向量代數(shù)和空間解析幾何

1、外文翻譯譯文專(zhuān)業(yè)班級(jí)學(xué)生姓名指導(dǎo)教師2013年6月21 日齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（譯文）第八章級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)是微積分研究的一個(gè)重要組成部分，代表功能作為“無(wú)限資金”。要做到這一點(diǎn)就要求用熟悉的加法運(yùn)算擴(kuò)展一組有限的數(shù)字“添加無(wú)限多的數(shù)字”。想要解決這一點(diǎn)我們需要通過(guò)考慮序列來(lái)解決限制的過(guò)程。8.1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)當(dāng)我們有表達(dá)式 u1u2un，我們也許認(rèn)為我們得到序列u1 ,u2 , 并且得到所有元素的無(wú)限和， 通過(guò)普通加法我們不能獲得這個(gè)和，當(dāng) n 足夠大時(shí)， 我們可認(rèn)為這和近似于u1u 2un ，當(dāng) n 越大時(shí)，近似值越精確。表達(dá)式u1u2un可以看做序列u1 , (u1u2 ), (u1u2u3 ), (

2、u1u2un ),，我們把它叫做級(jí)數(shù)8.1.1基本概念定義 8.1如果 un 是一個(gè)序列并且 snu1u2un ，那么序列 sn 叫做無(wú)窮級(jí)數(shù)。這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)表示為unu1u2u nn 1其中 u1 ,u2 , un ,叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)。s1 , s2 , sn ,叫做級(jí)數(shù)的部分和。定義 8.2un 是一級(jí)數(shù)并且 sn 是這個(gè)級(jí)數(shù)的部分和序列。 如果 lim sn 存在nn 1并且等于 s ，則所給級(jí)數(shù)收斂并且s 是級(jí)數(shù)的和，記作uns ，若 lim sn 不存在，nn 1則稱(chēng)級(jí)數(shù)發(fā)散并且級(jí)數(shù)沒(méi)有和。如果一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)有和s ，我們稱(chēng)級(jí)數(shù)收斂于s 。對(duì)于一個(gè)收斂級(jí)數(shù)un 是用來(lái)表示級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)的和。

3、使用相同符號(hào)不應(yīng)該混n 1淆，因?yàn)閺纳舷挛牡慕忉屩锌梢缘玫秸_的解釋。例 1 考慮收斂的幾何級(jí)數(shù)aarar 2ar n， ( a0)其中 a 是第一項(xiàng)且不等于 0，其中 r 為公比。2齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（譯文）解 n 項(xiàng)部分和為(1rn 1)sn ar當(dāng) r1時(shí)，等式(1rr n 1 )(1r )1r n可以通過(guò)直接代換得到sna 1r n1r所以顯而易見(jiàn)，如果 r1 ，則 lim snn當(dāng) r1 時(shí)，級(jí)數(shù)形式為 aaa當(dāng) r1 時(shí)，級(jí)數(shù)形式為aa a并且a并且如果 r1 ，則 lim sn 不存在。1rn，并且 sn 為 na ，因此 lim sn 不存在。naaa0 n 為偶數(shù)snan為

4、奇數(shù)因此 lim sn 不存在，n這樣我們有下面的結(jié)論。幾何級(jí)數(shù) aar ar 2ar n或ar n 1 ，當(dāng) 1 r1時(shí)，收斂于a ，n 11r當(dāng) r 1 （ a0）時(shí) f 發(fā)散。8.1.2基本性質(zhì)定理 8.3（收斂級(jí)數(shù)的必要條件）如果級(jí)數(shù)un 收斂，那么當(dāng) n 趨于無(wú)窮時(shí)他的第n 項(xiàng) un 趨于零。n 1證明 設(shè)un = s ，即 lim sn = s 。這里 snun ，那么 lim sn = lim = snnnn 1n 1因此lim un = lim (snsn 1 ) lim snlim sn 1 = s s = 0nnnn3齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（譯文）根據(jù)定理 8.3如果當(dāng) n

