式.(1)； (2) ；(3)； (4) .【解】(1) ;(2) ;7. 證明下列各式.(1) ；(2) ； (3) (4) ；(5) .【證明】(1) (2) (3) 首先考慮4階范德蒙行列式:從上面的4階范德蒙行列式知，多項(xiàng)式f(x)的x的系數(shù)為但對(duì)（*）式右端行列式按第一行展開知x的系數(shù)為兩者應(yīng)相等，故(4) 對(duì)D2n按第一行展開，得據(jù)此遞推下去，可得(5) 對(duì)行列式的階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n=2時(shí)，可直接驗(yàn)算結(jié)論

3、成立，假定對(duì)這樣的n-1階行列式結(jié)論成立，進(jìn)而證明階數(shù)為n時(shí)結(jié)論也成立.按Dn的最后一列，把Dn拆成兩個(gè)n階行列式相加：但由歸納假設(shè)從而有8. 計(jì)算下列n階行列式.(1) (2) ；(3). (4)其中 ；(5).【解】(1) 各行都加到第一行，再從第一行提出x+(n-1),得將第一行乘（-1）后分別加到其余各行，得(2) 按第二行展開(3) 行列式按第一列展開后，得(4)由題意，知 .(5) . 即有 由 得 .9. 計(jì)算n階行列式.【解】各列都加到第一列，再從第一列提出，得將第一行乘（-1）后加到其余各行，得10. 計(jì)算階行列式（其中）.【解】行列式的各列提取因子,然后應(yīng)用范德蒙行列式.1

4、1. 已知4階行列式;試求與，其中為行列式的第4行第j個(gè)元素的代數(shù)余子式.【解】同理 12. 用克萊姆法則解方程組.(1) (2) 【解】方程組的系數(shù)行列式為故原方程組有惟一解，為13. 和為何值時(shí)，齊次方程組有非零解?【解】要使該齊次方程組有非零解只需其系數(shù)行列式即故或時(shí)，方程組有非零解.14. 問：齊次線性方程組有非零解時(shí)，a,b必須滿足什么條件？【解】該齊次線性方程組有非零解，a,b需滿足即(a+1)2=4b.15. 求三次多項(xiàng)式，使得【解】根據(jù)題意，得這是關(guān)于四個(gè)未知數(shù)的一個(gè)線性方程組，由于故得于是所求的多項(xiàng)式為16. 求出使一平面上三個(gè)點(diǎn)位于同一直線上的充分必要條件.【解】設(shè)平面上的

5、直線方程為ax+by+c=0 (a,b不同時(shí)為0)按題設(shè)有則以a,b,c為未知數(shù)的三元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件為上式即為三點(diǎn)位于同一直線上的充分必要條件.習(xí)題 二1. 計(jì)算下列矩陣的乘積.（1）； （2）；（3）； （4）；（5） ； （6）.【解】(1) (2); (3) (10);(4) (5); (6) .2. 設(shè)，求(1);(2) ；(3) 嗎?【解】(1) (2) (3) 由于ABBA,故(A+B)(A-B)A2-B2.3. 舉例說明下列命題是錯(cuò)誤的.(1) 若， 則； (2) 若， 則或；(3) 若， 則.【解】(1) 以三階矩陣為例，取,但A0(2) 令,則A2=A,

6、但A0且AE(3) 令則AX=AY,但XY.4.設(shè), 求A2，A3，Ak.【解】5. ，求并證明：.【解】今歸納假設(shè)那么所以，對(duì)于一切自然數(shù)k,都有6. 已知，其中求及.【解】因?yàn)閨P|= -10,故由AP=PB,得而7. 設(shè)，求|. 解：由已知條件，的伴隨矩陣為又因?yàn)椋杂?，且，?于是有 .8.已知線性變換利用矩陣乘法求從到的線性變換.【解】已知從而由到的線性變換為9. 設(shè)，為階方陣，且為對(duì)稱陣，證明：也是對(duì)稱陣.【證明】因?yàn)閚階方陣A為對(duì)稱陣，即A=A,所以 (BAB)=BAB=BAB,故也為對(duì)稱陣.10.設(shè)A，B為n階對(duì)稱方陣，證明：AB為對(duì)稱陣的充分必要條件是AB=BA.【證明】已

7、知A=A,B=B，若AB是對(duì)稱陣，即(AB)=AB.則 AB=(AB)=BA=BA,反之，因AB=BA,則(AB)=BA=BA=AB,所以，AB為對(duì)稱陣.11. A為n階對(duì)稱矩陣，B為n階反對(duì)稱矩陣，證明：(1) B2是對(duì)稱矩陣.(2) AB-BA是對(duì)稱矩陣，AB+BA是反對(duì)稱矩陣.【證明】因A=A,B= -B,故(B2)=B·B= -B·(-B)=B2;(AB-BA)=(AB)-(BA)=BA-AB= -BA-A·(-B)=AB-BA;(AB+BA)=(AB)+(BA)=BA+AB= -BA+A·(-B)= -(AB+BA).所以B2是對(duì)稱矩陣，AB-

