《一元二次方程的解法》經(jīng)典例題精講

1、一元二次方程的解法經(jīng)典例題精講例1解方程分析：解一元二次方程的方法有四種，而此題用直接開平方法較好解：，x±5例2解方程分析：如果把x3看作一個字母y，就變成解方程了解：，例3解方程分析：解此題雖然可用因式分解法、公式法來解，但還是用直接開平方法較好解：整理，注意：對可用直接開平方法來解的一元二次方程，一定注意方程有兩個解；若，則；若，則例4解方程分析：此題不能用直接開平方法來解，可用因式分解法或用公式法來解解法一：，(x2)(x1)0，x20，x10，解法二：a1，b3，c2，注意：用公式法解方程時，要正確地確定方程各項的系數(shù)a、b、c的值，先計算“”的值，若<0，則方程無解

2、，就不必解了例5解關(guān)于x的方程分析：先將原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程為關(guān)于x的方程，即x為未知數(shù)，m，n為已知數(shù)在確定的情況下，利用公式法求解解：把原方程左邊展開，整理，得a1，b3m，注意：解字母系數(shù)的一元二次方程與解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程一樣，都要先把方程化為一般形式，確定a、b、c和的值，然后求解但解字母系數(shù)方程時要注意：(1)哪個字母代表未知數(shù)，也就是關(guān)于哪個未知數(shù)的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的a、b、c與方程中字母系數(shù)的a、b、c相混淆；(3)在開平方時，可能會出現(xiàn)兩種情況，但根號前有正負號，已包括了這兩種可能，因此，例6用配方法解方程分析：解

3、一元二次方程雖然一般不采用配方法來解，但配方法的方法本身重要，要記住解：，注意：用配方法解一元二次方程，要把二次項系數(shù)化為1，方程左邊只有二次項，一次項，右邊為常數(shù)項，然后方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，左邊就配成了一個二項式的完全平方例7不解方程，判別下列方程的根的情況：(1)；(2)；(3)分析：要判定上述方程的根的情況，只要看根的判別式的值的符號就可以了解：(1)a2，b3，c4，方程有兩個不相等的實數(shù)根(2)a16，b24，c9，方程有兩個相等的實數(shù)解(3)將方程化為一般形式，a4，b7，c5，4910051<0方程無實數(shù)解注意：對有些方程要先將其整理成一般形式，再正確確定a

4、、b、c的符號例8已知方程的一個根是2，求另一根及k的值分析：根據(jù)韋達定理易得另一根和k的值再是根據(jù)方程解的意義可知x2時方程成立，即把x2代入原方程，先求出k值，再求出方程的另一根但方法不如第一種解：設另一根為，則，k7即方程的另一根為，k的值為7注意：一元二次方程的兩根之和為，兩根之積為例9利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程兩根的(1)平方和；(2)倒數(shù)和分析：已知要求(1)，(2)，關(guān)鍵是把、轉(zhuǎn)化為含有的式子因為兩數(shù)和的平方，等于兩數(shù)的平方和加上這兩數(shù)積的2倍，即，所以，由此可求出(1)同樣，可用兩數(shù)和與積表示兩數(shù)的倒數(shù)和解：(1)，；(2)3注意：利用兩根的和與積可求兩根的平方和、倒數(shù)

5、和，其關(guān)鍵是把平方和、倒數(shù)和變成兩根的和與積，其變形的方法主要運用乘法公式例10已知方程的兩根平方和是34，求m的值分析：已知，求m就要在上面三個式子中設法用來表示，m便可求出解：設方程的兩根為，則，30，m30注意：解此題的關(guān)鍵是把式子變成含的式子，從而求得m的值例11求一個一元二次方程，使它的兩個根是2、10分析：因為任何一元二次方程都可化為(二次項系數(shù)為1)的形式如設其根為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得將p、q的值代入方程中，即得所求方程解：設所求的方程為210p，2×10q，p12，q20所求的方程為注意：以為根的一元二次方程不止一個，但一般只寫出比較簡單的一個例12已知兩個數(shù)的和

6、等于8，積等于9，求這兩個數(shù)分析：把這兩個數(shù)看作某個二次項系數(shù)為1的一元二次方程的兩個根，則這個方程的一次項系數(shù)就應該是8，常數(shù)項應該是9，有了這個方程，再求出它的根，即是這兩個數(shù)解：設這兩個數(shù)為，以這兩個數(shù)為根的一元二次方程為，方程為解這個方程得，這兩個數(shù)為例13如圖22-2-1，在長為32m，寬為20m的長方形地面上，修筑兩條同樣寬而且互相垂直的道路，余下的部分作為綠化用草地，要使草地的面積為，那么道路的寬度應是多少？分析：設道路的寬度為x m，則兩條道路的面積和為題中的等量關(guān)系為：草地面積道路面積長方形面積解：設道路的寬度為x m，則，(x2)(x50)0，x20，x500，x50不合題意，取x2答：道路的寬度為2m注意：兩條道路重合了一部分，重合的面積為因此計算兩條道路的面積和時應減去重合面積例14某鋼鐵廠去年1月份鋼的產(chǎn)量為5000噸，3月份上升到7200噸，求這兩個月平均每月增長的百分率是多少？分析：設平均每月增長的百分率為x，則增長一次后的產(chǎn)量為50