5、趨于無(wú)窮時(shí)級(jí)數(shù)的第 n 項(xiàng)步趨于零，那么級(jí)數(shù)發(fā)散。發(fā)現(xiàn)定理 8.3的逆命題時(shí)錯(cuò)誤的，那是因?yàn)槿绻鹟im un 0 ，級(jí)數(shù)不一定收斂。換n句 話(huà) 說(shuō) 可 能 存 在 發(fā) 散 的 級(jí) 數(shù) 有 lim un0。例如著名的調(diào)和級(jí)數(shù)n1111n 1 n13n2顯然 lim 10 ，但通過(guò)反證法能夠證明調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的。n n假 設(shè)1是 收 斂 的 ， 并 且 它 的 和 是 s ， 那 么 我 們 有n 1 nlim (s2nsn )lim snlim sn 1ss0 ，nnn但對(duì)于 n1s2 nsn(111111) (111 )2nn2n2n111n1 n22n1112n2n2nn2n12出現(xiàn)矛盾。定

6、理 8.4 若級(jí)數(shù)un 收斂，其和是 s，則級(jí)數(shù)kun 也收斂并且kunks ，即n 1n 1n 1kunku n ， k 為任何數(shù)。n 1n 1通過(guò)定理 8.4 我們知道如果un 發(fā)散并且 k0 ，那么kun 也發(fā)散。n 1n 1定理 8.5 如果un S ， vnR ,那么n 1n 1(unvn )SRn 14齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（譯文）定理 8.4 和定理 8.5 的證明過(guò)程留作學(xué)生的練習(xí)。定理 8.5 常常用來(lái)證明級(jí)數(shù)是發(fā)散的。例 2 判斷級(jí)數(shù)(11) 是收斂還是發(fā)散的。4n4nn 1解 通過(guò)定理8.4和定理8.3 后的例子，很容易得到1是發(fā)散的。因?yàn)閚 1 4n1是幾何級(jí)數(shù)并且公比為

7、1 ，它是收斂的。n1 4n4現(xiàn)在，假設(shè)( 11 ) 是收斂的，那么根據(jù)定理8.4，n 14n4n1( 11 )1 )n 1 4nn 14n4n4 n收斂，因此出現(xiàn)矛盾。故(11發(fā)散。4n)n 14n定理 8.6如果an和bn 是無(wú)窮級(jí)數(shù)，并且僅僅它們的前n 項(xiàng)不同，即當(dāng)n 1n 1km 時(shí) akbk ，那么這兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂同時(shí)發(fā)散。證明設(shè) Sn和 Tn 是級(jí)數(shù)an 和bn 的部分和序列n 1n1則 Sna1a2amam 1anTnb1b2bmbm 1bn因?yàn)楫?dāng) km 時(shí) akbk ，則當(dāng) nm 時(shí)SnTn( a1a2am ) (b1b2bm )SmTm所以當(dāng) nm 時(shí)， Sn Tn( Sm

8、Tm )現(xiàn)在假設(shè) lim Tn 存在，則n5齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（譯文）lim Snlim Tn( SmTm )nn并且級(jí)數(shù)收斂。假設(shè) lim Tn 不存在，如果 lim Sn 存在，從 TnSn(SmTm ) 我們能夠得到nnlim Tn 存在，因此出現(xiàn)矛盾。 從而，如果 lim Tn 不存在，那么 lim Sn 不存在并且級(jí)數(shù)nnn發(fā)散。作為定理 8.6 的結(jié)論，對(duì)于一個(gè)給定的無(wú)窮級(jí)數(shù)， 增加或去掉級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)不改變它的斂散性。例如，111，它是由調(diào)和級(jí)數(shù)456n 1 n11111113456n2刪除了前 4 項(xiàng)得到，也可以寫(xiě)作000011156n一個(gè)級(jí)數(shù)僅僅與調(diào)和級(jí)數(shù)前四項(xiàng)不同，這種情況

9、下發(fā)散收斂是不受影響的。因此通過(guò)定理 8.6 以及級(jí)數(shù)1發(fā)散可知調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散。n 1 n48.1.3正項(xiàng)級(jí)數(shù)我們現(xiàn)在考慮的非負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)有時(shí)也叫做正項(xiàng)級(jí)數(shù)。定理 8.7（比較判別法）有正項(xiàng)級(jí)數(shù)un ，n 1（1） 如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)vn 收斂，并且對(duì)于所有的正整數(shù)n 有 unvn ，那么unn 1n 1收斂。（2） 如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)wn 發(fā)散，并且對(duì)于所有的正整數(shù)n 有 unwn ，那么n 1un 發(fā)散。n 1明過(guò)程略。6齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（譯文）例 3 判斷級(jí)數(shù)1111233nn2是收斂還是發(fā)散。解 因?yàn)榧?jí)數(shù)的一般項(xiàng)小于級(jí)數(shù)1111232 n22對(duì)應(yīng)項(xiàng)，并且后一級(jí)數(shù)收斂，因?yàn)樗煌谑諗亢图?jí)數(shù)有第一項(xiàng)。