8、BA是對(duì)稱矩陣，AB+BA是反對(duì)稱矩陣.12. 求與A=可交換的全體二階矩陣.【解】設(shè)與A可交換的方陣為,則由=,得.由對(duì)應(yīng)元素相等得c=0,d=a,即與A可交換的方陣為一切形如的方陣，其中a,b為任意數(shù).13. 求與A=可交換的全體三階矩陣.【解】由于A=E+,而且由可得由此又可得所以即與A可交換的一切方陣為其中為任意數(shù).14.求下列矩陣的逆矩陣.(1) ； (2) ；(3)； (4)；(5)； (6)，未寫出的元素都是0（以下均同，不另注）.【解】(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) .15. 利用逆矩陣，解線性方程組【解】因,而故16. 證明下列命題：(1) 若

9、A，B是同階可逆矩陣，則（AB）*=B*A*.(2) 若A可逆，則A*可逆且（A*）-1=（A-1）*.(3) 若AA=E,則（A*）=(A*)-1.【證明】（1） 因?qū)θ我夥疥嘽，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同階，故可得|A|·|B|·B*A*=|AB|E(B*A*)=(AB) *AB(B*A*)=(AB) *A(BB*)A*=(AB) *A|B|EA*=|A|·|B|(AB) *. |A|0,|B|0, (AB) *=B*A*.(2) 由于AA*=|A|E,故A*=|A|A-1,從而(A-1) *=|A-1|(A-1)-1=|A|-1A.于是

10、A* (A-1) *=|A|A-1·|A|-1A=E,所以 (A-1) *=(A*)-1.(3) 因AA=E，故A可逆且A-1=A.由(2)(A*)-1=(A-1) *,得(A*)-1=(A) *=(A*).17.已知線性變換求從變量到變量的線性變換.【解】已知且|A|=10,故A可逆，因而所以從變量到變量的線性變換為18.解下列矩陣方程.(1) ；(2)；(3) ；(4) .【解】(1) 令A(yù)=;B=.由于故原方程的惟一解為同理(2) X=; (3) X=; (4) X=19. 若 (k為正整數(shù))，證明：.【證明】作乘法從而E-A可逆，且20.設(shè)方陣A滿足A2A2EO，證明A及A2

11、E都可逆，并求A-1及(A+2E)-1.【證】因?yàn)锳2-A-2E=0,故由此可知，A可逆，且同樣地由此知，A+2E可逆，且21. 設(shè)，,求.【解】由AB=A+2B得(A-2E)B=A.而即A-2E可逆，故22. 設(shè).其中， 求.【解】因可逆，且故由得23. 設(shè)次多項(xiàng)式，記,稱為方陣的次多項(xiàng)式.(1)， 證明，；(2) 設(shè)， 證明，.【證明】(1)即k=2和k=3時(shí)，結(jié)論成立.今假設(shè)那么所以，對(duì)一切自然數(shù)k，都有而(2) 由(1)與A=P -1BP,得B=PAP -1.且Bk=( PAP -1)k= PAkP -1,又24. ，證明矩陣滿足方程.【證明】將A代入式子得故A滿足方程.25. 設(shè)階方

12、陣的伴隨矩陣為，證明：(1) 若，則；(2) .【證明】（1） 若|A|=0，則必有|A*|=0，因若| A*|0，則有A*( A*)-1=E,由此又得A=AE=AA*( A*)-1=|A|( A*)-1=0,這與| A*|0是矛盾的，故當(dāng)|A| =0，則必有| A*|=0.(2) 由A A*=|A|E，兩邊取行列式，得|A| A*|=|A|n,若|A|0，則| A*|=|A|n-1若|A|=0,由(1)知也有| A*|=|A|n-1.26.設(shè).求(1) ; (2); (3) ；(4)k (為正整數(shù)).【解】(1); (2) ;(3) ; (4).27. 用矩陣分塊的方法，證明下列矩陣可逆，并

13、求其逆矩陣.（1）； （2）;（3）.【解】(1) 對(duì)A做如下分塊 其中的逆矩陣分別為所以A可逆，且同理(2)(3) 習(xí)題 三1. 略.見教材習(xí)題參考答案.2. 略.見教材習(xí)題參考答案.3. 略.見教材習(xí)題參考答案.4. 略.見教材習(xí)題參考答案.5.，證明向量組線性相關(guān).【證明】因?yàn)樗韵蛄拷M線性相關(guān).6. 設(shè)向量組線性無關(guān)，證明向量組也線性無關(guān)，這里【證明】 設(shè)向量組線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)使得把代入上式，得.又已知線性無關(guān)，故該方程組只有惟一零解，這與題設(shè)矛盾，故向量組線性無關(guān).7. 略.見教材習(xí)題參考答案.8. .證明：如果，那么線性無關(guān).【證明】已知,故R(A)=n,而A是由n個(gè)n

