三角形及其性質(zhì)(基礎(chǔ))知識講解

1、三角形及其性質(zhì)（基礎(chǔ)）知識講解【學(xué)習(xí)目標】1. 理解三角形及與三角形有關(guān)的概念,掌握它們的文字、符號語言及圖形表述方法2. 理解三角形內(nèi)角和定理的證明方法毛；3. 掌握并會把三角形按邊和角分類4. 掌握并會應(yīng)用三角形三邊之間的關(guān)系5. 理解三角形的高、中線、角平分線的概念，學(xué)會它們的畫法【要點梳理】要點一、三角形的定義由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形 要點詮釋：（1）三角形的基本元素：三角形的邊：即組成三角形的線段；三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角； 三角形的頂點：即相鄰兩邊的公共端點.（2）三角形的定義中的三個要求：“不在同一條直

2、線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符號“”表示，頂點為A、B、C的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨的沒有意義；ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示要點二、三角形的內(nèi)角和三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180要點詮釋：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問題：在三角形中已知任意兩個角的度數(shù)可以求出第三個角的度數(shù)；已知三角形三個內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；求一個三角形中各角之間的關(guān)系要點三、三角形的分類1.按角分類：要點詮釋：銳角三角形：三個內(nèi)角

3、都是銳角的三角形;鈍角三角形：有一個內(nèi)角為鈍角的三角形.2.按邊分類：要點詮釋： 不等邊三角形：三邊都不相等的三角形；等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;等邊三角形：三邊都相等的三角形.要點四、三角形的三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.推論：三角形任意兩邊之差小于第三邊.要點詮釋：（1）理論依據(jù)：兩點之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍（

4、3）證明線段之間的不等關(guān)系要點五、三角形的三條重要線段三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關(guān)系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語言從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段圖形語言作圖語言過點A作ADBC于點D取BC邊的中點D，連接AD作BAC的平分線AD，交BC于點D標示圖形符號語言1AD是ABC的

5、高2AD是ABC中BC邊上的高3ADBC于點D4ADC90，ADB90(或ADCADB90)1AD是ABC的中線2AD是ABC中BC邊上的中線3BDDCBC4點D是BC邊的中點1AD是ABC的角平分線2AD平分BAC，交BC于點D312BAC推理語言因為AD是ABC的高，所以ADBC(或ADBADC90)因為AD是ABC的中線，所以BDDCBC因為AD平分BAC，所以12BAC用途舉例1線段垂直2角度相等1線段相等2面積相等角度相等注意事項1與邊的垂線不同2不一定在三角形內(nèi)與角的平分線不同重要特征三角形的三條高(或它們的延長線)交于一點一個三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點一個三角形有三條

6、角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點類型一、三角形的內(nèi)角和1證明：三角形的內(nèi)角和為180.【答案與解析】解：已知：如圖，已知ABC，求證：A+B+C180. 證法1：如圖1所示，延長BC到E，作CDAB因為ABCD（已作），所以1=A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），B=2（兩直線平行，同位角相等） 又ACB+1+2=180（平角定義）， 所以ACB+A+B=180（等量代換）證法2：如圖2所示，在BC邊上任取一點D，作DEAB，交AC于E，DFAC，交AB于點F因為DFAC（已作），所以1=C（兩直線平行，同位角相等），2=DEC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）因為DEAB（已作）所以3=B，DEC=A（兩直

7、線平行，同位角相等）所以A=2（等量代換）又1+2+3=180（平角定義），所以A+B+C=180（等量代換）2.在ABC中，已知A+B80，C2B，試求A，B和C的度數(shù)【思路點撥】題中給出兩個條件：A+B80，C2B，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180，即A+B+C180就可以求出A，B和C的度數(shù)【答案與解析】解：由A+B80及A+B+C180， 知C100 又 C2B， B50 A80-B80-5030【總結(jié)升華】解答本題的關(guān)鍵是利用隱含條件A+B+C180本題可以設(shè)Bx，則A80-x，C2x建立方程求解【變式】已知，如圖 ，在ABC中，C=ABC=2A，BD是AC邊上的高，求DBC的度數(shù).【

8、答案】解：已知ABC中，C=ABC=2A 設(shè)A=x 則C=ABC=2x x+2x+2x=180解得：x=36 C=2x=72 在BDC中， BD是AC邊上的高，BDC=90，DBC=18090-72=18類型二、三角形的分類3.一個三角形的三個內(nèi)角分別是75、30、75，這個三角形是（ ）A 銳角三角形 B 等腰三角形 C 等腰銳角三角形 【答案】C【變式】一個三角形中，一個內(nèi)角的度數(shù)等于另外兩個內(nèi)角的和的2倍，這個三角形是（ ）三角形A 銳角 B 直角 C 鈍角 D無法判斷【答案】C【解析】利用三角形內(nèi)角和是180以及已知條件，可以得到其中較大內(nèi)角的度數(shù)為120，所以三角形為鈍角三角形.類型