10、根據(jù)定理8.7 級(jí)數(shù)收斂。例 4用另一種方法證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散。證明：如果 x0，我們有 xln(1 x) ，所以 1ln(1n因?yàn)?n 項(xiàng)部分和為Snl n1( 1)l n1( 1)l n1( 1)12nln 2ln 3ln 4ln n 123nl n 2(34n1)23nl n n(1)111的只22232n1 ) 。級(jí)數(shù)ln(11 ) 發(fā)散。nn 1n并且當(dāng) n時(shí)， Sn。因此根據(jù)定理 8.7 知級(jí)數(shù)1發(fā)散。n 1 n下面的定理利用積分理論判斷無(wú)窮項(xiàng)的正項(xiàng)級(jí)數(shù)是收斂的。定理 8.8 （積分判別法）f 是連續(xù)遞增的函數(shù)，并且對(duì)于所有x1 函數(shù)值為正值。那么當(dāng)無(wú)窮積分f (x) 存 在 時(shí) 無(wú)

11、 窮 級(jí) 數(shù)f (n)f (1)f (2)f (n)收 斂 ， 并 且 當(dāng)1n 1blimf ( x)時(shí)無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散。b1證明過(guò)程略。7齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（譯文）例 5 討論 p 級(jí)數(shù)11111（這里 p 為常數(shù)）的斂散性。n 1 n p2 p3 pn p解：當(dāng) p0 時(shí)，很容易知道 p 級(jí)數(shù)是發(fā)散的。 現(xiàn)在假設(shè) p 是正數(shù)。設(shè) f ( x)1p 那x么 f 是連 續(xù)函 數(shù)并且對(duì) 所有 x1的都是正值。此外，當(dāng)1x1 x2 時(shí)，有11，并且 f 對(duì)所有 x 1是遞增的。因此函數(shù)滿(mǎn)足定理8.8的條件?？紤]ppx1x2無(wú)窮積分有b1dxb1xplimxp dx1b1如果 p1，上面積分得liml

12、n x |1blimln bbb1 pp1p如果 p1，積分得 limxlimb1|1b1pb1p當(dāng) p1 時(shí)，極限是；當(dāng)p1時(shí)， p 級(jí)數(shù)收斂并且當(dāng) p 1時(shí)發(fā)散。P 級(jí)數(shù)在比較判別法中是最常用到的。例 6 判別級(jí)數(shù)1的斂散性。n 1 ( n222)3解 對(duì)所有正整數(shù) n 有11(n 22)243n 3并且14 是 P 級(jí)數(shù)其中 p41，它服從比較判別法并且級(jí)數(shù)14 收斂，因n1 n 33n 1 n 3此級(jí)數(shù)1收斂。2n 1 (n 22)38.1.4交錯(cuò)級(jí)數(shù)在接下來(lái)的部分我們考慮有正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)的級(jí)數(shù)。我們討論這樣級(jí)數(shù)的第一步是它的正負(fù)項(xiàng)交錯(cuò)。定理 8.9如果對(duì)所有正整數(shù)n 有 an0 ， 級(jí)數(shù)

13、8齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（譯文）( 1) n 1 ana1a2a3a4( 1) n 1 ann 1叫做交錯(cuò)級(jí)數(shù)。下面的定理是萊布尼茨給出的一種證明交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的方法。定理 8.10（交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法）假設(shè)我們有交錯(cuò)級(jí)數(shù)( 1) n 1an （或( 1) n an ）并且對(duì)于所有正整數(shù) n 有n 1n 1an 1an。如果 lim an0，則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。n證明過(guò)程略。判斷級(jí)數(shù) 1111(1) n 1 1的斂散性。234n解：級(jí)數(shù)(1) n1an 其中 an1，并且 an 滿(mǎn)足定理 8.10 的條件，因?yàn)閷?duì)所有正整n 1n數(shù) n 有11，并且 lim0 。所以根據(jù)定理 8.10 知級(jí)數(shù)收斂。n 1n