14、維向量組成的，所以線性無關(guān).9. 設(shè)是互不相同的數(shù)，rn.證明：是線性無關(guān)的.【證明】任取n-r個(gè)數(shù)tr+1,tn使t1,tr,tr+1,tn互不相同，于是n階范德蒙行列式從而其n個(gè)行向量線性無關(guān)，由此知其部分行向量也線性無關(guān).10. 設(shè)的秩為r且其中每個(gè)向量都可經(jīng)線性表出.證明：為的一個(gè)極大線性無關(guān)組.【證明】若 (1)線性相關(guān)，且不妨設(shè) (t<r) (2)是(1)的一個(gè)極大無關(guān)組，則顯然（2）是的一個(gè)極大無關(guān)組，這與的秩為r矛盾，故必線性無關(guān)且為的一個(gè)極大無關(guān)組.11. 求向量組=(1,1,1,k),=(1,1,k,1),=(1,2,1,1)的秩和一個(gè)極大無關(guān)組.【解】把按列排成矩陣

15、A，并對(duì)其施行初等變換.當(dāng)k=1時(shí)，的秩為為其一極大無關(guān)組.當(dāng)k1時(shí)，線性無關(guān)，秩為3，極大無關(guān)組為其本身.12. 確定向量,使向量組與向量組=(0,1,1),=(1,2,1),=(1,0,-1)的秩相同，且可由線性表出.【解】由于而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a-2=0,即a=2,又要使可由線性表出，需b-a+2=0,故a=2,b=0時(shí)滿足題設(shè)要求，即=(2,2,0).13. 設(shè)為一組n維向量.證明：線性無關(guān)的充要條件是任一n維向量都可經(jīng)它們線性表出.【證明】充分性: 設(shè)任意n維向量都可由線性表示，則單位向量，當(dāng)然可由它線性表示，從而這兩組向量等價(jià)，且有相同的秩，所以向量組的

16、秩為n，因此線性無關(guān).必要性：設(shè)線性無關(guān)，任取一個(gè)n維向量,則線性相關(guān)，所以能由線性表示.14. 若向量組（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量組,線性表出，也可由向量組,線性表出，則向量組,與向量組,等價(jià).證明：由已知條件，且向量組（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量組,線性表出，即兩向量組等價(jià)，且，又，向量組（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量組,線性表出，即兩向量組等價(jià)，且，所以向量組,與向量組,等價(jià).15. 略.見教材習(xí)題參考答案.16. 設(shè)向量組與秩相同且能經(jīng)線性表出.證明與等價(jià).【解】設(shè)向量組 (1)與向量組 (2)的極大線性無關(guān)

17、組分別為 (3)和 (4)由于（1）可由（2）線性表出，那么（1）也可由（4）線性表出，從而（3）可以由（4）線性表出，即因（4）線性無關(guān)，故（3）線性無關(guān)的充分必要條件是|aij|0，可由（*）解出,即（4）可由（3）線性表出，從而它們等價(jià)，再由它們分別同（1），（2）等價(jià)，所以（1）和（2）等價(jià).17. 設(shè)A為m×n矩陣，B為s×n矩陣.證明：.【證明】因A,B的列數(shù)相同，故A,B的行向量有相同的維數(shù)，矩陣可視為由矩陣A擴(kuò)充行向量而成，故A中任一行向量均可由中的行向量線性表示，故同理故有又設(shè)R(A)=r,是A的行向量組的極大線性無關(guān)組,R（B）=k, 是B的行向量組的極

18、大線性無關(guān)組.設(shè)是中的任一行向量，則若屬于A的行向量組，則可由表示，若屬于B的行向量組，則它可由線性表示，故中任一行向量均可由,線性表示，故所以有.18. 設(shè)A為s×n矩陣且A的行向量組線性無關(guān)，K為r×s矩陣.證明：BKA行無關(guān)的充分必要條件是R(K)=r.【證明】設(shè)A=(As,Ps×(n-s),因?yàn)锳為行無關(guān)的s×n矩陣，故s階方陣As可逆.()當(dāng)B=KA行無關(guān)時(shí)，B為r×n矩陣.r=R(B)=R(KA)R(K),又K為r×s矩陣R(K)r, R(K)=r.()當(dāng)r=R(K)時(shí)，即K行無關(guān)，由B=KA=K(As,Ps×(

19、n-s)=(KAs,KPs×(n-s)知R(B)=r,即B行無關(guān).19. 略.見教材習(xí)題參考答案.20. 求下列矩陣的行向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組.(1)； (2).【解】(1) 矩陣的行向量組的一個(gè)極大無關(guān)組為;(2) 矩陣的行向量組的一個(gè)極大無關(guān)組為.21. 略.見教材習(xí)題參考答案.22. 集合V1()R且0是否構(gòu)成向量空間?為什么?【解】由（0,0,0）V1知V1非空，設(shè))則因?yàn)樗?故是向量空間.23. 試證：由,生成的向量空間恰為R3.【證明】把排成矩陣A=(),則,所以線性無關(guān)，故是R3的一個(gè)基，因而生成的向量空間恰為R3.24. 求由向量所生的向量空間的一組基及其維數(shù).

