“三點(diǎn)定型”法在相似證明中的應(yīng)用

1、“三點(diǎn)定型”法在相似證明中的應(yīng)用在相似這一章中，比例式和等積式的證明是本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)。我在平時(shí)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)用“橫看、豎看”加“三點(diǎn)定型”法及適當(dāng)變形做這類題比較簡單，現(xiàn)分三類舉例如下。（思想方法）如：欲證，即只需證.而我們都知道：相似三角形對應(yīng)邊的比相等.可知：欲證成立，則其中的分子取自一個(gè)三角形，分母取自第二個(gè)三角形.這樣就是“橫看”，定出兩個(gè)三角形：ABC和BEF.接下來，只需證明這兩個(gè)三角形相似即可！若通過“橫看”，找不到三角形，這時(shí)，也可以“豎看”，找三角形！這就是“橫看、豎看”三點(diǎn)定型法.一類：直接利用“橫看、豎看” 加以“三點(diǎn)定型”例：已知：ACB=900，CDAB.求證：AC2=

2、ADAB 【射影定理】 分析：要證AC2=ADAB，可先證，這時(shí)“橫看”定出： 和 .即證 ；聰明的你，也可以試一試“豎看”！針對本題：你也可以自行證明：（1）DC2=ADDB；（2）BC2=BDAB.二類：當(dāng)“橫看、豎看” “三點(diǎn)定型”找不到三角形時(shí)，若有相等的線段時(shí)，可用相等的線段替換。例1， 已知；AD平分BAC，EF垂直平分AD與BC的延長線交于F。求證：DF2=BFCF分析：直接證DF2=BFCF，通過“橫看、豎看” 加以“三點(diǎn)定型”找不到三角形.由已知可得DF=AF，可改證AF2=BFCF，即證，這時(shí)用“橫看、豎看” 加以“三點(diǎn)定型”定出：需證ABFCAF.例2， 已知；在RtAB

3、C中，A=900，四邊形DEFG為正方形。求證：EF2=BEFC分析：要證EF2=BEFC，可證，這時(shí)我們“橫看、豎看” 加以“三點(diǎn)定型”B、E、F、C都在同一直線上，不能確定兩個(gè)三角形。但在圖形中有相等的線段DE=EF=FG，這時(shí)用相等的線段去替換即證即可。再用“橫看、豎看” 加以“三點(diǎn)定型”的方法確定證BDEGCF從而完成證明。三類：既不能直接用“三點(diǎn)定形”，又沒有相等的線段可以替換時(shí)，可以找中間比或中間量來轉(zhuǎn)化搭橋，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。例1，已知：梯形ABCD中，AD/BC，AC與BD相交于O點(diǎn)，作BE/CD,交CA的延長線于點(diǎn)E.求證：OC2=OA.OE分析：要證OC2

4、=OA.OE,這時(shí)我們“橫看、豎看” 加以“三點(diǎn)定型”發(fā)現(xiàn)O,C,A,E在同一直線上，并且沒有相等的線段可以替換，怎么辦呢？這時(shí)，我們可以尋找（或做平行構(gòu)造）A型圖、X型圖轉(zhuǎn)移比例式，再三點(diǎn)定型，找三角形.即：AD/BC可證，用“橫看、豎看”定出OBCODC,然后再證,用同樣的方法確定證OBEODC相似即可。例2，已知：BD、CE是ABC的兩個(gè)高，DGBC，與CE交于F，GD的延長線與BA的延長線交于H。求證：GD2=GFGH分析：要證GD2=GFGH,這時(shí)我們發(fā)現(xiàn)G、D、E、F在同一直線上，并且沒有相等的線段可以替換，這時(shí)，我們可以轉(zhuǎn)移待證的某個(gè)積式，再化為比例式進(jìn)行三點(diǎn)定型，找三角形.即利

5、用【射影定理】得出GD2=BGCG，從而把原題轉(zhuǎn)化為證BGCG=GFGH，再用“橫看、豎看” 加以“三點(diǎn)定型”確定證BGHFGC相似即可。 通過上述的分析，相信聰明的你可以完成完整的書寫過程！【練習(xí)】1.如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，ACB90°，ACBC，點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在BC上，將ABC沿著MN翻折，使得點(diǎn)C落在AB上的P點(diǎn)。求證：.(法1)“三點(diǎn)定型”后“互補(bǔ)不相似”(法2)構(gòu)造垂直結(jié)構(gòu)(法3)構(gòu)造“一線三等角”(法4)作平行構(gòu)造A型圖、X型圖2.建立模型(1)如圖，在ABC中，點(diǎn)P為邊AB上一點(diǎn)，若ACP=B，求證：AC²=AP·AB；模型應(yīng)用(2

6、)如圖，點(diǎn)D在線段BC上，DA為射線(其中ADC90°)，點(diǎn)E為線段DA延長線上一點(diǎn)，連接BE，EC，且BED=ACD，設(shè)AC=a，AD=b，CD=c當(dāng)a=4，b=2，且CD=2BD，求線段AE的長；如果EBD是以ED為腰的等腰三角形，試確定a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由3.在RtACB和RtAEF中，ACB=AEF=90°，若點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，連接PC，PE(1)特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別落在邊AB，AC上，求證：PC=PE(2)問題探究：把圖1中的AEF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)如圖2，若點(diǎn)E在CA的延長線上，則(1)的結(jié)論是否還成立？若成立，請證明；若不成立，說明

7、理由；如圖3，若點(diǎn)F在邊AB上，則(1)的結(jié)論是否還成立？若成立，請證明；若不成立，說明理由；4.如圖，在等腰ABC中，ABAC=，BAC90°，F(xiàn)為BC中點(diǎn).動點(diǎn)D在線段CB上從C出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度向B勻速運(yùn)動.連接AD，在AD的左側(cè)作等腰RtAED，AEDE，AED90°.設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動時(shí)間為t秒.(I)求線段DE的長度取值范圍；(II)證明：點(diǎn)E始終落在某一條固定直線上；(III)連接EF，設(shè)DEF的面積為S.求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.5.如圖1，在等腰ABC中，AB=AC=5，BC=6.過點(diǎn)A作射線AGBC，動點(diǎn)F從B出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度向A運(yùn)動，連接CF,過點(diǎn)F作CFD=B交射線AG于點(diǎn)D.設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動時(shí)間為t秒：(1)問：點(diǎn)D的運(yùn)動速度是否恒定？若是，請求出速度；若不是，請?zhí)剿魉俣茸兓闆r.(2)設(shè)S=SADF，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值. 圖1 備用圖四邊形ABCD