14、n8.1.5絕對(duì)收斂和條件收斂定義 8.11 如果所給級(jí)數(shù)的所有項(xiàng)都用到它們的絕對(duì)值代替所得的級(jí)數(shù)收斂，那么所給級(jí)數(shù)就叫做絕對(duì)收斂。一個(gè)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，但不絕對(duì)收斂，這時(shí)所給級(jí)數(shù)叫做條件收斂。定理 8.12如果級(jí)數(shù)un 絕對(duì)收斂，則給級(jí)數(shù)收斂并且unun 。n 1n 1n 1證明因?yàn)閡n 絕對(duì)收斂，則un 收斂。因此根據(jù)定理8.42 un 也收斂。n 1n 1n 1考慮級(jí)數(shù)(unun ) 。我們知道 0unun2un 對(duì)所有正整數(shù) n 都成立。所以n 1根據(jù)比較判別法知級(jí)數(shù)(un un ) 收 斂 。 因 此 根 據(jù) 定 理 8.5知n 1k nun ununun 收斂 。 現(xiàn) 在令 Tu n

15、， Tnuk ， Sun 和n 1n 1n 1k 1n 19齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（譯文）nn 不等式Snuk ，根據(jù)絕對(duì)值得性質(zhì)知對(duì)所有正整數(shù)k 1Tn SnTn成立。這樣有l(wèi)im Tnlim Snlim Tnnnn即TST即ST 或ununn 1n 1例 7cos(n)證明3收斂n 1n 2證明：用級(jí)數(shù)un 表示所給級(jí)數(shù)。因此n11111111n2222222c o s ( 3 )un2 23242526 272n2n1211111111281832507298這是正負(fù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)。如果我們能證明它絕對(duì)收斂根據(jù)定理8.12 我們可以知道這個(gè)級(jí)數(shù)收斂?，F(xiàn)在cos(n)n1un3。因?yàn)?cos1對(duì)所

16、有正整數(shù) n 都成立。級(jí)數(shù)即 p 級(jí)n 1n 1n23n 1 n2數(shù)當(dāng) p=2 時(shí)，并且它是收斂的。所以根據(jù)比較判別法知un 收斂。因此所給級(jí)n 1數(shù)絕對(duì)收斂。因此根據(jù)定理 8.12知它收斂。下面給出的比率判別法常常用于判定一個(gè)級(jí)數(shù)是否絕對(duì)收斂。定理 8.13（比率判別法）un 是所給出的級(jí)數(shù)并且每一個(gè)un 都非零，那么n 110齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（譯文）（1） 如果 lim un1L1，那么所給級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。nun（2） 如果 lim un1L1或 lim un 1，那么所給級(jí)數(shù)發(fā)散。nunnun（3） 如果 lim un11，那么不能通過(guò)這個(gè)判別法判斷斂散性。nun證明過(guò)程省略。例8 證

17、明(1) n 1nn收斂。n 12證明 因?yàn)?un( 1)n 1n和 un 1 ( 1)n 2n 12n2n 1u n 1n12nn 1un2 n 1n2nun 111所以 limn un2因此通過(guò)比率判別法知un 絕對(duì)收斂，因此根據(jù)定理8.12 知它收斂。n 1定理 8.14 （根判別法）級(jí)數(shù)un 是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，n 1（1） 如果 lim n unL1，那么所給級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；n（2） 如果 lim n unL1，那么所給級(jí)數(shù)發(fā)散；n（3） 如果 lim n un1，那么不能根據(jù)這個(gè)判別法判斷斂散性。n定理的證明類(lèi)似于定理8.13 的證明從而省略。比率判別法和根判別法是緊密相連的；但比率判別

18、法是更容易應(yīng)用的。如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)里包含階乘，這種方法更適合。如果一般項(xiàng)里包含n 次方，那么它更適合使用根判別法。下面的例子的級(jí)數(shù)是更適合根判別法的。1例 9判定級(jí)數(shù) n 1 ln( n 1) n 是收斂還是發(fā)散的11齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（譯文）解 lim n unlim1=0 1nnnln( n1)根據(jù)根判別法知所給級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的。因此，根據(jù)定理8.12 它是收斂的。8.2函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)如果 un (x) 是定義在實(shí)數(shù)集I 上的函數(shù)序列，并且S(x)u1 ( x)u2 (x)u n ( x)那么我們定義Sn (x) 為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。這個(gè)級(jí)數(shù)表示為un (x)u1 ( x)u2 (x)un ( x