20、【解】因?yàn)榫仃囀且唤M基，其維數(shù)是3維的.25. 設(shè),證明:.【解】因?yàn)榫仃囉纱酥蛄拷M與向量組的秩都是2，并且向量組可由向量組線性表出.由習(xí)題15知這兩向量組等價(jià)，從而也可由線性表出.所以.26. 在R3中求一個(gè)向量，使它在下面兩個(gè)基下有相同的坐標(biāo).【解】設(shè)在兩組基下的坐標(biāo)均為()，即即求該齊次線性方程組得通解 (k為任意實(shí)數(shù))故27. 驗(yàn)證為R3的一個(gè)基，并把用這個(gè)基線性表示.【解】設(shè)又設(shè),即記作 B=AX.則因有,故為R3的一個(gè)基，且即.習(xí)題四1. 用消元法解下列方程組.(1) (2) 【解】(1) 得所以(2) 解-×2得 x2-2x3=0- 得 2x3=4得同解方程組由得 x

21、3=2,由得 x2=2x3=4,由得 x1=2-2x3 -2x2 = -10,得 (x1,x2,x3)T=(-10,4,2)T.2. 求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.(1) (2) (3) (4) 【解】(1) 得同解方程組得基礎(chǔ)解系為.(2) 系數(shù)矩陣為 其基礎(chǔ)解系含有個(gè)解向量.基礎(chǔ)解系為(3) 得同解方程組取得基礎(chǔ)解系為(-2，0，1，0，0)T,(-1，-1，0，1，0).(4) 方程的系數(shù)矩陣為 基礎(chǔ)解系所含解向量為n-R(A)=5-2=3個(gè)取為自由未知量 得基礎(chǔ)解系 3. 解下列非齊次線性方程組.(1) (2) (3) (4) 【解】（1） 方程組的增廣矩陣為得同解方程組(2) 方程

22、組的增廣矩陣為得同解方程組即令得非齊次線性方程組的特解xT=(0，1，0，0)T.又分別取得其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為 方程組的解為(3) 方程組無解.(4) 方程組的增廣矩陣為分別令得其導(dǎo)出組的解為令,得非齊次線性方程組的特解為：xT=(-16,23,0,0,0)T, 方程組的解為其中為任意常數(shù).4. 某工廠有三個(gè)車間，各車間相互提供產(chǎn)品（或勞務(wù)），今年各車間出廠產(chǎn)量及對(duì)其它車間的消耗如下表所示.車間消耗系數(shù)車間123出廠產(chǎn)量（萬元）總產(chǎn)量（萬元）10.10.20.4522x120.20.20.30x230.500.1255.6x3表中第一列消耗系數(shù)0.1,0.2,0.5表示第一車間生產(chǎn)1萬元的產(chǎn)

23、品需分別消耗第一，二，三車間0.1萬元，0.2萬元，0.5萬元的產(chǎn)品；第二列，第三列類同，求今年各車間的總產(chǎn)量.解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)列方程組有即 解之 5. 取何值時(shí)，方程組(1)有惟一解，(2)無解，(3)有無窮多解，并求解.【解】方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣為|A|=.(1) 當(dāng)1且-2時(shí)，|A|0，R(A)=R(B)=3. 方程組有惟一解（2） 當(dāng)=-2時(shí)，R(A)R(B), 方程組無解.(3) 當(dāng)=1時(shí)R(A)=R(B)<3,方程組有無窮解.得同解方程組 得通解為6. 齊次方程組當(dāng)取何值時(shí)，才可能有非零解?并求解.【解】方程組的系數(shù)矩陣為|A|=當(dāng)|A|=0即=4或=-1時(shí)，方程組有非

24、零解.(i) 當(dāng)=4時(shí),得同解方程組(ii) 當(dāng)=-1時(shí),得 ()T=k·(-2,-3,1)T.kR7. 當(dāng)a,b取何值時(shí)，下列線性方程組無解，有惟一解或無窮多解？在有解時(shí)，求出其解.（1） (2) 【解】方程組的增廣矩陣為(1) (i) 當(dāng)b-52時(shí),方程組有惟一解(ii) 當(dāng)b=-52,a-1時(shí)，方程組無解.(iii) 當(dāng)b=-52，a=-1時(shí)，方程組有無窮解.得同解方程組 (*)其導(dǎo)出組的解為非齊次線性方程組（*）的特解為取x4=1, 原方程組的解為 (2) (i) 當(dāng)a-10時(shí)，R(A)=R()=4,方程組有惟一解.(ii) 當(dāng)a-1=0時(shí),b-1時(shí)，方程組R(A)=2<