9、三、三角形的三邊關(guān)系4. (四川南充)三根木條的長度如圖所示，能組成三角形的是( )【思路點撥】三角形三邊關(guān)系的性質(zhì)，即三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊注意這里有“兩邊”指的是任意的兩邊，對于“兩邊之差”它可能是正數(shù)，也可能是負數(shù)，一般取“差”的絕對值【答案】D【解析】要構(gòu)成一個三角形必須滿足任意兩邊之和大于第三邊在運用時習(xí)慣于檢查較短的兩邊之和是否大于第三邊A、B、C三個選項中，較短兩邊之和小于或等于第三邊故不能組成三角形D選項中，2cm+3cm4cm故能夠組成三角形【總結(jié)升華】判斷以三條線段為邊能否構(gòu)成三角形的簡易方法是：判斷出較長的一邊；看較短的兩邊之和是否大于較長

10、的一邊，大于則能夠成三角形，不大于則不能夠成三角形舉一反三：【變式】判斷下列三條線段能否構(gòu)成三角形. (1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8.【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.5.若三角形的兩邊長分別是2和7,則第三邊長c的取值范圍是_.【答案】【解析】三角形的兩邊長分別是2和7, 則第三邊長c的取值范圍是2-7c2+7,即5c9【總結(jié)升華】三角形的兩邊a、b，那么第三邊c的取值范圍是a-bca+b.舉一反三：【變式】(浙江金華)已知三角形的兩邊長為4，8，則第三邊的長度可以是_(寫出一個即可)【答案】5，注：答案不唯一，填寫大于4，小于12的數(shù)都對類型四、

11、三角形中重要線段6. (江蘇連云港)小華在電話中問小明：“已知一個三角形三邊長分別為4，9，12，如何求這個三角形的面積?”小明提示：“可通過作最長邊上的高來求解”小華根據(jù)小明的提示作出的圖形正確的是( ) 【答案】C；【解析】三角形的高就是從三角形的頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段解答本題首先應(yīng)找到最長邊，再找到最長邊所對的頂點然后過這個頂點作最長邊的垂線即得到三角形的高【總結(jié)升華】銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形都有三條高，并且三條高所在的直線交于一點這里一定要注意鈍角三角形的高中有兩條高在三角形的外部【變式】如圖所示，已知ABC，試畫出ABC各邊上的高 【答案】 解：

12、所畫三角形的高如圖所示 7.如圖所示，CD為ABC的AB邊上的中線，BCD的周長比ACD的周長大3cm，BC8cm，求邊AC的長【思路點撥】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，有下列數(shù)量關(guān)系：ADBD，BCD的周長比ACD的周長大3【答案與解析】 解：依題意：BCD的周長比ACD的周長大3cm， 故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)3 又 CD為ABC的AB邊上的中線， ADBD，即BC-AC3又 BC8， AC5 答：AC的長為5cm【總結(jié)升華】運用三角形的中線的定義得到線段ADBD是解答本題的關(guān)鍵，另外對圖形中線段所在位置的觀察，找出它們之間的聯(lián)系，這種數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解幾何題常用的方法 舉一

13、反三：【變式】如圖所示，在ABC中，D、E分別為BC、AD的中點，且，則為_【答案】1一、選擇題1一位同學(xué)用三根木棒拼成如圖所示的圖形，其中符合三角形概念的是( )2如圖所示的圖形中，三角形的個數(shù)共有( )A1個 B2個 C3個 D4個3任何一個三角形至少有（ ）個銳角A1 B2 C3 D 不能確定4已知三角形兩邊長分別為4 cm和9 cm，則下列長度的四條線段中能作為第三邊的是 ( ) A13 cm B6 cm C5 cm D4 cm5為估計池塘兩岸A、B間的距離，楊陽在池塘一側(cè)選取了一點P，測得PA16m，PB12m，那么AB間的距離不可能是( )A5m B15m C20m D28m 第八

14、題6三角形的角平分線、中線和高都是 ( ) A直線 B線段 C射線 D以上答案都不對7下列說法不正確的是 ( ) A三角形的中線在三角形的內(nèi)部 B三角形的角平分線在三角形的內(nèi)部 C三角形的高在三角形的內(nèi)部 D三角形必有一高線在三角形的內(nèi)部8如圖，AM是ABC的中線，那么若用S1表示ABM的面積，用S2表示ACM的面積，則S1和S2的大小關(guān)系是( )AS1S2 BS1S2 CS1S2 D以上三種情況都有可能9若ABC的A60，且B:C2:1，那么B的度數(shù)為( ) A40 B80 C60 D120二、填空題10三角形的三邊關(guān)系是_，由這個定理我們可以得到三角形的兩邊之差_第三邊，所以，三角形的一邊

15、小于_并且大于_11如果三角形的兩邊長分別是3 cm和6 cm，第三邊長是奇數(shù)，那么這個三角形的第三邊長為_cm12. 已知等腰三角形的兩邊分別為4cm和7cm，則這個三角形的周長為_13. 如圖，AD是ABC的角平分線，則_；BE是ABC的中線，則_；CF是ABC的高，則_90，CF_AB 14. 如圖，AD、AE分別是ABC的高和中線，已知AD5cm，CE6cm，則ABE和ABC的面積分別為_15.在ABC中，(1)若A:B:C1:2:3，則A_，B_，C_，此三角形為_三角形； (2) 若A大于B+C，則此三角形為_三角形 三、解答題16判斷下列所給的三條線段是否能圍成三角形? (1)5cm，5cm，a cm(0a10)； (2)a+1，a+2