19、)n 1函數(shù)u1 ( x), u2 ( x),un ( x),叫做這個(gè)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)。函數(shù)S1 ( x) ， S2 ( x),， Sn (x),稱(chēng)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和。如果 x0I 并且數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un (x0 ) u1 ( x0 ) u2 ( x0 )un ( x0 )收斂，那,n 1么 x0 是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)并且級(jí)數(shù)收斂于點(diǎn) x0 。如果 x0I ，并且 x0 不是收斂點(diǎn)，那么 x0是級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn)并且級(jí)數(shù)再點(diǎn)x0 發(fā)散。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域或收斂區(qū)間。對(duì)于收斂域里的每一個(gè) x 都有 f ( x)lim Sn( x)n那么函數(shù) f ( x) 稱(chēng)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)。8.1.2冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)是形式為

20、cn (xa) nc0c1 ( xa)c2 ( xa) 2cn (xa) nn 012齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（譯文）的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其中 ci , i0,1,2,是常數(shù)， ci稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)。特別地當(dāng) a0時(shí)，級(jí)數(shù)形式為我們發(fā)現(xiàn)我們研究的所有函數(shù)可以通過(guò)收斂的冪級(jí)數(shù)來(lái)表示（除了某些異常值a外）。比率判別法也可以用來(lái)判定一個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂域。例 1 求 x 為何值時(shí)級(jí)數(shù)1xn收斂。n1 n解：應(yīng)用比率判別法，令un1 xn ， un 11xn 1nn1u nn1n那么1xnxunn1 xn !很容易發(fā)現(xiàn)當(dāng) n時(shí)不影響 x 的值。因此un 1l i m(xn) xl i mnu nnn1那就是有比率判

21、別法知Lx我們得到（1） 當(dāng) x1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；（2） 當(dāng) x1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；（3） 當(dāng) x1 時(shí)，不能根據(jù)比率判別法判斷斂散性。此時(shí)對(duì)應(yīng)x1，并且我們也許可以嘗試其他方法來(lái)驗(yàn)證以下兩個(gè)級(jí)數(shù)1（ x1）和( 1) n1）n 1 n（ xn 1n第一個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散的幾何級(jí)數(shù)，第二個(gè)級(jí)數(shù)可通過(guò)交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法證明是收斂的。因此所給級(jí)數(shù)僅當(dāng)1x1時(shí)收斂。例2 求級(jí)數(shù)( 1) n (x 1) n的收斂域。n 12n n 213齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（譯文）解： un( 1) n (x 1) nun !( 1) n 1 ( x 1) n 12n n22n 1 ( n 1) 2n 1n2x1x1因此 un 12

22、nn)21 x 1(n)(un2n 1 (n 1) 2x 1 n2n 12x 11x123x1我們知道2所以 x( 3,1) 級(jí)數(shù)收斂x1x3或 x1因此12所以 x 不在區(qū)間3,1內(nèi)級(jí)數(shù)發(fā)散，下面我們考慮當(dāng) x3 和 x1是相應(yīng)的級(jí)數(shù)為( 1) n ( 2) n1和( 1) n 2 n( 1)nn 12n22n 1 2nn2n 1 n2nn 1 n這兩個(gè)級(jí)數(shù)都是收斂的，因此原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?,1例 3求級(jí)數(shù)( 1)n x n的收斂域。n 1n!解 因?yàn)閡n 11unxn 1因此不論x 取何值時(shí)都有 lim un 10 ，這樣對(duì)所有x 值級(jí)數(shù)都收斂。也就是n unx，即收斂域?yàn)?例4 求級(jí)數(shù)(

23、 1)n n! xn的收斂域。n 110nun 1n 1，因此當(dāng) x0 時(shí) limun1，那么級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)解 我們有xunun10nx0 時(shí)原級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為零，則原級(jí)數(shù)收斂，因此級(jí)數(shù)的收斂域僅為一點(diǎn)0.在上面的例子中我們很容易發(fā)現(xiàn)un 1 趨于定值或。但大多數(shù)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)在un例子中已經(jīng)被證明，此外我們有下面的定理。14齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（譯文）定理 8.15cn (xa) n 為冪級(jí)數(shù)，那么有n 1（1） 僅當(dāng) xa 時(shí)級(jí)數(shù)收斂；（2） 對(duì)所有 x 值級(jí)數(shù)都收斂；（3） 有一個(gè)數(shù)R0 這樣對(duì)所有xaR 內(nèi)的所有x 級(jí)數(shù)都收斂和對(duì)所有x a R 內(nèi)的 x 級(jí)數(shù)發(fā)散。我們稱(chēng)定理中條件（ 3）中