25、;R()=3, 此時(shí)方程組無解.(iii) 當(dāng)a=1，b= -1時(shí)，方程組有無窮解.得同解方程組取 得方程組的解為8. 設(shè)，求一秩為2的3階方陣B使AB=0.【解】設(shè)B=(b1 b2 b3),其中bi(i=1,2,3)為列向量,由為Ax=0的解.求=0的解.由得同解方程組 其解為取則9.已知是三元非齊次線性方程組Ax=b的解，且R(A)=1及求方程組Ax=b的通解.【解】Ax=b為三元非齊次線性方程組R(A)=1Ax=0的基礎(chǔ)解系中含有3-R(A)=3-1=2個(gè)解向量.由為Ax=b的解為Ax=0的解,且線性無關(guān)為Ax=0的基礎(chǔ)解系.又 方程組Ax=b的解為10. 求出一個(gè)齊次線性方程組，使它的

26、基礎(chǔ)解系由下列向量組成.(1) (2) 【解】(1) 設(shè)齊次線性方程組為Ax=0由為Ax=0的基礎(chǔ)解系，可知令 k1=x2 , k2=x3Ax=0即為x1+2x2-3x3=0.(2) A()=0A的行向量為方程組為的解.即的解為得基礎(chǔ)解系為=(-5 -1 1 1 0)T =(-1 -1 1 0 1)TA=方程為11. 設(shè)向量組=（1，0，2，3），=（1，1，3，5），=（1，-1，a+2，1），=（1，2，4，a+8），=（1，1，b+3，5）問：（1） a，b為何值時(shí)，不能由，線性表出？（2） a，b為何值時(shí)，可由， 惟一地線性表出？并寫出該表出式.（3） a，b為何值時(shí)，可由，線性表出，

27、且該表出不惟一？并寫出該表出式.【解】 (*)(1) 不能由，線性表出方程組（*）無解,即a+1=0,且b0.即a=-1,且b0.(2) 可由，惟一地線性表出方程組(*)有惟一解，即a+10，即a-1.(*) 等價(jià)于方程組(3) 可由，線性表出，且表出不惟一方程組（*）有無數(shù)解，即有a+1=0,b=0a=-1,b=0.方程組（*）為常數(shù).12. 證明：線性方程組有解的充要條件是.【解】方程組有解的充要條件，即R(A)=4=R(A)得證.13. 設(shè)是非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)解，是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.證明（1）線性無關(guān)；（2）線性無關(guān).【 證明】(1) 線性無關(guān)成立,當(dāng)且僅當(dāng)

28、ki=0(i=1,2,n-r),k=0為Ax=0的基礎(chǔ)解系由于.由于為線性無關(guān)線性無關(guān).(2) 證線性無關(guān).成立當(dāng)且僅當(dāng)ki=0(i=1,2,n-r),且k=0即由(1)可知，線性無關(guān).即有ki=0(i=1,2,n-r),且線性無關(guān).14. 設(shè)有下列線性方程組（）和()（） () (1) 求方程組（）的通解；(2) 當(dāng)方程組（）中的參數(shù)m,n,t為何值時(shí)，（）與()同解？ 解：（1）對(duì)方程組（）的增廣矩陣進(jìn)行行初等變換由此可知系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩都為3，故有解.由方程組 （*）得方程組（*）的基礎(chǔ)解系令，得方程組（）的特解 于是方程組（）的通解為，k為任意常數(shù)。(2) 方程組（）的增廣矩陣為

29、系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為3，令 (*)方程組（*）的基礎(chǔ)解系為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，方程組（）與方程組（）同解，則，故有把m，n代入方程組，同時(shí)有 ，即t = 6.也就是說當(dāng)m=2，n=4，t=6時(shí)，方程組（）與方程組（）同解.習(xí)題五1. 計(jì)算.【解】2.把下列向量單位化.(1) （3，0，1，4）； (2)（5，1，2，0）.【解】3. 利用施密特正交化方法把下列向量組正交化.(1) 1 =(0，1，1), 2 =(1,1,0), 3 =(1,0,1);(2) 1 =(1,0,-1,1), 2 =(1,-1,0,1), 3 =(-1,1,1,0)【解】4. 試證，若n維向量與正交，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，

30、l，有k與l正交.【證】與正交. 與正交.5.下列矩陣是否為正交矩陣.【解】(1) AAE, A不是正交矩陣(2) AA=EA為正交矩陣6.設(shè)x為n維列向量，xx1，令HExx.求證H是對(duì)稱的正交矩陣.【證】 H為對(duì)稱矩陣. H是對(duì)稱正交矩陣.7. 設(shè)A與B都是n階正交矩陣，證明AB也是正交矩陣.【證】A與B為n階正交矩陣AA=EBB=E(AB)(AB)=AB·(BA)=A(BB)A=AEA=AA=E AB也是正交矩陣.8.判斷下列命題是否正確.(1) 滿足Axx的x一定是A的特征向量；(2) 如果x1，xr是矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.則k1x1k2x2krxr也是A對(duì)應(yīng)于的特征

