【23】對于氫原子： (a)分別計算從第一激發(fā)態(tài)和第六激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)

1、【2.3】對于氫原子：(a)分別計算從第一激發(fā)態(tài)和第六激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)所產生的光譜線的波長，說明這些譜線所屬的線系及所處的光譜范圍。(b)上述兩譜線產生的光子能否使：（i）處于基態(tài)的另一氫原子電離？（ii）金屬銅中的銅原子電離（銅的功函數(shù)為）？(c)若上述兩譜線所產生的光子能使金屬銅晶體的電子電離，請計算出從金屬銅晶體表面發(fā)射出的光電子的德補羅意波的波長。解：(a)氫原子的穩(wěn)態(tài)能量由下式給出： 式中n是主量子數(shù)。 第一激發(fā)態(tài)(n2)和基態(tài)(n1)之間的能量差為：原子從第一激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)所發(fā)射出的譜線的波長為：第六激發(fā)態(tài)(n7)和基態(tài)(n1)之間的能量差為：所以原子從第六激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)所發(fā)射

2、出的譜線的波長為：這兩條譜線皆屬Lyman系，處于紫外光區(qū)。（b）使處于基態(tài)的氫原子電離所得要的最小能量為：E=E-E1=-E1=2.18×10-18J而 E1=1.64×10-18J<E E6=2.14×10-18J<E所以，兩條譜線產生的光子均不能使處于基態(tài)的氫原子電離，但是 E1>Cu=7.44×10-19JE6>Cu=7.44×10-19J所以，兩條譜線產生的光子均能使銅晶體電離。（c）根據(jù)德布羅意關系式和愛因斯坦光子學說，銅晶體發(fā)射出的光電子的波長為： 式中E為照射到晶體上的光子的能量和Cu之差。應用上式，分別

3、計算出兩條原子光譜線照射到銅晶體上后銅晶體所發(fā)射出的光電子的波長： 【2.4】請通過計算說明，用氫原子從第六激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)所產生的光子照射長度為的線型分子，該分子能否產生吸收光譜。若能，計算譜線的最大波長；若不能，請?zhí)岢鰧⒉荒茏優(yōu)槟艿乃悸?。解：氫原子從第六激發(fā)態(tài)（n=7）躍遷到基態(tài)（n=1）所產生的光子的能量為： 而分子產生吸收光譜所需要的最低能量為： 顯然，但此兩種能量不相等，根據(jù)量子化規(guī)則，不能產生吸收光效應。若使它產生吸收光譜，可改換光源，例如用連續(xù)光譜代替H原子光譜。此時可滿足量子化條件，該共軛分子可產生吸收光譜，其吸收波長為： 【2.8】已知氫原子的歸一化基態(tài)波函數(shù)為(a)利用量子

4、力學基本假設求該基態(tài)的能量和角動量；(b)利用維里定理求該基態(tài)的平均勢能和零點能。解：（a）根據(jù)量子力學關于“本征函數(shù)、本征值和本征方程”的假設，當用Hamilton算符作用于1s時，若所得結果等于一常數(shù)乘以此1s,則該常數(shù)即氫原子的基態(tài)能量E1s。氫原子的Hamiltton算符為： 由于1s的角度部分是常數(shù)，因而與，無關： 將作用于1s，有： （r=a0）所以 =-2.18×10-18J也可用進行計算，所得結果與上法結果相同。注意：此式中。將角動量平方算符作用于氫原子的1s，有： =01s所以 M2=0 |M|=0此結果是顯而易見的：不含r項，而1s不含和，角動量平方當然為0，角動

5、量也就為0。通常，在計算原子軌道能等物理量時，不必一定按上述作法、只需將量子數(shù)等參數(shù)代人簡單計算公式，如：即可。（b）對氫原子，故： 此即氫原子的零點能?！?.9】已知氫原子的，試回答下列問題：(a)原子軌道能E=?(b)軌道角動量|M|=?軌道磁矩|=?(c)軌道角動量M和z軸的夾角是多少度？(d)列出計算電子離核平均距離的公式（不算出具體的數(shù)值）。(e)節(jié)面的個數(shù)、位置和形狀怎么樣？(f)概率密度極大值的位置在何處？(g)畫出徑向分布示意圖。解：（a）原子的軌道能：（b）軌道角動量：軌道磁矩：（c）軌道角動量和z軸的夾角：， （d）電子離核的平均距離的表達式為： （e）令，得：r=0，r=