24、的 R 為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。如果條件（ 1）成立， R0如果條件（ 2）成立， R如果R 是冪級(jí)數(shù)cn ( xa) n 的收斂半徑，收斂域是以下區(qū)間中的一個(gè)：n 1（-R,R）,R,R , ( R,R或 R,R) .對(duì)級(jí)數(shù)cn (x a)n ， 收 斂 域 為n 1(a R, aR) , a R,a R (aR, aR 或 a R, aR) 。8.2.2冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)下面的定理我們沒(méi)有給出證明，因?yàn)樽C明過(guò)程涉及到了冪級(jí)數(shù)的可微性和可積性。我們知道冪級(jí)數(shù)cn x n 可定義為定義域?yàn)榧?jí)數(shù)收斂域的函數(shù)。所以我們應(yīng)n 1該考慮這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)。定理 8.16如果 R0 是冪級(jí)數(shù)cn xn 的收斂半徑，定

25、義此級(jí)數(shù)為函數(shù)f ( x) ，n 1那么 f (x) 的定義域?yàn)?( R, R) 并且 f ( x) 是逐項(xiàng)可導(dǎo)，即對(duì)x(R, R) , f ( x) 存在且f ( x)ncn xn 1 。此外，級(jí)數(shù)ncn x n 1 的收斂半徑為R。n 1n 1定理8.17冪級(jí)數(shù)cn x n 的收斂半徑R0 ,定義函數(shù)f ( x)cn xn ，那么n 1n 1f (x) 在 ( R, R) 的每一個(gè)閉子區(qū)間上可積，并且f 的積分可通過(guò)所給冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積15齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（譯文）分來(lái)估計(jì)；即 x 在區(qū)間xcnxn 1 。此外， R 是積分所得( R, R) 內(nèi)有 f (t )dt0n1n 0級(jí)數(shù)的收斂根據(jù)

26、定理如果 a, b (R, R) 那么很容易知道例5給出 11x23xn（ * ）1 - xxx（ x 1 ）1（1）求出一個(gè)冪級(jí)數(shù)其和函數(shù)為（ x1）1x 2（2）求出一個(gè)冪級(jí)數(shù)其和函數(shù)為1（ x 1）（12x）解（1 知道 x1x 21 ，在（ * ）中我們讓 xx 2 ，那么得到11 x 2x 4x6( 1) n x 2 n（ x1 ）1 x 211（2）我們知道2()（ * ）x，我們對(duì)式逐項(xiàng)求導(dǎo)得（1x）1121 x 2x 4x 6nx n 1（ x1）（1- x）例 6 求一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)形式為ln(1 x)（ x1 ）解 定義 f (t )1考慮函數(shù) f，注意到1t11 t t

27、 2t 3( 1)n t n（ x1 ）1t逐項(xiàng)積分得xdt(1)nndt（ x1 ）0 1 tn 0t因此 ln(1 x)xx 2x 3x 4(1) n xn1（ x1）234n1即ln(1x)(1) n1x n（ x1）n 1n因?yàn)?x1， 1 x1x ，這樣寫(xiě) ln(1x) 時(shí)絕對(duì)收斂域是不需要寫(xiě)的。8.3泰勒級(jí)數(shù)16齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（譯文）在 3.9 節(jié)中我們知道當(dāng)f 是定義在一個(gè)包含點(diǎn)c 的開(kāi)區(qū)間的可微函數(shù)并且x足夠小時(shí)近似公式f (cx)f (c) xf (c)成立。那么如果函數(shù)f (x) 在點(diǎn) x0 那么函數(shù) f ( x) 在點(diǎn) x0 可近似表示為f ( x0 )f (x0