31、向量；(3) 實(shí)矩陣的特征值一定是實(shí)數(shù).【解】(1) .Ax=x,其中當(dāng)x=0時(shí)成立，但x=0不是A的特征向量.(2) .例如：E3×3x=x特征值=1, 的特征向量有則不是E3×3的特征向量.(3) .不一定.實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值一定是實(shí)數(shù).9. 求下列矩陣的特征值和特征向量.【解】(1)當(dāng)時(shí)，為得解對(duì)應(yīng)的特征向量為.當(dāng)時(shí), 其基礎(chǔ)解系為,對(duì)應(yīng)的特征向量為 特征值為(i) 當(dāng)時(shí)，其基礎(chǔ)解系為 對(duì)應(yīng)于=2的特征向量為且使得特征向量不為0.(ii)當(dāng)時(shí),解得方程組的基礎(chǔ)解系為 對(duì)應(yīng)于的特征向量為特征值為(i) 當(dāng)時(shí),得基礎(chǔ)解系為對(duì)應(yīng)的特征向量為(ii) 當(dāng)時(shí)，其基礎(chǔ)解系為(2,

32、-2,1),所以與對(duì)應(yīng)的特征向量為(iii) 當(dāng)時(shí)，其基礎(chǔ)解系為(2,1,-2) 與對(duì)應(yīng)的特征向量為 A的特征值為1,2.(i) 當(dāng)時(shí),其基礎(chǔ)解系為(4,-1,1,0). 其對(duì)應(yīng)的特征向量為k·(4,-1,1,0)T,kR且k0.(ii) 當(dāng)時(shí)，其基礎(chǔ)解系為：（1,0,0,0）. 其對(duì)應(yīng)的特征向量為10.設(shè)3階方陣A的特征值為11，20，31，對(duì)應(yīng)的特征向量依次為求矩陣A.【解】由于為不同的特征值線性無關(guān)，則有可逆11. 設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為1，1，1，與特征值1對(duì)應(yīng)的特征向量x（1，1，1），求A.【解】對(duì)應(yīng)的特征向量為x1=(-1,1,1)T,設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量為x2=(x

33、1,x2,x3)T,A為實(shí)對(duì)稱矩陣，所以(x1,x2)=0,即有-x1+x2+x3=0.得方程組的基礎(chǔ)解系為可知為對(duì)應(yīng)的特征向量.將正交化得=(-1,1,1)T, 單位化：; =(1,1,0)T, ; 則有12. 若n階方陣滿足A2A，則稱A為冪等矩陣，試證，冪等矩陣的特征值只可能是1或者是零.【證明】設(shè)冪等矩陣的特征值為，其對(duì)應(yīng)的特征向量為x.由A2=A可知所以有或者=1.13. 若A2E，則A的特征值只可能是±1.【證明】設(shè)是A的特征值，x是對(duì)應(yīng)的特征向量.則Ax=x A2x=(Ax)=2x由A2=E可知x=Ex=A2x=2x(2-1)x=0,由于x為的特征向量， x02-1=0

34、=±1.14. 設(shè)1,2是n階矩陣A的兩個(gè)不同的特征根，1,2分別是A的屬于1, 2的特征向量，證明1+2不是A的特征向量.證明：假設(shè)1+2是A的屬于特征根的特征向量，則A（1+2）=（1+2）=1+2.又 A（1+2）= A1+ A 2=11+22于是有 （-1）1+（-2）2 =0由于，1與2線性無關(guān)，故-1=-2=0.從而與矛盾，故1+2不是A的特征向量.15. 求正交矩陣T，使TAT為對(duì)角矩陣.【解】(i)當(dāng)時(shí),方程組的基礎(chǔ)解系為(-2,1,0)T,(2,0,1)T.(ii) 當(dāng)時(shí),其基礎(chǔ)解系為.取,單位化為,取，取，使正交化.令單位化得.(i) 當(dāng)時(shí),其基礎(chǔ)解系為正交化得單

35、位化得 (ii) 當(dāng)時(shí)，其基礎(chǔ)解系為 =(2,1,2)T.單位化得(i) 當(dāng)時(shí),其基礎(chǔ)解系為由于()=0,所以正交.將它們單位化得 (ii) 當(dāng)時(shí),其基礎(chǔ)解系為=(1,-1,-1,1)T,單位化得(iii) 當(dāng)時(shí),其基礎(chǔ)解系為=(-1,-1,1,1)T,單位化為(i) 當(dāng)=2時(shí),其基礎(chǔ)解系為=(2,1,-2)T,單位化得,(ii) 當(dāng)=5時(shí),其基礎(chǔ)解系為=(2,-2,1)T.單位化得.(iii) 當(dāng)=-1時(shí),其基礎(chǔ)解系為=(1,2,2)T,單位化得,得正交陣16. 設(shè)矩陣與相似.(1) 求x與y；(2) 求可逆矩陣P，使P1AP=B.【解】(1)由AB可知，A有特征值為-1,2,y.由于-1為