6、，=900節(jié)面或節(jié)點通常不包括r=0和r=，故的節(jié)面只有一個，即xy平面（當然，坐標原點也包含在xy平面內）。亦可直接令函數(shù)的角度部分，求得=900。（f）幾率密度為： 由式可見，若r相同，則當=00或=1800時最大（亦可令，=00或=1800），以表示，即：將對r微分并使之為0，有： 解之得：r=2a0（r=0和r=舍去）又因： 所以，當=00或=1800，r=2a0時，有極大值。此極大值為： （g）根據(jù)此式列出D-r數(shù)據(jù)表：r/a001.02.03.04.05.06.0D/00.0150.0900.1690.1950.1750.134r/a07.08.09.010.011.012.0D/

7、0.0910.0570.0340.0191.02×10-25.3×10-3按表中數(shù)據(jù)作出D-r圖如下：圖2.9 H原子的D-r圖由圖可見,氫原子的徑向分布圖有n-l1個極大(峰)和n-l-10個極小(節(jié)面)，這符合一般徑向分布圖峰數(shù)和節(jié)面數(shù)的規(guī)律。其極大值在r4a0處。這與最大幾率密度對應的r值不同，因為二者的物理意義不同。另外，由于徑向分布函數(shù)只與n和l有關而與m無關，2px、2py和2pz的徑向分布圖相同。【2.13】寫出He原子的Schrödinger方程,說明用中心力場模型解此方程時要作那些假設,計算其激發(fā)態(tài)(2s)1(2p)1的軌道角動量和軌道磁矩.解：

8、He原子的Schrodinger方程為： 式中和分別是電子1和電子2到核的距離，是電子1和電子2之間的距離，若以原子單位表示，則He原子的Schrodinger方程為：用中心力場解此方程時作了如下假設：(1)將電子2對電子1（1和2互換亦然）的排斥作用歸結為電子2的平均電荷分布所產生的一個以原子核為中心的球對稱平均勢場的作用（不探究排斥作用的瞬時效果，只著眼于排斥作用的平均效果）。該勢場疊加在核的庫侖場上，形成了一個合成的平均勢場。電子1在此平均勢場中獨立運動，其勢能只是自身坐標的函數(shù)，而與兩電子間距離無關。這樣，上述Schrodinger方程能量算符中的第三項就消失了。它在形式上變得與單電子

9、原子的Schrodinger方程相似。(2)既然電子2所產生的平均勢場是以原子核為中心的球形場，那么它對電子1的排斥作用的效果可視為對核電荷的屏蔽，即抵消了個核電荷，使電子1感受到的有效電荷降低為。這樣，Schrodinger方程能量算符中的吸引項就變成了，于是電子1的單電子Schrodinger方程變?yōu)椋?按求解單電子原子Schrodinger方程的方法即可求出單電子波函數(shù)及相應的原子軌道能。上述分析同樣適合于電子2，因此，電子2的Schrodinger方程為： 電子2的單電子波函數(shù)和相應的能量分別為和。He原子的波函數(shù)可寫成兩單電子波函數(shù)之積： He原子的總能量為： He原子激發(fā)態(tài)角動量加

10、和后L=，故軌道角動量和軌道磁距分別為： 【2.16】已知He原子的第一電離能I1=24.59eV,試計算:(1)第二電離能，1s的單電子原子軌道能和電子結合能(2)基態(tài)能量;(3)在1s軌道中兩個電子的互斥能;(4)屏蔽常數(shù);(5)根據(jù)(4)所得結果求H-的基態(tài)能量.解：（1）He原子的第二電離能是下一電離過程所需要的最低能量，即： He+（g）He2+（g）c He+ 是單電子“原子”，可按單電子原子能級公式計算，因而： 1s的單電子原子軌道能:1s的電子結合能，此時等于第一電離能，即為（2）從原子的電離能的定義出發(fā)，按下述步驟推求He原子基態(tài)的能量：He（g）He+（g）e （a）He+（g）He2+（g）e （b）由（a）式得：將（b）式代入，得： 推而廣之，含有n個電子的多電子原子A，其基態(tài)能量等于各級電離能之和的負值，即： （3）用J（s，s）表示He原子中兩個1s電子的互斥能，則： 也可直接由減求算J（s，s），兩法本質相同。（4） （5）H是核電荷為1的兩電子“原子”，其基組態(tài)為（1s）2，因而基態(tài)能量為： 【2.17】用Slater法計算Be原子的第一到第四電離能,將計