28、)(xx0 )即一個(gè)一次多項(xiàng)式，這個(gè)多項(xiàng)式不僅有相同的值而且在點(diǎn)x0 函數(shù) f 有相同的導(dǎo)數(shù)并且它給出了函數(shù)在點(diǎn)x0 的近似切線(xiàn)。如果函數(shù)f 的高階導(dǎo)數(shù)存在并且在點(diǎn)x0 有相同的第一階導(dǎo)，第二階導(dǎo)，等等。那么可以通過(guò)高階多項(xiàng)式獲得更好的近似。例如，三次多項(xiàng)式是近似于函數(shù)f在點(diǎn) xo 附近值，即可定義為f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )f ( x0 ) (x x0 ) 2f ( x0 ) ( x x0 ) 326更廣泛地，如果函數(shù) f 在點(diǎn) x0有 n 階導(dǎo)數(shù)并且 Pn (x) 是 n 次多項(xiàng)式， f 在點(diǎn) x0 有相同的零次導(dǎo)數(shù)，一次導(dǎo)數(shù)，二次導(dǎo)數(shù)和n 次導(dǎo)數(shù)值，那么我們可以假

29、設(shè)Pn ( x)c0c1 (x x0 ) c2 ( x x0 )cn ( x x0 ) n（8.1）這里 c1 , c2 ,cn 是待定系數(shù)。讓等式中 xx0 得Pn ( x 0 )c0等式兩端求導(dǎo)并且令xx0 得Pn (x0 )c1等式兩端求二次導(dǎo)并且令xx0 得Pn ( x0 )2!c2這樣，我們得到等式17齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（譯文）P( 3) (x)3!c3, P (n)(x)f( n) ( x) ，因此我們可以寫(xiě)為n0n00Pn (x) f ( x0 )f ( x0 )( xx0 )f( x0 ) (x x0 ) 2f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) （8.2）2!n!我

30、們稱(chēng)多項(xiàng)式 8.2 為函數(shù) f 在點(diǎn)想 x0 的 n 項(xiàng)泰勒多項(xiàng)式。泰勒多項(xiàng)式 Pn (x) 不等于 f ( x) ，然而它在點(diǎn)x0 附近近似于f ( x) 并且誤差為Rn ( x)f ( x)Pn ( x) 。我們把下面的定理稱(chēng)為泰勒中值定理，在其中Rn (x) 給出一個(gè)確定形式。定理 8.18（泰勒中值定理）n 為非負(fù)整數(shù)并且函數(shù)f 在一個(gè)開(kāi)區(qū)間I 內(nèi)沒(méi)一點(diǎn) x0 都有 n1階導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)I 里每一個(gè) xx0 都存在 x 和 x0 之間的點(diǎn)有f ( x)f ( x0 )f (x0 )( x x0 )f (n) ( x0 ) ( xx0 )nRn (x)（8.3）n!和 Rn ( x)f (

31、 n1) ( ) ( xx0 )n1（8.4）(n1)!因此 f (x)f ( x0 ) f ( x0 )( xx0 )f (n ) ( x0 ) (xx0 ) nf ( n 1) ( )（8.5）n!(n1)!并且介于 x 和 x0 之間。等式 8.5 稱(chēng)為泰勒公式而等式8.5 稱(chēng)為拉格朗日余項(xiàng)公式。定理證明略。如果函數(shù) f ( x) 有無(wú)窮階導(dǎo)數(shù)， 那么在泰勒公式中n 可以足夠大。如果當(dāng) n時(shí) Rn 趨于 0.即 lim Rn (x)0 ，那么我們得到一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)nf (x) f ( x0 )f ( x0 )( x x0 )f ( x0 ) x2f (n) (x0 ) xn，2!n!我們成這個(gè)式子為麥克勞林級(jí)數(shù)。如果對(duì)于一些函數(shù)我們有正式的泰勒級(jí)數(shù)，然后為了證明這一點(diǎn)本級(jí)數(shù)為給定函數(shù)，它要么是證明余項(xiàng)趨近于零，或者是相信在某種程度上這一級(jí)數(shù)收斂給定18齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（譯文）的功能。為我們提供了下面的定理余項(xiàng)接近于零的充分條件。定理8.19 如果存在數(shù) M0 , 對(duì)于所有正整數(shù)n 和 x( x0, x0) 都有f ( n ) ( x)M ,那么當(dāng) n時(shí)余項(xiàng)趨于 0，即limf (n1) ( ) (xx0 ) 0n( n1)!證明過(guò)程略。例 1f