36、A的特征值，可知.將x=0代入|A-E|中可得可知y= -2.(2) (i) 當(dāng)=-1時(shí),其基礎(chǔ)解系為 =(0,-2,1)T,= -1對(duì)應(yīng)的特征向量為 =(0,-2,1)T.(ii) 當(dāng)=2時(shí),其基礎(chǔ)解系為 =(0,1,1)T所以=2對(duì)應(yīng)的特征向量為 =(0,1,1)T() 當(dāng)=-2時(shí),其基礎(chǔ)解系為 =(-2,1,1)T,取可逆矩陣則17. 設(shè)， 求A100.【解】特征值為(i) 當(dāng)時(shí),其基礎(chǔ)解系為(ii) 當(dāng)時(shí),其基礎(chǔ)解系為(-1,1,2)T.令,則18.將下列二次型用矩陣形式表示.(1) ；(2) ；(3) .【解】(1)(2) (3) 19. 寫出二次型 的矩陣.【解】20. 當(dāng)t為何值

37、時(shí)，二次型的秩為2.【解】 21. 已知二次型經(jīng)過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)型，求參數(shù)a,b及所用的正交變換矩陣.【解】由題知二次型矩陣當(dāng)時(shí),即有 2ab=0.當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),() 當(dāng)時(shí),得基礎(chǔ)解系為=(1,0,-1)T,單位化() 當(dāng)時(shí),其基礎(chǔ)解系為=(0,1,0)T.(iii) 當(dāng)時(shí)，其基礎(chǔ)解系為=(1,0,1)T.單位化得 得正交變換矩陣22. 用配方法把下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，并求所作變換.【解】令由于 上面交換為可逆變換.得令為可逆線性變換令為可逆線性交換所作線性交換為23. 用初等變換法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并求所作變換.【解】(1) (2) 二次型矩陣為 24. 設(shè)二次型(1) 用正交變換化二次

38、型為標(biāo)準(zhǔn)型；(2) 設(shè)A為上述二次型的矩陣，求A5.【解】(1) 二次型的矩陣為求得A的特征值.對(duì)于，求解齊次線性方程組(A-E)x=0，得基礎(chǔ)解系為將正交單位化得對(duì)于，求解方程組(A+2E)x=0,得基礎(chǔ)解系為將單位化得于是即為所求的正交變換矩陣，且(2) 因?yàn)樗怨?5. 求正交變換，把二次曲面方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程.【解】的矩陣為 (1) 當(dāng)時(shí),其基礎(chǔ)解系為正交化得單位化得(2) 當(dāng)時(shí),.其基礎(chǔ)解系為.單位化得正交變換矩陣為所求正交變換.得二次曲面方程的標(biāo)準(zhǔn)方程為26. 判斷下列二次型的正定性.【解】(1) 矩陣為 二次型為負(fù)定二次型.(2) 矩陣 二次型為正定二次型.(3) 矩陣為 為正定二

39、次型.27. t滿足什么條件時(shí)，下列二次型是正定的.【解】(1) 二次型的矩陣為可知時(shí)，二次型為正定二次型.(2) 二次型的矩陣為當(dāng)t滿足時(shí)，二次型為正定二次型.28. 假設(shè)把任意x10，x20，xn0代入二次型都使f0，問f是否必然正定?【解】錯(cuò)，不一定.當(dāng)為實(shí)二次型時(shí),若0,都使得f>0,則f為正定二次型.29. 試證：如果A,B都是n階正定矩陣，則A+B也是正定的.【證】A,B是正定矩陣，則存在正定二次型= xTAx = xTBx且A=A ， B=B(A+B)=(A+B)=A+B有= xT(A+B)x=xTAx+xTBx>0 A+B為正定.30. 試證：如果A是n階可逆矩陣，

40、則AA是正定矩陣.【證】A可逆 (AA)= A·(A)= AA AA = AE A可知AA與E合同AA正定.31. 試證：如果A正定，則A,A，A*都是正定矩陣.【證】A正交，可知A=A 可逆陣C，使得A=CEC.(i) A=CECA=(CEC)A=CE(C)=CEC A與E合同，可知A為正定矩陣.(ii) (A-1)=(A)-1=A-1可知A-1為對(duì)稱矩陣.由A正交可知，A為點(diǎn)對(duì)稱矩陣其特征值設(shè)為且有>0(i=1,2,n)Axi=xixi=A-1xiA-1xi=xi可知A-1的特征值為 ， (i=1,2,n) A-1正定.(iii) 由A*=|A|·A-1可知(A)

41、1=|A|·(A-1)=|A|·A-1=A*由(ii)可知A-1為正定矩陣即存在一個(gè)正定二次型= xTA-1x有>0 A正交|A|>0= xTA*x=xT·|A|·A-1x=|A|·(xTA-1x)即有時(shí)，xTA-1x>0 |A|>0,即有= xTA*x >0 A*為正定矩陣.習(xí)題 六1. 檢驗(yàn)以下集合對(duì)于所指的線性運(yùn)算是否構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.(1) 2階反對(duì)稱(上三角)矩陣，對(duì)于矩陣的加法和數(shù)量乘法；(2) 平面上全體向量，對(duì)于通常的加法和如下定義的數(shù)量乘法：k·；(3) 2階可逆矩陣的全體，對(duì)于通

42、常矩陣的加法與數(shù)量乘法；(4) 與向量(1，1，0)不平行的全體3維數(shù)組向量，對(duì)于數(shù)組向量的加法與數(shù)量乘法.【解】（1）是.由于矩陣加法和數(shù)量乘法滿足線性空間定義中的1-8條性質(zhì)，因此只需考慮反對(duì)稱（上三角）矩陣對(duì)于加法和數(shù)量乘法是否封閉即可.下面僅對(duì)反對(duì)稱矩陣驗(yàn)證：設(shè)A，B均為2階反對(duì)稱矩陣，k為任一實(shí)數(shù)，則(A+B)=A+B=-A-B=-(A+B),(kA)=kA=k(-A)=-(kA),所以2階反對(duì)稱矩陣的全體對(duì)于矩陣加法和數(shù)量乘法構(gòu)成一個(gè)線性空間.（2） 否.因?yàn)?k+l)·,而,所以這種數(shù)量乘法不滿足線性空間定義中的第7條性質(zhì).（3） 否.因?yàn)榱憔仃嚥豢赡妫ㄓ忠驗(yàn)榧臃ê蛿?shù)量

43、乘法都不封閉）.（4） 否.因?yàn)榧臃ú环忾].例如，向量（1，0，0），（0，1，0）都不平行于（1，1，0），但是它們之和（1，0，0）+（0，1，0）=（1，1，0）不屬于這個(gè)集合.2. 設(shè)U是線性空間V的一個(gè)子空間，試證：若U與V的維數(shù)相等，則U.【證明】設(shè)U的維數(shù)為m，且是U的一個(gè)基，因UV,且V的維數(shù)也是m，自然也是V的一個(gè)基，故U=V.3. 設(shè)是n維線性空間Vn的線性無關(guān)向量組，證明Vn中存在向量使成為Vn的一個(gè)基(對(duì)n-r用數(shù)學(xué)歸納法).【證明】對(duì)差n-r作數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n-r=0時(shí)，結(jié)論顯然成立.假定對(duì)n-r=k時(shí)，結(jié)論成立，現(xiàn)在考慮n-r=k+1的情形.因?yàn)橄蛄拷M還不是V的一個(gè)

44、基，它又是線性無關(guān)的，所以在V中必存在一個(gè)向量不能由線性表出，把添加進(jìn)去所得向量組,必定還是線性無關(guān)的，此時(shí)n-(r+1)=(n-r)-1=(k+1)-1=k.由歸納法假設(shè), ,可以擴(kuò)充為整個(gè)空間的一個(gè)基.根據(jù)歸納法原理，結(jié)論普遍成立.4. 在R中求向量(0,0,0,1)在基(1,1,0,1),(2,1,3,1), (1,1,0,0), (0,1,1,1)下的坐標(biāo).【解】設(shè)向量在基下的坐標(biāo)為(),則即為解之得()=(1,0,-1,0).5. 在R中，取兩個(gè)基(1，2，1)，(2，3，3)，(3，7，1)；(3，1，4)，(5，2，1)，(1，1，6)，試求到的過渡矩陣與坐標(biāo)變換公式.【解】取R

45、中一個(gè)基（通常稱之為標(biāo)準(zhǔn)基）=(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1).于是有所以由基到基的過渡矩陣為坐標(biāo)變換公式為其中()與（）為同一向量分別在基與下的坐標(biāo).6. 在R4中取兩個(gè)基(1) 求由前一個(gè)基到后一個(gè)基的過渡矩陣；(2) 求向量()在后一個(gè)基下的坐標(biāo)；(3) 求在兩個(gè)基下有相同坐標(biāo)的向量.【解】(1) 這里A就是由基到基的過渡矩陣.(2) 設(shè),由于()=()A-1,所以因此向量在基下的坐標(biāo)為(3) 設(shè)向量在這兩個(gè)基下有相同的坐標(biāo),那么 即 也就是解得,其中為任一非零實(shí)數(shù).7. 證明3階對(duì)稱矩陣的全體S構(gòu)成線性空間，且S的維數(shù)為6.【證明】首先，S是非空的（0S）,并且A,BS,kR,有(A+B)=A